Tương đẳng trên e nửa nhóm e ngược

Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh Nguyễn thị nhung T-ơng Đẳng E nửa nhóm e ng-ợc Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mà số: 60.46.05 luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Quốc hán Vinh - 2009 Lời nói đầu T-ơng đẳng khái niệm đ-ợc nhiều nhà khoa học quan tâm, nghiên cứu kết chúng đóng vai trò đặc biệt quan trọng Toán học Trong luận văn này, xét số t-ơng đẳng đặc biệt E - nửa nhóm E - ng-ợc Năm 1954, G B Preston đà chứng minh đ-ợc t-ơng đẳng nửa nhóm ng-ợc S hoàn toàn đ-ợc xác định họ tập chứa luỹ đẳng đặc biệt S mà ông gọi hệ hạt nhân chuẩn S Năm 1986, F Pastijin M Petric đà mô tả t-ơng đẳng nửa nhóm quy theo hạt nhân vết chúng Dựa vào báo Certain Congruences on E - inversive E - semigroups Barbara Weipoltshammer đăng tạp chí Semigroup Forum số 65(2002) trình bày cách chi tiết có hệ thống cấu trúc t-ơng đẳng nhóm, t-ơng đẳng dàn, nh- t-ơng đẳng quy, t-ơng đẳng tách - luỹ đẳng E - nửa nhóm E ng-ợc Luận văn gồm ch-ơng Ch-ơng 1: Kiến thức chuẩn bị Trong ch-ơng đà trình bày kiến thức sở băng, nửa dàn, nửa nhóm quy, nửa nhóm ng-ợc, t-ơng đẳng nửa nhóm ng-ợc Ch-ơng 2: T-ơng đẳng E nửa nhóm E ng-ợc Đây nội dung luận văn Tiết trình bày lại định nghĩa, ví dụ, số tính chất liên quan đến E nửa nhóm E - ng-ợc Tiết trình bày lại đặc tr-ng t-ơng đẳng nhóm nhỏ E - nửa nhóm E - ng-ợc, số t-ơng đẳng nửa dàn E - nửa nhóm E - ng-ợc mà nửa nhóm quy suy rộng S, chúng t-ơng đẳng nửa dàn nhỏ S Tiết chứa số kết t-ơng đẳng quy nửa nhóm E - ng-ợc chứng tỏ nửa nhóm quy suy rộng, t-ơng đẳng quy nhỏ nói chung không tồn Bằng ph-ơng pháp thứ tự phận tự nhiên nhắc lại định nghĩa hai t-ơng đẳng quy mà số nửa nhóm quy chúng trùng với quan hệ đồng Ngoài tiết xét t-ơng đẳng - tách luỹ đẳng đ-ợc định nghĩa nửa nhóm tuỳ ý đ-a mô tả đặc biệt t-ơng đẳng E - nửa nhóm nửa nhóm E - trù mật t-ơng ứng Luận văn đ-ợc thực hoàn thành tr-ờng Đại học Vinh Nhân dịp tác giả xin đ-ợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Quốc Hán, PGS.TS Nguyễn Thành Quang, TS Nguyễn Thị Hồng Loan thầy cô giáo tổ Đại Số đà tạo điều kiện giúp đỡ h-ớng dẫn tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù đà cố gắng, song luận văn tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đ-ợc đóng góp quý báu thầy, cô giáo bạn đồng nghiệp Chúng xin chân thành cảm ơn Vinh, tháng 11 2009 Tác giả Ch-ơng I Kiến thức chuẩn bị 1.1 Băng nửa dàn 1.1.1 Định nghĩa i, Một quan hệ tập X đ-ợc gọi thứ tự phận cđa X nÕu quan hƯ ®ã tháa m·n tÝnh chất: phản xạ, đối xứng, bắc cầu ii, Giả sử E tập hợp tất t-ơng đẳng nửa nhóm S Khi quan hệ xác định trªn E bëi : e  f (e.f  E) ef = fe = e đ-ợc gọi thứ tự phận tự nhiên E iii, Phần tư b thc tËp s¾p thø tù bé phËn X đ-ợc gọi l cận tập Y X y b với y Y Cận b tập Y đ-ợc gọi l cận bé nhất, hợp tập Y b c với cận tập hợp Y Nếu Y có hợp X, rõ ràng hợp l iv, Cận d-ới v cận d-ới lớn đ-ợc định nghĩa cách đối ngẫu Tập thứ tự phận X đ-ợc gọi l nửa dn ( d-ới ), tập gồm hai phần tử{ a,b }của tập X có hợp (giao) X; tr-ờng hợp tập hữu hạn X có hợp( giao) Hợp (giao) {a,b} sÏ ký hiÖu bëi a v b (a  b) v, Mét dàn mét tËp s¾p thø tù phận, đồng thời vừa l nửa dn vừa l nửa dn d-ới Dn X đ-ợc gọi l đầy đủ tập X có hợp v giao vi, Băng l nửa nhóm S m phần tử l luỹ đẳng 1.1.2 Ví dụ Giả sử X l tập tất nhóm nhóm S kể tập rỗng Thế X đ-ợc thứ tự phận theo quan hƯ giao bao hàm cđa lý thut tËp.V× giao cđa tập hợp tuỳ ý nhóm S kể tập rỗng, l nhóm S nên X l dn đầy ®ñ Giao cña mét tËp Y cña X trïng với giao theo lý thuyết tập hợp phần tử thuộc tập hợp Y, lúc hợp Y mét pháng nhãm cña S sinh bëi hợp theo lý thuyết tập nhóm thuộc Y Tất lý luận nÕu ta thay tõ “pháng nhãm hay tËp hỵp S từ tương đẳng S Mặt khác, tập hợp iđêan trái (phải, hai phía) nhóm S, kể tập rỗng, đóng phép hợp theo lý thuyết tập nh- giao, nên l dn đầy đủ đại số Bun tất tập hợp S Băng l nửa nhóm S m phần tử l luỹ ®¼ng Nh- vËy S = E nÕu S mét băng v ó S đ-ợc thứ tự phËn tù nhiªn (a  b ab = ba = a) 1.1.3.Định lý Một băng giao hoán S l nửa dàn d-ới thứ tù bé phËn tù nhiªn trªn S Giao a  b cđa hai phÇn tư a b cđa S trùng với tích ab chúng Đảo lại, nửa dàn d-ới băng giao hoán phép giao Chứng minh Nh- trên, ta đà chứng tỏ r»ng quan hƯ  quan hƯ s¾p thø tù bé phËn trªn S (= E ) Ta chøng tá r»ng tÝch ab ( = ba ) cđa hai phÇn tư a, b thc S trïng víi cËn d-íi lín nhÊt,bÐ nhÊt cña {a,b} Tõ baa = ba = ba (ab)b = ab = ab suy r»ng ab  a ab  b Gi¶ sư c  a c  b ThÕ th× (ab)c = a(bc) = ac = c, t-¬ng tù, c (ab) = c, tõ ®ã c  ab MƯnh ®Ị đảo hiển nhiên Ta nêu ví dụ băng không giao hoán Giả sử X v Y l hai tập tùy ý Ta định nghĩa phép toán hai S = X x Y cách đặt (x , y ) (x , y ) = (x , y ), (x , x  X ; y , y Y) Tính kết hợp luỹ đẳng phép toán hiển nhiên Ta gọi S băng chữ nhật tập X x Y Lý tên gọi nhsau Ta t-ởng t-ợng X x Y l bảng chữ nhật gồm điểm, điểm (x,y) nằm dòng x cột y bảng.Thế a = x , y ) a = (x , y ) l hai đỉnh đối diện hình chữ nhật X x Y v X x Y đẳng cấu với X = X ' Y = Y ' NÕu X = ( Y = ) băng chữ nhật X x Y đẳng cấu với nửa nhóm phần tử không bên phải (bên trái) Y ( X ) Ta hiĨu sù ph©n tÝch mét nưa nhãm S phân chia thành hợp nöa nhãm rêi S  (   ) Để phân tích xác hơn, điều cần thiết nửa nhóm S phải nửa nhóm thuộc loại hẹp S, chẳng hạn nửa nhóm đơn hay nhóm Gi¶ sư S =  { S  /  } phân tích nửa nhóm S cho với cặp phần tử , thuộc tập số tồn phần tử   ®Ĩ S  S   S Dễ thấy trở thành băng phép toán Ta nói S hợp băng nửa nhóm S ánh xạ xác ®Þnh bëi a  =  nÕu a S , đồng cấu từ S lên , nửa nhóm S lớp t-ơng đẳng Đảo lại đồng cấu từ nửa nhóm S lên băng ảnh ng-ợc S = phần tử nửa nhóm S S hợp băng c¸c nưa nhãm S  (   ) NÕu băng giao hoán, ta nói S hợp nửa dàn nửa nhóm S ( ) Nếu cấu trúc S ( ) đà biết ta cã thĨ nãi ta biÕt “cÊu tróc th«” cđa nưa nhóm S Việc mô tả cấu trúc mịn S, tức xét xem phần tử S khác nhân với nh- nào, vấn đề khó Ta dùng cách gọi tắt : S băng (nửa dàn) nửa nhóm kiểu C, để S tập hợp băng (nửa dàn) nửa nhãm S  (   )   , S có kiểu C 1.2 Nửa nhóm quy Nửa nhóm ng-ợc 1.2.1 Định nghĩa Phần tử a thuộc nửa nhóm S đ-ợc gọi phÇn tư chÝnh quy nÕu a  aSa hay nãi c¸ch kh¸c: a = axa víi x  S Nưa nhóm S đ-ợc gọi quy phần tư cđa nã lµ chÝnh quy NÕu axa = a e = ax lũy đẳng, n÷a ea = a ThËt vËy: e = (ax) (ax) = (axa)x = e vµ ea = axa = a T-ơng tự f = xa luỹ đẳng S af = a Ta ý a phần tử quy thuộc nửa nhóm S idean phải aS = a  aS sinh bëi a b»ng aS , v× a = af kÐo theo a  aS T-¬ng tù S a = Sa 1.2.2 Bổ đề Phần tử a thc nưa nhãm S lµ chÝnh quy vµ iđêan phải (trái) nửa nhóm S sinh a đ-ợc sinh luỹ đẳng đó, tức aS = eS (S a = S e) Chøng minh NÕu a quy axa = a với x thuộc S e = ax phần tử luỹ đẳng S mà ea = a Do aS = eS Đảo lại, giả thiÕt r»ng aS = eS vµ e = e Khi e = ex với x ®ã thuéc S, v× vËy ea = e x = ex = a, e = ay víi y nµo ®ã thuéc S ,nªn a = ea = aya NÕu y = th× a = a víi a = aaa Do tr-ờng hợp a aSa, tức a quy 1.2.3.Định nghĩa i, Hai phần tử a b thuộc nửa nhóm S đ-ợc gọi ng-ợc aba = a bab = b ii, Nửa nhóm S đ-ợc gọi nửa nhóm ng-ợc phần tử có phần tử ng-ợc Nếu a b phần tử thuộc nhóm tối đại H ®ã cđa mét nưa nhãm S, ®Ỉc biƯt S nhóm a,b ng-ợc chúng nghịch đảo nhóm với nghĩa thông th-ờng Nếu phần tử a thuộc nửa nhóm S có phần tử ng-ợc với a quy 1.2.4.Bổ đề Nếu a phần tử quy thuộc nửa nhóm S, chẳng hạn axa = a víi x  S, th× a cã Ýt nhÊt phần tử ng-ợc với , chẳng hạn phần tư xax Chøng minh Gi¶ sư b = xax ThÕ th×: aba = a(xax)a = ax(axa)x = xax = b Do b ng-ợc với a 1.2.5 Bổ đề Hai phần tử thuộc nửa nhóm S nghịch đảo nhóm S chúng ng-ợc Chứng minh Giả sử a b phần tử ng-ợc giao hoán với thuộc nửa nhóm S e = ab(= ba) Khi e luỹ đẳng ea = ae = a eb = be = b Do a b phần tử khả nghịch eSe thuộc nhóm tối đại He S chứa e Vì ab = ba = e nên a b nghịch đảo nhóm He Mệnh đề đảo hiển nhiên Một phần tử quy có số phần tử ng-ợc với Nửa nhóm ng-ợc nửa nhóm phần tử có phần tử ng-ợc Hiện nửa nhóm ng-ợc lập thành lớp nửa nhóm có nhiều triển vọng cho việc nghiên cứu chúng gần nhóm 1.2.6 Bổ đề Nếu e, f, ef, fe luỹ đẳng thuộc nửa nhóm S ef fe ng-ợc Chứng minh Ta có (ef)(fe)(ef) = ef2e2f = effe = (ef)2 = ef T-¬ng tự (fe)(ef)(fe) = fe 1.2.7 Định lý Ba điều kiện sau nửa nhóm S t-ơng đ-ơng: (i) S quy hai luỹ đẳng giao hoán với (ii) Mỗi iđêan phải iđêan trái S có phần tử sinh luỹ đẳng (iii) S nửa nhóm ng-ợc (tức phần tử thuộc S có phần tử ng-ợc nhất) Chứng minh (i) (ii) Theo bổ đề 1.2.2, iđêan phải S có phần tử sinh luỹ đẳng Giả thiết e f luỹ đẳng sinh iđêan phải tức eS = fS Khi ef = f fe = e Nh-ng theo (i), ef = fe nªn e = f (ii)  (iii) Theo bỉ ®Ị 1.2.2, nưa nhãm S chÝnh quy ChØ cÇn chøng minh sù nhÊt phần tử ng-ợc Giả sử b c ng-ợc víi a Khi ®ã aba = a, bab = b, aca = a, cac = c Tõ ®ã abS = aS = acS vµ Sba = Sa = Sca = Sa = Sca nên ab = ac ba = ca (theo (ii)) Do ®ã b = bab = bac = cac = c (iii)  (i) Râ rµng mét nửa nhóm ng-ợc quy Chỉ phải chứng tỏ hai luỹ đẳng giao hoán với Tr-íc hÕt ta ph¶i chøng minh tÝch ef cđa hai luỹ đẳng e (af)a(ef) = ef, a(ef) = a 10 Đặt b = ae Thế thì: (ef)b(ef) = efae f = efaef = ef b (ef)b = ae fae = aefae = ae =b Do ®ã b phần tử ng-ợc ef, nên theo tÝnh chÊt (iii) ae = b =a T-¬ng tù cã thĨ chøng minh r»ng fa = a Do ®ã a = (ae)(fa) = a(ef)a = a Nh-ng mét luü đẳng phần tử ng-ợc dïng ®iỊu kiƯn (iii) ta kÕt ln a = ef Nh- ef luỹ đẳng Bây giả sử e f hai luỹ đẳng bất kỳ, theo điều vừa chứng minh, ef fe luỹ đẳng Theo Bổ đề 1.2.6 chúng ng-ợc Vậy ef fe ng-ợc ef, ef = fe 1.2.8 Bổ đề Đối với phần tử a,b tuỳ ý thuộc nửa nhóm ng-ợc S có hệ thức (a ) 1 = a vµ (ab) 1 = a 1 b 1 Chøng minh HƯ thøc thø nhÊt lµ hiĨn nhiªn Ta chøng minh hƯ thøc thø hai Ta cã (ab)(b 1 a 1 )(ab) = a(b b 1 )( a 1 a)(b b 1 )b = a(a-1a)(b-1b)b = ab, (b 1 a 1 )(ab) (b 1 a 1 ) = b-1(a-1a)(bb-1)a-1 = b 1 (bb 1 )( a 1 a)a 1 = b 1 a 1 Do ®ã b 1 a 1 ng-ỵc víi ab 1.2.9 Bỉ đề Nếu e f luỹ đẳng nửa nhóm ng-ợc S Se Sf = Sef (=Sfe) Chøng minh NÕu a  Se  Sf th× ae = af = a nªn aef = af = a a Sef Đảo lại, a  Sef (= Sfe) th× aef = afe = a từ ae = af = a, tức a  Sef( = Sfe) th× aef = afe = a từ ae = af = a, tức a Se Sf 1.3 T-ơng đẳng nửa nhóm ng-ợc 1.3.1 Tính di truyền ảnh 1.3.1.1 Bổ đề Giả sử S nửa nhóm ng-ợc :S P đồng cấu nửa nhóm Thế (S) nửa nhóm ng-ợc cđa P Chøng minh V×  (x) =  (xx 1 x) =  (x)  ( x 1 ) (x) nên (S) nửa nhóm quy Gi¶ sư g,h  E (  (S)) Khi ®ã tån t¹i e, f  E(S) cho g = (e) h = (f) Do gh =  (e)  (f) =  (ef) = (fe) = hg nên luỹ đẳng (S) giao hoán Từ (S) nửa nhóm ng-ợc P 1.3.1.2 Hệ Nếu t-ơng đẳng nửa nhóm ng-ợc S S / nửa nhóm ng-ợc 11 1.3.1.3 Hệ i, Giả sử t-ơng đẳng nửa nhóm ng-ợc S Thế thì: x y x 1  y 1 (x, y  S), ii, Giả sử : S P đồng cấu từ nửa nhóm ng-ợc S lên nửa nhóm ng-ợc P ThÕ th×:  ( x 1 ) =  ( x) , x S Định nghĩa Một nửa nhóm T nửa nhóm ng-ợc S đ-ợc gọi nửa nhóm ng-ợc mäi x T, cã x 1  T, ®ã x phần tử ng-ợc x S Chú ý nửa nhóm nửa nhóm ng-ợc nửa nhóm ng-ợc 1.3.1.4 Bổ đề Giả sử A nửa nhóm nửa nhóm ng-ợc S Thế A nửa nhóm ng-ợc S x 1  A víi mäi x  A 1.3.1.5 Hệ Giả sử : S P đồng cấu từ nửa nhóm ng-ợc S vào nửa nhãm P NÕu e  E(P) th×  1 (e) nửa nhóm ng-ợc S Chứng minh NÕu  ( x) = e =  ( y) th×  (xy) =  ( x)  ( y) = e.e = e = e nªn xy  1 (e) VËy  NÕu x    1 1 1 (e) lµ mét nưa nhãm cđa S (e) ( x) = e nên ( x 1 ) =  ( x) 1 = e = e Do (e) nửa nhóm ng-ợc S Định nghĩa Với iđêan I nửa nhóm S, kí hiệu S/I th-ơng Rees S đ-ợc gọi mở rộng iđêan I S / I 1.3.1.6 Mệnh đề Giả sử I iđêan nửa nhóm S Khi S th-ơng Rees S đ-ợc gọi nửa nhóm ng-ợc I S / I nửa nhóm ng-ợc 1.3.2 Hạt nhân vết Định nghĩa Giả sử t-ơng đẳng nửa nhóm S chứa luỹ đẳng Khi ta định nghĩa hạt nhân tập: Ker ( ): = {x  S | x  e víi e E(S) đó} vết tập tr (  ): = {(e,f) | e,f  E(S)} 12 2.3.1.1 Định nghĩa T-ơng đẳng nửa nhóm S đ-ợc gọi t-ơng đẳng quy S / nửa nhóm quy Mục đích tiết nhằm tìm t-ơng đẳng quy nửa nhóm E - ng-ợc Tr-ớc tiên chØ r»ng trªn mét E- nưa nhãm E - ng-ợc hay chí E - nửa nhóm quy suy rộng t-ơng đẳng quy nói chung không tồn 2.3.1.2 Ví dụ Giả sử S nửa nhóm đ-ợc cho bảng Cayley S a b c d e f g a e g a e e g e b c d e d e e f c e f c e e f e d e d e d e e e e e e e e e e e f c e e e e e f g a e e e e e g Thế S nửa nhóm quy ruy rộng với lũy đẳng giao hoán E(S) = {c, d, e, g}, Reg(S) = {a, c, d e, f, g}, nghĩa b phần tử không quy S Các phân hoạch {{b, d}, {a, c, e, f, g}} vµ {{b, f},{a}, {e},{d, e}, {g,}} xác định t-ơng đẳng quy S (mỗi - lớp - lớp chứa phần tử quy S) Giả thiết tồn t-ơng đẳng quy nhỏ S Thế đ-ợc chứa giao vµ  Nh-ng    quan hệ đồng i s = i s , mâu thuẫn S kh«ng chÝnh quy Chóng ta sÏ sư dơng thø tù phận tự nhiên để định nghĩa hai t-ơng đẳng quy nửa nhóm E - ng-ợc cho tr-ớc 23 Nhắc lại thứ tự phận tự nhiên nửa nhóm S đ-ợc xác định bëi a ≤ b nÕu vµ chØ nÕu a = xb = by, xa = a = ay ®èi víi x, y S1 Cái thu hẹp thứ tự E(S) quan hệ quen thuộc lũy đẳng S: e f vµ chØ nÕu e = ef = fe NÕu a,b S a Reg(S) a b a = eb = bf e, f E(S) (Reither, 1994) Thứ tự phận tự nhiên đ-ợc gọi tầm th-ờng tất phần tử không so sánh đ-ợc 2.3.1.3 Bổ đề Giả sử S nửa nhóm Gi¶ sư a  S, a , a*  W(a) cho a , ≤ a* ThÕ th× a , a a*a aa , aa* Đối với nưa nhãm chÝnh quy suy réng ta cã kÕt qu¶ sau 2.3.1.4 Bổ đề Giả sử S nửa nhóm quy suy rộng, t-ơng đẳng S a, b S Nếu b W(a ) tồn a , W(a) cho a ,  b 2.3.1.5 Bỉ ®Ị Giả sử t-ơng đẳng nửa nhóm quy suy rộng S Thế t-ơng đẳng quy a S tån t¹i a ,  W(a) cho a a a , a Chứng minh Điều kiện cần Theo gi¶ thiÕt ta cã V(a  ) ≠ Ø Gi¶ sư b   V(a  )  W(a ) Thế tồn a , W(a) cho a , b, a  = (a  ) (b  ) (a  ) = (a  ) (a ,  ) (a  ) = (a a , a)  §iỊu kiện đủ: hiển nhiên Đối với nửa nhóm tùy ý, ta có kết sau 2.3.1.6 Bổ đề Giả sử S nửa nhóm t-ơng đẳng S, giả sử a S a , a*  W(a) víi a , ≤ a* ThÕ a a a*a Chứng minh: Theo bổ đề 2.3.1.3 a , ≤ a* kÐo theo a , a ≤ a*a, ®ã a a*a  a a , a a*a = a a , a a*a = a a , a a Từ bổ đề 2.3.1.4 bổ đề 2.3.1.5 suy ra: Để đạt đ-ợc t-ơng đẳng quy nhỏ nửa nhóm quy S cần liên hệ phần tử 24 không quy a S với phần tử a a , a  Reg(S) cho a ,  W(a) lµ lín nhÊt cã thĨ thø tù bé phận tự nhiên để tạo t-ơng đẳng đ-ợc sinh bëi quan hƯ Êy Trong nưa nhãm chÝnh quy suy rộng S cho s S, tập hợp W(s) nghịch đảo yếu s chứa phần tử lớn rõ ràng sÏ chän phÇn tư a , lín nhÊt thc W(a) VÝ dô tiÕt (2.3.1.2) chØ nửa nhóm E - ng-ợc, tập hợp E(S) nói chung phần tử cực đại Rõ ràng S nửa nhóm hữu hạn hay nửa nhóm E - ng-ợc chứa số hữu hạn phần tử quy W(a) (a S) chứa phần tử tối đại Hơn nữa, ví dụ nửa nhóm E - ng-ợc với tính chất cho định lý sau 2.3.1.6 Định lý Trong nửa nhóm sau W(a) (a S) cã ( Ýt nhÊt ) mét phÇn tư tèi đại (1) Các nửa nhóm quy (2) Các nửa nhãm chÝnh quy suy réng S cho Reg(S) lµ nửa nhóm hoàn toàn quy (3) Các nửa nhóm E - ng-ợc cho E(S)thỏa mÃn điều kiện tối đại (nghĩa chuỗi tăng lũy đẳng phần tử e E (S) tùy ý hữu hạn) Chứng minh (1) Xem [mệnh đề 2.3.1.3] (2) Xin nhắc lại nửa nhóm S đ-ợc gọi mở rộng idean nưa nhãm T bëi nưa nhãm Q víi Zero nÕu T lµ mét idean cđa S vµ S / T - nửa nhóm th-ơng Rees S T đẳng cấu với Q Một nửa nhóm S với Zero đ-ợc gọi nửa nhóm lũy linh a  S, tån t¹i n   cho a n = e Giả sử S nửa nhãm chÝnh quy suy réng cho Reg(S) lµ mét nưa nhãm hoµn toµn chÝnh quy cđa S, thÕ theo Shevrin ( 1995), S nửa dàn Y mở rộng iđêan S ( Y) nửa nhóm đơn 25 hoàn toàn T α bëi c¸c nưa nhãm lịy linh Q α Rõ ràng Q chứa phần tử lũy đẳng khác Zero, Reg(S ) = T α víi mäi α  Y Gi¶ sử a S phần tử tùy ý, a  S α víi mét α  Y nµo Vì S mở rộng nửa nhóm E- ng-ợc, nên theo Mitsh Petrich, S nửa nhóm E - ng-ợc Nh- tồn t¹i a’  W(a)  Reg(S α ) = W(a)  T α Chóng ta chøng tá r»ng a , phần tử tối đại W(a) Giả sử y  W(a) víi a , ≤ y, nghÜa lµ a , = ey = yf ®èi víi e, f E(S) Nếu , Y với y  S β , e  S γ th× S α = S β γ , ®ã α ≤ β Tõ yay = y suy S β = S β  β , nh- vËy β ≤ α suy α = β vµ y  W(a)  S , xác hơn: y W(a) T α Ta cã a , = ey = eya.y = a , a.y = yf = y.ayf = y.a a , ®ã a , a, a a , E(s)  S α = E(T α ) Do ®ã a , ≤ α y T α theo quan hƯ thø tù bé phËn tù nhiªn ≤ α T Vì S đơn hoàn toàn, thứ tự tầm th-ờng S Từ = y (3) Giả thiết r»ng a  S cho W(a) kh«ng chøa mét phần tử tối đại, nghĩa tồn phần tö an  W(a) (n  ) cho a n an+1 n Đặt e n = a n a Theo bỉ ®Ị 3.1.4, e n ≤ e n + ®èi víi mäi n xác hơn, e n e n + n , e n = en n +   bÊt kú) sÏ kÐo theo a n = a n a a n = a n a a n a a an+1 ( a n ≤ an+1 theo bỉ ®Ị 2.3.1.2) = a n a an+1 = e n an+1 = en+1 an+1 = an+1 a an+1 = an+1 m©u thuÉn víi an< an+1 ®èi víi mäi n   Nh- vậy, mâu thuẫn với giả thiết, E(S) chứa dÃy tăng vô hạn Chú ý Các ví dụ nửa nhóm dạng 3.3.6(3) nửa nhóm E - ng-ợc S với E(S) hữu hạn hay đ-ợc thứ tự tầm th-ờng Tiếp theo, nửa nhóm E- ng-ợc S cho W(a) (a S) có phần tử tối đại, xây dựng hai t-ơng đẳng quy, mà nhóm quy trùng với quan hệ đồng 2.3.1.7 Định lý Giả sử S nửa nhóm E- ng-ợc cho W(a) (a S) có phần tử tối đại Nếu ta định nghĩa a  b   z  W(a)  W(b) cho 26 {x  W(a): x  z}= { x  W(b): x  z } ThÕ th× # t-ơng đẳng quy S Nếu S E - nửa nhóm, # t-ơng đẳng ng-ợc S Chứng minh Giả sử a S a , W(a) phần tử tối đại W(a) Thế a aa Reg(S) chøng tá r»ng a  a a , a, xác a , W(a) W(a a , a) ta cã { x  W(a): x  a’}= {x  W(a a , a): x ≥ a , } Gi¶ sư x  W(a), x ≥ a , , theo gi¶ thiÕt (a , tèi ®¹i W(a)), x = a , , tõ ®ã x  W(a a , a) víi x ≥ a , Đảo lại, giả sử x W(a a , a), x ≥ a , thÕ th×, v× a’  W(a), tõ bỉ ®Ị 3.1.2 suy aa , a.x ≥ aa , a.a , = a a , , ®ã a a’, a a , ax  E(S) Suy xax = xa a , ax.ax = x.a a , ax.ax= x a a’.ax= x.a a , a.x= x, nghÜa lµ x  W(a) víi x ≥ a , Nh- ta đà chứng minh đ-ợc #- lớp chứa phần tử quy # t-ơng đẳng quy Bây giả thiết S E - nửa nhóm Vì chứa phần tử quy, nên với a # ,b  #  # # - lớp toàn ánh - lũy đẳng, nghĩa đối E(S / #) tån t¹i e, f  E(S) víi e  #a, f  # Theo 2.1.3 (4), W(ef) = W(fe), ®ã ef  fe, tõ ®ã (a  #)(b  #)= (ef)# = (fe)#= (b  #)( a  #) nh- vËy  # t-ơng đẳng ng-ợc S 2.3.1.8 Mệnh đề Nếu S nửa nhóm ng-ợc  = is Chøng minh Gi¶ sư a  b, tồn z W(a) W(b) cho: {x  W(a): x  z}= { x  W(b): x  z } Suy phÇn tử nghịch đảo a-1 a phần tử lớn W(a), nên a-1 z, nghĩa a-1  {x  W(a): x  z} Tõ gi¶ thiÕt suy a-1 W(b), b-1 phần tử lớn W(b) nên a-1 b-1, a-1 = b-1 Tính phần tử nghịch đảo S, suy a = b 2.3.1.9 Định lý Giả sử S nửa nhóm E - ng-ợc cho W(a) (a S) có phần tử tối đại Nếu ta định nghĩa a b   z  W(a)  27 W(b) cho:  a ,  W(a), a ,  z,  b ,  W(b): a , a= b , b, aa , = bb , vµ ,  b ,  W(a), b ,  z,  a ,  W(a) : a a = b , b, aa , = bb , ThÕ th×  # b t-ơng đẳng quy S Nếu S E - nửa nhóm ( nửa nhóm E - trù mật), # t-ơng đẳng Orthodox ( t-ơng ứng, t-ơng đẳng ng-ợc) Chứng minh Gi¶ sư a  S, a ,  W(a) phần tử tối đại W(a) Thế a a , a , , ,  Reg(S) vµ a a a a z : = a W(a) W(a a a) điều kiện định nghĩa đ-ợc thỏa mÃn: Giả sử x W(a), x a , Vì theo giả thiết a , phần tử tối đại W(a) nªn x = a , , nh- vËy x  W(a a , a) vµ xa = a a , = a , a a , a = x.a a , a, ax = a a , = a a , a a , = a a , a.x Đảo lại, giả sử x W(a a , a), x a , nh- chứng minh định lý 3.1.7 suy ra, x W(a) Vì a , theo giả thiết phần tử cực đại W(a) nên a , = x, ®ã xa = x.a a , a vµ ax = a a , a.x Nh- vËy ta đà chứng tỏ đ-ợc nên # # - líp chøa mét phÇn tư quy t-ơng đẳng quy Nếu S E - nửa nhóm ( nửa nhóm E - trï mËt) th× theo Mitsth (1996),  # toàn ánh - lũy đẳng # t-ơng đẳng Orthorox (t-ơng ứng, t-ơng đẳng ng-ợc) 2.3.1.10 Mệnh đề Nếu S nửa dàn = iS Chứng minh Giả sử e f: Thế tồn g W(e) W(f) thỏa mÃn điều kiện §èi víi e  W(e) cã e ≥ g ( eg = ge = geg = g), tõ theo giả thiết tồn h W(f) cho ee = hf ee = fh nên ef = fe = f.fh = sh = e, nghÜa lµ e ≤ f §èi xøng f ≤ e, nh- vËy e = f 2.3.1.11 Mệnh đề Nếu S nhóm chữ nhật, = iS Chứng minh Giả sử a b Thế tồn z W(a) W(b) cho a , W(a), a , z, tồn t¹i b ,  W(b) víi a , a = b , b, aa , = bb , Nh- vậy, z W(a) z z, tồn t¹i z’  W(b) víi za = z , b, az = b z , Vì S nhóm 28 chữ nhật, E(S) băng chữ nhật nên có W(a) = V(a) a Reg(S) = δ Do ®ã z  V(a)  V(b) vµ ta cã z = za z.a z = z , b.z.b z , = z , b zb.z’ = z’bz , = z , suy a = a z.a = b za = b za = bz b = b Chú ý Giả sử S nửa nhóm E - ng-ợc cho W(a) ( a S) có phần tử cực đại Theo chứng minh chứng tỏ a S,  a  #(  # - líp a  # # - líp ) cịng chøa tÊt c¶ aa , a víi a ,  W(a) phần tử tối đại W(a) Vì lý ®ã,  # ( # häa cña 2.3.1.1 #= ) t-ơng ®èi líp: NÕu S lµ vÝ dơ minh # = s , tồn t-ơng đẳng quy nhỏ S Nếu S nưa nhãm chÝnh quy suy réng th× theo quan hƯ S đ-ợc Zheng đ-a (1996), t-ơng đẳng quy đạt đ-ợc mà số tr-ờng hợp nhỏ #và : Giả sư r(a) ( a  S) lµ ký hiƯu sè nguyên # d-ơng nhỏ cho a r ( a ) chÝnh quy vµ Ha ≤ Rb lµ ký hiƯu cđa héi La ≤ Lb vµ Ra ≤ Rb Thế đ-ợc định nghĩa a  b  [ r(a) ≥ r(b)  H a r(a) ≤ H b r(b), r(b) ≥ r(a) H b r(b) H a r(a) t-ơng đẳng đ-ợc sinh # quy, theo Zheng, a r ( a )  a ®èi với a S Nếu S nửa nhãm vÝ dơ 2.3.1.1,  # trïng víi t-ơng đẳng nhỏ đ-ợc cho phân hoạch {{ b, d}, {a, c, e, f, g}} Nh- nãi chung 3# không đ-ợc chứa 1#và 2# t-ơng ứng Để minh họa giả sử S nưa nhãm víi b¶ng Cayley S a e f b a e a a c b a e e a f a e f a b e a b e 29 ThÕ th×  # = ω s , nh-ng # = # đ-ợc cho phân hoạch {{a,b}, {e}, {f}} 2.3.2 T-ơng đẳng tách - lũy đẳng Các E - nửa nhóm E - ng-ợc nói chung không thừa nhận t-ơng đẳng tách lũy đẳng tối đại Nửa nhóm nhân S số tự nhiên bao gồm rõ ràng E - nửa nhóm E- ng-ợc Các phân hoạch {{0}, S \ {0}} {{1}, S \ {1}} xác định hai t-ơng đẳng tách - lũy đẳng T-ơng đẳng S chứa quan hệ phổ dụng s không tách - lũy đẳng Từ t-ơng đẳng tách - lũy đẳng tối đại S Trên nửa nhóm quy suy rộng, t-ơng đẳng tách lũy đẳng tối đại luôn tồn Edwards[1983] đà định nghĩa quan hệ nửa nhãm S tïy ý bëi: μ = {(a, b)  S x S: x S phân tử quy x rxa, xrxb kéo theo xahxb, xlax, xlbx kéo theo xahxb}và đà chứng tỏ t-ơng đẳng tách - lũy đẳng tối đại nửa nhóm quy suy rộng S B©y giê chóng ta sÏ chøng tá r»ng nÕu S E - nửa nhóm E - ng-ợc hay nửa nhóm E - trù mật t-ơng đẳng đ-ợc mô tả t-ơng tự nh- mô tả t-ơng đẳng tách lũy đẳng tối đại nửa nhóm Orthodox hay nửa nhóm ng-ợc 2.3.2.1 Định lý Giả sử S E- nửa nhóm E- ng-ợc giả sử t-ơng đẳng tách- lũy đẳng đ-ợc định nghĩa Thế thì: a b   a ,  W(a)  b ,  W(b) cho a , ea = b , eb, ae a , = be b , ®èi víi mäi e  E(S), vµ  b ,  W(b),  a ,  W(a), cho a , ea = b , eb, ae a , = be b , ®èi víi mäi e  E(S) Chøng minh Chóng ta ký hiệu quan hệ đ-ợc cho dạng bên phải lµ  vµ tr-íc hÕt chøng tá r»ng   μ Gi¶ sư a, b  S cho a  b Gi¶ sư x  Reg(S) cho x r xa Thế tồn s S víi xa s = x, tõ ®ã xa sb= xb 30 Vì xa đ-ợc chứa d- lớp quy dx, phần tử xa quy, nghĩa tồn u v(xa) W(xa) Thế có u = a , x , ®èi víi a , W(a), x , W(x) Theo định nghÜa cđa  tån t¹i b ,  W(b) cho ae a , = be b , , a , ea = b , eb ®èi víi mäi e E(S), đặt e = a , a ta nhận đ-ợc a a , = a a , a a , = b a , a b , Do ®ã xa.u.xa = x.a a , x , xa = x.b a , a b’ x , xa = xb a , a b , x , xa, = kÕt hỵp víi xa sb= xb suy xarxb Nếu a , ea = b , eb đặt e =x , x ta nhận đ-ợc xa = xa.u.xa = xa a , x , xa = xa b , x , xb = xab , xb Hơn nữa, phần tử xb đ-ợc chứa d- lớp quy dxa = dx xb quy, nghĩa tồn W V (xb) W(xb) , W = b* x* ®èi víi b*  W(b), x* W(x) Theo định nghĩa tồn a* W(a) cho a*ea= b*eb e E(S); đặt e = x*x ta nhận đ-ợc xb =xb.w.xb = xb.b*x*xb = xb.a*x*xa = xba*x*.xa Do xalxb, nghĩa xa hxb Những phép suy luận khác cần đ-ợc suy định nghĩa đ-ợc chứng minh t-ơng tự, ab Đảo lại, giả sử ab Giả sư a ,  W(a) thÕ th× a ,  Reg(S) vµ tõ a , r a , a vµ ®Þnh nghÜa cđa μ suy a , a h a , b v× a , b  d a , a vµ a , a  E(S), a , b phần tử quy S; ®ã tån t¹i z  V(a,b)  W(a , b) ta cã z = b*a* ®èi víi b*  W(b) a* W(a) Vì t-ơng đẳng, nên a , a b , b Nếu đặt x = za , b th× x  E(S)  Reg(S), a , bx = a , bz a , b = a , blza , b = x nên từ định nghĩa của suy a , a h a , b = a , bx h a , ax = a , aza , b = a , ab*a* a , b Râ rµng, a , a, a*a E(S), phần tử b = a , a.b*.a* a , nghịch đảo yếu b, nên b b E(S) V× h - líp tïy ý chøa nhiỊu nhÊt mét phần tử lũy đẳng S nên a , a = b b t-¬ng tù ta cã thĨ chøng minh đ-ợc tồn b W(b) cho aa , = b b Bây giờ, giả sử e  E(S) Ta cã a , ew(a)  Reg(S) vµ aeRaea Từ định nghĩa suy a , ea ha’eb = aa’eb = b ba’eb V× t-ơng đẳng tách - 31 luỷ đẳng, ta có b b b a Nếu đặt W = b b a’eb ThÕ th× W chÝnh quy aea E(S) W haea Hơn b bw = w nên wl b bw Theo định nghÜa cña μ suy a’eah w = b bw Haw = b a b ba’eb = b ba’aa’eb = b b b cb.Thế b b b w(b) aea, b b b eb E(S) Vì h t-ơng đẳng tách - lũy đẳng nên a , ea = b b b eb T-¬ng tù ta cã thể chứng minh đ-ợc ae a , = be b b b , nh- phần thứ định nghĩa a b đúng, phép chứng minh phần thứ hai t-ơng tự Do ta chứng tỏ đ-ợc Đối với nửa nhóm E - ng-ợc mà lũy đẳng tạo thành băng ta có kết sau 2.3.2.2 Hệ Giả sử S nửa nhóm E - ng-ợc cho E(S) tạo thành băng chữ nhật Thế t-ơng đẳng tách - lũy đẳng tối đại S Chứng minh Giả sử t-ơng đẳng tách - lũy đẳng tùy ý S, giả sử a b a , W(a) Chúng ta chọn phần tử b* W(b) nhận đ-ợc b*b b*a Nếu đặt b , = a , ab*a a , ThÕ th× b , W(b) lũy đẳng e E(S) tïy ý ta cã ae a ,  be a , = be a , a a , a a , = be a , a.b*b a , a a ,  be a , ab*a a , a a , = be a'ab*a a , = beb’ Khi ®ã ae a , , be b ,  E(S) vµ t-ơng đẳng tách - lũy đẳng nên ae a , = beb , T-¬ng tù, ta chứng minh đ-ợc a , ea = b , eb e E(S) ®èi víi mäi b ,  W(b) tån t¹i a ,  W(a) víi ae a , = beb , , a , ea = b , eb ®èi víi e E(S) Từ a b Cuối ta nhận đ-ợc mô tả nửa nhóm E - trù mật Giả sử E(S) ký hiệu tâm hóa E(S) S, nghĩa E(S)  = {a  S: (  e  E(S)) ae = ea} 2.3.2.3 Định lý Giả sử S nửa nhóm E - trù mật Thế a μ b   a ,  W(a),  b ,  W(b) cho a , a = b , b, a b ,  E(S)  vµ  b’  W(b),  a’  W(a) cho a’a = b’b, ba ,  E(S)  Chøng minh Chúng ta ký hiệu đ-ợc cho vế phải giả sử a b giả sử a , W(a) Theo định lý 2.3.2.1 tồn b ,  W(b) cho a , ea = 32 b , eb vµ ae a , = beb , ®èi víi mäi e  E(S) NÕu ®èi víi e lấy phần tử a a , ta nhận đ-ợc a , a = a , a a , a = b , a a , b Tõ ®ã suy b , a a , W(b) Hơn nữa, ®èi víi f  E(S) tïy ý ta cã : a b , a a , f = a b , a a , a a , f= a b , a a , f a a , = a b , a.a , fa a , = a b , b a , fa b , (a , fa  E(S)) = a b , ba , f a b , = f a b , ba , a b , (a b , ba ,  E(S)) = f a b , ba , ab , = f a b , a a , a a , = f.a b , a.a , , nghÜa lµ a.b , a a ,  E(S) Nh- vËy, phần thứ định nghĩa a b Phần thứ hai đ-ợc chứng minh t-ơng tự, nhận đ-ợc Đảo lại, giả sư a  b, gi¶ sư a ,  W(a) Thế theo định nghĩa , tồn b ,  W(b) cho a , a = b , b vµ a b ,  E(S)  Đặt b* = a , abaa , , b* W(b) e E(S), ta cã: a , ea = a , a a , ea = b , b.a , ea = a , ea b , b = a , a a , e.a b , b= a , a b , aa , eb = b*eb, ae a , = ae a , a a= ae b , b.a , = a b , b.e a , a a , a a , = a b , be a , a b , b.a , = a b , be a , a b , b a , = be a , ab , ab , b a , ( b.e a , a b ,  E(S)) = be a , a b , a a , a a , = be a , a b , a a , = beb* T-¬ng tù ta cã thĨ chøng minh r»ng ®èi víi mäi b ,  W(b) tån t¹i a ,  W(a) cho a , ea = b , eb vµ ae a , = be b , ®èi víi mäi e  E(S): Do ®ã ta suy a μ b Nh- vËy đà chứng tỏ đ-ợc 33 Kết luận Trong luận văn đà thu đ-ợc kết sau: -Trình bày lại cách chi tiết t-ơng đẳng nhóm nhỏ E nửa nhóm E - ng-ợc theo thuật ngữ nghịch đảo yếu (Mệnh đề 2.2.1.1) - Trình bày lại cách chi tiết t-ơng đẳng nửa dàn theo thuật ngữ nghịch đảo yếu (Định lý 2.2.1) - Trình bày lại cách chi tiết t-ơng đẳng quy nửa nhóm E - ng-ợc (Định lý 2.3.1.7, Định lý 2.3.1.9 ) - Chứng tỏ đ-ợc t-ơng đẳng tách - luỹ đẳng tối đại E nửa nhóm E – ng-ỵc hay mét nưa nhãm E - trï mật tồn đ-ợc mô tả t-ơng tự nh- t-ơng đẳng tách - luỹ đẳng tối đại nửa nhóm ng-ợc, orthodox (Định lý 2.3.2.1, Định lý 2.3.2.3 ) 34 Tài liệu tham khảo A.H Clifford, G.B.Preston, The Algebraic Theory of Semigroup Amer.Math.Soc.1 (1961) & (1967) B¶n dịch Tiếng Việt Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 1970 Lê Quốc Hán (2007), Lý thuyết ngôn ngữ nhóm, tập 1, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Barbara Wipoltshammer (2002) “Certain Congruences on E-inversive Esemigroups” Semigroup Forum Vol 65.233 – 248 J.Meakin (1971), Congruences on orthodox semigroups, J.Austral.Math Soc.12 323 – 388 H Misch(2000), Introduction to E-inversive semigroups, in P.Smith, E.Giraldes, and P.Martins (eds), “Proc Conf Semigroups”, World Scientific, Singapore H.Misch and M Petrich (2000), Basic Properties of E-inversive semigroups, commun Algebra 28 5169-5182 35 36 Mục lục Trang Lời nói đầu Ch-ơng I: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Băng nửa dàn Nửa nhóm quy Nửa nhóm ng-ợc 1.3 T-ơng đẳng nửa nhóm ng-ợc 11 Ch-ơng II: T-ơng đẳng E- nửa nhãm E- ng-ỵc……………… 17 2.1 E- nưa nhãm E-ng­ỵc……………………………………………… 17 2.2 T-ơng đẳng nhóm t-ơng đẳng dàn E - nửa nhóm E- ng-ợc 19 2.3 T-ơng đẳng quy t-ơng đẳng tách - lũy đẳng E- nửa nhóm E- ng-ợc 24 Kết luận 36 Tài liệu tham kh¶o……………………………………………………… 37 37 ... dụ Giả sử S nửa nhóm đ-ợc cho bảng Cayley S a b c d e f g a e g a e e g e b c d e d e e f c e f c e e f e d e d e d e e e e e e e e e e e f c e e e e e f g a e e e e e g Thế S nửa nhóm quy ruy... thành nửa nhóm đ-ợc gọi E - nửa nhóm Các ví dụ E - nửa nhóm E - ng-ợc: Mỗi băng, nhóm giao hoán hay nửa nhóm orthodox nghĩa nhóm E- nửa nhóm quy; E - nửa nhóm quy suy rộng đặc biệt E - nửa nhóm. .. lớp nửa nhóm có nhiều triển vọng cho việc nghiên cứu chúng gần nhóm 1.2.6 Bổ đề Nếu e, f, ef, fe luỹ đẳng thuộc nửa nhóm S ef fe ng-ợc Chứng minh Ta có (ef)(fe)(ef) = ef 2e2 f = effe = (ef)2 = ef