tong hop kien thuc va dang bai tap toan 9

https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁCH GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN PHẦN I: ĐẠI SỐ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Điều kiện để thức có nghĩa A có nghĩa A ≥ Các công thức biến đổi thức A2 = A a c e A = B A B ( A ≥ 0; B > 0) A B = A2 B AB = d A2 B = A B e A B = − A2 B ( AB ≥ 0; B ≠ 0) g A = B B h C C ( A ∓ B) = A − B2 A±B i C C( A ∓ B ) = A − B2 A± B ( A ≥ 0; B ≥ 0) A B ( A ≥ 0; B ≥ 0) f AB b A A B = B B ( B ≥ 0) ( A < 0; B ≥ 0) ( B > 0) ( A ≥ 0; A ≠ B ) ( A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B ) Hàm số y = ax + b (a ≠ 0) - Tính chất: + Hàm số đồng biến R a > + Hàm số nghịch biến R a < - Đồ thị: Đồ thị đường thẳng qua điểm A(0;b); B(-b/a;0) Hàm số y = ax2 (a ≠ 0) - Tính chất: + Nếu a > hàm số nghịch biến x < đồng biến x > + Nếu a < hàm số đồng biến x < nghịch biến x > - Đồ thị: Đồ thị đường cong Parabol qua gốc toạ độ O(0;0) + Nếu a > đồ thị nằm phía trục hồnh + Nếu a < đồ thị nằm phía trục hồnh Vị trí tương đối hai đường thẳng Xét đường thẳng y = ax + b (d) y = a'x + b' (d') (d) (d') cắt ⇔ a ≠ a' (d) // (d') ⇔ a = a' b ≠ b' (d) ≡ (d') ⇔ a = a' b = b' Vị trí tương đối đường thẳng đường cong Xét đường thẳng y = ax + b (d) y = ax2 (P) (d) (P) cắt hai điểm (d) tiếp xúc với (P) điểm (d) (P) khơng có điểm chung https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Phương trình bậc hai Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Công thức nghiệm ∆ = b2 - 4ac Nếu ∆ > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = Công thức nghiệm thu gọn ∆' = b'2 - ac với b = 2b' - Nếu ∆' > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: −b+ ∆ −b− ∆ ; x2 = 2a 2a x1 = − b ' + ∆' − b ' − ∆' ; x2 = a a Nếu ∆ = : Phương trình có nghiệm kép : - Nếu ∆' = : Phương trình có nghiệm kép: −b − b' x1 = x2 = x1 = x = 2a a Nếu ∆ < : Phương trình vơ nghiệm - Nếu ∆' < : Phương trình vơ nghiệm Hệ thức Viet ứng dụng - Hệ thức Viet: Nếu x1, x2 nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a≠0) thì: −b   S = x1 + x2 = a   P = x x = c  a - Một số ứng dụng: + Tìm hai số u v biết u + v = S; u.v = P ta giải phương trình: x2 - Sx + P = (Điều kiện S2 - 4P ≥ 0) + Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a≠0) Nếu a + b + c = phương trình có hai nghiệm: x1 = ; x2 = c a Nếu a - b + c = phương trình có hai nghiệm: x1 = -1 ; x2 = − c a Giải toán cách lập phương trình, hệ phương trình Bước 1: Lập phương trình hệ phương trình Bước 2: Giải phương trình hệ phương trình Bước 3: Kiểm tra nghiệm phương trình hệ phương trình nghiệm thích hợp với toán kết luận Trang https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Rút gọn biểu thức Bài toán: Rút gọn biểu thức A Để rút gọn biểu thức A ta thực bước sau: - Quy đồng mẫu thức (nếu có) - Đưa bớt thừa số ngồi thức (nếu có) - Trục thức mẫu (nếu có) - Thực phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia - Cộng trừ số hạng đồng dạng Dạng 2: Bài tốn tính tốn Bài tốn 1: Tính giá trị biểu thức A Tính A mà khơng có điều kiện kèm theo đồng nghĩa với toán Rút gọn biểu thức A Bài tốn 2: Tính giá trị biểu thức A(x) biết x = a Cách giải: - Rút gọn biểu thức A(x) - Thay x = a vào biểu thức rút gọn Dạng 3: Chứng minh đẳng thức Bài toán: Chứng minh đẳng thức A = B Một số phương pháp chứng minh: - Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa A=B⇔ A-B=0 - Phương pháp 2: Biến đổi trực tiếp A = A1 = A2 = = B - Phương pháp 3: Phương pháp so sánh A = A1 = A2 = = C A=B B = B1 = B2 = = C - Phương pháp 4: Phương pháp tương đương A = B ⇔ A' = B' ⇔ A" = B" ⇔ ⇔ (*) (*) A = B - Phương pháp 5: Phương pháp sử dụng giả thiết - Phương pháp 6: Phương pháp quy nạp - Phương pháp 7: Phương pháp dùng biểu thức phụ Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức A > B Một số bất đẳng thức quan trọng: - Bất đẳng thức Cosi: a1 + a2 + a3 + + an n ≥ a1.a2 a3 an (với a1.a2 a3 an ≥ ) n Dấu “=” xảy khi: a1 = a2 = a3 = = an - Bất đẳng thức BunhiaCôpxki: Với số a1; a2; a3;…; an; b1; b2; b3;…bn (a1b1 + a2b2 + a3b3 + + anbn )2 ≤ (a12 + a22 + a32 + + an2 )(b12 + b22 + b32 + + bn2 ) Dấu “=” xảy khi: a1 a2 a3 a = = = = n b1 b2 b3 bn Trang https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Một số phương pháp chứng minh: - Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa A>B⇔ A-B>0 - Phương pháp 2: Biến đổi trực tiếp A = A1 = A2 = = B + M2 > B M ≠ - Phương pháp 3: Phương pháp tương đương A > B ⇔ A' > B' ⇔ A" > B" ⇔ ⇔ (*) (*) A > B - Phương pháp 4: Phương pháp dùng tính chất bắc cầu A > C C > B → A > B - Phương pháp 5: Phương pháp phản chứng Để chứng minh A > B ta giả sử B > A dùng phép biến đổi tương đương để dẫn đến điều vơ lí ta kết luận A > B - Phương pháp 6: Phương pháp sử dụng giả thiết - Phương pháp 7: Phương pháp quy nạp - Phương pháp 8: Phương pháp dùng biểu thức phụ Dạng 5: Bài toán liên quan tới phương trình bậc hai Bài tốn 1: Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a≠ ≠0) Các phương pháp giải: - Phương pháp 1: Phân tích đưa phương trình tích - Phương pháp 2: Dùng kiến thức bậc hai x2 = a → x = ± a - Phương pháp 3: Dùng cơng thức nghiệm Ta có ∆ = b2 - 4ac + Nếu ∆ > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = −b+ ∆ −b− ∆ ; x2 = 2a 2a + Nếu ∆ = : Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = −b 2a + Nếu ∆ < : Phương trình vơ nghiệm - Phương pháp 4: Dùng cơng thức nghiệm thu gọn Ta có ∆' = b'2 - ac với b = 2b' + Nếu ∆' > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = − b ' + ∆' − b ' − ∆' ; x2 = a a + Nếu ∆' = : Phương trình có nghiệm kép − b' x1 = x = a + Nếu ∆' < : Phương trình vơ nghiệm - Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-et Nếu x1, x2 nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a≠0) thì: −b   x1 + x2 = a   x x = c a  Chú ý: Nếu a, c trái dấu tức a.c < phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Trang https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Bài toán 2: Biện luận theo m có nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) Xét hệ số a: Có thể có khả a Trường hợp a = với vài giá trị m Giả sử a = ⇔ m = m0 ta có: (*) trở thành phương trình bậc ax + c = (**) + Nếu b ≠ với m = m0: (**) có nghiệm x = -c/b + Nếu b = c = với m = m0: (**) vô định ⇔ (*) vô định + Nếu b = c ≠ với m = m0: (**) vô nghiệm ⇔ (*) vơ nghiệm b Trường hợp a ≠ 0: Tính ∆ ∆' + Tính ∆ = b2 - 4ac Nếu ∆ > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = −b+ ∆ −b− ∆ ; x2 = 2a 2a Nếu ∆ = : Phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 = −b 2a Nếu ∆ < : Phương trình vơ nghiệm + Tính ∆' = b'2 - ac với b = 2b' Nếu ∆' > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = − b ' + ∆' − b ' − ∆' ; x2 = a a − b' Nếu ∆' = : Phương trình có nghiệm kép: x = x = a Nếu ∆' < : Phương trình vơ nghiệm - Ghi tóm tắt phần biện luận Bài tốn 3: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm Có hai khả để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có nghiệm: Hoặc a = 0, b ≠ Hoặc a ≠ 0, ∆ ≥ ∆' ≥ Tập hợp giá trị m toàn giá trị m thoả mãn điều kiện điều kiện Bài tốn 4: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm phân biệt a ≠ a ≠  ' ∆ > ∆ > Điều kiện có hai nghiệm phân biệt  Bài tốn 5: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm Điều kiện có nghiệm: a ≠ a ≠ a =   '  b ≠ ∆ = ∆ = Trang https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Bài tốn 6: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm kép a ≠ Điều kiện có nghiệm kép:  ∆ = a ≠  ' ∆ = Bài toán 7: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) vơ nghiệm a ≠ Điều kiện có nghiệm:  ∆ < a ≠  ' ∆ < Bài tốn 8: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm a ≠ a ≠ a =   ' b ≠ ∆ = ∆ = Điều kiện có nghiệm:  Bài tốn : Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có hai nghiệm dấu Điều kiện có hai nghiệm dấu: ∆' ≥ ∆ ≥     c c  P = a > P = > a  Bài tốn 10 : Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm dương Điều kiện có hai nghiệm dương:   ∆ ≥ ∆' ≥   c c   P = >  P = > a a   b b   S = − a > S = − a > Bài toán 11 : Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm âm Điều kiện có hai nghiệm âm:   ∆ ≥ ∆' ≥   c c   P = >  P = > a a   b b   S = − a < S = − a < Bài tốn 12 : Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm trái dấu Điều kiện có hai nghiệm trái dấu: P < a c trái dấu Bài toán 13 : Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (*) ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm x = x1 Cách giải: - Thay x = x1 vào phương trình (*) ta có: ax12 + bx1 + c = → m - Thay giá trị m vào (*) → x1, x2 - Hoặc tính x2 = S - x1 x2 = P x1 Trang https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Bài toán 14 : Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện: b x12 + x22 = k a αx1 + βx2 = γ c 1 + =n x1 x2 d x12 + x22 ≥ h e x13 + x23 = t Điều kiện chung: ∆ ≥ ∆' ≥ (*) Theo định lí Viet ta có: −b   x1 + x2 = a = S (1)   x x = c = P ( 2) a  a Trường hợp: α x + β x = γ −b   x1 + x2 = Giải hệ  a αx1 + βx2 = γ x1, x2 Thay x1, x2 vào (2) → m Chọn giá trị m thoả mãn (*) b Trường hợp: x12 + x22 = k ↔ ( x1 + x2 )2 − x1 x2 = k Thay x1 + x2 = S = −b c x1.x2 = P = vào ta có: a a S2 - 2P = k → Tìm giá trị m thoả mãn (*) c Trường hợp: 1 + = n ↔ x1 + x2 = nx1.x2 ↔ − b = nc x1 x2 Giải phương trình - b = nc tìm m thoả mãn (*) d Trường hợp: x12 + x22 ≥ h ↔ S − P − h ≥ Giải bất phương trình S2 - 2P - h ≥ chọn m thoả mãn (*) e Trường hợp: x13 + x23 = t ↔ S − 3PS = t Giải phương trình S − 3PS = t chọn m thoả mãn (*) Bài toán 15: Tìm hai số u v biết tổng u + v = S tích u.v = P chúng Ta có u v nghiệm phương trình: x2 - Sx + P = (*) (Điều kiện S2 - 4P ≥ 0) Giải phương trình (*) ta tìm hai số u v cần tìm Trang https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Nội dung 6: Giải phương trình phương pháp đặt ẩn số phụ Bài toán1: Giải phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = Đặt t = x2 (t≥0) ta có phương trình at2 + bt + c = Giải phương trình bậc hai ẩn t sau thay vào tìm ẩn x Bảng tóm tắt at + bt + c = vô nghiệm nghiệm âm nghiệm kép âm nghiệm dương nghiệm dương Bài toán 2: Giải phương trình A( x + ax4 + bx2 + c = vô nghiệm vô nghiệm vô nghiệm nghiệm đối nghiệm cặp nghiệm đối 1 ) + B( x + ) + C = x x = t ⇔ x2 - tx + = x 1 Suy t2 = ( x + )2 = x + + ⇔ x + = t − x x x Đặt x + Thay vào phương trình ta có: A(t2 - 2) + Bt + C = ⇔ At2 + Bt + C - 2A = = t giải tìm x x 1 Bài tốn 3: Giải phương trình A( x + ) + B( x − ) + C = x x Đặt x − = t ⇔ x2 - tx - = x 1 Suy t2 = ( x − )2 = x + − ⇔ x + = t + x x x Giải phương trình ẩn t sau vào x + Thay vào phương trình ta có: A(t2 + 2) + Bt + C = ⇔ At2 + Bt + C + 2A = Giải phương trình ẩn t sau vào x − = t giải tìm x x Bài tốn 4: Giải phương trình bậc cao Dùng phép biến đổi đưa phương trình bậc cao dạng: + Phương trình tích + Phương trình bậc hai Trang https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Nội dung 7: Giải hệ phương trình ax + by = c a ' x + b ' y = c ' Bài tốn: Giải hệ phương trình  Các phương pháp giải: + Phương pháp đồ thị + Phương pháp cộng + Phương pháp + Phương pháp đặt ẩn phụ Nội dung 7: Giải phương trình vơ tỉ Bài tốn 1: Giải phương trình dạng f ( x) = g ( x) (1) Ta có  g( x ) ≥ f ( x ) = g( x ) ⇔   f ( x ) =  g( x ) (2) (3) Giải (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp → nghiệm (1) Bài tốn 2: Giải phương trình dạng f ( x) + h( x) = g ( x) Điều kiện có nghĩa phương trình  f ( x) ≥  h ( x ) ≥  g ( x) ≥  Với điều kiện thoả mãn ta bình phương hai vế để giải tìm x Nội dung 8: Giải phương trình chứa giá trị tuyệt đối Bài tốn: Giải phương trình dạng f ( x ) = g ( x ) Phương pháp 1:  g ( x) ≥ f (x) = g (x) ⇔  [ f ( x)] = [g ( x)] 2 Xét f(x) ≥ → f(x) = g(x) Xét f(x) < → - f(x) = g(x) Phương pháp 3: Với g(x) ≥ ta có f(x) = ± g(x) Nội dung 9: Giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Bài tốn: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x) Phương pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn - Biến đổi hàm số y = f(x) cho: y = M - [g(x)]2n , n ∈Z → y ≤ M Do ymax = M g(x) = - Biến đổi hàm số y = f(x) cho: y = m + [h(x)]2k k∈Z → y ≥ m Do ymin = m h(x) = Phương pháp 2: Phương pháp 2: Dựa vào tập giá trị hàm Phương pháp 3: Dựa vào đẳng thức Trang https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Nội dung 10: Các toán liên quan đến hàm số * Điểm thuộc đường - đường qua điểm Bài toán: Cho (C) đồ thị hàm số y = f(x) điểm A(xA;yA) Hỏi (C) có qua A khơng? Đồ thị (C) qua A(xA;yA) toạ độ A nghiệm phương trình (C) A∈(C) ⇔ yA = f(xA) Dó tính f(xA) Nếu f(xA) = yA (C) qua A Nếu f(xA) ≠ yA (C) khơng qua A * Sự tương giao hai đồ thị Bài toán : Cho (C) (L) theo thứ tự độ thị hàm số y = f(x) y = g(x) Hãy khảo sát tương giao hai đồ thị Toạ độ điểm chung (C) (L) nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm: f(x) = g(x) (*) - Nếu (*) vơ nghiệm (C) (L) khơng có điểm chung - Nếu (*) có nghiệm kép (C) (L) tiếp xúc - Nếu (*) có nghiệm (C) (L) có điểm chung - Nếu (*) có nghiệm (C) (L) có điểm chung * Lập phương trình đường thẳng Bài tốn 1: Lập phương trình đường thẳng (D) qua điểm A(xA;yA) có hệ số góc k Phương trình tổng quát đường thẳng (D) : y = ax + b (*) - Xác định a: ta có a = k - Xác định b: (D) qua A(xA;yA) nên ta có yA = kxA + b → b = yA - kxA - Thay a = k; b = yA - kxA vào (*) ta có phương trình (D) Bài tốn 2: Lập phương trình đường thẳng (D) qua hai điểm A(xA;yA); B(xB;yB) Phương trình tổng quát đường thẳng (D) : y = ax + b  y A = ax A + b  y B = ax B + b (D) qua A B nên ta có:  Giải hệ ta tìm a b suy phương trình (D) Bài tốn 3: Lập phương trình đường thẳng (D) có hệ số góc k tiếp xúc với đường cong (C): y = f(x) Phương trình tổng quát đường thẳng (D) : y = kx + b Phương trình hồnh độ điểm chung (D) (P) là: f(x) = kx + b (*) Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép Từ điều kiện ta tìm b suy phương trình (D) Bài tốn 3: Lập phương trình đường thẳng (D) qua điểm A(xA;yA) tiếp xúc với đường cong (C): y = f(x) Phương trình tổng quát đường thẳng (D) : y = kx + b Phương trình hoành độ giao điểm (D) (P) là: f(x) = kx + b (*) Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép Từ điều kiện ta tìm hệ thức liên hệ a b (**) Mặt khác: (D) qua A(xA;yA) ta có yA = axA + b (***) Từ (**) (***) → a b → Phương trình đường thẳng (D) Trang 10 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ PHẦN II: HÌNH HỌC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hệ thức lượng tam giác vuông b2 = ab' c2 = ac' A h = b'c' b c ah = bc h a2 = b2 + c2 B c' b' C H 1 = 2+ 2 h b c a Tỉ số lượng giác góc nhọn < sinα < < cossα < sin α cos α tgα = cot gα = cos α sin α tgα.cotgα = 1 + tg 2α = cos α sin2α + cos2α = 1 + cot g 2α = sin α B Hệ thức cạnh góc tam giác vng b = asinB = acosC a c b = ctgB = ccotgC c = a sinC = acosB c = btgC = bcotg B A b C Đường tròn - Cách xác định: Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ đường tròn - Tâm đối xứng, trục đối xứng: Đường trịn có tâm đối xứng; có vơ số trục đối xứng - Quan hệ vng góc đường kính dây Trong đường trịn + Đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây + Đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây Trang 11 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ - Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây: Trong đường tròn: + Hai dây cách tâm + Hai dây cách tâm + Dây lớn dây gần tâm + Dây gần tâm dây lớn - Liên hệ cung dây: Trong đường tròn hay hai đường tròn nhau: + Hai cung căng hai dây + Hai dây căng hai cung + Cung lớn căng dây lớn + Dây lớn căng cung lớn - Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn: Vị trí tương đối Số điểm chung Hệ thức liên hệ d R dR - Đường thẳng đường tròn cắt - Đường thẳng đường tròn tiếp xúc - Đường thẳng đường trịn khơng giao Trang 12 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ - Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn: Vị trí tương đối Số điểm chung Hệ thức liên hệ d R - Hai đường tròn cắt - Hai đường tròn tiếp xúc + Tiếp xúc R - r < OO' < R + r OO' = R + r + Tiếp xúc OO' = R - r - Hai đường trịn khơng giao + (O) (O') OO' > R + r + (O) đựng (O') + (O) (O') đồng tâm OO' < R - r OO' = Tiếp tuyến đường trịn - Tính chất tiếp tuyến:Tiếp tuyến vng góc với bán kính qua tiếp điểm - Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến: + Đường thẳng đường trịn có điểm chung + Khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bán kính + Đường thẳng qua điểm đường trịn vng góc với bán kính qua điểm - Tính chất tiếp tuyến cắt A MA, MB hai tiếp tuyến cắt thì: + MA = MB O M + MO phân giác góc AMB + OM phân giác góc AOB B Trang 13 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ - Tiếp tuyến chung hai đường tròn: đường thẳng tiếp xúc với hai đường trịn đó: Tiếp tuyến chung ngồi Tiếp tuyến chung d d d' O O' O O' d' Góc với đường trịn Loại góc Hình vẽ Cơng thức tính số đo A B Góc tâm AOB = sd AB O A B O Góc nội tiếp AMB = sd AB M x A Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung B xBA = O sd AB B A M Góc có đỉnh bên đường tròn O AMB = ( sd AB + sdCD ) AMB = ( sd AB − sdCD) C D M D C Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn O A B Trang 14 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Chú ý: Trong đường tròn - Các góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung - Góc nội tiếp nhỏ 900 có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung - Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng ngược lại góc vng nội tiếp chắn nửa đường trịn - Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung Độ dài đường trịn - Độ dài cung tròn - Độ dài đường tròn bán kính R: C = 2πR = πd π Rn - Độ dài cung trịn n0 bán kính R : l = 180 Diện tích hình trịn - Diện tích hình quạt trịn - Diện tích hình trịn: S = πR2 - Diện tích hình quạt trịn bán kính R, cong n0: S = Các loại đường tròn Đường tròn ngoại tiếp tam giác π R2n 360 Đường tròn nội tiếp tam giác A A O O B C B C Tâm đường tròn giao ba đường trung trực tam giác = lR Đường tròn bàng tiếp tam giác Tâm đường tròn bàng tiếp góc A giao điểm hai đường phân giác góc ngồi B C giao điểm đường phân giác góc A đường phân giác ngồi B (hoặc C) Tâm đường trịn giao ba đường phân giác tam giác 10 Các loại hình khơng gian a Hình trụ - Diện tích xung quanh: Sxq = 2πrh - Diện tích tồn phần: Stp = 2πrh + πr2 - Thể tích hình trụ: V = Sh = πr2h b Hình nón: - Diện tích xung quanh: Sxq = 2πrl - Diện tích tồn phần: Stp = 2πrl + πr2 - Thể tích hình trụ: V = π r2h r: bán kính Trong h: chiều cao Trong r: bán kính l: đường sinh h: chiều cao Trang 15 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ c Hình nón cụt: - Diện tích xung quanh: Sxq = π(r1 + r2)l - Thể tích: V = π h(r12 + r22 + r1 r2 ) d Hình cầu - Diện tích mặt cầu: S = 4πR2 = πd - Thể tích hình cầu: V = π R3 r1: bán kính dáy lớn Trong đó: r2: bán kính đáy nhỏ l: đường sinh h: chiều cao R: bán kính Trong đó: d: đường kính 11 Tứ giác nội tiếp: Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 - Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có đỉnh cách điểm - Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α Trang 16 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh hai góc Cách chứng minh: - Chứng minh hai góc góc thứ ba - Chứng minh hai góc với hai góc khác - Hai góc tổng hiệu hai góc theo thứ tự đơi - Hai góc phụ (hoặc bù) với góc thứ ba - Hai góc nhọn tù có cạnh đơi song song v.góc - Hai góc ó le trong, so le đồng vị - Hai góc vị trí đối đỉnh - Hai góc mộ tam giác cân - Hai góc tương ứng hai tam giác đồng dạng - Hai góc nội tiếp chắn cung chắn hai cung Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng Cách chứng minh: - Chứng minh hai đoạn thẳng đoạn thứ ba - Hai cạnh mmột tam giác cân tam giác - Hai cạnh tương ứng hai tam giác - Hai cạnh đối hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vng) - Hai cạnh bên hình thang cân - Hai dây trương hai cung đường tròn hai đường Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song song Cách chứng minh: - Chứng minh hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba - Chứng minh hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ ba - Chứng minh chúng tạo với cát tuyến hai góc nhau: + vị trí so le + vị trí so le ngồi + vị trí đồng vị - Là hai dây chắn chúng hai cung đường trịn - Chúng hai cạnh đối hình bình hành Dạng 4: Chứng minh hai đường thẳng vng góc Cách chứng minh: - Chúng song song song song với hai đường thẳng vng góc khác - Chứng minh chúng chân đường cao tam giác - Đường kính qua trung điểm dây dây - Chúng phân giác hai góc kề bù Trang 17 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Dạng 5: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy Cách chứng minh: - Chứng minh chúng ba đường cao, ba trung tuyến, ba trung trực, ba phân giác (hoặc phân giác phân giác ngồi hai góc kia) - Vận dụng định lí đảo định lí Talet Dạng 6: Chứng minh hai tam giác Cách chứng minh: * Hai tam giác thường: - Trường hợp góc - cạnh - góc (g-c-g) - Trường hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c) - Trường hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c) * Hai tam giác vng: - Có cạnh huyền góc nhọn - Có cạnh huyền cạnh góc vng - Cạnh góc vng đơi Dạng 7: Chứng minh hai tam giác đồng dạng Cách chứng minh: * Hai tam giác thường: - Có hai góc đơi - Có góc xen hai cạnh tương ứng tỷ lệ - Có ba cạnh tương ứng tỷ lệ * Hai tam giác vng: - Có góc nhọn - Có hai cạnh góc vuông tương ứng tỷ lệ Dạng 8: Chứng minh đẳng thức hình học Cách chứng minh: Giả sử phải chứng minh đẳng thức: MA.MB = MC.MD (*) - Chứng minh: ∆MAC ∼ ∆MDB ∆MAD ∼ ∆MCB - Nếu điểm M, A, B, C, D cúng nằm đường thẳng phải chứng minh tích tích thứ ba: MA.MB = ME.MF MC.MD = ME.MF Tức ta chứng minh: ∆MAE ∼ ∆MFB ∆MCE ∼ ∆MFD → MA.MB = MC.MD * Trường hợp đặc biệt: MT2 = MA.MB ta chứng minh ∆MTA ∼ ∆MBT Trang 18 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Dạng 9: Chứng minh tứ giác nội tiếp Cách chứng minh: Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 - Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có đỉnh cách điểm - Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α Dạng 10: Chứng minh MT tiếp tuyến đường tròn (O;R) Cách chứng minh: - Chứng minh OT ⊥ MT T ∈ (O;R) - Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng MT bán kính - Dùng góc nội tiếp Dạng 10: Các tốn tính tốn độ dài cạnh, độ lớn góc Cách tính: - Dựa vào hệ thức lượng tam giác vuông - Dựa vào tỷ số lượng giác - Dựa vào hệ thức cạnh góc tam giác vng - Dựa vào cơng thức tính độ dài, diện tích, thể tích Đây số kiến thức chương trình Toán Để giúp em ôn tập tốt Cần đọc kỹ tài liệu Xem thêm Saùch giaùo khoa Toaùn Chúc em học tập thành cơng! Trang 19 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ VÀO TỐN: đề đáp án Toán Giảng Võ Hà Nội 2008-2012(tặng); 18 đề-8 đáp án Toán Lương Thế Vinh=10k; 20 đề đáp án Toán AMSTERDAM=30k; 22 đề-4 đáp án Toán Marie Cuire Hà Nội=10k; 28 DE ON VAO LOP MƠN TỐN=40k; Bộ 13 đề đáp án vào mơn Tốn=20k VĂN: 11 đề đáp án Văn AMSTERDAM=20k; Bộ 19 đề-10 đáp án vào Tiếng Việt=20k ANH: 10 đề thi vào Tiếng Anh Trần Đại Nghĩa(tặng); Bộ 35 đề đáp án vào Anh 2019-2020=50k Cách toán: Thanh toán qua tài khoản ngân hàng Nội dung chuyển khoản: tailieu + < số điện thoại > Số T/K VietinBank: 101867967584; Chủ T/K: Nguyễn Thiên Hương Cách nhận tài liệu: Tài liệu gửi vào email bạn qua Zalo 0946095198 VĂN CÓ SKKN CỦA TẤT CẢ CÁC MÔN CẤP 1-2 11 đề đáp án Văn AMSTERDAM=20k 19 đề-10 đáp án vào Tiếng Việt=20k 20 đề đáp án KS đầu năm Văn 6,7,8,9=30k/1 khối; 100k/4 khối 15 ĐỀ ĐÁP ÁN KHẢO SÁT VĂN 6,7,8,9 LẦN 1,2,3=30k/1 lần/1 khối; 100k/3 lần/1 khối 15 ĐỀ ĐÁP ÁN THI THỬ VĂN LẦN 1,2,3=30k/1 lần; 100k/3 lần 20 ĐỀ ĐÁP ÁN KIỂM TRA HỌC KỲ I (II) VĂN 6,7,8,9=30k/1 khối/1 kỳ; 100k/4 khối/1 kỳ 20 ĐỀ ĐÁP ÁN KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I (II) VĂN 6,7,8,9=30k/1 khối/1 kỳ; 100k/4 khối/1 kỳ 30 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG VĂN 9(2010-2016)=30k 40 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG VĂN 9(2017-2018)=40k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG VĂN 9(2010-2018)=60k 50 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG VĂN 9(2018-2019)=50k; 120 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG VĂN 9(2010-2019)=100k 40 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG VĂN 9(2019-2020)=50k; 160 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG VĂN 9(2010-2020)=140k 40 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG VĂN 8(2010-2016)=40k 50 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG VĂN 8(2017-2018)=50k; 90 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG VĂN 9(2010-2018)=80k 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG VĂN 8(2018-2020)=60k; 150 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG VĂN 9(2010-2020)=130k 50 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG VĂN 7(2010-2016)=50k 50 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG VĂN 7(2017-2018)=50k; 100 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG VĂN 9(2010-2018)=90k 50 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG VĂN 7(2018-2020)=60k; 150 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG VĂN 9(2010-2020)=130k (Các đề thi HSG cấp huyện trở lên, có HDC biểu điểm chi tiết) 20 ĐỀ ĐÁP ÁN VĂN VÀO 10 CÁC TỈNH 2017-2018=20k 38 ĐỀ ĐÁP ÁN VĂN VÀO 10 CÁC TỈNH 2018-2019=40k 59 ĐỀ ĐÁP ÁN VĂN VÀO 10 CÁC TỈNH 2019-2020=60k 58 ĐỀ ĐÁP ÁN VĂN VÀO 10 CÁC TỈNH 2017-2019=50k 117 ĐỀ ĐÁP ÁN VĂN VÀO 10 CÁC TỈNH 2017-2020=100k 32 ĐỀ-20 ĐÁP ÁN CHUYÊN VĂN VÀO 10 CÁC TỈNH 2019-2020=30k ĐỀ CƯƠNG GIỮA HK2 VĂN CÓ ĐÁP ÁN=30k Giáo án bồi dưỡng HSG Văn 7(23 buổi-63 trang)=50k TẶNG: Giáo án bồi dưỡng HSG Văn 7,8,9 35 đề văn nghị luận xã hội 45 de-dap an on thi Ngu van vao 10 500 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM VÀ TỰ LUẬN NGỮ VĂN 110 tập đọc hiểu chọn lọc có lời giải chi tiết CÁCH VIẾT BÀI VĂN NGHỊ LUẬN VĂN HỌC Tai lieu on thi lop 10 mon Van chuan Tài liệu ôn vào 10 môn Văn Cách toán: Thanh toán qua tài khoản ngân hàng Nội dung chuyển khoản: tailieu + < số điện thoại > Số T/K VietinBank: 101867967584; Chủ T/K: Nguyễn Thiên Hương Cách nhận tài liệu: Tài liệu gửi vào email bạn qua Zalo 0946095198 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ TỐN CĨ SKKN CỦA TẤT CẢ CÁC MƠN CẤP 1-2 18 đề-8 đáp án Toán Lương Thế Vinh=10k 20 đề đáp án Toán AMSTERDAM=30k 22 đề-4 đáp án Toán Marie Cuire Hà Nội=10k 28 DE ON VAO LOP MƠN TỐN=40k 13 đề đáp án vào mơn Tốn=20k 20 đề đáp án KS đầu năm Tốn 6,7,8,9=30k/1 khối; 100k/4 khối 15 ĐỀ ĐÁP ÁN KHẢO SÁT TOÁN 6,7,8,9 LẦN 1,2,3=30k/1 lần/1 khối; 100k/3 lần/1 khối 15 ĐỀ ĐÁP ÁN THI THỬ TOÁN LẦN 1,2,3=30k/1 lần; 100k/3 lần 20 ĐỀ ĐÁP ÁN KIỂM TRA HỌC KỲ I (II) TOÁN 6,7,8,9=30k/1 khối/1 kỳ; 100k/4 khối/1 kỳ 20 ĐỀ ĐÁP ÁN KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I (II) TOÁN 6,7,8,9=30k/1 khối/1 kỳ; 100k/4 khối/1 kỳ 63 ĐỀ ĐÁP ÁN TOÁN VÀO 10 CÁC TỈNH 2017-2018; 2018-2019; 2019-2020=60k/1 bộ; 150k/3 33 ĐỀ ĐÁP ÁN CHUYÊN TOÁN VÀO 10 CÁC TỈNH 2019-2020=40k GIÁO ÁN DẠY THÊM TOÁN 6,7,8,9 (40 buổi)=80k/1 khối; 300k/4 khối Ơn hè Tốn lên 6=20k; Ôn hè Toán lên 7=20k; Ôn hè Toán lên 8=20k; Ơn hè Tốn lên 9=50k Chun đề học sinh giỏi Toán 6,7,8,9=100k/1 khối; 350k/4 khối (Các chuyên đề tách từ đề thi HSG cấp huyện trở lên) TẶNG: đề đáp án Toán Giảng Võ Hà Nội 2008-2012 300-đề-đáp án HSG-Toán-6 225-đề-đáp án HSG-Toán-7 200-đề-đáp án HSG-Toán-8 100 đề đáp án HSG Toán 77 ĐỀ ĐÁP ÁN VÀO 10 CHUYÊN TOÁN 2019-2020 ĐÁP ÁN 50 BÀI TỐN HÌNH HỌC Cách tốn: Thanh toán qua tài khoản ngân hàng Nội dung chuyển khoản: tailieu + < số điện thoại > Số T/K VietinBank: 101867967584; Chủ T/K: Nguyễn Thiên Hương Cách nhận tài liệu: Tài liệu gửi vào email bạn qua Zalo 0946095198 ANH CÓ SKKN CỦA TẤT CẢ CÁC MÔN CẤP 1-2 35 ĐỀ ĐÁP ÁN ANH VÀO (2019-2020)=40k 20 đề đáp án KS đầu năm Anh 6,7,8,9=30k/1 khối; 100k/4 khối 15 ĐỀ ĐÁP ÁN KHẢO SÁT ANH 6,7,8,9 LẦN 1,2,3=30k/1 lần/1 khối; 100k/3 lần/1 khối 15 ĐỀ ĐÁP ÁN THI THỬ ANH LẦN 1,2,3=30k/1 lần; 100k/3 lần 20 ĐỀ ĐÁP ÁN KIỂM TRA HỌC KỲ I (II) ANH 6,7,8,9=30k/1 khối/1 kỳ; 100k/4 khối/1 kỳ 20 ĐỀ ĐÁP ÁN KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I (II) ANH 6,7,8,9=30k/1 khối/1 kỳ; 100k/4 khối/1 kỳ 100 đề đáp án HSG môn Anh 6,7,8,9=60k/1 khối 30 ĐỀ ĐÁP ÁN ANH VÀO 10 CÁC TỈNH 2019-2020=40k ĐỀ ĐÁP ÁN CHUYÊN ANH VÀO 10 CÁC TỈNH 2019-2020=20k TẶNG: 10 đề Tiếng Anh vào Trần Đại Nghĩa CẤU TRÚC TIẾNG ANH Tài liệu ôn vào 10 môn Anh (Đủ dạng tập) Cách toán: Thanh toán qua tài khoản ngân hàng Nội dung chuyển khoản: tailieu + < số điện thoại > Số T/K VietinBank: 101867967584; Chủ T/K: Nguyễn Thiên Hương Cách nhận tài liệu: Tài liệu gửi vào email bạn qua Zalo 0946095198 HĨA CĨ SKKN CỦA TẤT CẢ CÁC MƠN CẤP 1-2 20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG HÓA 9=60k 2019-2020 VÀO 10 CHUYÊN HÓA CÁC TỈNH=20k CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG HÓA 8=40k CÁC CHUYÊN ĐỀ HÓA THCS=100k ... 6,7,8 ,9= 30k/1 khối/1 kỳ; 100k/4 khối/1 kỳ 30 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG VĂN 9( 2010-2016)=30k 40 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG VĂN 9( 2017-2018)=40k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG VĂN 9( 2010-2018)=60k 50 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG VĂN 9( 2018-20 19) =50k;... HSG VĂN 9( 2010-20 19) =100k 40 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG VĂN 9( 20 19- 2020)=50k; 160 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG VĂN 9( 2010-2020)=140k 40 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG VĂN 8(2010-2016)=40k 50 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG VĂN 8(2017-2018)=50k; 90 ĐỀ ĐÁP... Zalo 094 6 095 198 ANH CÓ SKKN CỦA TẤT CẢ CÁC MÔN CẤP 1-2 35 ĐỀ ĐÁP ÁN ANH VÀO (20 19- 2020)=40k 20 đề đáp án KS đầu năm Anh 6,7,8 ,9= 30k/1 khối; 100k/4 khối 15 ĐỀ ĐÁP ÁN KHẢO SÁT ANH 6,7,8 ,9 LẦN 1,2,3=30k/1