Tương đẳng trên ag phỏng nhóm ngược hoàn toàn

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỒN THỊ TRÀ MY TƢƠNG ĐẲNG TRÊN AG**-PHỎNG NHĨM NGƢỢC HỒN TỒN ĐỀ CƢƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGHỆ AN-2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐOÀN THỊ TRÀ MY TƢƠNG ĐẲNG TRÊN AG**-PHỎNG NHĨM NGƢỢC HỒN TỒN ĐỀ CƢƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyênngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mãsố: 60460104 Cánbộhƣớngdẫnkhoahọc PGS.TS LÊ QUỐC HÁN NGHỆ AN-2015 MỤC LỤC MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG DÀN CÁC TƢƠNG ĐẲNG TRÊN MỘT NỬA NHÓM 1.1 Các tập thứ tự Nửa dàn dàn 1.2 Nửa nhóm quan hệ tập 1.3 Dàn tƣơng đẳng nửa nhóm 13 CHƢƠNG TƢƠNG ĐẲNG TRÊN NỬA NHÓM NGƢỢC 17 2.1 Nửa nhóm quy Nửa nhóm ngƣợc 17 2.2 Tƣơng đẳng nửa nhóm ngƣợc 20 2.3 Sự phân loại tƣơng đẳng nửa nhóm ngƣợc theo vết chúng 23 CHƢƠNG TƢƠNG ĐẲNG TRÊN AG ** - PHỎNG NHÓM NGƢỢC HOÀN TOÀN 28 3.1 Dàn tƣơng đẳng AG ** - nhóm ngƣợc hoàn toàn 28 3.2 Nửa dàn AG - nhóm 34 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 MỞ ĐẦU Bài tốn mơ tả tương đẳng nửa nhóm toán trung tâm lý thuyết nửa nhóm Trong trường hợp đặc biệt S nhóm tương đẳng S hồn toàn xác định lớp tương đẳng chứa đơn vị Tuy nhiên, S nửa nhóm tùy ý, tốn mơ tả cấu trúc tương đẳng S nói chung phức tạp Độc lập với nhau, Vacne (1953) Preston (1954) mô tả cấu trúc tương đẳng nửa nhóm ngược dựa vào hệ hạt nhân chuẩn Hơn 30 năm sau (1986), Francis Pastijn Mario Petrich mô tả cấu trúc tương đẳng nửa nhóm quy dựa vào hạt nhân vết Dựa ý tưởng đó, cấu trúc tương đẳng nhiều nửa nhóm liên quan với nửa nhóm quy (Nửa nhóm E-ngược, E-nửa nhóm, nửa nhóm orthodox, nửa nhóm quy suy rộng…) mô tả cách tường minh Những năm đầu kỷ này, tác giả chuyển sang nghiên cứu tương đẳng nhóm với tính chất đặc trưng Bản luận văn dựa báo Completely inverse AG **  groupoids hai tác giả Wieslaw A.Dudek Roman S.Gigan đăng tạp chí Semigroup Forum năm 2013 ([5]) để tìm hiểu tương đẳng AG **  nhóm ngược hồn tồn Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương: Chương 1.Dàn tương đẳng nửa nhóm Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm tính chất tập thứ tự, nửa dàn dàn, nửa nhóm quan hệ tập, dàn tương đẳng nửa nhóm để làm sở cho việc trình bày chương sau Chương Tương đẳng nửa nhóm ngược Trong chương chúng tơi trình bày nửa nhóm ngược, tương đẳng nửa nhóm ngược phân loại tương đẳng nửa nhóm ngược Chương Tương đẳng AG **  nhóm ngược hồn tồn Trước hết chúng tơi trình bày AG  nhóm AG **  nhóm ngược Tiếp theo chúng tơi trình bày dàn tương đẳng AG **  nhóm nhóm ngược hồn tồn Sau đó, chúng tơi trình bày nửa dàn AG  nhóm Luận văn hồn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình chu đáo thầy giáo PGS.TS Lê Quốc Hán Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân tác giả gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo, cô giáo Khoa Sư phạm Toán học anh, chị, bạn học viên khóa 21- Đại số Lý thuyết số quan tâm, giúp đỡ hướng dẫn tận tình tác giả q trình học hồn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Kính mong q thầy bạn đọc đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện Chúng xin chân thành cảm ơn! CHƢƠNG DÀN CÁC TƢƠNG ĐẲNG TRÊN MỘT NỬA NHÓM 1.1 Các tập thứ tự Nửa dàn dàn 1.1.1 Định nghĩa Một quan hệ hai  tập hợp X (nghĩa là, tập  tích Đề-các X  X ) gọi thứ tự (bộ phận) nếu: i)  x, x    tất x  X , nghĩa  phản xạ; ii)  x, y  X  ,  x, y     y, x    kéo theo x  y , nghĩa  phản đối xứng; iii)  x, y, z  X  ,  x, y     y, z    kéo theo  x, z    , nghĩa  bắc cầu Theo truyền thống, người ta viết x  y nhiều  x, y    Từ ta viết x  y thay cho  x, y    Ta viết x  y, x  y hay x  y để tương ứng  y, x    ,  x, y    x  y Một quan hệ thứ tự phận có tính chất iv)  x, y  X  , x  y y  x gọi thứ tự tồn phần Ta nói X tập hợp thứ tự phận (hay thứ tự toàn phần) X xác định thứ tự phận (tương ứng, thứ tự toàn phần) 1.1.2 Định nghĩa Giả sử X tập hợp thứ tự phận Y tập X i)Phần tử a Y gọi cực tiểu khơng có phần tử Y thực nhỏ a , nghĩa y Y  , y  a  y  a ii) Phần tử b Y gọi bé  y Y  , b  y Một phần tử nhỏ phần tử cực tiểu, khẳng định ngược lại không tập thứ tự Thực ta có: 1.1.3.Mệnh đề ([6]).Giả sử Y tập khác rỗng tập thứ tự phận X Thế thì: i) Y có phần tử nhỏ nhất; ii) Nếu Y thứ tự tồn phần, thuật ngữ “cực tiểu” “nhỏ nhất” tương đương 1.1.4 Định nghĩa.Tập thứ tự phận  X ,   gọi thỏa mãn điều kiện cực tiểu tập khác rỗng X có phần tử cực tiểu Một tập hợp thứ tự toàn phần thỏa mãn điều kiện cực tiểu gọi tập thứ tự tốt Các khái niệm cực đại, lớn điều kiện cực đại hiểu cách đối ngẫu 1.1.5.Định nghĩa.Giả sử Y tập khác rỗng tập thứ tự  X ,   Phần tử c  X gọi cận Y c  y y  Y Nếu tập hợp tất cận Y khác rỗng phần tử lớn d , d gọi cận lớn hay giao Y Phần tử d tồn tại, viết: d   y | y Y  Nếu Y  a, b ta viết d  a  b 1.1.6.Định nghĩa Nếu  X ,   tập thứ tự cho a  b tồn với a, b  X  X ,   gọi nửa dàn Nếu có tính chất mạnh  y | y Y  tồn với tập khác rỗng Y X , ta nói  X ,   nửa dàn đầy đủ Trong nửa dàn  X ,   , với a, b  X , a  b a b  a Tương tự, ta định nghĩa cận nhỏ hay hợp   y | y  Y  , a  b ,nửa dàn hay nửa dàn đầy đủ Nếu  X ,   vừa nửa dàn (đầy đủ) vừa nửa dàn (đầy đủ) X gọi dàn đầy đủ Trong trường hợp ta viết  X ,  , ,   1.1.7.Định nghĩa Giả sử Y tập khác rỗng dàn  X ,  , ,   Thế Y gọi dàn X thỏa mãn điều kiện a, b Y  a  b Y , a  b Y Giả sử  E ,   nửa dàn Thế a, b, c  E hai  a  b   c a   b  c  cận lớn a, b, c ,  a  b  c  a  b  c  Như  E ,   nửa nhóm Hơn nữa, a  a  a a  A , a  b  b  a tất a, b  E Do đó, ta chứng minh phần kết sau: 1.1.8.Mệnh đề.Giả sử  E ,   nửa dàn Thế  E ,   nửa nhóm giao hốn bao gồm tồn phần tử lũy đẳng,  a, b  E  a  b a  b  a Đảo lại, giả sử  E ,. nửa nhóm giao hốn gồm tất phần tử lũy đẳng Thế quan hệ  E xác định a  b ab  a quan hệ thứ tự phận E , với quan hệ  E ,   trở thành nửa dàn Trong  E ,   , giao a b tích ab chúng Chứng minh Giả sử  E ,. nửa nhóm giao hoán lũy đẳng  xác định a  b ab  a Thế a  a nên a  a Giả sử a  b b  a Thế ab  a ba  b nên a  b Bây a  b b  c ab  a bc  b nên ac   ab  c  a  bc   ab  a Do đó, a  c Như  quan hệ thứ tự phận E Vì a  ab   a 2b  ab b  ab   ab2  ab (Do  E ,. giao hoán) nên ab  a, ab  b Nếu c  a, c  b ac  c, bc  c nên c  ab    ca  b  cb  c , c  ab Từ đó, ab  a  b 1.2 Nửa nhóm quan hệ tập Ta nhắc lại rằng, quan hệ hai  tập hợp X tập tích Đề-các X  X   a, b  | a, b  X  Nếu  a, b    ta nói a có quan hệ  với b viết ab Tập rỗng  quan hệ hai ngơi X chứa quan hệ hai ngơi khác X Ngồi ra, ta quan tâm đến hai quan hệ hai đặc biệt sau đây: Quan hệ phổ dụng  X cho X   x, y  | x, y  X   X  X quan hệ (hay quan hệ đường chéo) 1X cho 1X   x, x  | x  X  Tập hợp tất quan hệ hai ngơi X kí hiệu B X Trong B X ta đưa vào phép toán hai theo quy tắc: tất  ,  BX ,  x, y     tồn z  X cho  x, z    ,  z, y   Thế với  , , B X có               ;           Nói cách khác  B X ,  nửa nhóm 10 1.2.1 Định nghĩa Nửa nhóm  B X ,  gọi nửa nhóm quan hệ hai ngơi X Nửa nhóm  B X ,  có đơn vị 1X , vị nhóm 1.2.2 Định nghĩa Giả sử  quan hệ hai X i) Miền xác định  tập X cho dom : x  X |  y  X  x, y    ii) Ảnh  tập X cho im :=  y  X |  x  X  x, y    Dễ thấy với  , B X ,     dom  dom , im  im Đối với x  X ,  B X ta định nghĩa tập x X cho x :  y  X |  x, y    Như x   x  dom Nếu A tập X ta định nghĩa A : a | a  A Đối với  B X ta định nghĩa quan hệ ngược  1 cho  x, y    1  y, x    Giả sử  , 1, , n BX Thế kiểm tra   1 1  1 2 ; n   n1 21 11 ; 1      1   1 ; dom   1   im , im   1   dom ; Hơn nữa, x 1   x  im 26 nửa nhóm ngược S  nửa nhóm ngược (Hệ 2.2.2) x  E S , e  ES cho e  x (Hệ 1.1.6)  2.3.9 Mệnh đề.Một tương đẳng  nửa nhóm ngược S tương đẳng nhóm tr     ES  ES Chứng minh Nếu tr     ES  ES S 2.1.6 Vì S nửa nhóm ngược nên S 2.2.2, từ S  có lũy đẳng theo Hệ  nửa nhóm ngược theo Hệ  nhóm theo ý Khẳng định ngược lại hiển nhiên 2.3.10 Chú ý (i) Nếu  tương đẳng nhóm nửa nhóm ngược S min vậy, tr  min   tr     ES  ES Nói riêng, min tương đẳng nhóm nhỏ S , tương đẳng nhóm  tùy ý S , có   min Tương đẳng nhóm nhỏ nửa nhóm ngược S ký hiệu  S Giả sử  tương đẳng nhóm S Thế  S  S   , nên theo Định lý đồng cấu cảm sinh, tồn đồng cấu  : S S  S   cho   S#   # Điều có nghĩa nhóm G _ ảnh đồng cấu S _ ảnh đồng cấu S  S Với ý nghĩa đó, S  S ảnh đồng cấu nhóm tối đại S (ii) Nếu S khơng phải nửa nhóm ngược S khơng có tương đẳng nhóm nhỏ Ví dụ xét nửa nhóm cộng số nguyên   Tương đẳng nhóm có có dạng n   p, q  | p  q  mod n  với n số nguyên 27 dương tùy ý, với m, n , có n  m m \ n nên  khơng có tương đẳng nhóm nhỏ 2.3.11 Mệnh đề(Định lý Munn).Trong nửa nhóm ngược S , x S y  e  ES : xe  ye Chứng minh Vì  S   nên x S y  e  ES : xe  ye, x 1x S e, y 1 y S e , x 1x, y 1 y  ES kết luận Mệnh đề 2.3.11 chứng minh 2.3.12 Định nghĩa Một tương đẳng  S gọi tương đẳng tách lũy đẳng  _ lớp có khơng q lũy đẳng S , nghĩa e f  e, f  ES   e  f Từ Định nghĩa 2.3.12, trực tiếp suy 2.3.13 Bổ đề.Nếu  tương đẳng tách lũy đẳng S tr     iE   e, e  | e  ES  2.3.14 Chú ý Từ Định lý 2.3.6 suy nửa nhóm ngược S , tồn tương đẳng tách lũy đẳnglớn nhất, ký hiệu  S 2.3.15 Mệnh đề.Với nửa nhóm ngược S tùy ý, xS y  e  ES : x1ex  y 1ey Chứng minh Suy trực tiếp từ Định lý 2.3.6, tr  S   iE 28 CHƢƠNG TƢƠNG ĐẲNG TRÊN AG **  PHỎNG NHĨM NGƢỢC HỒN TỒN 3.1 Dàn tƣơng đẳng AG **  nhóm ngƣợc hồn tồn Ta nhắc lại tập hợp khác rỗng A với phép toán hai ngơi gọi nhóm 3.1.1 Định nghĩa Giả sử A nhóm (i) A gọi AG  nhóm A đồng thức  xy  z   zy  x thỏa mãn; (ii) A gọi AG **  nhóm A AG-phỏng nhóm A đồng thức x  yz   y  xz  thỏa mãn; (iii) A gọi AG **  nhóm ngược A AG **  nhóm phần tử a  A có phần tử ngược cho  aa  a  a,  a a  a 1 1 1  a 1 ; (iv) A gọi AG **  nhóm ngược hồn tồn A AG **  nhóm ngược A thỏa mãn đồng thức xx1  x1x thỏa mãn Các khái niệm tương đẳng dàn tương đẳng nhóm hiểu 1.3 Giả sử C  A dàn đầy đủ tất tương đẳng nhóm A Khi L   C  A |     dàn C  A dàn modular Giả sử A AG **  nhóm ngược hồn tồn Chúng ta tìm hiểu dàn đầy đủ 1A ,   tất tương đẳng tách lũy đẳng A Giả sử 1,  21A ,    a, b   1.2 Thế tồn c  A cho a1c, c2b 29 Nhớ rằng,  a, b     aa 1  bb1 1, 2   nên aa 1  cc1  bb1 Từ đó, a  aa 1.a  cc1.a2bc 1.a  ac 1.b1cc 1.b  bb1.b  b ,  a, b   2 1 Như 12  2 1 Bằng đối xứng, 2 1  12 Như vậy, ta trình bày kết sau (Xem thêm Mệnh đề 1.3.9) 3.1.2 Định lý.Giả sử A AG **  nhóm ngược hồn tồn  tương đẳng tách lũy tối đại A cho  a, b     aa 1  bb1 Thế đoạn 1A ,   gồm tất tương đẳng tách lũy đẳng A dàn modular Một AG  nhóm với đơn vị trái phần tử khả nghịch bên trái gọi AG  nhóm Nếu A AG  nhóm A AG **  nhóm ngược hoàn toàn Hơn nữa, tương đẳng A tương đẳng tách lũy đẳng tương đẳng A giao hoán với (Xem thêm Mệnh đề 1.3.9) Do từ Định lý 3.1.2 trực tiếp nhận 3.1.3 Hệ Dàn tương đẳng AG  nhóm dàn modular 3.1.4 Ký hiệu Một AG **  nhóm ngược hồn tồn nửa dàn E A AG  nhóm Ge  e  EA  , Ge  a  A | aa 1  e Quan hệ  xác định nửa dàn E A e  f  ef  e quan hệ thứ tự gọi thứ tự phận tự nhiên E A Giả sử e  f ae  Ge Thế fae  G f Ge  G fe  G f Từ định nghĩa ánh xạ e, f : Ge  G f aee, f  fae  ae  Ge  Ở đây, aee, f  e, f  as  theo cách viết thông thường Hơn nữa, tất ae , be  Ge , có  fae  fbe    ff  aebe    f  aebe  , nên  aee, f  bee, f    aebe e, f (1) 30 Nghĩa e, f đồng cấu từ AG  nhóm Ge vào AG  nhóm G f Đặc biệt ee, f  f (Điều suy từ điều kiện e  f ) Quan sát thấy e ,e tự đẳng cấu đồng nhóm AG  nhóm Ge Giả thiết e  f  g Thế ae  Ge , có  a   e e, f f ,g  g  fae    gg   fae    gf   gae   g  gae   gae  aee, g (Vì age  Gg Ge  Gge  Gg ), nghĩa e, f  f , g  e, g (2) Đối với e, f , g  EA cho e  f  g Cuối cùng, giả sử ae  Ge a f  G f (và ae a f  Gef ; e  ef , f  ef ) Thế nhận a e a f   ef   a e a f    ef ef   a e a f     ef  a e    ef  a f  , nghĩa ae a f   aee,ef  a f  f ,ef  (3) Chú ý sử dụng luật trung tâm  ab  cd    ac  bd  chứng minh đẳng thức (1), (2), (3) Do AG- nhóm A nửa dàn E A AGe  nhóm e  EA đẳng thức 3.1.5 Ký hiệu Giả sử Y nửa dàn, F   A |   Y  họ AG  nhóm rời có dạng T , đánh số Y ( F họ AG- nhóm rời nhau) Cũng giả sử cặp  ,   Y  Y cho    tồn đồng cấu  , : A  A thỏa mãn: (i)  , tự đẳng cấu đồng A với  Y ; (ii)  , ,   , tất  ,  ,  Y cho      Đặt A   A :  Y  định nghĩa phép toán A quy tắc: a  A a  A a a   a ,  a ,  , phép nhân vế phải thực AG- nhóm A 31 Kiểm tra  A,. AG  nhóm Nếu bổ sung thêm điều kiện AG  nhóm A AG **  nhóm (đặc biệt, AG  nhóm)  A,. AG **  nhóm Cuối cùng, từ điều kiện (1) phép nhân trùng với phép nhân cho A , nên A nửa dàn AG  nhóm Chúng ta ký hiệu tích A phép nhân ghép viết A  Y ; A ; ,  Ta gọi AG  nhóm Y ; A ; ,  nửa dàn mạnh AG  nhóm A Thực tế, chứng minh kết sau (Xem (1), (2), (3)) 3.1.6 Định lý.Giả sử AG  nhóm A nửa dàn A  AG  nhóm Thế A nửa dàn mạnh AG  nhóm Cụ thể A   EA ; Ge ;e, f  , e, f  EA , Ge  e ; e, f : Ge  G f cho aee, f  fae ae a f   aee,ef  a f  f ,ef  (ae  Ge ) a G , a e e f Gf  Nói riêng, A AG **  nhóm Chứng minh Giả sử A nửa dàn A Từ E A  A  AG  nhóm,  tách lũy đẳng  , E A nửa dàn Như A nửa dàn E A AG  nhóm Ge  e ,  e  EA  Điều suy kết luận định lý Giả sử  tương đẳng AG **  nhóm ngược hồn tồn   A Ta nhắc lại hạt nhân  tập con: Ker     a  A |  a, a    Thế Ker     a  A | e  EA :  a, e     e | e  EA 32 Vết  thu hẹp  E A , ký hiệu tr    Thế tr    tương đẳng nửa dàn E A 3.1.7 Mệnh đề.Giả sử A   EA ; Ge ;e, f  AG **  nhóm ngược hồn toàn a, b  A cho ab  EA Thế ab  ba Chứng minh Đặt ab  e  EA Thế ba  b  aa 1.a    aa 1   ba    ab   a 1a   EA Vì ab, ba  Ge nên ab  ba (bởi Ge có lũy đẳng Ge AG  nhóm) Định lý sau nói tương đẳng AG **  nhóm ngược hồn tồn xác định hạt nhân vết 3.1.8 Định lý.Nếu  tương đẳng AG **  nhóm ngược hồn tồn A ,  a, b      aa 1, bb1   tr    ab1  ker    Như vậy, 1, 2 C  A , 1  2  tr  1   tr  2  ker  1   ker  2  Do đó, tương đẳng AG **  nhóm ngược hồn tồn xác định hạt nhân vết Chứng minh Giả sử  a, b    Thế  a 1, b1  ,  ab1, bb1    nên  aa 1, bb1   tr    (vì aa 1, bb1  EA ) ab1  ker    Đảo lại, giả sử  aa 1, bb1   tr    , ab1  ker    Thế  a  , b    A  ,  A A  tương đẳng tách lũy đẳng lớn  (Định lý 3.4 [5]) 33 Do  ab   , bb      1 1 A 1  Vì ab  ker    nên  ab    bb   (theo Định lý 3.4(c) [5]) 1 1 Như a   aa 1.a    bb 1.a    ab 1.b    bb 1.b    b   a, b    3.1.9 Chú ý Chú ý phần đầu Định lý 3.1.8 nửa nhóm Cliphơt tùy ý, nửa nhóm với phép tốn ngơi a a 1 thỏa mãn đồng thức: a  1 1  a, aa 1a  a, aa 1  a 1a,  a.a 1  bb1   bb1  a.a 1  Thật vậy, ab1  ker     ab1     b1a     b1b   , Do a   aa 1.a     bb1.a     b.b1a    b.b1b    b Rõ ràng điều kiện ab1  ker    Định lý 3.1.8 tương đương với điều kiện a 1b  ker    từ Mệnh đề 3.1.7, tương đương với điều kiện b1a  ker    3.1.10 Định lý.Giả sử 1 , 2 tương đẳng AG **  nhóm A Thế hai điều kiện sau tương đương: (i) e1  e2 e  EA ; (ii) 1  2 Chứng minh (i)  (ii) Giả sử a  b1 Thế aa 1   bb1  1   bb1  2 (vì bb1  EA )và ab1   bb1  1   bb1  2 Do theo Định lý 3.1.8, a  b2 nghĩa 1  2 (ii)  (i) hiển nhiên 34 3.2 Nửa dàn AG  nhóm Chúng ta biết nửa nhóm S nửa dàn nhóm, lũy đẳng phần tử trung tâm, nghĩa se  es , tất s  S , e  ES Mệnh đề sau chứng tỏ khơng có AG  nhóm khơng kết hợp mà nửa dàn AG  nhóm lũy đẳng phần tử trung tâm 3.2.1 Mệnh đề.Giả sử A AG  nhóm mà nửa dàn AG  nhóm Nếu lũy đẳng A phần tử trung tâm, A nửa dàn mạnh nhóm Abel Nói riêng, A nửa nhóm giao hốn Chứng minh Giả sử A   EA ; Ge ;e, f  Nếu lũy đẳng A phần tử trung tâm, e  EA , có ae  ea a  Ge Điều kéo theo Ge nhóm giao hốn, A nửa dàn mạnh nhóm Abel Từ định nghĩa phép nhân  EA ; Ge ;e, f  Ge nhóm Abel suy A nửa nhóm giao hốn 3.2.2 Chú ý Giả sử A AG **  nhóm ngược hồn tồn Thế ae  ea với a  A, e  EA a  a  a 1a  a  A   Thật vậy, ea  e  aa 1.a    e.aa 1  a   a.aa 1  e  a  a 1a  e Điều kéo theo a  a  a 1a  , lũy đẳng a phần tử trung tâm Khẳng định ngược lại rõ ràng Trong chứng minh Định lý 3.2 [6], chứng tỏ a  a  xa  a  A , x V  a  35 Mặt khác, A 2 : a | a  A AG **  nhóm, a 2b2   ab    2   tất a, b  A Hơn nữa, a 1 V a a  A Từ EA  A 2 Suy A 2 AG **  nhóm ngược hồn tồn mà lũy đẳng phần tử trung tâm Từ Mệnh đề 3.2.1 nhận 3.2.3 Định lý.Nếu A AG **  nhóm ngược hồn tồn, A  nửa dàn mạnh nhóm Abel với nửa dàn E A lũy đẳng Tiếp theo ta trình bày điều kiện cần đủ để AG  nhóm AG **  nhóm ngược hồn tồn 3.2.4 Định lý.Giả sử A AG  nhóm Thế điều kiện sau tương đương: (i) A AG **  nhóm ngược hồn tồn; (ii) A nửa dàn AG  nhóm; (iii) A nửa dàn mạnh AG  nhóm Chứng minh (i)  (ii) Theo Định lý 3.4 [5] (ii)  (iii) Theo Định lý 3.1.6 (iii)  (i) Trong trường hợp này, A AG **  nhóm (Xem Định lý 3.1.6) Giả sử a  A Thế a thuộc vào AG  nhóm Ge đó, e đơn vị trái Ge Bây giờ, xét phần tử ngược a 1 a Ge Thế a   aa 1  a, a 1   a 1a  a 1 aa 1  a 1a  e Do A AG **  nhóm ngược hồn tồn 3.2.5 Chú ý Dựa vào Định lý 3.2.4, xây dựng AG **  nhóm ngược hồn tồn 36 3.2.6 Định nghĩa Giả sử A AG **  nhóm ngược hồn tồn Thế quan hệ  A xác định A a  A b a  EAb thứ tự phận tự nhiên A Chú ý thu hẹp  A A thứ tự tự nhiên E A , viết  thay cho  A 3.2.7 Bổ đề.Trong AG **  nhóm A tùy ý, quan hệ  thứ tự tương thích Hơn nữa, a  b kéo theo a 1  b1 tất a, b  A Chứng minh Rõ ràng  phản xạ bảo tồn phép tốn ngược Giả sử a  b b  a , nghĩa a  eb b  fa với e, f  EA Thế theo Mệnh đề 2.1 [6], ea  a Bằng cách sử dụng lại Mệnh đề 2.1 [6], a  eb  e  fa    ef  a   fe  a  f  ea   fa  b Từ  phản đối xứng Từ Mệnh đề 2.1 [6] suy  bắc cầu Cuối cùng, a  b c  d , nghĩa a  eb c  fd với e, f  EA đó, ac   eb  fd    ef  bd  với ef  EA Như vậy, ac  bd  tương thích 3.2.8 Mệnh đề.Giả sử A AG **  nhóm ngược hồn tồn, 1A quan hệ đồng A  tương đẳng tách lũy đẳng tối đại A ,    1A Chứng minh Giả sử  a, b       Thế  a, b       a, b      Từ a  eb với e  EA aa 1  bb1 Thế a.a 1   eb   eb1    ee   bb1   e  bb1    eb  b1  ab1 Do a   aa 1  a   bb1  a   ab1  b   aa 1  b  bb1  b  b Mệnh đề 3.2.8 phát biểu sau 37 3.2.9 Hệ quả.Giả sử A   EA ; Ge ;e, f  AG **  nhóm ngược hồn tồn Thế thu hẹp  AG- nhóm Ge quan hệ đồng Ge với e  EA 3.2.10 Định nghĩa Giả sử B tập khác rỗng AG**- nhóm ngược hồn tồn Thế tập B : a  A |  b  B  b  a gọi bao đóng B A Nếu B  B B gọi đóng A Từ định nghĩa suy B đóng A với tập B 3.2.11 Định nghĩa Giả sử B tập khác rỗng AG **  nhóm ngược hồn tồn A (i) B gọi nhóm A a, b  A a.b  B (ii) B gọi AG **  nhóm ngược hồn tồn A B nhóm A thỏa mãn điều kiện: với b  B b1  B Từ định nghĩa suy thân B AG **  nhóm ngược với phép toán A cảm sinh B Sử dụng Bổ đề 3.2.7, ta nhận kết sau 3.2.12 Mệnh đề ([6]) Nếu B AG **  nhóm ngược hồn tồn AG **  nhóm ngược hồn tồn A , B AG **  nhóm ngược hồn tồn đóng A Nói riêng, E A AG **  nhóm ngược hồn tồn đóng A Hơn EA  a  A | e  EA : ea  EA 38 3.2.13 Định nghĩa (i) Một tập khác rỗng B nhóm A gọi đơn nguyên trái (phải) ba  B (tương ứng, ab  B ) kéo theo a  B b  B, a  A (ii) B gọi đơn nguyên B vừa đơn nguyên trái vừa đơn nguyên phải (iii) Phỏng nhóm A gọi E - đơn nguyên E A đơn nguyên 3.2.14 Mệnh đề.Giả sử E A tập đơn nguyên trái AG  nhóm A Thế E A đơn nguyên phải Nếu bổ sung thêm điều kiện A AG **  nhóm, điều kiện sau tương đương: (i) A E - đơn nguyên (ii) E A đơn nguyên trái (iii) E A đơn nguyên phải Chứng minh (i)  (ii), (iii) rõ ràng (ii)  (i) Giả sử a  A, e  EA giả sử ae  f  EA Thế  ae  f  EA nên  fe  a  EA Như a  EA , fe  EA E A đơn nguyên trái (iii)  (i) Giả sử a  A, e  EA ea  f  EA Thế cách sử dụng Mệnh đề 2.1 [6], có : f  f  ea    fe  a   ae  f Từ ae  EA Như a  EA E A đơn nguyên phải 39 KẾT LUẬN Trong luận văn chúng tơi trình bày vấn đề sau: Hệ thống kiến thức tập thứ tự, nửa dàn dàn, nửa nhóm quan hệ tập, dàn tương đẳng nửa nhóm Khái niệm, ví dụ tính chất nửa nhóm quy, nửa nhóm ngược AG **  nhóm Chứng minh tương đẳng nửa nhóm ngược AG **  nhóm ngược hồn tồn xác định hạt nhân vết ( Định lý 2.2.7, Định lý 3.1.8) Tìm hiểu phân loại tương đẳng nửa nhóm ngược tính chất nửa dàn AG  nhóm 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] A.H.Cliphơt G.B Preston (1970), Lý thuyết nửa nhóm, dịch Tiếng Việt Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà Nội [2] Lê Quốc Hán (2008), Giáo trình lý thuyết nửa nhóm lý thuyết nhóm, Trường Đại học Vinh Tiếng Anh [3] M Bozinovic, P V Protic, N Stevanovic (2008), Kernel nomal system of inverse AG **  groupoids, Quasigr Relat Syst 17, 1-8 [4] W A Dudek, R S Gigon (2012), Congruences on completely inverse AG **  groupoids, Quasigr Relat Syst 20 (In print) [5] W A Dudek, R S Gigon (2013), Completely inverse AG **  groupoids, Semigroup Forum, 87, 201-229 [6] J M Howie (1995), Fundamentals of Semigroup Theory, Oxford University press [7] Q Mushtaq, A Bano (2004), Embedding of an AG **  groupoids in a commutative monoid, Quasigr Relat Syst 12, 75-78 [8] Q Mushtaq, M Khan (2009), Semilattice decomposition of locally associative AG **  groupoids, Algebra colloq, 16, 17-22 [9] P V Protic (2009), Congruences on an inverse AG **  groupoids via the natural partical order Quasigr Relat Syst 17, 283-290 [10] P V Protic, M Bozinovic (1995), Some congruences on an AG **  groupoid Filomat (Nis), 9, 879-886 ... tương đẳng tùy ý nửa nhóm S Thế   max Bây ta xét số tương đẳng đặc biệt nửa nhóm ngược: tương đẳng nhóm tương đẳng tách lũy đẳng 2.3.8 Định nghĩa Tương đẳng  nửa nhóm S gọi tương đẳng nhóm. .. loại tương đẳng nửa nhóm ngược Chương Tương đẳng AG **  nhóm ngược hồn tồn Trước hết chúng tơi trình bày AG  nhóm AG **  nhóm ngược Tiếp theo chúng tơi trình bày dàn tương đẳng AG **  nhóm nhóm... nửa nhóm quan hệ tập, dàn tương đẳng nửa nhóm để làm sở cho việc trình bày chương sau 5 Chương Tương đẳng nửa nhóm ngược Trong chương chúng tơi trình bày nửa nhóm ngược, tương đẳng nửa nhóm ngược