Tính chất mở rộng tương đẳng đối với nửa nhóm đơn hoàn toàn

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẶNG MINH ĐỨC TÍNH CHẤT MỞ RỘNG TƢƠNG ĐẲNG ĐỐI VỚI NỬA NHĨM ĐƠN HỒN TỒN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Vinh – 2012 MỞ ĐẦU Khái niệm nửa nhóm có tính chất mở rộng tương đẳng Day Alan đưa vào năm 1971: Một nửa nhóm S gọi có tính chất mở rộng tương đẳng nửa nhóm T S tương đẳng  T tồn tương đẳng  * S cho  * (T  T )   Tương đẳng  * gọi mở rộng  Khái niệm liên quan với khái niệm nửa nhóm có tính chất mở rộng iđêan Trong cơng trình The congruence extension property for algebraic semigroups đăng tạp chí Semigroup Forum số 43 năm 1991(Xem[6] ), Garcia khảo sát số lớp nửa nhóm với tính chất mở rộng tương đẳng nửa nhóm xyclic, nửa nhóm iđêan nhóm Gần đây, cơng trình The ideal extension property in compact semigroups Xiaojiang Guo đăng tạp chí Semigroup Forum số 66 năm 2004(Xem[7] ), nửa nhóm tơpơ với tính chất mở rộng tương đẳng xét đến Luận văn chúng tơi dựa cơng trình để tìm hiểu tính chất mở rộng tương đẳng nửa nhóm đơn hồn tồn, lớp nửa nhóm đơn với lũy đẳng nguyên thủy Luận văn gồm chương: Chƣơng Nửa nhóm – đơn hồn tồn Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm tính chất nửa nhóm – đơn hồn tồn Chƣơng Tính chất mở rộng tƣơng đẳng nửa nhóm đơn hồn tồn Trong chương này, chúng tơi tìm hiểu điều kiện để nửa nhóm đơn hồn tồn có tính chất mở rộng tương đẳng Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh , hướng dẫn PGS TS Lê Quốc Hán Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS TS Lê Quốc Hán Thầy định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi, lời đơng viên khích lệ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo tổ Đại số - khoa Toán - Trường Đại học Vinh động viên, giúp đỡ tác giả trình viết chỉnh sửa luận văn Tác giả xin cảm ơn khoa Sau đại học – Trường Đại học Vinh Trường Đại học Sài Gòn tạo điều kiện để chúng tơi hồn thành chương trình học tập luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn khơng thể tránh khỏi điều thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn đọc Vinh,Tháng 02 năm 2012 Tác giả CHƢƠNG NỬA NHÓM – ĐƠN HOÀN TOÀN 1.1 Iđêan quan hệ Grin nửa nhóm 1.1.1 Định nghĩa Giả sử I tập khác rỗng nửa nhóm S Khi : i) I gọi iđêan trái( tương ứng phải) S S.I  I (tương ứng, I S  I ) ii) I gọi iđêan S I vừa iđêan trái vừa là iđêan phải S Ký hiệu I S Từ định nghĩa trực tiếp suy : 1.1.2 Hệ Giả sử I tập khác rỗng nhóm S Thế 1) I iđêan trái( tương ứng phải) S với a I, với x  S có xa  I ( tương ứng ax  I ) 2) Nếu I iđêan trái( phải, hai phía) S I nửa nhóm S 3) Nếu I J iđêan trái( phải) S với I  J   I  J iđêan trái( tương ứng phải) S 1.1.3 Định nghĩa Một iđêan nửa nhóm S gọi iđêan tối tiểu với iđêan J S, J  I kéo theo J = I 1.1.4 Mệnh đề Giả sử I iđêan tối tiểu S J iđêan tùy ý S Thế I  J Chứng minh Trước hết, I  J   Thật vậy, I J iđêan S nên IJ  I  J Hơn I   , J   , nên IJ   , Do I  J   Mặt khác, I  J  I I  J iđêan S nên từ tính tối tiểu I suy I  J  I I  J  Từ mệnh đề 1.1.4 trực tiếp suy 1.1.5 Hệ Nếu nửa nhóm S có iđêan tối tiểu iđêan tối tiểu S 1.1.6 Chú ý Một nửa nhóm có khơng có iđêan tối tiểu Xét nửa nhóm cộng số tự nhiên  n + = nk / k  với n  Các iđêan của( ,+) tập Hơn m  n m  n Do đó( ,+) khơng có iđêan tối tiểu Mọi nửa nhóm hữu hạn S có iđêan tối tiểu, iđêan có số phần tử nhất( iđêan tồn S iđêan S S có hữu hạn phần tử) 1.1.7 Định nghĩa Một nửa nhóm S nửa nhóm đơn S khơng có iđêan khác S 1.1.8 Mệnh đề Một nửa nhóm S nửa nhóm đơn S  S  S với x  S Chứng minh Rõ ràng, với x  S , S  S iđêan S, S đơn S  S  S Đảo lại, giả thiết với x  S có S  S  S Khi I iđêan S x  I S  S  S  I nên I  S Vậy S đơn  1.1.9 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm, ta định nghĩa quan hệ L, R, J sau S aLb  S1a = S1b aRb  aS1=bS1 aJb  S1aS1= S1bS1 S1a, aS1, S1aS1 tương ứng iđêan trái, phải iđêan S sinh a 1.1.10 Chú ý Theo định nghĩa, aLb   s, s’ S , a = sb, b = s’a a  b  r, r '  S : a  br, b  ar ' Từ định nghĩa trực tiếp suy quan hệ L,  , J quan hệ tương đương S Hơn nữa, L tương đẳng phải  tương đẳng trái S Với a  S , ký hiệu La L – lớp tương đương chứa a: La=  x  S | x L a  Tương tự Ra Ja ký hiệu lớp tương đương theo  J chứa a 1.1.11 Mệnh đề Các quan hệ L  giao hoán : L0  =  L Chứng minh Giả sử (x,y)  L  Thế có phần tử z S cho s, s ',r, r '  S cho x Lz, z  y, tồn lại phần tử x  sz, z  s ' x, t  yr, y  zr ' Ký t  szr '  xr ', x  sz  syr  szr 'r  tr hiệu nên t  szr ' xt Ta Thế lại có t  s.zr '  sy, y  zr '  s ' xr '  s ' szr '  s ' t nên yLt Suy ( x, y)  oL nên o L  L 0 Tương tự có  o L   o L nên  oL =  oL  1.1.12 Định nghĩa Giả sử L  quan hệ tương đương xác định Định nghĩa 1.1.9 Ta xác định quan hệ S: D = L  =  L H = L   =   L Khi quan hệ L,  , J , D H gọi quan hệ Grin S Theo lý thuyết tập hợp, H quan hệ tương đương lớn chứa L  Ta chứng minh D quan hệ tương đương bé chứa L  Thật vậy, L  quan hệ tương đương nên D =L  =  L quan hệ tương đương Hơn x L x x  x với x  S nên L  D   D Nếu C quan hệ tương S chứa L  D  C, nên D quan hệ tương đương bé chứa L  Biểu đồ bao hàm quan hệ Green nửa nhóm S cho hình sau với ý D  J J D L  H Với a S , ký hiệu D –lớp H – lớp chứa a tương ứng Da Ha 1.2 Nửa nhóm – đơn hồn tồn Trong tiết ta xét nửa nhóm với phần tử zero Các kết tương ứng nửa nhóm khơng chứa phần từ zero hồn tồn tương tự 1.2.1 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm với phần tử zero Một iđêan hai phía( trái, phải) M S gọi iđêan hai phía( trái, phải) – tối tiểu M  0 Iđêan hai phía( trái, phải) S thực chứa M 1.2.2 Chú ý Một nửa nhóm S gọi nửa nhóm zero S2=0, nghĩa xy =0 với x,y  S  Nếu M iđêan hai phía( trái, phải) – tối tiểu nửa nhóm S với phần tử zero M iđêan kiểu với M chứa M, M = M = 0( nghĩa M nửa nhóm zero)  Rõ ràng, giao hai iđêan – tối tiểu nửa nhóm S 1.2.3 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm với phần từ zero Khi S gọi nửa nhóm – đơn( – đơn trái, – đơn phải) S2  0 iđêan hai phía( trái, phải) thực S Các kết sau chứng minh chi tiết [ 1, trang 117–122] 1.2.4 Mệnh đề 1) Giả sử M iđêan( hai phía) – tối tiểu nửa nhóm S với phần tử zero Thế M 2=0 M nửa nhóm – đơn S 2) Nếu S nửa nhóm – đơn phải( trái) S\0 nửa nhóm đơn phải( trái) S 3) Giả sử S nửa nhóm với phần tử zero M iđêan – tối tiểu chứa iđêan trái – tối tiểu Khi M tập hợp tất iđêan – tối tiểu S 4) Giả sử M iđêan trái – tối tiểu nửa nhóm S với phần tử zero cho M  Giả thiết M chứa iđêan trái – tối tiểu S Khi iđêan trái M iđêan trái S Bây ta chuyển sang xét nửa nhóm – đơn hồn toàn 1.2.5 Chú ý Giả sử E tập hợp lũy đẳng nửa nhóm S Trên E xác định quan hệ  cho e  f ef = fe = e Thế  thứ tự phận E ( gọi thứ tự phận tự nhiên E) Thật vậy, e  E nên e2 = e, e  e nên  phản xạ Nếu e  f f  e ef = fe = e fe = ef = f nên e = f,  phản xứng Nếu e  f f  G ef = fe = e gf = fg = f nên eg = (ef)g = e(fg) = ef = e ge = g(fe) = (gf)e = fe, e  G nên  bắc cầu Nếu S chứa phần tử zero e0 = 0e = với e E nên  e ( ý 02 = nên  E) Từ ta đưa đến khái niệm: Lũy đẳng f thuộc nửa nhóm S với phần tủ zero gọi lũy đẳng nguyên thủy f  e  f e = e = f 1.2.6 Định nghĩa Nửa nhóm S gọi nửa nhóm đơn( – đơn) hồn tồn S nửa nhóm đơn( – đơn) S chứa lũy đẳng nguyên thủy 1.2.7 Nhận xét Từ Định nghĩa 1.2.6 suy nửa nhóm đơn( – đơn) hữu hạn đơn( – đơn) hoàn toàn Thật vậy, S hữu hạn nên S chứa lũy đẳng, E = E(S)   Hơn nữa, E  0 trái lại phần tử S lũy linh( nghĩa với a  S tồn số nguyên dương n cho an = 0), đó( S hữu hạn) nên S lũy linh nghĩa tồn số nguyên dương m để Sm = 0 , trái giả thiết S2 = S ( S đơn) Khi tập thứ tự phận hữu hạn E \ 0 chứa phần tử tối tiểu lũy đẳng nguyên thủy S Từ Định nghĩa 1.2.6 trực tiếp suy ra: Nếu S nửa nhóm – đơn hồn tồn S \ 0 nửa nhóm đơn hồn tồn Kết sau chứng minh [1, trang 136] 10 1.2.8 Mệnh đề 1) Giả sử S nửa nhóm – đơn Khi S – đơn hoàn toàn S chứa iđêan trái – tối tiểu iđêan phải – tối tiểu 2) Một nửa nhóm – đơn hồn tồn hợp iđêan trái( phải) – tối tiểu 1.2.9 Định nghĩa 1) Một nửa nhóm S gọi D – đơn song đơn S gồm D – lớp, D quan hệ Grin S 2) Một nửa nhóm S gọi quy phần tử S phần tử quy( nghĩa với a S, tồn x  S cho axa = a) Ta ý nửa nhóm đơn trái( phải) gồm L – lớp( R – lớp) nửa nhóm đơn gồm T – lớp Vì D  J nên nửa nhóm song đơn nửa nhóm đơn Hơn nữa, R  D, L  D nên nửa nhóm đơn phải nửa nhóm đơn trái nửa nhóm song đơn 1.2.10 Định lý Mỗi nửa nhóm – đơn hồn tồn nửa nhóm – song đơn quy Chứng minh Giả sử S nửa nhóm – đơn hoàn toàn Giả sử a b phần tử khác S Ta chứng minh aDb Theo Mệnh đề 1.2.8, a thuộc iđêan trái – tối tiểu L S b thuộc iđêan phải – tối tiểu R S, L = Sa R = bS, La = L\ 0 Rb =R\ 0 Từ a  L b  R suy bSa  R  L Vì S nửa nhóm đơn a  0, b  nên SaS = S SbS = S 23 2.1.8 Hệ Giả sử S nửa nhóm tuần hồn có tính chất mở rộng tương đẳng Thế i(S)  Ví dụ sau chứng tỏ khẳng định ngược lại hệ 2.1.8 không 2.1.9 Ví dụ Giả sử S  1,2,3,4,5 nửa nhóm với bảng nhân Cayley  1 3 2 4 3 1 4 1 3 1 Giả sử T 1,2,3,4 Khi  nửa nhóm S Giả sử   (3,5),(5,3) T Khi  nửa nhóm S Giả sử  ={(3,5), (5,3)} T Khi  tương đẳng T Thế tương đẳng  sinh  S có dạng  = {(3,4),(4,3),(3,5),(5,3),(4,5),(5,4)}  s  (TxT )   Do S khơng có tính chất mở rộng tương đẳng Hơn  1 ,   2,   1,3 (vì 33=3),   1,3,4 ( Vì 44=42=1)   1,3,5 ( Vì 54=52=1), suy 1,2,3 có số 4,5 có số 2, từ i(S) = S khơng có tính chất mở rộng tương đẳng Ta nhắc lại kết quen thuộc sau Lý thuyết nhóm: Giả sử G nhóm với đơn vị e Khi tương đẳng  G xác 24 định  - lớp chứa e Nếu N  - lớp chứa e N nhóm chuẩn tắc G (a, b)   ab1  N  a1b  N Phần cuối tiết dành cho việc khảo sát tính chất mở rộng nhóm 2.1.10 Định nghĩa Nhóm G gọi có tính chất mở rộng tương đẳng nhóm( Group congruence extension property – GCEP) tương đẳng nhóm G mở rộng thành tương đẳng G Vì nửa nhóm nhóm hữu hạn thực tế nhóm con, nên từ định nghĩa 2.1.1 2.1.10 trực tiếp suy 2.1.11 Hệ Giả sử G nhóm hữu hạn, G có tính chất mở rộng tương đẳng G có tính chất mở rộng tương đẳng nhóm 2.1.12 Mệnh đề Một nhóm G có tính chất mở rộng tương đẳng G nhóm xoắn( nghĩa phần tử G có cấp hữu hạn) G có tính chất mở rộng tương đẳng nhóm Chứng minh Trực tiếp thấy nhóm có tính chất mở rộng tương đẳng có tính chất mở rộng tương đẳng nhóm( nhóm thực tế nửa nhóm con) Hơn nữa, từ Hệ 2.1.4 suy G có tính chất mở rộng tương đẳng G nhóm xoắn Giả thiết G nhóm xoắn có tính chất mở rộng tương đẳng nhóm Giả sử T nửa nhóm G Giả sử a  T , an T với n  N * Vì G nhóm xoắn cho am = e( e đơn vị G) suy e  T Vì x.x m1  e nên x 1  x m1  T , T nhóm G Từ tương đẳng G mở rộng lên G, G có tính chất mở rộng tương đẳng  Từ Mệnh đề 2.1.12 trực tiếp suy 25 2.1.13 Hệ Mỗi nửa nhóm nhóm có tính chất mở rộng tương đẳng nhóm 2.1.14 Hệ Mỗi nhóm Aben xoắn có tính chất mở rộng tương đẳng Từ hệ 2.1.14 hệ 2.1.8 trực tiếp suy 2.1.15 Hệ Giả sử G nhóm Aben Khi G có tính chất mở rộng tương đẳng G nhóm xoắn 2.1.16 Mệnh đề Giả sử G nhóm với tính chất mở rộng tương đẳng Khi ảnh đồng cấu G có tính chất mở rộng tương đẳng Chứng minh Giả sử G có tính chất mở rộng tương đẳng H ảnh đồng cấu G Khi G có tính chất mở rộng tương đẳng nhóm G nhóm xoắn theo Mệnh đề 2.1.12 Vì H ảnh đằng cấu G nên H nhóm xoắn có tính chất mở rộng tương đẳng nhóm theo [6] Do H có tính chất mở rộng tương đẳng theo Mệnh đề 2.1.12  2.2 Tính chất mở rộng tƣơng đẳng thƣơng Rixơ 2.2.1 Định nghĩa Giả sử I iđêan nửa nhóm S Ta định nghĩa quan hệ pI S (a, b)  pI (a, b  S) a = b a, b  I Thế  I tương đẳng S gọi tương đẳng Rixơ theo iđêan I Các lớp tương đương nửa nhóm thương S \  I I tập hợp phần tử a , a  S \ I Nửa nhóm thương S \  I gọi thương Rixơ nửa nhóm S theo iđêan I ký hiệu S \ I 26 Để đơn giản ký hiệu, đồng  I lớp chứa x với x  S \ I Tích phần tử S\I xác định xy  xy với x, y  S \ I Ix  I  xI với x  S Do I phần tử zero S\I Như ta tưởng tượng S\I kết có I phần tử( zero), cịn phần tử khác khơng động đến 2.2.2 Định nghĩa i) Giả sử  : S  S ' đồng cấu nửa nhóm  quan hệ S cho (a, b)  )  (a)   (b) Thế  tương đẳng S gọi tương đẳng hạt nhân đồng cấu  , ký hiệu Ker( ) Như (a, b)  Ker( )   (a)  (b) ii) Nửa nhóm S’ gọi ảnh đồng cấu nửa nhóm S tồn tồn cấu  : S  S ' S '  Im( ) iii) Giả sử  tương đẳng nửa nhóm S Khi ánh xạ  : S  S /  cho  (a)  ap ( với a  S ) tồn cấu, gọi tồn cấu tắc từ S lên nửa nhóm thương S /  Tồn cấu  thường ký hiệu  d Rõ ràng Ker( pd )   2.2.3 Chú ý Từ Định nghĩa 2.1.2 ta thấy I iđêan S thương Rixơ S / I ảnh đồng cấu S Do để xét tính chất mở rộng tương đẳng thương Rixơ, trước hết cần xét tính chất mở rộng tương đẳng bảo toàn qua đồng cấu nửa nhóm Theo [6], ảnh đồng cấu nửa nhóm có tính chất mở rộng tương đẳng khơng có tính chất Tuy nhiên, ta nhận kết khẳng định trường hợp cụ thể quan trọng Nếu S nửa nhóm có tính chất mở rộng tương đẳng I iđêan S 27 thương Rixơ S/I có tính chất mở rộng tương đẳng Để chứng minh kết ta cần số chuẩn bị cần thiết 2.2.4 Định nghĩa ký hiệu Giả sử  : S  X đồng cấu từ nửa nhóm S lên nửa nhóm X, Y nửa nhóm X T   1(Y ) , nghĩa T  a  S /  (a)  YS  i) Nếu  tương đẳng Y ta định nghĩa tương đẳng  T cho   (a, b)  T  T \  (a), (b)   Khi  gọi níu ( pull back)  Dễ dàng chứng tỏ (1) Nếu   T   Y (2) Nếu   Y   Ker( )  (T  T ) (3)   T  T   Y  Y (4) Nếu  tương đẳng Y với níu       ii) Mặt khác,  tương đẳng nửa nhóm T S ta định nghĩa tương đẳng Y   (T )   nN *  2( n) ,  quan hệ xác định 2   (s), (t) \ (s, t)   ,  2( n) ký hiệu hợp thành n quan hệ  Khi  gọi buông ( pushout)  Từ định nghĩa trực tiếp suy : (1) Nếu  níu   bng  (2) Nếu  buông  ,  níu  Ker( )  (T  T )   28 (3) Nếu  buông  , p   Ker( )  (T  T ) níu  Chú ý   tương đẳng nửa nhóm S    tương đẳng S Tương đẳng S sinh    tương đẳng nhỏ S chứa   ký hiệu V  Đặc biệt,      V      2.2.5 Mệnh đề Giả sử  : S  X đồng cấu từ nửa nhóm S lên nửa nhóm X Giả sử Y nửa nhóm X  tương đẳng Y, giả sử  níu  lên T   1(Y ), tương đẳng X sinh   níu  Nếu  mở rộng   mở rộng thành tương đẳng X Chứng minh Giả sử  tương đẳng S sinh  Thế  bng     V ker( ) níu  Từ giả thiết cho suy   (T  T )   Để chứng minh  mở rộng  lên X, giả sử ( x, y)   (Y  Y ) Vì  níu  nên tồn (a, b) cho ( x, y)  ( (a), (b) Vì ( x, y)  Y  Y nên (a, b)  T  T Như (a, b)   (T  T )   Suy ( x, y)  ( (a), (b))  ,  níu  Ta kết luận  rộng  (Y  Y )   , từ suy  mở  2.2.6 Mệnh đề Giả sử  : S  X đồng cấu từ nửa nhóm S có tính chất mở rộng tương đẳng lên nửa nhóm X,Y nửa nhóm X 29 T   1(Y ) Giả thiết tương đẳng sinh Ker  (T  T ) S Ker Thế tương đẳng Y mở rộng lên X Chứng minh Giả sử  tương đẳng Y giả sử  níu  lên T   1(Y ) Giả sử  tương đẳng X sinh   tương đẳng S sinh  ,  bng  Vì  níu  nên Ker  (T  T )   Từ giả thiết cho nhận Ker   Như  níu  Để chứng minh  mở rộng  lên X, giả sử ( x, y)   (Y  Y ) Thế ( x, y)  ( (a), (b)) (a, b)  đó,  níu  Như hệ điều kiện S có tính chất mở rộng tương đẳng, ta nhận   (T  T )   Vì ( x, y)  Y  Y nên (a, b)  T  T từ (a, b)    (T  T )   Chúng ta kết luận ( x, y)  ( (a),(b))  từ điều kiện  níu  Suy   (Y  Y )   nên  mở rộng  lên X  2.2.7 Định lý Giả sử S iđêan có tính chất mở rộng tương đẳng I iđêan S Thế thương Rixơ S/I có tính chất mở rộng tương đẳng Chứng minh Giả sử X = S/I,  : S  X tồn cấu tắc, Y nửa nhóm X T   1(Y ) Ký hiệu   (I ) phần tử zero X Xét hai trường hợp : Trường hợp Nếu 0Y , T  I   Giả sử  tương đẳng X sinh  , giả sử  níu  lên T  tương đẳng S sinh  Vì S có tính chất mở rộng tương đẳng nên 30   (T  T )   Giả sử   VK er( ) níu  Thế     (I  I )   (T  T )  (   (I  I )  (T  T )    (T  T )   Từ mệnh đề 2.2 suy  mở rộng  Trường hợp Nếu 0Y , I T , (I  I )  (T  T )  I  I Giả sử  tương đẳng S sinh Ker  (T  T ) Thế   (I  I )  S  Ker Từ Mệnh đề 2.2.6 suy tương đẳng Y mở rộng lên X  Cuối tiết ta đưa ví dụ chứng tỏ lớp nửa nhóm có tính chất mở rộng tương đẳng khơng khép kín tích trực tiếp 2.2.8 Ví dụ Giả sử S  a, b, c nửa nhóm với bảng nhân  a b c a a a a b a a b c a b c Xét tích trực tiếp S  S với phần tử kí hiệu a1  (a, a), a2  (b, a), a3  (c, a) , a4  ( a, b), as  (b, b), a6  (c , b), a7  (a, c) , a  (b, c), a9  (c, c) Khi A  a1, a4 , a5 , a7 , a8 nửa nhóm S  S Xét quan hệ   (a7 , a8 ),(a8 , a7  A Thế  tương đẳng A tương đẳng S S sinh    (a1, a2 ),(a2 , a1),(a4 , a5 ),(a5 , a4 ),( a7 , a8 ),( a8, a7 )  SS Khi   (T  T )  (a4 , a5 ),(a5 , a4 ),(a7 , a8 ,(a8 , a7  T khơng chứa  Do S  S khơng có tính chất mở rộng tương đẳng  31 2.3 Tính chất mở rộng tƣơng đẳng lớp nửa nhóm đơn hồn tồn 2.3.1 Định nghĩa i) Nửa nhóm S gọi nửa nhóm zero trái xy  x với x, y  S ii) Nửa nhóm S gọi nửa nhóm zero phải xy  y với x, y  S Trong luận văn chúng tơi xét tính chất mở rộng lớp nửa nhóm đơn hồn tồn có dạng S = L  G  R, L nửa nhóm zero trái R nửa nhóm zero phải, G nhóm Theo Mệnh đề 2.1.12, G phải nhóm xoắn ( nghĩa phần tử thuộc G phải có cấp hữu hạn) Việc xét trường hợp nửa nhóm đơn hồn tồn phức tạp trường hợp tổng quát mà luận văn chưa xét đến 2.3.2 Bổ đề Giả sử G nhóm xoắn, L R tương ứng nửa nhóm zero trái nửa nhóm zero phải Giả sử S = L  G  R nửa nhóm đơn hồn tồn với phép toán (a, g, b)( x, g' , y)  (a, gg' , y) e đơn vị G, T nửa nhóm S (a, g, b) T Thế (a,e,b) T Chứng minh Giả sử (a,g,b)  T, (a, g, b)n  (a, gn , b) với n số ngun dương theo phép tốn S Vì T nửa nhóm S nên (a, g, b)n  T hay (a, gn , b) T với n số ngun dương Vì G nhóm xoắn nên tồn số nguyên dương m cho gm = e Do (a, e, b) T  2.3.3 Bổ đề Giả sử L nửa nhóm zero trái, R nửa nhóm zero phải G nhóm xoắn Giả sử T nhóm nửa nhóm S  L  G  R , tồn tập A  L, B  R nhóm H G cho T  A  H  B 32 Chứng minh Giả sử H  g  G / (a, g, b)  T với a  L, b  R đó}, H nửa nhóm G Vì nửa nhóm nhóm xoắn G thực tế nhóm xoắn , nên H nhóm xoắn G Giả sử A  a  L | (a, g, b)  T với g G b R B  b  R / (a, g, b)  T với a  L g  G nào   Thế A  L, B  R T  A  H  B Để chứng minh A  H  B  T , giả sử (a, h, b)  A  H  B Vì a  A nên tồn g  G y  R cho (a, g, y) T Vì h  H nên tồn r  L s  R cho (r, h, s)  T Vì b  R nên tồn p  L w  G cho ( p, w, b) T Vì G nhóm xoắn nên theo Mệnh đề 2.3.2, có ( p, e, b) T (a, e, y) T Vậy (a, e, y),(r, h, s),( p, e, b)T Vì T nửa nhóm S  L G R nên (a, e, y),(r, h, s),( p, e, b)T A  H  B  T T  A  H  B hay (a, h, b) T Vậy  2.3.4 Định lý Giả sử S  L  G  R nửa nhóm đơn hồn tồn, L R nửa nhóm zero trái nửa nhóm zero phải cịn G nhóm Thế S có tính chất mở rộng tương đẳng G có tính chất mở rộng tương đẳng Chứng minh Nếu S có tính chất mở rộng tương đẳng d  L, f  R , nửa nhóm d  G   f  có tính chất mở rộng tương đẳng theo Mệnh đề 2.1.3 Vì d  G   f   G nên G có tính chất mở rộng tương đẳng Đảo lại, giả thiết G có tính chất mở rộng tương đẳng Giả sử T nửa nhóm S  tương đẳng T Vì G có tính chất mở rộng tương đẳng theo Bổ đề 2.3.3, tồn tập A  L, B  R nhóm H G cho T  A  H  B 33 Giả sử  H  (u, v)  H  H / (a, u, b),( x, v, y)  với a, x  L b, y  R  ,  H phản xạ đối xứng Để thấy  H bắc cầu, giả sử (u, v),(v, w) H , tồn a, x,r, s  L b, y, t, p  R cho (a, u, b),( x, v, y) , (r, v, t),(s, w, p) Giả sử e đơn vị G Vì (a, u, b) T nên (a, e, b) T theo Mệnh đề 2.3.2  Vì tương đẳng T nên (a, e, b).(a, u, b).(a, e, b),(a, e, b).( x, v, y).(a, e, b) hay (a, u, b),(a, v, b) Tương tự, từ (r, b, t),(s, w, p) có (a, v, b),(a, w, b) Vì  bắc cầu nên từ có (a, u, b),(a, w, b) Suy (u, w) H  H bắc cầu Vậy  H quan hệ tương đương H Để chứng minh  H ổn định phép nhân H, giả sử (u, v) H g  H Thế tồn a, x  L b, y  R cho (a, u, b),( x, v, y) (a, g, b) T Vì  (a, u, b),(a, g, b),( x, v, y),(a, g, b) tương đẳng hay ( a, ug, b),( x, vg, b) T nên suy (ug, vg) H  H ổn định phải Tương tự,  H ổn định trái  H tương đẳng H Giả sử  H  (a, x )  A  A | (a, u, b),( x, v, y)  với u, v  H b, y  B  Giả sử  B  (b, y)  B  B | (a, u, b),( x, v, y)  với a, x  A v  H  34 Để chứng minh  A tương đẳng A trước hết ta thấy  tính chất phản xạ đối xứng Ta chứng minh  A A có có tính chất bắc cầu Thật vậy, giả sử (a, x ),( x, t ) A Thế tồn u, v, w, z  H b, y, c, k  B cho (a, u, b),( x, v, y) ( x, w, c),(t, z, k ) Lập luận tương tự  H , có (a, e, b),( x, e, y) ( x, e, c),(t, e, k ) Suy ( x, e, c),( x, e, y),(t, e, y),( x, e, y) hay ( x, e, y),(t, e, y) Từ (a, e, b),(t, e, y) tính chất bắc cầu  Suy (a, t ) A nên  A có tính bắc cầu Vậy  A quan hệ tương đương A Vì A nửa nhóm zero trái nên  A tương đẳng A Tương tự,  B tương đẳng B Giả sử  L mở rộng  A lên L,  R mở rộng  B lên B  G mở rộng  H lên G Định nghĩa   (a, u, b,( x, v, y) / (a, x)  L ,(u, v)  G (b, y)  R   tương đẳng S    Còn phải chứng minh  (T  T )   Giả sử (a, u, b),( x, v, y)  (T  T ) Thế (a, x )  L  ( A  A)   A ;(u, v)  G  (H  H )   H (b, y)  R  (BxB)   B Vì (a, x ) A nên tồn h, g  H s, t, B cho (a, h, s),( x, g, h) Mà  ổn định với phép nhân T nên (a, hn , s),( x, gn , t) số nguyên dương n Vì T nhóm xoắn nên từ (a, e, s),( x, e, t) 35 e đơn vị G Vì (b, y) B nên tồn z, w  H p, m  A cho ( p, z, b),(m, w, y) Lập luận ta nhận ( p, e, b),(m, e, y) Vì (u, v) H nên tồn r, k , A c, j  B cho (r, u, c),(k, v, j) Như cặp P1   (a, e, s),( x, e, t ) P2   (r, u, c),(k , v, j )  P3   ( p, e, b),(m, e, y)  nằm  Vì  tương đẳng T nên P1.P2 P3  (a, u, b),( x, v, y)  Do   (T  T )   nên S có tính chất mở rộng tương đẳng. 36 KẾT LUẬN Luận văn hoàn thành công việc sau: Hệ thống khái niệm iđêan khái niệm Grin nửa nhóm, nửa nhóm – đơn hồn tồn tính chất nó, nửa nhóm ma trận Rixơ định lý Rixơ Chứng minh tính chất nửa nhóm tính chất mở rộng tương đẳng( Mệnh đề 2.2.3, Mệnh đề 2.1.12, Mệnh đề 2.1.16) Chứng minh nửa nhóm có tính chất mở rộng tương đẳng thương Rixơ có tính chất mở rộng tương đẳng( Định lý 2.2.7) Khảo sát điều kiện để nửa nhóm đơn hoàn dạng S  L  G  R có tính chất mở rộng tương đẳng( L R nửa nhóm zero trái nửa nhóm zero phải, cịn G nhóm) ( Định lý 2.3.4) 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] A.H.Cliphớt G.B.Prestơn (1970), Lý thuyết nửa nhóm, (Bản dịch Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ), Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Lê Quốc Hán (2007), Lý thuyết ngơn ngữ nhóm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Lê Quốc Hán (2008), Lý thuyết nửa nhóm lý thuyết nhóm, Trường Đại Học Vinh Tiếng Anh [4] B Biro, E W Kiss, and P R Pafy (1997), On the congruence extension property, Collog Math 29, 129-151 [5] J I Garcia (1991), The congruence extension property for algebraric semigroups, Semigroup Forum 43, 1-18 [6] X Guo (2003), The congruence extension property in compact semigroups, Journal of Algebra 67, 577-586 [7] Day and Alan (1971), A note on congruence extension property, Algebraic Universalis 11, 234 - 235 [8] A R Stralka (1972), Extending congruences on semigroups, Trans Amer Math Soc 166, 147-161 ... có tính chất mở rộng tương đẳng (iii) Giả sử S T nửa đẳng cấu với Nếu S có tính chất mở rộng tương đẳng T có tính chất Vì vậy, để xét tính chất mở rộng tương đẳng nửa nhóm xyclic, ta cần xét nửa. .. R nửa nhóm đơn hồn tồn, L R nửa nhóm zero trái nửa nhóm zero phải cịn G nhóm Thế S có tính chất mở rộng tương đẳng G có tính chất mở rộng tương đẳng Chứng minh Nếu S có tính chất mở rộng tương. .. tính chất mở rộng tương đẳng nhóm( nhóm thực tế nửa nhóm con) Hơn nữa, từ Hệ 2.1.4 suy G có tính chất mở rộng tương đẳng G nhóm xoắn Giả thiết G nhóm xoắn có tính chất mở rộng tương đẳng nhóm