Hệ phương trình bậc nhất nhiều ấn

Nguyễn Tuấn Linh – Trường THCS Kim Đồng...   2 Giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn Vì sao hệ II không tương đương hệ I mà chỉ là hệ quả của hệ I... Tuy nhiên, muốn tìm

Nguyễn Tuấn Linh – Trường THCS Kim Đồng

1.Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho 2 phương trình bậc nhất 2 ẩn ax + by = c và a’x + b’y = c Khi

đó ta có hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn sau:

( )I ax by c

a x b y c' ' '



Mỗi cặp số ( x 0 ; y o ) đồng thời là nghiệm của cả 2 phương

trình trong hệ được gọi là một nghiệm của hệ

Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của hệ

Ví du ï : Giải các hệ phương trình sau:

3x y 1

) − = − b)− + = c) − =



( ) ( )

( ) ( ) ( )

Thay 2 1

2x 5y 1 1 2 5 3y 5y 1 2x 5y 1

a

vào

)

( ) ( )

( ) ( )1 2 2x 6y 2 1

Cộng và vế theo vế

− = −

Hệ phương trình vô nghiệm

− =





⇒ Hệ phương trình có vô số nghiêm (x; y)

tính theo công thức

Giả sử đường thẳng d và d’ lần lượt làđồ thị của phương trình (1) và (2) trong các câu trên.Có nhận xét gì về mối tương giao của 2 đường thẳng này trong

các câu a, b, c?

x

y 3x 1

 ∈

 = −



¡

⇒

a) Xây dựng công thức:

Xét hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn

( )I ax by c ( ) ( )1

a x b y c 2

' ' '







-Nhân 2 vế của phương trình (1) với b’, hai vế của

phương trình (2) với –b rồi cộng các vế tương ứng, ta

được

( ab a b x cb c b ' − ' ) = ' ' − ( ) 3

- Nhân 2 vế của phương trình (1) với –a’, hai vế của

phương trình (2) với a rồi cộng vế theo vế, ta được

( ab a b x ac a c ' − ' ) = ' − ' ( ) 4 ( ) ( )3 4 D ab a b D' ' , x cb c b' ' và Dy ac a c' '

Trong và , ta đặt = − = − = −

−

Khi đó, ta có hệ phương trình hệ quả

y

II





2) Giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn

Vì sao hệ (II) không tương đương hệ (I) mà chỉ là hệ quả của

hệ (I)

Đối với hệ (II) ta xét các trường hợp sau

1) D 0 ≠ :

X

y

X D

D

x y

D x

D

D

D D

y

ệ có nghiệm duy nhất ;  ; 



=



 =



÷

Thay (5) vào hệ (I) ta thấy đây cũng là nghiệm của hệ phương

trình (I)

II

=



-Nếu Dx ≠ 0 hoac ë Dy ≠ 0 thì hệ (II) vô nghiệm nên hệ (I) vô nghiệm

-Nếu Dx = Dy = 0 thì hệ (II) có vô số nghiệm

Tuy nhiên, muốn tìm nghiệm của hệ (I), ta phải trở về hệ (I) ( Do (II) chỉ là phương trình hệ quả ) Theo giả thiết, 2 số a và b không cùng bằng 0 nên ta có thể giả sử ( trường hợp cũng giải

y

D x D II

D y D

.





Ta có

y

a

a a

a

'

'

Bởi vậy, hệ (I) có thể viết thành

ax by c







Do đó, tập nghiệm của hệ (I) trùng với tập nghiệm của phương trình ax + by = c

( )

y x

D D

: Hệ có nghiệm duy nhất ; ; đó

x = ; y=

≠

x y

hoặc D : Hệ vô nghiệm.

: Hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm của hệ là tập nghiệm của phương trình ax + by = c.

• = =

1)

2) D = 0:

2 2

2 2

ax by c a b 0

a x b y c a b 0

' ' ' ' '







b) Thực hành giải và biện luận

- Định thức:

Biểu thức pq’ – p’q, với p, q, p’, q’ là những số thực, được gọi là một

định thức cấp 2 và kí hiệu là

p q

p' q' (Chú ý cách tính

p q

p' q'

= pq’ – qp’

Như vậy, các biểu thức D, Dx , Dy đều là những dịnh thức cấp 2

a’ x + b’ y = c’

{

a x + b y = c

a’ x + b’ y = c’

Vận dụng : Giải hệ phương trình

x

5 4

2 3

9 2

y

 Giải: Ta có D 5 5 3 4 ( )2 23 0

3

4

-2

x

D

D

9

-2

; suy ra x =

2 3

= − = − − − = − = −

y

D

D

-9

; suy ra

4 2 y =

{

(I)

( ) (x y 1 2)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ; ;

SỬ DỤNG ĐỊNH THỨC GIẢI CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAU

NHÓM 1 : 2x 3y 13

7x 4y 2

 + =



NHÓM 2 : 2x y 5

x 2y 7

 + =

 + =



NHÓM 3 : 5x 4y 3

7x 9y 8

 − =

 − =



NHÓM 4 : 3x 2y 1

 + = −







ĐS (x; y)= (2; -3)

ĐS (x; y)= (1; 3)

( ) 17 175 19

ĐS x;y  ; 

=  ÷

 



1/ Cho Hệ phương trình Có nghiệm là: 2 3 4

2

x y



− + =



5 5

−

C

60

30

15

25

20 35

40 45 50

55 5

10

HẾT GIỜ

Ví dụ 2: Giải và biện luận hệ phương trình

mx y m 1

x my 2

 + = +

 + =



Giải 1) Tính các định thức

2

m

1 m

= = − 2 ( ) ( )

x

m 1

D 1 m m 2 m 1 m 2

2 m

+

= = + − = − +

y

m

1 2

2)Biện luận: Ta xét các trường hợp sau

( ) ( ) ( ( ) )

x

y

D

m 1

x y

m 1 m 1

x=

y=

≠ ⇔ ≠ ±

− + +

− + +

−

− + +

 + 

+ +

x y

x y 2

x y 2

Nếu m=1 thì D = D , hệ trở thành

có

= ⇔ = ∪ = −

 + =

⇔ + = ⇔

¡

Nếu m = -1 thì D = 0, nhưng D nên hệ vô nghiệm.

Kết luận

( )x y m 2 ( 1 )

m 1 m 1

x

y 2 x

Với m 1, hệ có nghiệm duy nhất ; ;

Với m = -1 , hệ vô nghiệm;

Với m = 1, hệ có vô số nghiệm tính theo công thức

 ∈

 = −



¡

a x + b y = c

a’ x + b’ y = c’

(I)

1) CÁC ĐỊNH THỨC

2) BẢNG TÓM TẮT GIẢI VÀ BIỆN LUẬN :

( )

y x

D D

: Hệ có nghiệm duy nhất ; ; đó

x = ; y=

≠

x y

hoặc D : Hệ vô nghiệm.

: Hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm của hệ là tập nghiệm của phương trình ax + by = c.

• = =

D = 0

{

*Cho hệ phương trình