SKKN Rèn kĩ năng giải phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh lớp 9

Rèn kĩ giải phương trình quy phương trình bậc hai cho học sinh lớp MỤC LỤC PHẦN I - ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn đề tài II Mục đích phương pháp nghiên cứu Mục đích Nhiệm vụ III Phạm vi nghiên cứu IV Phương pháp nghiên cứu PHẦN II – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ A Tình hình thực tế trước thực đề tài: B Nội dung biện pháp thực I Một số kiến thức kĩ cần thiết giải phương trình II Phương trình quy phương trình bậc hai III Một số dạng phương trình quy phương trình bậc hai 1) Phương trình chứa ẩn mẫu 2) Phương trình bậc ba 3) Phương trình trùng phương 4) Phương trình dạng: (x+a)4 + (x+b)4 = c 5) Phương trình dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)= m 6) Phương trình có hệ số đối xứng 7) Phương trình dạng a  f  x    bf  x   c 0 8) Phương trình vơ tỷ PHẦN III – KẾT QUẢ PHẦN IV – KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I Bài học kinh nghiệm II Những đề xuất sau thực đề tài I Kết luận Tài liệu tham khảo PHẦN I - ĐẶT VẤN ĐỀ A Lí chọn đề tài: 1/27 Trang 4 6 7 10 13 15 16 19 21 24 25 25 26 27 Rèn kĩ giải phương trình quy phương trình bậc hai cho học sinh lớp Cơ sở lý luận Việc dạy chuẩn mực kiến thức chương trình nhiệm vụ quan trọng người giáo viên đứng lớp Tuy nhiên, việc bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi việc làm cần thiết phải tiến hành thường xuyên nhà trường phổ thông trung học sở Việc bồi dưỡng giúp cho học sinh không nắm vững kiến thức, kỹ mà cịn có thói quen suy nghĩ, tìm hiểu kỹ vấn đề để suy luận cách hợp logíc tìm cách giải tập khó, giúp em rèn trí thơng minh sáng tạo, có hứng thú học mơn tốn Đối với mơn tốn lớp 8, “ phương trình ” phần kiến thức trọng tâm, phần kiến thức thường xuyên xuất đề thi vào trung học phổ thơng thi học sinh giỏi Do đó, theo học sinh cần nắm thật chắn mảng kiến thức này, đặc biệt học sinh giỏi cần có nhìn thật đầy đủ “ phương trình quy phương trình bậc hai” Sau nghiên cứu nhiều tài liệu tham khảo viết vấn đề thấy, tác giả đưa toán đa dạng phong phú, nhiên dạng tản mạn, nằm nhiều tài liệu khác nhau, gây khơng khó khăn cho việc dạy giáo viên học sinh Cơ sở thực tiễn Tốn học mơn khoa học trừu tượng, đóng vai trị quan trọng đời sống người, việc nghiên cứu khoa học Khi học toán em nắm bắt nhiều phương pháp suy luận, chứng minh, nhiều kỹ tính tốn, phân tích tổng hợp, giải nhiều toán thực sống Việc bồi dưỡng học sinh giỏi việc làm cần thiết nhà trường THCS Để học sinh giỏi, em cần rèn luyện, phát triển tư sáng tạo, mở rộng, đào sâu kiến thức Sự phân hoá đối tượng học sinh lực lên rõ Số học sinh lớp chuyên, chọn chiếm tỷ lệ tương đối lớn, nhu cầu nâng cao, mở rộng kiến thức em học sinh lớn Căn vào thực tế dạy học thấy, phần kiến thức phương trình phương trình đưa phương trình bậc hai chương trình THCS chưa đề cập đến nhiều Để dạy bồi dưỡng cho học sinh giỏi đòi hỏi người giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm, lựa chọn tài liệu cho riêng Chính nội dung bồi dưỡng phần kiến thức chưa có thống nhất, gây khơng khó khăn cho người học người dạy 2/27 Rèn kĩ giải phương trình quy phương trình bậc hai cho học sinh lớp Nghiên cứu sách giáo khoa chương trình hành ta thấy: SGK đại số 8, đưa cho học sinh số loại phương trình quy phương trình bậc hai như: phương trình chứa ẩn mẫu, phương trình vơ tỷ, phương trình trùng phương, đưa vào ẩn song nhìn chung mức độ yêu cầu loại dừng lại mức độ nhận dạng, phù hợp với học sinh đại trà, với em học sinh lớp chuyên, lớp chọn dừng lại yêu cầu chưa đủ, cần hệ thống, phân loại giới thiệu với em mảng kiến thức “phương trình quy phương trình bậc hai” Trước tình hình đó, sau nghiên cứu kỹ tài liệu, mạnh dạn đưa hệ thống kiến thức nói “phương trình quy phương trình bậc hai” với mong ước làm tài liệu ôn tập, nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho người dạy người học việc bồi dưỡng học sinh giỏi “Một số dạng phương trình đưa phương trình bậc hai” hệ thống kiến thức có đặc thù riêng, tích hợp từ nhiều tài liệu khác Nói cách giải số loại phương trình quy phương trình bậc hai như: Phương trình chứa ẩn mẫu; phương trình bậc ba; phương trình bậc bốn; phương trình vơ tỷ Với loại phương trình sau trình bày cách giải có kèm theo ví dụ minh hoạ, cuối dạng cịn có nhận xét lưu ý nhằm giúp người đọc dễ dàng tiếp cận với vấn đề cần nghiên cứu B Mục đích phương pháp nghiên cứu: Mục đích: Sáng kiến kinh nghiệm nghiên cứu chọn hệ thống kiến thức nhất, chung dạng phương trình đưa phương trình bậc hai nhằm: + Giúp cho giáo viên có tài liệu để bồi dưỡng học sinh giỏi + Giúp cho học sinh có nhìn thật đầy đủ phương trình đưa phương trình bậc hai, từ có thao tác tư nhanh nhạy, sáng tạo, có kỹ nhuần nhuyễn việc giải dạng phương trình + Giúp học sinh tự tin giải toán thi cử Nhiệm vụ Để góp phần nâng cao chất lượng dạy học vào mục đích nghiên cứu Tơi xác định nhiệm vụ cho việc nghiên cứu đề tài sau: a Tìm hiểu thực trạng trình nắm bắt, cách giải phương trình vơ tỉ lớp b Tìm ngun nhân dẫn đến thực trạng c Nêu số dạng tập phương pháp giải cho học sinh Để học sinh vận dụng, luyện tập nhằm khắc phục thực trạng 3/27 Rèn kĩ giải phương trình quy phương trình bậc hai cho học sinh lớp C Phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng: Học sinh lớp - Thời gian nghiên cứu: năm D Phương pháp nghiên cứu: Thực đề tài này, sử dụng phương pháp sau đây: Đối với giáo viên: - Nghiên cứu tài liệu, lựa chọn ví dụ, tập để minh họa hợp lý từ giúp học sinh nắm cách làm - Tổ chức cho học sinh bồi dưỡng để triển khai đề tài - Sử dụng phương pháp : + Phương pháp điều tra + Phương pháp thống kê + Phương pháp so sánh đối chứng + Phương pháp phân tích tổng hợp - Thực chuyên đề, thảo luận đồng nghiệp - Dạy học thực tế lớp để đúc rút kinh nghiệm - Thông qua học tập bồi dưỡng, thường xuyên trau dồi chuyên môn - Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy giáo viên có kinh nghiệm trường năm học trước vốn kinh nghiệm thân năm giảng dạy trường THCS - Phân tích tổng kết kinh nghiệm giáo dục áp dụng nội dung nghiên cứu vào thực tiễn giảng dạy, nhằm tìm nguyên nhân sai lầm mà học sinh thường mắc phải giải tốn Đới với học sinh: - Làm tập giáo viên giao, tập sách giáo khoa, sách tập có liên quan đến nội dung đề tài - Sau giáo viên hướng dẫn qua ví dụ phải nắm biết vận dụng vào làm tốn loại 4/27 Rèn kĩ giải phương trình quy phương trình bậc hai cho học sinh lớp PHẦN II – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ A) Tình hình trước thực đề tài Qua năm giảng dạy lớp 9, giảng dạy giải phương trình quy phương trình bậc hai tơi thấy: - Nội dung đưa vào tiết chương trình tốn (tiết 60) - Học sinh chưa biết cách giải phương trình sách giáo khoa đơn giản Trước tình hình tơi tiến hành kiểm tra khảo sát kỹ giải phương trình vơ tỉ học sinh lớp dạy với đề bài: Giải phương trình sau: x  3x  a  x 9 x b 2x  3x  0 c x  3x  2x  0 4 d  x  3   x   2 e.(x  4).(x  5).(x  7).(x  8) 4 - Kết thu sau: Điểm Số lượng Giỏi Khá Trung bình Yếu 47 47 47 47 47 19 23 17 10 17 14 14 9 17 21 4 11 11 Câu a b c d e - Qua bảng kết ta thấy ba ví dụ đầu học sinh giải em làm quen với số tập sách giáo khoa nên số học sinh giỏi tương đối cao ví dụ d e hầu hết học sinh chưa có kỹ làm chưa biết cách giải thích hợp có số đạt điểm giỏi số lượng không nhiều mà chủ yếu rơi vào mức độ trung bình yếu * Nguyên nhân chủ yếu dẫn đến thực trạng Qua tìm hiểu xem xét phân tích tơi thấy số nguyên nhân dẫn đến thực trạng là: - Thứ nhất: Đây dạng tốn địi hỏi học sinh phải có kĩ tính tốn, biến đổi thành thạo, nắm kiến thức học 5/27 Rèn kĩ giải phương trình quy phương trình bậc hai cho học sinh lớp - Thứ hai: Các dạng nằm rải rác chương trình học THCS nên học sinh cịn gặp khó khăn cách vận dụng kiến thức - Thứ ba: Học sinh chưa nắm dạng tập nên lúng túng việc giải tập nâng cao B) Những nội dung biện pháp thực I MỘT SỐ KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CẦN THIẾT KHI HỌC VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH: Khi học giải phương trình học sinh cần nắm số kiến thức kỹ sau: + Các quy tắc tính tốn với biểu thức đại số (các phép tính cộng, trừ, nhân, chia) + Các đẳng thức đáng nhớ + Kỹ phân tích đa thức thành nhân tử + Kiến thức giá trị tuyệt đối số, biểu thức đại số + Điều kiện biểu thức có nghĩa (biết tìm tập xác định phương trình, tập xác định biểu thức + Kỹ biến đổi biểu thức + Kỹ giải biện luận phương trình bậc hai ẩn, phương trình chứa ẩn mẫu (dạng bản) II PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Nhắc lại phương trình bậc hai ẩn sớ a Định nghĩa: + Phương trình bậc hai ẩn số phương trình có dạng tổng qt: ax2+bx+c =0 (trong x ẩn; a,b,c hệ số thuộc tập R; a 0) + Nghiệm phương trình bậc hai giá trị ẩn số mà thay vào vế trái phương trình ta giá trị hai vế b Giải phương trình bậc hai Khi nghiên cứu nghiệm số phương trình bậc hai ax2+bx+c = (a 0) ta cần quan tâm tới dấu biệt số  phương trình:  =b2 - 4ac + Nếu  < 0: Phương trình bậc hai vơ nghiệm b + Nếu  = 0: Phương trình bậc hai có nghiệm kép: x1 = x2= 2a + Nếu  > 0: Phương trình bậc hai có nghiệm phân biệt: x1,2= Khi b chẵn, hay b = 2b’(b’   ) ta có:  ’=b’2- ac + Nếu  ’< 0: Phương trình vơ nghiệm 6/27  b   2a Rèn kĩ giải phương trình quy phương trình bậc hai cho học sinh lớp + Nếu  ’= 0: Phương trình có nghiệm kép + Nếu  ’> 0: Phương trình có nghiệm phân biệt III MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Trong trường phổ thông ta thường gặp số dạng phương trình quy phương trình bậc hai sau: Phương trình chứa ẩn mẫu Phương trình chứa ẩn mẫu phương trình có ẩn số nằm mẫu thức phương trình a) Cách giải: + Tìm tập xác định phương trình + Quy đồng, khử mẫu + Biến đổi phương trình, đưa phương trình dạng ax2 + bx + c = + Giải phương trình dạng ax2 + bx + c = + Nhận định kết trả lời (loại bỏ giá trị ẩn vừa tìm khơng thuộc tập xác định phương trình) b) Các ví dụ : Ví dụ Giải biện luận theo a b phương trình: a b  2 (1) x b x a Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: Hướng dẫn học sinh: x a, x b : Điều kiện: a b  2 x b x a  2(x  a)(x  b) a(x  a)  b(x  b) Ta có:  2x  3(a  b)x  a  b  2ab 0  2x  3(a  b)x  (a  b) 0  (a  b) 0a,b Phương trình có hai nghiệm phân biệt: a b x1 a  b x2  * x1 a  b 0 ; x1 b  a 0 * x a  a b ; x b  a b Vậy với a b;a 0, b 0 (1) có hai nghiệm phân biệt 7/27 Rèn kĩ giải phương trình quy phương trình bậc hai cho học sinh lớp Ví dụ Giải phương trình 4    0 (2) 2 2x  3x  8x  12 x  2x  7x  2x  Hướng dẫn học sinh: Phân tích mẫu thức thành nhân tử ta có 4    0 PT(2)  (x  2)(x  2)(2x  3) (x  2)(x  2) (x  2)(2x  3) 2x    x 2  x  0   ĐKXĐ:  x  0   x  2x  0    x   Mẫu thức chung: (x-2)(x+2)(2x+3) Khử mẫu ta có: 4-(2x+3)-4(x-2)+(x-2)(x+2) =   2x   4x   x  0  x  6x  0 Giải phương trình : x2- 6x + 5= ta nghiệm: x1= 1, x2= Đối chiếu với ĐKXĐ ta thấy x1 = x2 = hai nghiệm pt (2) c Nhận xét: + Loại phương trình chứa ẩn mẫu loại thường gặp trường phổ thông + Khi giải loại cần lưu ý: Cần so sánh giá trị tìm ẩn với TXĐ trước kết luận nghiệm phương trình Phương trình bậc ba Phương trình bậc ba (một ẩn số) phương trình có dạng tổng qt: ax3+bx2+cx+d =0 Trong x ẩn số; a, b, c, d hệ số; a 0 a) Cách giải Để giải phương trình bậc ba (đối với học sinh THCS) ta thường phải biến đổi đưa phương trình tích, vế trái tích nhân tử bậc với nhân tử bậc hai, vế phải Muốn HS cần có kỹ phân tích đa thức thành nhân tử b) Các ví dụ: Ví dụ Giải phương trình 2x3+ 7x2 + 7x + = (*) Hướng dẫn học sinh: 2x3+ 7x2 + 7x + =  (2x3+2) + (7x2+7x) =  2(x3+1)+7x(x+1) = 8/27 Rèn kĩ giải phương trình quy phương trình bậc hai cho học sinh lớp  2(x+1)(x2-x+1)+7x(x+1) =  (x+1)(2x2+5x+2) = (1)  x  0   2x  5x  0 (2) Giải phương trình (1) cho nghiệm x = -1 Giải phương trình (2) cho nghiệm x = -2 x = - } Ví dụ Cho phương trình x3-(2a+1)x2+(a2+2a-b)x-(a2-b) = (1) Giải biện luận theo a,b số nghiệm phương trình cho Hướng dẫn học sinh: Phương trình (1) có tổng hệ số nên có nghiệm x1 = Do pt (1) viết: (x-1)(x2-2ax+a2-b) = Xét PT bậc hai: x2- 2ax + a2-b = (2) ’  =b * Nếu b < 0: phương trình (2) vơ nghiệm  phương trình (1) có nghiệm x = * Nếu b = 0: phương trình(2) có nghiệm kép: x = a  phương trình (1) có hai nghiệm: x = 1; x = a * Nếu b > 0: phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:  phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt: x = 1; x = a+  ; x = a-  Vậy phương trình (*) có tập nghiệm S ={ - 1;  2;  c Nhận xét: Giải phương trình bậc ba THCS ta chủ yếu dùng phép phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình dạng phương trình tích Khi đó, ta có hệ thống hai phương trình bao gồm phương trình bậc phương trình bậc hai + Ta cần ý tới hai tính chất phương trình bậc ba: ax3+ bx2+ cx + d = Nếu a + b + c + d = nghiệm phương trình ban đầu có nghiệm x=1 Nếu a - b + c - d = nghiệm phương trình ban đầu có nghiệm là: x = -1 Khi biết trước nghiệm, ta chia vế trái phương trình cho đa thức x-1 x+1 để phân tích vế trái phương trình thành nhân tử + Với phương trình bậc ba có hệ số ngun, có nghiệm ngun nghiệm ngun phải ước số hạng tử tự d (Theo định lý tồn nghiệm nguyên phương trình với hệ số nguyên) 9/27 Rèn kĩ giải phương trình quy phương trình bậc hai cho học sinh lớp Phương trình trùng phương Phương trình trùng phương phương trình có dạng: ax4+ bx2+c = Trong đó: x ẩn số; a, b, c hệ số; a ≠ a) Cách giải Với loại phương trình giải ta thường dùng phép đặt ẩn phụ x 2= t ≥ Từ ta có phương trình bậc hai trung gian: at + bt + c = 0, giải phương trình bậc hai trung gian sau trả biến x 2= t Nếu giá trị t tìm thoả mãn t ≥ 0, ta tìm nghiệm số phương trình ban đầu b) Các ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình: x4 - x2 - = (*) Hướng dẫn học sinh: Đặt x2 = t  phương trình (*) trở thành: t2 - t - = Giải phương trình t2 - t - = ta t1=-2 ; t2=3 (GV ý sai sót học sinh thường gặp PT ẩn t giải nghiệm x : x1 = -2 ; x2 = 3) + Với t = - (loại t < 0) + Với t =3  x  Vậy phương trình (*) có tập nghiệm: S = {- 3; } Ví dụ 2: Cho phương trình x4- 2(m-1)x2 - (m-3) = (**) Với giá trị tham số m phương trình a) Có nghiệm phân biệt b) Có nghiệm phân biệt c) Có hai nghiệm d) Vô nghiệm Hướng dẫn học sinh: Đặt x2= t 0 phương trình (**) quy phương trình bậc hai: t2-2(m-1)t-(m-3) = (***) ’ 2  = (m-1) + (m-3) = m - m - a) Để (**) có nghiệm phân biệt phương trình (***) phải có nghiệm dương phân biệt tương đương với:  '    x1  x    x x   m  m     m    m    m  1  m    m      m  (do m >1) m  m  m    Do < m