BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH Đặng ngọc giáp T-ơng đẳng tách - luỹ đẳng c¸c nưa nhãm chÝnh quy suy réng LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC VINH - 2009 Mơc Lơc Trang Lời nói đầu Ch-ơng T-ơng đẳng tách luỹ đẳng nửa nhóm ng-ợc 1.1 Các quan hƯ Green trªn nưa nhãm 1.2 Nưa nhãm chÝnh quy Nửa nhóm ng-ợc 1.3 T-ơng đẳng tách luỹ đẳng nửa nhóm ng-ợc Ch-ơng T-ơng đẳng tách- luỹ đẳng nửa nhóm 12 17 quy suy réng 2.1 Nöa nhãm chÝnh quy suy réng 17 2.2 T-ơng đẳng tách - luỹ đẳng nửa nhóm quy 18 suy rộng 2.3 T-ơng đẳng tách- luỹ đẳng tối đại nửa nhóm 26 nhóm chÝnh quy suy réng KÕt ln 33 Tµi liƯu tham khảo 34 Lời nói đầu Nh- đà biết, t-ơng đẳng tách luỹ đẳng tối đại nửa nhóm quy tồn t-ơng đẳng lớn đ-ợc chứa quan hệ H Năm 1985, P.M.Edwars đà đ-a ch-ơng trình tổng quát hoá kết đà biết nửa nhóm quy nửa nhóm tuần hoàn sang cho nửa nhóm quy suy rộng Ông đà chứng minh đ-ợc rằng, nửa nhóm quy suy rộng t-ơng đẳng tách luỹ đẳng tồn đ-ợc xét nh- hạt nhân biểu diễn S Dựa báo '' The Maximum Idempotent- Separating Congruence on Eventually Regular Semigroups '' Y.Lou X.Li đăng "Semigroup Forum" số 74(2007), trình bày cách chi tiết có hệ thống cấu trúc t-ơng đẳng tách luỹ đẳng nửa nhóm quy suy rộng t-ơng đẳng tách lũy đẳng tối đại nửa nhóm quy suy réng (t-¬ng øng, nưa nhãm orthodox) Nh- mét áp dụng nghiên cứu dáng điệu t-ơng đẳng tách lũy đẳng tối đại thu hẹp nửa nhóm quy suy rộng cho tr-ớc Các kết tổng quát hoá kết J.C.Meakin,T.E.Hall P.M.Edwars đà đạt đ-ợc t-ơng đẳng tách luỹ đẳng nửa nhóm quy nửa nhóm quy suy rộng Luận văn gồm ch-ơng: Ch-ơng T-ơng đẳng tách luỹ đẳng nửa nhóm ng-ợc Trong ch-ơng này, đà trình bày số kiến thức sở nửa nhóm quy, nửa nhóm ng-ợc, quan hệ Green nửa nhóm t-ơng đẳng tách luỹ đẳng nửa nhóm ng-ợc số khái niệm làm sở cho phần Ch-ơng T-ơng đẳng tách - luỹ đẳng nửa nhóm quy suy rộng Đây nội dung luận văn Trong 2.1 Nửa nhóm quy suy rộng, đà trình bày định nghĩa nửa nhóm quy suy réng, nöa nhãm chÝnh quy suy réng orthodox số khái niệm làm sở cho phần Trong 2.2 T-ơng đẳng tách-luỹ đẳng nửa nhóm quy suy rộng, đà khảo sát t-ơng đẳng tách luỹ đẳng nửa nhãm chÝnh quy suy réng, ®-a mét sè kÕt mô tả t-ơng đẳng tách luỹ đẳng tối đại (Định lý 2.2.4, Định lý 2.2.6) thiết lập đ-ợc đặc tr-ng t-ơng đẳng tách lũy đẳng nửa nhóm quy suy rộng orthodox (Định lý 2.2.8) Trong 2.3 T-ơng đẳng tách- luỹ đẳng nửa nhóm nhóm quy suy rộng, phần đà khảo sát dáng điệu t-ơng đẳng thu hẹp nửa nhóm cho truớc (Định lý 2.3.2, Định lý 2.3.6) Luận văn đ-ợc thực hoàn thành truờng Đại học Vinh Nhân dịp tác giả xin đ-ợc bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS Lê Quốc Hán, ng-ời đà đặt vấn đề trực tiếp h-ớng dẫn tác giả đà hoàn thành luận văn Cuối xin trân trọng cảm ơn ban chủ nhiệm Khoa Toán Khoa Sau Đại học, thầy cô giáo Khoa Tổ Đại số, tập thể tr-ờng THPT Đức Thọ đà tạo điều kiện giúp đở tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù đà cố gắng, song luận văn tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đ-ợc đóng góp quý báu từ thầy, cô giáo bạn đồng nghiệp Chúng xin chân thành cảm ơn Vinh, tháng 12- 2009 Tác giả Ch-ơng T-ơng đẳng tách luỹ đẳng nửa nhóm ng-ợc 1.1 Các quan hệ Green nửa nhóm 1.1.1 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm Ta định nghĩa quan hệ L, R, J sau S : a L b S¹a S 1b a R b aS bS aJ b S 1aS S 1bS S 1a, aS 1, S 1aS t-ơng ứng iđêan trái, phải iđêan S đ-ợc sinh a Theo định nghĩa, a L b s, s ' S : a sb vµ b s ' a ; a R b r, r ' S : a br vµ b ar ' Râ rµng L, R, J quan hệ t-ơng đ-ơng S Hơn nữa, L t-ơng đẳng phải R t-ơng đẳng trái S Với a S , ký hiƯu La , Ra vµ J a t-ơng ứng L- lớp, R - lớp, J- lớp t-ơng ứng chứa a 1.1.2.Bổ đề Các quan hệ L R giao hoán với ®ã quan hÖ D = L R = R L quan hệ t-ơng đ-ơng bé chứa L R Chøng minh Ta chØ cÇn chøng minh L R R L Gi¶ sư a, b L R Khi đó, tồn c S cho a L c vµ c R b Thế tồn u, v S1 cho a uc b cv Đặt d av ucv ub Vì L t-ơng đẳng phải nên a, b L kéo theo av, cv L, nghÜa lµ d , b L Vì R t-ơng đẳng trái nên c, b R kéo theo uc, ub R, nghÜa lµ a, d R Tõ d ,b L kÐo theo a, b R L vµ ®ã L R R L a, d R D lớp chứa a đ-ợc ký hiƯu lµ Da : chó ý r»ng L J R J nên D J, nói chung D J Với a S , ta cã hai ký hiÖu th-êng dïng: J (a) iđêan sinh a , J (a) S1aS1 J a tập tất phần tư sinh cđa J (a) , nghÜa lµ J a chÝnh lµ D - líp chøa a □ 1.1.3 Định nghĩa Quan hệ H S đ-ợc xác định H = L R, với a S , ký hiƯu H - líp chøa a lµ H a 1.1.4 Chó ý a) R - líp R vµ L - líp L cđa nưa nhãm S giao chúng đ-ợc chứa mét D - líp cđa S ThËt vËy: Gi¶ sư a R vµ b L Khi a D b tồn c S cho (a, c) R vµ c, b L Nh-ng điều t-ơng đ-ơng với điều kiện c R c L , nghÜa lµ c R L Do a D b R L Mặt khác, rõ ràng a D b D - lớp chứa R L trùng b) Để hình dung tốt D - lớp nửa nhóm S , ta dùng hình ảnh sau gọi hộp trứng HÃy tưởng tượng phần tử thuộc D đ-ợc thành bảng chữ nhật giống hộp dùng để trứng, mà dòng ứng với R - lớp, cột ứng với L - lớp chứa D Mỗi ô hộp ứng víi mét H - líp chøa D, vµ chó ý chứng tỏ hộp ô trống Ta không giả thiết phần tử thuộc H -lớp đ-ợc môt cách đặc biệt ®ã Ta sÏ thÊy r»ng c¸c H - líp chøa D cã cïng cÊp VËy cã thÓ nãi ô hộp trứng đ-ợc số giống phần tử thuộc nửa nhóm S c) Nếu a b phần tử thuộc nưa nhãm S , th× ta cã thĨ viÕt J a J b tr-êng hỵp S1aS1 S1bS1 , nghÜa lµ a J (b) Quan hệ thứ tự phận tập c¸c J - líp cđa S d) Chó ý nửa nhóm đơn trái (phải) vµ chØ nã chØ gåm mét L - líp ( R - lớp) nửa nhóm đơn vµ chØ nã chØ gåm mét J - líp Ta nãi r»ng nưa nhãm S lµ D - đơn song đơn gồm D - lớp Vì D J nên nửa nhóm song đơn nửa nhóm đơn Vì R D L D nên nửa nhóm đơn phải hay đơn trái song đơn 1.1.5 Bổ đề (Green) Giả sử a b phần tử R - t-ơng đ-ơng tuỳ ý thuộc nửa nhóm S, giả sử s, s S cho as b bs a Khi ¸nh x¹ x xs ( x La ) y ys ( y Lb ) ng-ợc bảo toàn R lớp ánh xạ một từ La lên Lb Lb lên La t-ơng ứng Chứng minh Ta ký hiệu hai ánh xạ t-ơng ứng Chú ý thu hẹp phép chuyển dịch bên phải s s tập La ( Lb ) Giả sử x La Vì L t-ơng đẳng phải nên xs, as L, tõ ®ã x, a L kÐo theo xs Lb VËy ¸nh xạ La vào Lb t-ơng tự ánh xạ Lb vào La Giả sử x La Khi tồn phần tử t S cho x ta Do ®ã, x xss tass tbs ta x Vậy phép biến đổi đồng La T-ơng tự , phép biến đổi đồng Lb , nên ánh xạ một ng-ợc từ La lên Lb ng-ợc lại Ta chứng tỏ bảo toàn R- lớp Thực vậy, x La y x xs ys x , nghÜa lµ ( y, x) R T-ơng tự ta chứng minh đ-ợc bảo toàn L - lớp 1.1.6 Định lý Giả sử a c phần tử D-t-ơng đ-ơng tuỳ ý thuộc nửa nhóm S Khi tồn phÇn tư b S cho a, b R vµ b, c L as b, bs a, tb c, tc b víi s, s, t , t thuộc S Các ánh x¹ x txs x H a vµ z tzs z H c ng-ợc ánh xạ lớp H a H c sang lẫn Đặc biệt, hai H - líp n»m cïng mét D -líp có cấp nh- Chứng minh Theo bổ đề đối ngẫu với Bổ đề Green, ánh xạ : y ty ( y Rb ) vµ : z t z ( z Rc ) ng-ợc nhau, bảo toàn L - lớp ánh xạ một- từ Rb lên Rc ng-ợc lại Giả sử ánh xạ Bổ đề Green, nh-ng thu hẹp H a H b t-ơng ứng.(vì theo bổ đề Green ánh xạ bảo toàn R - lớp nên thu hẹp chúng ánh xạ một-một từ H a lên H b ng-ợc lại) T-ơng tự, giả sử đ-ợc thu hẹp H b H c t-ơng ứng Khi ánh xạ một-một ng-ợc từ H a lên H b ng-ợc lại Nh-ng chúng trùng với ánh xạ nêu định lý 1.1.7 Định lý Tích LR cđa L - líp vµ R - líp bÊt kú L R t-ơng ứng nửa nhóm S đ-ợc chøa hoµn toµn mét D -líp cđa S Chứng minh Định lý t-ơng đ-ơng với điều khẳng định a, a ', b, b ' phần tử thuộc S mà a L a , b R b th× ab D a b V× L t-ơng đẳng phải nên a, a L kéo theo ab, ab L Vì R t-ơng đẳng trái nên b, b R kéo theo ab, ab R Do ®ã ab, ab D 1.1.8 Định nghĩa D - lớp D nửa nhóm S đ-ợc gọi quy phần tử D quy, nghĩa với mäi a D, tån t¹i x S cho a axa Định lý sau chứng tỏ D D-lớp không quy D phần tử quy cả, ta nói D không quy Phần lại tiết trình bày lý thuyết D -líp chÝnh quy cđa mét nưa nhãm t ý 1.1.9 Định lý (i) Nếu D -lớp D nửa nhóm S chứa phần tử quy phần tử thuộc D quy (ii) Nếu D quy L -lớp R -lớp chứa D chứa luỹ đẳng 1.1.10 Bổ đề Nếu a a phần tử ng-ợc thc mét nưa nhãm S , th× e aa f a ' a luỹ đẳng, ea af a ae fa a Do ®ã e Ra La ' ; f Ra ' La Các phần tử a, a, e, f thuộc mét D -líp cđa S 1.1.11 Bỉ ®Ị (i) Nếu a phần tử quy thuộc nửa nhóm S aS aS S 1a Sa (ii) Nếu a b phần tư chÝnh quy thc nưa nhãm S th× a L b ( a R b ) vµ chØ Sa SbaS bS 1.1.12 Bỉ ®Ị Mỗi luỹ đẳng e thuộc nửa nhóm S đơn vị phải Le , đơn vị trái Re đơn vị H e Chứng minh Nếu a Le a Se a ae NÕu a Re th× a eS ea a Nếu a H e Le Re th× ae ea a □ 1.1.13 Bỉ ®Ị Mét H -lớp chứa không luỹ đẳng Chứng minh Nếu e f luỹ đẳng, H e H f theo bổ đề 1.1.12, có e f đơn vị hai phía nên e = f 1.1.14 Định lý (Green) Nếu phần tử a, b, ab thuộc H líp H cđa nưa nhãm S , th× H nhóm Đặc biệt, H -lớp chứa luỹ đẳng nhóm Chứng minh Tr-íc hÕt ta chøng minh r»ng nÕu h vµ hs sh cïng thuéc mét H - líp H cđa nưa nhãm S , th× Hs H sH H ThËt vËy, ®ã h R hs từ Bổ đề Green (1.1.5) suy ánh xạ x xs ánh xạ một-một từ Hh lên Hhs, tức từ H lên chÝnh nã MƯnh ®Ị ®èi ngÉu suy tõ Bỉ đề Green Bây giả sử a, b, ab thuộc cïng mét H -líp H Theo chó ý trªn Hb H Giả sử x, y phần tư t ý thc H Khi ®ã xb Hb H Vì b xb thuộc H, nªn tõ chó ý trªn suy r»ng xH H Khi xy H Lại dùng chó ý trªn ta thÊy H y H Từ đẳng thức xH H y H với x, y tuú ý thuéc H ta suy H lµ nhãm cđa S □ 1.2 Nưa nhãm quy Nửa nhóm ng-ợc 1.2.1 Định nghĩa Phần tử a thuộc nửa nhóm S đ-ợc gọi phần tử chÝnh quy nÕu a aSa hay nãi c¸ch kh¸c: a = axa víi x S Nưa nhãm S đ-ợc gọi quy phần tử quy Nếu axa = a e = ax luỹ đẳng, ea = a ThËt vËy: e2 = (ax)(ax) = (axa)x = ax =e ea = axa = a T-ơng tự f = xa luỹ đẳng S af = a Ta cịng chó ý r»ng nÕu a phần tử quy thuộc nửa nhóm S, iđêan phải aS1 = a aS sinh a b»ng aS , v× a = af kÐo theo a aS T-¬ng tù S1a = Sa 1.2.2 Bỉ đề Phần tử a thuộc nửa nhóm S quy iđêan phải ( trái) nửa nhóm S sinh a đ-ợc sinh luỹ đẳng , tức aS1 = eS1 ( S1a = S1e ) Chøng minh NÕu a quy axa = a với x thuộc S e = ax phần tử luỹ đẳng S mà ea = a Do aS1 = eS1 22 2.2.4 Định lý Giả sử S lµ mét nưa nhãm chÝnh quy suy réng vµ t-ơng đẳng S Thế điều kiện sau t-ơng đ-ơng: (i) ; (ii) ; (iii) lµ t-ơng đẳng tách- luỹ đẳng Chứng minh (ii) (iii) (i) (ii) : Hiển nhiên Giả sử t-ơng đẳng S Gi¶ sư e , f ES víi e f Thế e f Từ đó, e W (e) , tån t¹i f ', f '' W ( f ) cho f f ' e f '' f , nªn e ef fe §èi ngÉu, chóng ta cã thể chứng tỏ đ-ợc f ef fe Do e f nên tách - luỹ đẳng (iii) (i) Giả sử t-ơng đẳng tách luỹ đẳng S ab với a, b S §èi víi mäi a ' W (a) , cã a ' a a ' b Giả sử m số nguyên lớn nhÊt cho (a 'b)m Re g (S ) từ aa ' (a 'b)m Và ®ã a ' a H (a ' b)m theo Bæ ®Ị 2.2.1(iii), nghÜa lµ (a ' b)m H a 'a Giả sử c phần tử nghịch đảo cña (a ' b)m H a 'a ThÕ th× (c(a ' b)m1 a ') b (c(a ' b)m1a ') c(a ' b)m1a ' vµ c(a ' b)m1 a ' W (b) Đặt b ' c(a ' b)m1 a ' ThÕ th× b ' b c(a ' b)m1 a ' b c(a ' b)m a ' a Mặt khác bb ' bc(a ' b)m1 a ' bc(a ' a)a ' bc(a 'b)m a ' ba ' aa ' ba ' aa ' Suy aa ' bb ' t-ơng đẳng tách - luỹ đẳng Đối ngẫu, chứng minh đ-ợc b ' W (b) , tån t¹i a ' W (a) cho b 'b a ' a , bb ' aa ' Tõ ®ã Từ định lý 2.2 4, trực tiếp suy 23 2.2.5 Hệ T-ơng đẳng b ( hay b ) t-ơng đẳng tách - luỹ đẳng tối đại nửa nhóm quy suy rộng Quan hệ đ-ợc xác định nh- thực chất t-ơng đẳng nửa nhóm quy suy rộng nh- t-ơng đẳng tách- luỹ đẳng tối đại 2.2.6 Định lý Quan hệ t-ơng đẳng tách-luỹ đẳng tối đại nửa nhóm quy suy rộng Chứng minh Giả sử S nửa nhóm quy suy réng Tõ HƯ qu¶ 2.2.5, chóng ta chØ cần chứng minh t-ơng đẳng S Rõ ràng quan hệ t-ơng đ-ơng S Giả sử a b Đối với c S bÊt kú tuú ý vµ (ac)' W (ac) , (ac)' ac(ac)' (ac)' nên (c(ac)')a(c(ac)') c(ac)' vµ ((ac)' a) c ((ac)' a) (ac)' a nghÜa lµ c(ac)' W (a) vµ (ac)' a W (c) Đặt a ' c(ac)' Thế tồn b ' W (b) cho aa ' bb ' , a ' a b ' b Gi¶ sư (bc)' (ac)' ab ' ThÕ th× ((ac)' ab ') bc ((ac)' ab ') (ac)' ab ' ba ' ab ' = (ac)' ab ' bb ' (ac)' ab ' nghÜa lµ (bc)' (ac)' ab ' W (b) Nh- vËy: (ac)'(ac) (ac)' ac (ac)'(ac) (ac)' a(c(ac)' a)c (ac)' a(a ' a)c (ac)' a(b ' b)c ((ac)' ab ')(bc) (bc)'(bc) (ac)(ac)' aa ' bb ' bb ' bb ' ba ' ab ' (bc)(bc)' Đối ngẫu, chứng minh đ-ợc (bc)' W (bc) tuú ý, tån t¹i (ac)' W (ac) cho ac(ac ') bc(bc)', (ac)' ac (bc)' bc Do ac bc Mặt khác, đối víi (ca)' W (ca) tuú ý, ta cã a ' (ca)' c W (a) vµ c ' a(ca)' W (c) Từ tồn b ' W (b) cho aa ' bb ', a ' a b 'b Đặt (cb)' b ' c ' ThÕ th×, chó ý r»ng c ' c aa ', b ' c ' cbb ' c ' b ' aa ' bb ' c ' b ' bb ' c ' 24 b ' c ' vµ b ' c ' W (cb) Suy ca(ca)' ca(ca)' ca(ca)' caa ' c ' cab ' c ' cb(cb)' vµ (ca)' ca aa ' b ' b b ' bb ' b b ' aa ' b b ' c ' cb (cb)' cb ' §èi ngÉu, cã thĨ chøng tá r»ng ®èi víi (cb)' W (cb) tuú ý, tån t¹i (ca)' W (ca) cho ca(ca)' cb(cb)', (ca)' ca (cb)' cb Do ca cb Suy t-ơng đẳng S Bây trình bày số mô tả t-ơng tự t-ơng đẳng tách-luỹ đẳng nửa nhóm quy nh- Meakin[8] Hall[9] đà làm nửa nhóm quy 2.2.7 Định lý Giả sư S lµ mét nưa nhãm chÝnh quy suy réng với tập luỹ đẳng E Thế (a ' W (a)) (b ' W (b))(x E, x aa ') (aa ' bb ', a ' a b ' b, a ' xa b ' xb) ( a , b) (b ' W (b)) (a ' W (a)) (x E, x bb ')(aa ' bb ', a ' a b ' b, a ' xa b ' xb Chứng minh Tr-ớc hết, ta nhắc lại quan hƯ lµ quan hƯ thø tù bé phËn E đ-ợc xác định với e, f E, e f ef fe e Kí hiệu quan hệ đ-ợc định nghĩa Định lý Rõ ràng Giả sư a, b S víi a b ThÕ th× ®èi víi mäi a ' W (a) , tån t¹i b ' W (b) cho aa ' bb ' vµ a ' a b ' b Khi ®ã a ' a ' a a ' a ' bb ' vµ b ' b ' bb ' a ' ab ' , mà a b nên a ' b ' t-ơng đẳng, x E víi x aa ' , ta cã a ' xa b ' xb V× x aa ' bb ' nªn (a ' xa)(a ' xa) a '( xa a ' x)a a ' xa vµ (b ' xb)(b ' xb) b '( xbb ' x)b b ' xb Do ®ã a ' xa b ' xb luỹ đẳng Vì tách - luỹ đẳng nên a ' xa b ' xb §èi ngÉu, chóng ta cã thể chứng minh đ-ợc rằng, b ' W (b) tån t¹i a ' W (a) cho aa ' bb ' , a ' a b ' b x E víi x bb ' , 25 a ' xa b ' xb Do ®ã, a b Định lý t-ơng tự kết nửa nhóm orthodox [8] 2.2.8 Định lý Giả sử S nửa nhóm orthodox quy suy rộng với băng lũy đẳng e Định nghĩa quan hệ S a, b S , (a ' W (a))(b ' W (b))(x E )(axa ' bxb ')(a ' xa b ' xb) (a, b) ( b ' W ( b ))( a ' W ( a ))( x E )( axa ' bxb ')( a ' xa b ' xb ThÕ t-ơng đẳng tách - luỹ đẳng tối đại S Chứng minh Rõ ràng quan hệ t-ơng đ-ơng S Giả sử (a, b) Đối với c S tuỳ ý (ac)' W (ac) , ta cã c(ac)' W (a) , (ac)' a W (c) Đặt a ' c(ac ') Theo định nghĩa , tån t¹i b' W (b) cho axa ' bxb ', a ' xa b ' xb x E Giả sử (bc)' (ac)' ab ' ThÕ th× (bc)' bc(bc)' (ac)' ab ' bc (ac)' ab ' (ac)' ab '(ba ' ab ')bb ' (ac)' ab '(aa ' aa ')bb ' (ac)' a(b ' aa ' b)b ' (ac)' a(aa ' aa ')b ' (ac)' aa ' ab ' (ac)' ac (ac)' ab ' (ac)' ab ' (bc)' Và (bc)' (ac)' ab ' W (b) Tõ ®ã suy ®èi víi mäi x E , (ac)' x(ac) (ac)' ac(ac)' x(ac) (ac)' a(c(ac)' xa)c (ac)' a(a ' xa)c (ac)' a(b ' xb)c ((ac)' ab ') x (bc) (bc)' xbc Vµ (ac) x(ac)' (ac) x(ac)' ac (ac)' a(cx(ac)' a)(c(ac)')a a(cx(ac)' a)a ' b(cx(ac)' a)b ' (bc) x(ac)(ab ') (bc) x (bc)' cx(ac)' a E S nửa nhóm orthodox quy suy rộng Đối 26 ngÉu, chóng ta cã thĨ chøng tá r»ng ®èi víi (bc)' W (bc) t ý, tån t¹i (ac)' W (ac) cho (ac) x (ac)' (bc) x (bc)',(ac)' x (ac) (bc)' x (bc) víi mäi x E ac bc Mặt khác, (ca)' W (ca) tuỳ ý, có a ' (ca)' c W (a) tån t¹i b ' W (b) cho axa ' bxb ', a ' xa b ' xb với x E Đặt (cb)' b ' a (ca)' ThÕ th× (cb)' W (cb) suy ®èi víi mäi x E , (ca)' x(ca) (ca)' ac(ca)' x(ca) ((ca)' c)(a(ca)' xc)a b '(a(ca)' xc)b (cb)' x(cb) vµ (ca) x(ca)' c(ax(ca)' c)a(ca)' c(axa ')(a(ca)') c(bxb ')(a(ca)') cbxb ' a(ca)' (cb) x(cb)' ®ã a(ca)' xc E S nửa nhóm orthodox quy suy réng §èi ngÉu, chóng ta cã thĨ chøng tá r»ng ®èi víi (cb)' W (cb) t ý, tån t¹i (ca)' W (ca) cho (ca) x(ca)' (cb) x(cb)' , (ca)' x(ca) (cb)' x(cb) ®èi víi mäi x E , ca cb Từ t-ơng đẳng S Gi¶ sư e, f E víi e f Thế e E , tồn f ' W ( f ) cho ®èi víi mäi x E , e xe f x f ' f ' x f LÊy x E , cã e f e f ' f ' e f Suy e ef fe §èi ngÉu, ta cã thĨ chøng minh đ-ợc f ef fe Từ e f t-ơng đẳng tách - luỹ đẳng S Cuối , giả thiết t-ơng đẳng tách - luỹ đẳng tuỳ ý S Giả sử a, b S với a b Thế theo Định lý 2.2.4, ®èi víi a ' W (a) t ý, tån t¹i b ' W (b) cho aa ' bb ' vµ a ' a b ' b Nh- chứng minh Định lý 2.2.7, ta chứng minh đ-ợc a ' b ' Suy ®èi víi mäi x E , a ' xa b ' xb vµ axa ' bxb ' §èi ngÉu, ta cã thĨ chøng minh ®-ỵc r»ng ®èi víi mäi b ' W (b) tån 27 t¹i a ' W (a) cho ®èi víi mäi x E , a ' xa b ' xb vµ axa ' bxb ' Từ a b Do t-ơng đẳng tách-luỹ đẳng tối đại S Chú ý: Chú ý nửa nhóm S đ-ợc gọi E- ng-ợc a S , tồn x S cho ax luỹ đẳng; S đ-ợc gọi E- nửa nhóm tập hợp E(S) tất luỹ đẳng S tạo thành nửa nhóm Rõ ràng nửa nhóm quy suy rộng nửa nhóm E- ng-ợc Năm 2005, B.Weipolshamer báo Certain congruences on E- inversive Esemigroups đăng tạp chí Semigroup Forum, 66 (trang 233-248) đà chứng minh đ-ợc t-ơng đẳng tách - luỹ đẳng tối đại nửa nhóm Eng-ợc hay E- nửa nhóm tr-ờng hợp tổng quát không tồn Nh-ng ông đà chứng minh đ-ợc t-ơng đẳng đ-ợc định nghĩa Edwards [4] trùng với t-ơng đẳng đà định nghĩa định lý 2.2.8 E- nửa nhóm E- ng-ợc 2.3 T-ơng đẳng tách - luỹ đẳng nưa nhãm cđa nhãm chÝnh quy suy réng Nh- hệ quan trọng đặc tr-ng t-ơng đẳng tách luỹ đẳng tối đại nửa nhóm quy suy rộng (Định lý 2.2.6), phần trình bày số tính chất quan trọng Tr-ớc hết khảo sát dáng điệu t-ơng đẳng thu hẹp nửa nhãm cho tr-íc §èi víi nưa nhãm chÝnh quy suy réng T cña S , ( S ) | T t-ơng đẳng tách - luỹ đẳng T , (S ) | T (T ) , v× T t-ơng đẳng tách- luỹ đẳng lớn T Chóng ta chøng tá r»ng (S ) | T (T ) Đây tổng quát hoá kết t-ơng ứng [9] nh- kết 28 t-ơng ứng [5] nửa nhóm quy suy rộng Chúng nhắc lại nửa nhóm T đ-ợc gọi đầy(full) E S T 2.3.1 Bỉ ®Ị Giả sử S nửa nhóm quy suy rộng T nửa nhóm đầy S Thế điều kiện sau t-ơng đ-ơng: (i) Re g T Re g S T ; (ii) §èi víi mäi a T ,WS a T Chøng minh (ii) (i) hiển nhiên (i) (ii) Giả sư a T vµ a 'W a ThÕ th× aa ', a ' a T v× T đầy aa ' a Re g T theo (i) Đặt b aa ' a , c a a ' , lÊy b ' V b T vµ c 'V c T ThÕ th× bb ', b RT RS vµ cc ', c RT RS Suy tõ b, c RS kÐo theo bb ', cc ' RS Tõ ®ã bb ' cc ' cc ', cc ' bb ' bb ' vµ bb ', cc ' R T Suy b, c R T , nghÜa lµ aa ' a, aa ' R T §èi ngÉu, chóng ta cã thĨ chøng tá ®-ỵc r»ng aa ' a, a ' a L T Do ®ã LTaa ' RaT'a chøa nghịch đảo d aa ' a cho aa ' ad aa ', daa ' a a ' a aa’a aa’ a’a d Suy a ' a ' aa ' aa ' a ' aa ' adaa ' aa ' a ' adaa ' Do a ' T , thoả mÃn yêu cầu đòi hỏi 29 Chú ý nưa nhãm T cđa mét nưa nhãm chÝnh quy suy rộng thoả mÃn điều kiện (i) hay (ii) đ-ợc phát Bổ đề 2.3.1 phải quy suy réng Chóng ta xem xÐt tõ Bỉ ®Ị 2.3.1 nửa nhóm quy suy rộng đầy T cđa mét nưa nhãm chÝnh quy suy réng S cho Re g (T ) Re g (S ) T hoàn toàn thoả mÃn điều kiện (ii) Bỉ ®Ị 2.3.1 Nh-ng mét nưa nhãm chÝnh quy suy rộng T thoả mÃn điều kiện (ii) không thiết phải đầy Xét nửa nhóm S với bảng nhân S a e f a e e e e e e e f e e f Thế S mét nưa nhãm chÝnh quy suy réng Gi¶ sư T a, e Thế T nửa nhóm quy suy rộng S thoả mÃn ®iỊu kiƯn (ii) cđa Bỉ ®Ị 2.3.1 nh-ng T kh«ng đầy f f f E(S ) nh-ng f T Chúng ta nhắc lại nửa nhóm S đ-ợc gọi t-ơng đẳng đồng S t-ơng đẳng tách - luỹ đẳng 2.3.2 Định lý Giả sử S lµ mét nưa nhãm chÝnh quy suy réng vµ T lµ mét nưa nhãm chÝnh quy suy réng cđa S cho ®èi víi mäi a T , WS (a) T ThÕ th× (S ) | T (T ) Nãi riªng, nÕu S nửa nhóm T nửa nhóm Chứng minh Chúng ta cần chøng tá r»ng (T ) (S ) | T NÕu a S , thÕ th× ®èi víi mäi a ' WS (a), a ' T , aa ', a ' a E (T ) B©y giê (T ) (S ) | T đ-ợc suy trực tiếp từ Định lý 2.2.6 30 Râ rµng nÕu T lµ mét iđêan nửa nhóm quy suy rộng S, a T , WS (a) T Do có 2.3.3 Hệ Giả sử T iđêan nửa nhóm quy suy réng S ThÕ th× (S ) | T (T ) Nãi riªng, nÕu S nửa nhóm T nửa nhóm Từ Bổ đề 2.3.1 Định lý 2.3.2, chóng ta cã thĨ chøng minh kÕt qu¶ sau 2.3.4 Hệ Giả sử T nửa nhóm quy suy rộng đầy nửa nhóm quy suy réng S cho Re g (T ) Re g (S ) T ThÕ th× (S ) | T (T ) Nãi riêng, S nửa nhóm T nửa nhóm Chú ý: Đối với t-ơng đẳng đà đ-ợc định nghĩa đầu 2.2, Edward [5] ®· ®-a mét sè ®iỊu kiƯn ®đ ®èi víi nhãm T cho tr-íc cđa mét nưa nhóm S (Định lý 2.14 Hệ 13 [5]) Tõ chó ý 4.20 b¸o c¸o “Representations of semogroups by transfomation and the congruence lattice of an eventually regulare semogroups K Auinger T.E Hall đăng t¹p chÝ “Int J of Algebva and computation” sè (1996)- trang 665-685, suy r»ng (víi gi¶ thiÕt Re g (T ) Re g (S ) T ) Định lý 12 Hệ 13 [5] trùng với Hệ 2.3.4 S T quy suy rộng Do Định lý 2.3.2 tổng quát hoá định lý 12 Hệ 13 [5] tr-ờng hợp nửa nhóm quy suy rộng Ví dụ làm sáng tỏ điều kiện đà đ-ợc nêu Định lý 2.3.2 cần thiết 2.3.5 Ví dụ Giả sử S T nửa nhóm với bảng nhân t-ơng ứng 31 S a b e f T a e f a e a a 0 a b f b 0 e a e 0 e a e 0 f 0 f f b f 0 0 0 0 0 0 Thế S nửa nhóm quy suy réng vµ T mét nưa nhãm chÝnh quy suy rộng đầy S Nh-ng WS (a) b,0 ỉ T Từ Định lý 2.2.6, ta có (S) = (T) t-ơng đẳng với lớp t-ơng đ-ơng a, o ,e , f Do ®ã (T ) Ø (S ) | T Ví dụ 2.3.5 làm sáng tá ®iỊu kiƯn Re g (T ) Re g (S ) T Hệ 2.3.4 cần thiết Mặt khác, giả sử T1 e, f ,0 ví dụ 2.3.5 Thế T1 nửa nhóm chÝnh quy suy réng cđa S cho víi a T1 tuú ý, cã WS (a) T1 vµ ®ã (S) T1 = (T1 ) , nh-ng T1 iđêan S Điều chứng tỏ Định lý 2.3.2 thực tổng quát Định lý 14 [5] nửa nhóm quy suy réng TiÕp theo chóng ta sÏ chøng tá t-ơng đẳng đóng vai trò nh- Định lý 2.3.2 thu hẹp nửa nhóm cho tr-ớc 2.3.6 Định lý Giả sử S nửa nhóm quy suy rộng T vị nhóm quy suy rộng với đơn vị e S cho ®èi víi mäi a S , eWS (a)e T ThÕ th× (S ) |T (T ) Nãi riªng, nÕu S nửa nhóm T nửa nhóm 32 Chứng minh Cũng nh- phép chứng minh Định lý 2.3.2, cÇn chøng minh (T ) (S ) | T Gi¶ sư a, b T cho a (T )b ThÕ th× ea ae eae a, eb be ebe ba T vị nhóm với đơn vị e Theo giả thiết, a ' WS (a), ea ' e T Râ rµng, ea ' e WT (a) Từ tồn b ' WT (b) cho aa ' e aea ' e bb ', ea ' a ea ' ea b ' b Suy aa ' aa ' eaa ' bb ' aa ', b ' aa ' b b ' b a ' a a ' aea ' a a ' ab ' b, ba ' ab ' bb ' Đặt c a ' ab ' aa ' ThÕ th× cbc a ' ab ' aa ' ba ' ab ' aa ' a ' ab ' aa ' bb ' aa ' a ' ab ' aa ' c nªn c WS (b) Do ®ã, ta cã bc ba ' ab ' aa ' bb ' aa ' aa ', cb a ' ab ' aa ' b a ' ab ' b a ' a §èi ngÉu, ta cã thĨ chøng minh ®-ỵc r»ng ®èi víi mäi b ' WS (b) , tån t¹i a ' WS (a) cho aa ' bb ', a ' a b ' b Do a (S )b (T ) (S ) Chó ý r»ng ®èi víi e S tuỳ ý, vị nhóm địa ph-ơng thoả mÃn điều kiện Định lý 2.3.6, ta có kết sau 2.3.7 Hệ Giả sư S lµ mét nưa nhãm chÝnh quy suy réng Thế e E (S ) tuỳ ý, (eSe) = (S ) eSe Nãi riªng, S nửa nhóm eSe nửa nhóm Giả sử S nửa nhãm chÝnh quy vµ T lµ mét nưa nhãm chÝnh quy cđa S cho ®èi víi mäi e, f ES , e T vµ e f kÐo theo f T ThÕ th× (S) T = (T) , S T Ví dụ 2.3.5 chứng tỏ kết không với nửa nhãm chÝnh quy suy réng ThËt vËy, nöa nhãm chÝnh quy suy réng T cđa S vÝ dơ 2.3.5 thoả mÃn điều 33 kiện e, f E (S ), e T vµ f e kÐo theo f T , nh-ng (S) T (S) Khẳng định Hệ 2.3.3, 2.3.4 2.3.7 quy khẳng định Hệ [9] S T quy ( H·y lÊy T eSe HƯ qu¶ 2.3.7) Ci cùng, nh- hệ quan trọng Định lý 2.2.6, nhận đ-ợc hai tính chất đáng quan tâm 2.3.8 Hệ Giả sử : S T lµ mét toµn cÊu tõ nưa nhãm chÝnh quy suy réng S vµo T NÕu a, b S cho a (S )b , thÕ th× (a) (T) (b) Chøng minh: Suy trực tiếp từ Định lý 2.2.6 2.3.9 Hệ Đối với nửa nhóm quy suy rộng S cã ( S ) = Chøng minh Gi¶ sư a, b S cho a b ®ã a a , b b (S / ) Thế ®èi víi a ' WS (a), a ' WS (a) tồn (b )' WS (b) cho a a ' b (b )', a ' a (b )'b Theo tồn b ' WS (b) (b )' Suy aa ' bb ' vµ a ' a b ' b Do đó, aa ' bb ' a ' a b ' b tách - luỹ đẳng Đối ngẫu, chứng tỏ đ-ợc b 'WS (b) , tồn a 'WS (a) cho aa ' bb ', a ' a b ' b Do ®ã a (S )b vµ a b 34 KÕt luận Dựa báo '' The Maximum Idempotent- Separating Congruence on Eventually Regular Semigroups '' cđa Y.Lou vµ X.Li đăng "Semigroup Forum" số 74(2007) luận văn trình bày chi tiết vấn đề sau: Mô tả t-ơng đẳng tách luỹ đẳng tối đại nửa nhóm quy suy rộng ( Định lý 2.2.6) Mô tả t-ơng đẳng tách luỹ đẳng tối đại trªn mét nưa nhãm chÝnh quy suy réng orthodox ( Định lý 2.2.8) Nêu lên số điều kiện ®đ ®èi víi c¸c nưa nhãm chÝnh quy suy rộng T S thoả mÃn điều kiện (S ) | T (T ) , tõ ®ã suy S nửa nhóm T nửa nhóm (Định lý 2.3.2, Hệ 2.3.3, Hệ 2.3.4, Định lý 2.3.6 ) 35 Tài liệu tham khảo Tiếng việt [1] A.H.Clifford, G.B.Preston, The Algebraic Theory of Semigroup Amer Math Soc.1(1961) & 2(1967) Bản dịch tiếng Việt Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1970 [2] Lê Quốc Hán (2008), Cơ sở Lý thuyết nửa nhóm Lý thuyết nhóm, Đại học Vinh [3] Nguyễn Hữu Việt H-ng (1999), Đại số đại c-ơng, NXB Giáo dục, Hà Nội Tiếng anh [4] P.M.Edward(1983), Eventually regular semigroups, Bull Austral Math Soc 28, 23-38 [5] P.M.Edward(1985), Fundamental semigroups, Proc Royal soc Edinburgh 99A, 313-317 [6] P.M.Edward (1986), Eventually regular semigroups that are groups bound, Bull Austral Math Soc 34, 127-132 [7] P.M.Edward (1985), On the lattice of congruences on an eventually regular semigroups, J.Austral Math Soc 34, 281-286 [8] J.C.Meakin(1972), The maximum idempotent- separating congruences on a regular semigroups, Proc Edinburgh Math Soc.18(2), 159- 163 [9] T.E.Hall (1973), On regular semigroups, J Algebra 24, 1- 24 [10] T.E.Hall and K.Auinger(1996), Representations of semigroups by transformation and the congruence lattice of an enventually regular semigroup, Int J of Algebra an Computation 6(6), 655-685 [11] P.M.Higgins(1992), Techniques of Semigroups Theory, Oxford University Press, Oxford 36 [12] J M Howie (1995), Fudamentals of Semigruops Theory , Clarendon Press, Oxford [13] Y.Luo and X-Li (2007), The Maximum Idempotent- Separating Congruence on Eventually Regular Semigroups, Semigroup Forum, 74(2007) 306 - 318 ... T-ơng đẳng tách luỹ đẳng nửa nhóm ng-ợc 1.1 Các quan hệ Green nửa nhóm 1.2 Nưa nhãm chÝnh quy Nưa nhãm ng-ỵc 1.3 T-ơng đẳng tách luỹ đẳng nửa nhóm ng-ợc Ch-ơng T-ơng đẳng tách- luỹ đẳng nửa nhóm. .. chÝnh 12 17 quy suy réng 2.1 Nöa nhãm chÝnh quy suy rộng 17 2.2 T-ơng đẳng tách - luỹ đẳng nửa nhóm quy 18 suy rộng 2.3 T-ơng đẳng tách- luỹ đẳng tối đại nửa nhóm cña 26 nhãm chÝnh quy suy réng... chÝnh quy suy réng, nöa nhãm chÝnh quy suy rộng orthodox số khái niệm làm sở cho phần Trong 2.2 T-ơng đẳng tách- luỹ đẳng nửa nhóm quy suy rộng, đà khảo sát t-ơng đẳng tách luỹ đẳng nửa nhóm quy suy