GV: Ngun Thµnh Tuyªn - Trêng THCS Mêng Lai - Hun Lơc Yªn Ph¬ng tr×nh bËc hai vµ hƯ thøc vi Ðt A/ Lý thut: 1/ C«ng thøc nghiƯm: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a 0≠ ) (1) Ta cã ∆ = b 2 – 4ac ( '∆ = b’ 2 – ac) (1) v« nghiƯm <=> ∆ < 0 ( '∆ < 0) (1) cã nghiƯm kÐp <=> ∆ = 0 ( '∆ = 0) x 1 = x 2 = a b 2 − (x 1 = x 2 = a b'− ) (1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt <=> ∆ > 0 ( '∆ > 0) x 1 = a b 2 ∆+− ( x 1 = a b '∆+− ) ; x 2 = a b 2 ∆−− ( x 2 = a b '∆−− ) (1) cã nghiƯm <=> ∆ ≥ 0 ( '∆ ≥ 0) 2/ HƯ thøc Vi – Ðt: NÕu ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 cã hai nghiƯm x 1 , x 2 th×: S = x 1 + x 2 = a b− vµ P = x 1 .x 2 = a c 3/ HƯ qu¶ (nhÈm nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh bËc hai): Ph¬ng tr×nh ax 2 + bx + c = 0 (a 0≠ ). - NÕu a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiƯm x 1 = 1; x 2 = a c - NÕu a – b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiƯm x 1 = -1; x 2 = a c− 4/ HƯ thøc Vi – Ðt ®¶o: NÕu hai sè x, y tho¶ m·n x + y = S vµ x.y = P th× hai sè x, y lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh: X 2 – SX + P = 0. ( ¸p dơng: ®Ĩ t×m hai sè khi biÕt tỉng vµ tÝch cđa chóng vµ dïng ®Ĩ lËp ph¬ng tr×nh bËc hai khi khi biÕt tríc hai nghiƯm ) 5/ Chó ý (§iỊu kiƯn cÇn vµ ®đ ): §Ĩ PT (1) cã hai nghiƯm tr¸i dÊu <=> a.c < 0 §Ĩ PT (1) cã hai nghiƯm cïng dÊu 0 0p ≥ ⇔ > V §Ĩ PT (1) cã hai nghiƯm cïng d¬ng <=> > ≥∆ > 0 0 0 P S §Ĩ PT (1) cã hai nghiƯm cïng ©m <=> > ≥∆ < 0 0 0 P S 6. Điều kiện về nghiệm số của phương trình bậc hai: Đònh lý : Xét phương trình : 2 0ax bx c+ + = (1) Pt (1) vô nghiệm ⇔ ≠ = = 0 0 0 c b a hoặc <∆ ≠ 0 0a Pt (1) có nghiệm kép ⇔ =∆ ≠ 0 0a Confidential Page 1 7/4/2014 1 GV: Ngun Thµnh Tuyªn - Trêng THCS Mêng Lai - Hun Lơc Yªn Pt (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ >∆ ≠ 0 0a Pt (1) có hai nghiệm ⇔ ≥∆ ≠ 0 0a Pt (1) nghiệm đúng với mọi x ⇔ = = = 0 0 0 c b a Đặc biệt Nếu pt(1) có hệ số a,c thoả a.c < 0 thì pt(1) luôn có hai nghiệm phân biệt. 7. So sánh một số α với các nghiệm của tam thức bậc hai cbxaxxf ++= 2 )( ( 0≠a ) [ ] 1 1 1 1 Tam thức co ùhai nghiệm x thỏa a.f( ) 0 x 0 Tam thức co ùhai nghiệm x thỏa a.f( ) 0 x S 2 2 2 2 2 ,x x ,x x 0 ⇔ α < < α < ∆ > ⇔ α > < < α −α < 1 1 1 0 Tam thức co ùhai nghiệm x thỏa a.f( ) 0 x S 2 Tam thức co ùhai nghiệm x thỏa một nghiệm thuộc khoảng ( ; ) và nghiệm 2 2 2 ,x x 0 ,x ∆ > ⇔ α > α < < −α > α β [ ] còn lại nằm ngoài đoạn [ ; ] f( ).f( ) 0 ⇔ α β < α β B/ Bµi tËp Bµi 1: Cho ph¬ng tr×nh: 2x 2 + mx – 5 = 0. a) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã mét nghiƯm lµ 1. T×m nghiƯm cßn l¹i. b) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã mét nghiƯm lµ -1. T×m nghiƯm cßn l¹i. Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh: x 2 + 2(m - 1)x – 2m +5 = 0. a) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt. b) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm tho¶ m·n: * 1 2 2 1 x x x x + = 2. * x 1 + x 2 + 2x 1 x 2 ≤ 6. Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh: x 2 – 2x + m + 2. a) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm cïng dÊu? Tr¸i dÊu? b) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x 1 , x 2 th¶o m·n: * x 1 + x 2 + 2x 1 x 2 ≤ 6. * x 1 + x 2 + 4x 1 x 2 = 10. Bµi 4: Cho ph¬ng tr×nh: x 2 – 8x + m + 5 = 0. a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 2. b) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt cïng dÊu d¬ng. c) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã mét nghiƯm nµy gÊp 3 lÇn nghiƯm kia. T×m c¸c nghiƯm trong tr- êng hỵp nµy. Bµi 5: Cho ph¬ng tr×nh: x 2 – 2(m + 1)x + 2m = 0. a) Chøng tá r»ng(CTR) ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiƯm víi mäi m. Confidential Page 2 7/4/2014 2 GV: Nguyễn Thành Tuyên - Trờng THCS Mờng Lai - Huyện Lục Yên b) Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình. CTR: A = x 1 + x 2 x 1 x 2 không phụ thuộc vào m. c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn: x 1 2 + x 2 2 - 3x 1 x 2 = 6 Bài 6: Cho phơng trình: x 2 (2m 1)x + m 2 m 2 = 0. a) CTR: Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt. b) Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình. Tìm m để 2x 1 x 2 + x 1 + x 2 3 Bài 7: Cho phơng trình: x 2 + 2x + 2m + 5 = 0. a) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép? Hai nghiệm phân biệt? b) Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình. Tính A = x 1 2 + x 2 2 theo m. c) Tìm m để A = 10. d) Lập phơng trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm là y 1 = 2 1 x , y 2 = 1 1 x Bài 8: Cho phơng trình: x 2 + (m + 1)x + m = 0. a) Giải phơng trình với m = 3. b) CTR: Phơng trình luôn có nghiệm với mọi m. c) Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình. Tìm m để x 1 2 x 2 + x 1 x 2 2 = 10. Bài 9: Cho phơng trình: x 2 2x + m 2 = 0. a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu? b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn: 3 10 1 2 2 1 =+ x x x x Bài 10: Cho phơng trình: 3x 2 4x + m 1 = 0. a) Giải phơng trình với m = 6. b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu? Trái dấu? c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn x 1 = 3x 2 . Bài 11: Cho phơng trình: x 2 4x + m = 0. a) Tìm m để phơng trình có nghiệm. b) Với giá trị nào của m để phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn: x 1 2 + x 2 2 = 12. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 1 2 + x 2 2 Bài 12: Cho phơng trình: x 2 3x - m + 2 = 0 (1) a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu? Cùng dấu? b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại. c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thảo mãn: x 1 2 + x 2 2 = 8. d) Lập phơng trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm gấp đôi các nghiệm của phơng trình (1). Bài 13: Cho phơng trình: x 2 2(a 1)x + 2a - 5 = 0. a) CMR: Phơng trình luôn có nghiệm với mọi a. b)Tìm a để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn: x 2 < 1 < x 1 Bài 14: Cho phơng trình: x 2 + (m +1)x + m - 1 = 0. a) CMR: Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm m để A = x 1 2 x 2 + x 1 x 2 2 4x 1 x 2 đạt giá trị lớn nhất. Bài 15: Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình: 2x 2 + 2(m + 1)x + m 2 + 4m + 3 = 0 (1). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2121 22 xxxxA = . Bài tập 16 : Cho phơng trình 2 2 10 0x x m = (1) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m 0 . Nghiệm mang dấu nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn ? Bài tập 17: Cho phơng trình 2 2 ( 1) 2 0x m x m m + = (1) (với m là tham số) a) Giải phơng trình trên với m = 2 b) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu m c) Gọi 2 nghiệm của phơng trình đã cho là x 1 , x 2 Tìm m để biểu thức Confidential Page 3 7/4/2014 3 GV: Nguyễn Thành Tuyên - Trờng THCS Mờng Lai - Huyện Lục Yên 3 3 1 2 2 1 x x A x x = + ữ ữ đạt giá trị lớn nhất Bài tập 18: Cho phơng trình : 2 2 ( 1) 2 0x m x m m + = a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m b) Gọi 2 nghiệm là x 1 và x 2 tìm giá trị của m để 2 2 1 2 x x+ đạt giá trị nhỏ nhất. Bài tập 19: Cho phơng trình 2 2 2 ( 2) 7 0x m x m + + = Tìm giá trị dơng của m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng nghịch đảo của nghiệm kia Bài tập 20 : Xét phơng trình : 4 2 2 2( 2) 5 3 0x m m + + + = (1) với m là tham số 1. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phơng trình (1) luôn có 4 nghiệm phân biệt 2. Gọi các nghiệm của phơng trình (1) là 1 2 3 4 , , ,x x x x . Hãy tính theo m giá trị của biểu thức M = 2 2 2 2 1 2 3 4 1 1 1 1 x x x x + + + Bài tập 21: Cho phơng trình 2 2( 1) 0x m x m + + = ( mlà tham số) a) Chứng minh : Phơng trình đã cho luôn luôn có nghiệm với mọi m. b) Trong trờng hợp m > 0 và 1 2 ,x x là các nghiệm của phơng trình nói trên hãy tìm GTLN của biểu thức 2 2 1 2 1 2 1 2 3( ) 6x x x x A x x + + + = Bài tập 22 : Xét phuơng trình mx 2 + (2m -1) x + m -2 = 0 (1) với m là tham số a ) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn 2 2 1 2 1 2 4x x x x + = b) Chứng minh rằng nếu m là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp thì phơng trình có nghiệm số hữu tỉ Bài tập 23 : Tìm hai số x y biết x 2 + y 2 = 25 và xy = 12 Bài tập 24 : Cho phơng trình x 2 - ax + a - 1 = 0 có 2 nghiệm 1 2 ,x x a) Không giải phơng trình hãy tính giá trị biểu thức 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 3 3 3x x M x x x x + = + b) Tìm a để tổng các bình phơng 2 nghiệm số đạt GTNN ? Bài tập 25 : Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k , phơng trình 1. 7 x 2 + kx -23 = 0 có 2 nghiệm trái dấu 2. 12 x 2 +70x + k 2 +1 = 0 không thể có 2 nghiệm trái dấu 3. x 2 - ( k +1)x + k = 0 có một nghiệm bằng 1 Bài tập 26 : Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh 1. mx 2 - 2(m +1)x + m + 2 = 0 2. (m -1) x 2 + 3m + 2m + 1 = 0 3. (1 2m) x 2 + (2m +1)x -2 = 0 Bài tập 27 : Cho phơng trình x 2 - 2m + m - 4 = 0 1. Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm đối nhau . Tính 2 nghiệm đó 2. Định m để phơng trình có 2 nghiệm thực dơng Bài tập 28 Confidential Page 4 7/4/2014 4 GV: Ngun Thµnh Tuyªn - Trêng THCS Mêng Lai - Hun Lơc Yªn Cho ph¬ng tr×nh x 2 - mx +1 = 0 ( m lµ tham sè ) 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh trªn khi m = 5 2. Víi m = 5 , gi¶ sư ph¬ng tr×nh ®· cho khi ®ã cã 2 nghiƯm lµ 1 2 ,x x Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh , h·y tÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3 5 3x x x x A x x x x + + = + Bµi tËp 29 : Cho ph¬ng tr×nh : 2 2 5 1 0x x − + = TÝnh 1 2 2 1 x x x x + (Víi x 1 , x 2 lµ 2 nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh) Bµi tËp 30 : a) X¸c ®Þnh m ®Ĩ ph¬ng tr×nh 2 2 2 2 2 0x mx m + + − = cã 2 nghiƯm ph©n biƯt b) Gäi 2 nghiƯm lµ x 1 , x 2 , T×m GTNN cđa biĨu thøc 1 2 1 2 2 4A x x x x = + + − Bµi tËp 31 : 1) Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh 2 4 1 0x x − + = cã 2 nghiƯm ph©n biƯt x 1 , x 2 LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã 2 nghiƯm lµ 2 1 x vµ 2 2 x 2) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh 2 2 2 3 0x mx m− + − = cã hai nghiƯm cïng dÊu. Khi ®ã hai nghiƯm cïng dÊu ©m hay cïng dÊu d¬ng ? Bµi tËp 32 : Cho phương trình: 0232 2 =−+− mmxx (1) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn 21 1 xx << Bµi tËp 33 : Xác đònh m để phương trình : 054)5( 2 =−++− mxmx có nghiệm [ ] 4;1∈x Confidential Page 5 7/4/2014 5 . trình có nghiệm kép? Hai nghiệm phân biệt? b) Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình. Tính A = x 1 2 + x 2 2 theo m. c) Tìm m để A = 10. d) Lập phơng trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm là y 1 . luôn có hai nghiệm phân biệt. 7. So sánh một số α với các nghiệm của tam thức bậc hai cbxaxxf ++= 2 )( ( 0≠a ) [ ] 1 1 1 1 Tam thức co hai nghiệm x thỏa a.f( ) 0 x 0 Tam thức co hai nghiệm. dïng ®Ĩ lËp ph¬ng tr×nh bËc hai khi khi biÕt tríc hai nghiƯm ) 5/ Chó ý (§iỊu kiƯn cÇn vµ ®đ ): §Ĩ PT (1) cã hai nghiƯm tr¸i dÊu <=> a.c < 0 §Ĩ PT (1) cã hai nghiƯm cïng dÊu 0 0p ≥ ⇔ > V §Ĩ