Tương đẳng trên một số lớp nửa nhóm chính quy

1 LờI NóI ĐầU Lý thuyết nửa nhóm đ-ợc đời từ năm đầu kỉ hai m-ơi Những công trình u tiên bắt đầu nghiên cứu nửa nhóm dạng báo ngắn Tuy nhiên đà nhanh chóng trở thành công cụ quan trọng nghiên cứu đại số chuyên ngành khác Lý thuyết nửa nhóm đà đ-ợc nhiều tác giả nghiên cứu theo nhiều h-ớng khác Khóa luận T-ơng đẳng số lớp nửa nhóm quy hệ thống lại kết mô tả t-ơng đẳng số lớp nửa nhóm quy Khóa luận gồm hai ch-ơng: Ch-ơng 1: Các khái niệm sở nửa nhóm quy Trong ch-ơng trình bày khái niệm tính chất nửa nhóm, nửa nhóm quy để làm sở cho việc trình bày ch-ơng sau 1.1 Các định nghĩa Trình bày khái niệm sở nửa nhóm nửa nhóm quy 1.2 Nửa nhóm ng-ợc Trình bày khái niệm tính chất nửa nhóm ng-ợc Kết cần ý định lý 1.2.5 1.3 Nhóm phải Trình bày khái niệm tính chất nhóm phải Kết cần ý định lý 1.3.4 Ch-ơng T-ơng đẳng số lớp nửa nhóm quy Đây phần khóa luận 2.1 T-ơng đẳng nửa nhóm th-ơng: Trình bày khái niệm tính chất t-ơng đẳng, xây dựng cấu trúc t-ơng đẳng Kết cần ý định lý 2.1.4, định lý 2.1.5 nhắc lại cách xây dựng t-ơng đẳng sinh quan hệ cho tr-ớc 2.2 T-ơng đẳng nhóm phải Mô tả t-ơng đẳng nhóm phải, chứng minh t-ơng đẳng tùy ý nhóm phải đ-ợc xác định việc cho lớp t-ơng đẳng chứa lũy đẳng Kết cần ý định lý 2.2.11 2.3 T-ơng đẳng nửa nhóm ng-ợc Khảo sát t-ơng đẳng nửa nhóm ng-ợc Phân loại t-ơng đẳng theo vết chúng thu đ-ợc kết định lý 2.3.15 định lý 2.3.17 Cuối mô tả t-ơng đẳng nửa nhóm ng-ợc dựa vào hệ hạt nhân chuẩn chúng Kết cần ý định lý 2.3.28 Khóa luận đ-ợc hoàn thành d-ới h-ớng dẫn PGS.TS Lê Quốc Hán Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn giúp đỡ h-ớng dẫn tận tình thầy Tác giả bày tỏ lòng biết ơn thầy, cô giáo tổ Đại số Khoa Toán Đại học Vinh, tập thể lớp 47B - Toán đà tạo điều kiện cho tác giả suốt trình làm khóa luận Do thời gian trình độ hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận đ-ợc bảo góp ý thầy cô bạn Vinh, tháng năm 2010 Tác giả Ch-ơng CáC KHáI NIệM CƠ BảN 1.1 Các định nghĩa 1.1.1 Định nghĩa i, Giả sử S tập tùy ý Khi ánh xạ f: S S S đ-ợc gọi phép toán hai miền xác định S Nếu ánh xạ đ-ợc ký hiệu (.) ảnh phÇn tư (x, y)  S  S S đ-ợc ký hiệu x.y hay đơn giản xy ii, Tập hợp S với phép toán hai đ-ợc gọi nhóm iii, Phỏng nhóm S đ-ợc gọi nửa nhóm phép toán có tính chất kết hợp, nghĩa với x, y, z  S cã (xy)z = x(yz) 1.1.2 Định nghĩa i, Giả sử S nửa nhóm Phần tử x S đ-ợc gọi đơn vị trái (phải) S xy = y (yx = y) víi mäi y  S PhÇn tư x  S đ-ợc gọi đơn vị x vừa đơn vị trái vừa đơn vị phải S Một nửa nhóm có đơn vị (hoặc đơn vị phải đơn vị trái), đơn vị kiểu Nói riêng, S có đơn vị đơn vị phải ii, Phần tử z S đ-ợc gọi phần tử không bên trái (ph¶i) nÕu za = z (az = z) víi mäi a S Phần tử z S đ-ợc gọi phần tử không z vừa phần tử không bên trái vừa phần tử không bên phải Một nửa nhóm có không phần tử không iii, Phần tử e S đ-ợc gọi lũy đẳng e2 = e Tập lũy đẳng S ký hiệu E = ES 1.1.3 Định nghĩa: i, Nửa nhóm S đ-ợc gọi vị nhóm S có đơn vị Đối với nửa nhóm S ta xác định vị nhóm S1 bổ sung đơn vị cho S S đơn vị S= S S vị nhóm S S không vị nhóm phần tử đơn vị ( mới); S 1.1.4 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm A tập không rỗng S Khi A nửa nhóm cđa S nÕu A khÐp kÝn d-íi phÐp lÊy tÝch, nghĩa với x, y A xy A Râ rµng nÕu A lµ nưa nhãm cđa S A nửa nhóm (với phép toán A đ-ợc cảm sinh từ phép toán S) 1.1.5 Định nghĩa Nhóm G nửa nhóm S đ-ợc gọi nhóm tối đại S, G không chứa thực nhóm khác S Giả sử G nhóm tối đại nửa nhóm S e đơn vị G, ®ã e  G  He, ®ã G = He tính chất tối đại G Đảo lại e lũy đẳng S He nhóm tối đại S 1.1.6 Định nghĩa Phần tử a thuộc nửa nhóm S đ-ợc gọi phần tử quy a aSx hay nói cách khác a = axa với x thuộc S Nửa nhóm S đ-ợc gọi nửa nhóm quy phần tử S phần tử quy Nếu ax = a e = ax lũy đẳng, ea = a ThËt vËy, e2 = (ax)(ax) = (axa)x =ax = e ea = axa = a T-ơng tự f = xa lũy đẳng S af = a Do S nửa nhóm quy tập hợp phần tử lũy đẳng S khác rỗng đ-ợc ký hiệu E(S), ES hay E không sợ nhầm lẫn Ta ý a phần tử quy thuộc nửa nhóm S idean phải aS1 = a  aS sinh bëi a b»ng aS, a = af kéo theo a aS T-ơng tự S1a = Sa 1.1.7 Bổ đề Phần tử a thc nưa nhãm S lµ chÝnh quy vµ chØ iđêan phải ( trái) nửa nhóm S sinh a đ-ợc sinh lũy đẳng e đó, nghĩa aS1 = eS1 ( S1a = S1e) Chøng minh NÕu a chÝnh quy axa = a với x thuộc S e phần tử lũy đẳng S thỏa mÃn ea = a Do aS1 = eS1 Đảo lại, giả thiết aS1 = eS1 e2 = e Khi a = ex với x thuéc S, v× vËy ea = e2x =ex = a, e = ay với y thuộc S1 nên a = ea = ay NÕu y = th× a = a2 a = aaa Do tr-ờng hợp có a aSa nên a quy 1.2 Nửa nhóm ng-ợc 1.2.1 Định nghĩa i, Hai phần tử thuộc nửa nhóm S đ-ợc gọi ng-ợc nÕu aba = a vµ bab = b, ii, Nửa nhóm S đ-ợc gọi nửa nhóm ng-ợc phần tử có phần tử ng-ợc Nếu a b phần tử thuộc nhóm tối đại H nửa nhóm S, đặc biệt S nhóm, a b ng-ợc chúng nghịch đảo nhóm với nghĩa thông th-ờng 1.2.2 Bổ đề Nếu a phần tử quy thuộc nửa nhóm S, chẳng hạn axa với x S, a có phần tử ng-ợc với nó, chẳng hạn phần tử xax Chứng minh Giả sử b = xax Thế aba = a( xax)a = ax( axa ) = axa = a, bab = ( xax)a(xax) = x(axa)(xax) = xa(xax) = (x(axa)x = xax = b; b ng-ợc với a 1.2.3 Bổ đề Hai phần tử thuộc nửa nhóm S nghịch đảo nhóm S chúng ng-ợc giao hoán đ-ợc với Chứng minh Giả sử a b phần tử nh-ợc giao hoán đ-ợc với thuộc nửa nhóm S e = ab ( = ba ) Khi e lũy đẳng, ea = ae = a eb = be = b Do a b chứa phần tử khả nghịch eSe thuộc nhóm tối đại He S chứa e Mệnh đề đảo hiển nhiên 1.2.4 Bổ đề Nếu e, f, ef fe phần tử lũy đẳng nửa nhóm S ef fe ng-ợc Chøng minh Ta cã (ef)(fe)(ef) = ef2e2f = efef = (ef)2 = ef T-¬ng tù ta cã (fe)(ef)(fe) = fe 1.2.5 Định lý Ba điều kiện sau nửa nhóm S t-ơng đ-ơng: i, S quy hai lũy đẳng kỳ giao hoán đ-ợc với nhau; ii, Mỗi iđêan phải iđêan trái S có phần tử sinh lũy đẳng nhất; iii, S nửa nhóm ng-ợc ( tức phần tử thuộc S có phần tử ng-ợc ) Chứng minh (i) (ii) Theo bổ đề 1.1.4, iđêan phải S có phần tử sinh lũy đẳng Giả sử e f lũy đẳng sinh iđêan phải, nghĩa eS = fS Khi ef = f vµ fe = e Nh-ng theo (i) ef = fe nªn e = f (ii)  (iii) Theo bỉ ®Ị 1.1.4, chØ cÇn chøng minh sù nhÊt cđa phần tử ng-ợc Giả sử b ng-ợc với a, ®ã aba = a, bab = b, aca = a, cac = c Tõ ®ã abS = aS = acS Sba = Sa = Sca nên ab = ac ba = ca theo (ii) Do b = bab = bac = cac = c (iii)  (i) Rõ ràng nửa nhóm ng-ợc quy Ta phải chứng minh hai phần tử lũy đẳng e f giao hoán đ-ợc với Tr-ớc hết ta chứng minh ef lũy đẳng Thật vậy, giả sử a phần tử ng-ợc ef Khi ®ã, (ef)a(ef) = ef, a (ef) a = a Đặt b = ae, (ef)b(ef) = eafe2f = efaef = ef, b(ef)b = ae2fae = aefae =ae = b Do b phần tử ng-ợc ef ThÕ th× theo (iii) ta kÕt luËn a = ef Nh- vậy, ef lũy đẳng Bây ta giả sử e f hai lũy đẳng bất kỳ, theo điều vừa chứng minh, ef fe lũy đẳng, theo bổ đề 1.2.7 chúng ng-ợc Vậy ef fe ng-ợc ef nên ef = fe Giả sử S nửa nhóm ng-ợc Ta ký hiệu phần tử ng-ợc với a S lµ a-1 VËy aa-1a = a vµ a-1aa-1 = a-1 Lũy đẳng e = aa-1 (f = a-1a) đ-ợc gọi đơn vị trái (phải) phần tử a, đặc tr-ng nh- lũy đẳng sinh iđêan phải (trái) aS (Sa) Nửa nhóm T nửa nhóm S đ-ợc gọi nửa nhóm ng-ợc a T kéo theo a-1 T 1.2.6 Mệnh đề Đối với phần tử a, b tùy ý thuộc nửa nhóm ng-ợc S cã hƯ thøc (a-1)-1 = a vµ (ab)-1 = b-1a-1 Chứng minh Hệ thức thứ hiển nhiên Ta chøng minh hÖ thøc thø hai Ta cã: (ab)(b-1a-1)(ab) = a( bb-1)(a-1a)(bb-1)b = ab, (b-1a-1)(ab)(b-1a-1) = b-1(a-1a)(bb-1)a-1 = b-1(bb-1)a-1 = b-1(bb-1)(a-1a)a-1 = b-1a-1 Do b-1a-1 ng-ợc với ab 1.2.7 Bổ đề: Nếu e f lũy đẳng thuộc nửa nhóm ng-ợc S Se Sf = Sef ( = Sfe) Chøng minh: NÕu a  Se Sf ae = af = a nên aef = af = a, a Sef Đảo lại, a Sef (= Sfe) aef = afe = a, tõ ®ã ae = af = a nªn a  Se  Sf Ta gäi phÐp biÕn ®ỉi bé phËn mét - mét cđa tËp X ánh xạ - từ tập Y cđa X lªn tËp  (Y) = Y X Ký hiệu -1 ánh xạ từ Y lên Y, ng-ợc với theo nghĩa thông th-ờng, nghÜa lµ -1(y’) = (y  Y, y’  Y’) y = (y) Giả sử TX tập tất phép biến đổi tập X, bao gồm ánh xạ từ tập rỗng lên nó, phép biến đổi rỗng ta ký hiệu Tích hai phần tử , TX đ-ợc định nghĩa nh- sau: Giả sử Y Z miền xác định t-ơng ứng cđa  vµ  NÕu (Y)  Z =  ta đặt = Trong tr-ờng hợp trái lại, giả sử w = -1( (Y) Z) Khi ta xem hợp thành phép biến đổi |w | (w) theo nghĩa thông th-ờng Rõ ràng ánh xạ - mét tõ tËp W lªn tËp  (W), thuộc TX Tính kết hợp thư thÊy dƠ dµng VËy TX lµ mét nưa nhãm, ta gọi nửa nhóm ng-ợc đối xứng tập X 1.2.8 Mệnh đề TX nửa nhóm ng-ợc Chứng minh Vì -1 = -1-1 = -1 nên -1 phần tử ng-ợc , TX nửa nhóm quy Một phần tử thuộc TX lũy đẳng ánh xạ đồng từ tập X lên Do ta thấy hai lũy đẳng thuộc TX giao hoán với Theo định lý 1.2.7 TX nửa nhóm ng-ợc 1.3 Nhóm phải Ta nhắc lại rằng, nửa nhóm S nửa nhóm đơn phải (trái) S không chứa iđêan phải (trái) thực sự, nhóm nhóm vừa đơn phải vừa đơn trái Nửa nhóm E đ-ợc gọi nửa nhóm phần tử không bên phải phần tử phần tử không bên phải, nghĩa xy = y víi väi x, y  E Râ rµng E lµ nhóm phải 1.3.1 Định nghĩa Một nửa nhóm S đ-ợc gọi nhóm phải S đơn phải giản -ớc trái Điều t-ơng đ-ơng với điều kiện hai phần tử a, b tùy ý thuộc S, ph-ơng trình ax = b có nghiệm S Nhóm trái đ-ợc định nghĩa cách đối ngẫu 1.3.2 Bổ đề Mỗi lũy đẳng nửa nhóm đơn phải S đơn vị trái Chứng minh: Giả sử e lũy đẳng a phần tử tùy ý nửa nhóm đơn phải S Khi tồn phần tử x S cho ex = a ThÕ th× ea = e(ex) = e2x = ex = a 1.3.3 HƯ qu¶ Nếu S nhóm phải S nưa nhãm chÝnh quy Chøng minh Gi¶ sư a  S Khi S đơn phải nên tồn phần tö e  S cho ae = a Khi ae2 = ae Vì S có luật giản -ớc trái nên e2 = e Theo bổ đề 1.3.2, e đơn vị trái S Vì ph-ơng trình ax = e có nghiệm S nên tồn b  S cho ab = e Khi ®ã aba = ea = a nên a phần tử quy Do a tïy ý thuéc S nªn S chÝnh quy 1.3.4 Định lý Các điều kiện sau nửa nhóm S t-ơng đ-ơng: i, S nhóm phải; ii, S đơn phải chứa lũy đẳng; iii, S = G E, ®ã G lµ mét nhãm vµ E lµ nưa nhãm phần tử không bên phải Chứng minh (i) (ii) Vì S nhóm phải nên S đơn phải, mặt khác theo chứng minh hệ 1.3.3, ta có S lũy đẳng (ii) (iii) Giả sử E tập lũy đẳng S, theo điều kiện (ii), E Theo bổ đề 1.3.2, phần tử thuộc E đơn vị trái S Đặc biệt, ef = f víi mäi e, f  E VËy E nửa nhóm phần tử không bên phải S Ta chứng minh S nửa nhóm với luật giản -ớc trái, chứng tỏ r»ng (ii) kÐo theo (i) Gi¶ sư ca = cb (a,b,c S) f E Tồn x  S cho cx = f Gi¶ sư e = xc ThÕ th× e2 = xcxc = xfc = xc = e Do ®ã a = ea = xca = xcb = eb = e NÕu e  E Se nửa nhóm S, e đơn vị phải (và đơn vị trái) Nếu a Se ta giải ph-ơng trình ax = e S Nh-ng a(xe) = e2 = e, tức phần tử a khả nghịch bên phải nửa nhóm Se với đơn vị e Do Se nhóm S Giả sử g phần tử cố định cđa E Ta ký hiƯu nhãm Sg bëi G Ta định nghĩa ánh xạ : G E S cách đặt (a, e) = ae (a  G, e  E) Khi ®ã ®èi víi víi phần tử a, b G e, f E, đẳng thức sau đ-ợc thỏa mÃn: [(a, e)(b, f)] = (ab,ef) = (ab)(ef) = abf  (a, e). (b, f) = ae.bf = a(eb)f = abf Do đồng cấu Ta chứng minh ánh xạ - Giả thiết  (a, e) =  (b, f), nghÜa lµ ae = bf (a, b  G; e, f  E) Vì g đơn vị nhóm G nên a = ag = aeg = bfg = bg = b Do ae = af Vì S nửa nhóm với luật giản -ớc trái nên e = f Cuối cùng, ta chứng tỏ toàn ánh Giả sư a  S Tån t¹i e  S cho ae = a Tõ ®ã ag = Sg = G vµ (ag, e) =age = ae = a VËy đẳng cấu từ G E lên S (iii) đ-ợc chứng minh (iii) (i) Vì S tích trực tiếp hai nhóm phải G E, nên S nhóm phải 10 17 +) Điều kiện K2) Vì Ai (i I) lớp t-ơng đ-ơng K2) thỏa mÃn +) Điều kiện K3) Mỗi lũy đẳng S qua đồng cấu biến thành lũy đẳng S/ K3) tháa m·n +) §iỊu kiƯn K4) ThËt vËy, i  I,  = ayx, ta cã  ( ) =  (ayx) =  (a)(y) (x) =  (a) (x), ( y Ai nên (y) lũy ®¼ng cđa S/ )   ( ) =  (a) (x) =  (ax) mµ ax  Aj hay ayx  Aj VËy aAix  Aj 2.2.8 MƯnh ®Ị Giả sử A = {Ai| i I } hệ hạt nhân chuẩn nhóm phải S Quan hệ hai S xác định A = {(a, b)  S  S / ax = b vµ bx = a cã nghiƯm thc Ai víi i I } t-ơng đẳng S Chứng minh +) Tính phản xạ: Giả sử c S nghiệm ph-ơng trình ax = a ac = a  acc = ac  c2 = c c lũy đẳng Theo định nghĩa 2.2.5 K3 th× c  Ai víi i  I VËy (a, a)  A , víi  a  S +) Tính đối xứng hiển nhiên +) Tính bắc cầu Giả sử (a, b) A ; (b, c) A Từ suy ph-ơng trình ax = b có nghiệm x1 Ai ph-ơng trình bx = a cã nghiƯm x1  Ai víi i I Ph-ơng trình bx = c có nghiệm x2 Aj ph-ơng trình cx = b có nghiệm x2  Aj víi j  I vµ ax = c ax = ax1x2 Vậy ph-ơng trình ax = c cã nghiƯm x3 = x1x2 NÕu e lµ mét lũy đẳng ta có x3 = ex1x2 mà ex2 = x2 Aj nên theo định nghĩa 2.2.5 K4 ta cã ex1x2  Aj hay x3  Aj T-¬ng tù cx = a  cx = bx1’  cx = cx2x1 Vậy phương trình cx = a có nghiệm x4 = x2x1 Nếu f lũy đẳng ta có x4 = x2x1 = fx2x1 m fx1 = x1 Aj nên theo định nghĩa 2.1.5 K4 ta cã fx2’x1’  Ai hay x4  Ai Ta chøng minh Ai = Aj ThËt vËy tõ cx2’ = b, x2’  Aj ta cã cx2’ = cx1x4 (do S có luật giản -ớc trái), mà x4, x1  Ai mµ Ai lµ nưa nhãm cđa S nên x2 = x1x4 Ai 18 Mặt khác x2’  Aj  Ai  Aj ≠   Ai = Aj (theo định nghĩa 2.1.5 K2) Vậy ph-ơng trình ax = c cx = a có nghiệm thuéc Ai  (a, c)  A VËy A lµ quan hệ t-ơng đ-ơng (1) +) A ổn định trái Giả sử (a, b) A ph-ơng trình ax = b bx = a có nghiệm thuéc Ai víi i  I Ta cã ax = b  cax = cb ( S lµ nhãm phải) ph-ơng trình cax = cb có nghiệm nghiệm ph-ơng trình ax = b T-ơng tự cbx = ca có nghiệm nghiệm ph-ơng trình bx = a ( hai nghiệm thuộc Ai) +) A ổn định phải Giả sử (a, b) A ph-ơng trình ax = b có nghiệm xi Ai Ph-ơng trình bx = a cã nghiƯm x1’ thc Ai, th× acx = bc  acx = ax1c  cx = x1c (do S cã luật giản -ớc trái) Vì c S nêm tồn c1 S cho c1c lũy đẳng Gi¶ sư c1c  Aj víi j  I  c1cx = c1x1c  x = c1x1c  Aj (theo định nghĩa 2.2.5 K4) Ph-ơng trình acx = bc có nghiệm thuộc Aj Xét ph-ơng trình bcx = ac Ta cã bcx = ac  bcx = bx1’c  cx = x1c c1cx = c1x1c thuộc Ai (theo định nghĩa 2.1.5 K4 đà có c1c Aj) Nh- vậy, (ac, bc) A hay A ổn định phải (3) Tõ (1), (2) vµ (3) ta cã A lµ t-ơng đẳng S 2.2.9 Mệnh đề Nếu A hạt nhân t-ơng đẳng nhóm phải S, A = Chứng minh A hạt nhân t-ơng đẳng A hạt nhân chuẩn S (theo mệnh đề 2.2.7) T-ơng đẳng A xác định mệnh đề 2.2.6 thừa nhận A Thật vậy, ta chứng minh Ai A - lớp Giả sử a, b Ai, ph-ơng trình bx = a có nghiệm thuộc Ai Từ suy (a, b)  A Gi¶ sư a  Ai ; (a, b)  A Ta chøng minh b  Ai Do (a, b)  A nên ph-ơng trình ax = b có nghiệm x1 Aj ph-ơng trình bx = a có nghiệm x1  Aj V× a  Ai , ex1 = x1 thuộc Aj nên theo định nghĩa 2.1.5K4 nên ta cã ax1 = eax1 thuéc Aj  b  Aj Do b  Aj nªn ta cã bx’1 = a thuộc Aj 19 Aj nửa nhóm VËy a  Aj , a  Ai  Ai  Aj ≠   Ai = Aj  b Ai Vậy Ai A - lớp Theo mệnh đề 2.1.4 tập - lớp chứa lũy đẳng tập chuẩn S suy A = 2.2.10 Mệnh đề Giả sư A = {Ai| i  I } lµ mét hệ hạt nhân chuẩn nhóm phải S Khi A hạt nhân t-ơng đẳng A Chứng minh Mỗi Ai A - lớp Thật vậy, gi¶ sư a, b  Ai (i  I) theo định nghĩa 2.1.5 ta có ph-ơng trình ax = b bx = a có nghiệm Ai từ suy (a, b) A Bây giả sö a  Ai ; (a, b)  A thÕ ph-ơng trình ax = b bx = a cã nghiƯm thc Aj víi j  I Ta cã a = bx Ai nên theo định nghĩa 2.1.5K4 bAjx Ai Vì x Aj nên bxx Ai mà bx = a nên suy ax  Ai nh-ng ax = b nªn b  Ai Vậy Ai A - lớp Rõ ràng Ai lũy đẳng nửa nhóm S/ A Thật vậy, Ai nhóm phải S chứa lũy đẳng Đảo lại, từ mệnh đề 2.1.2 suy lũy đẳng thuộc S/A A - lớp chứa lũy đẳng Nh-ng theo định nghĩa 2.1.5 K3 lũy đẳng thuộc S/A phần tử hệ A Do A hạt nhân A Gộp mệnh đề 2.2.7 đến 2.2.10 ta có định lý sau: 2.2.11 Định lý Giả sử A = {Ai| i I } hệ hạt nhân chuẩn nhóm phải S Khi quan hệ hai A = {(a, b)  S  S / ax = b vµ bx = a cã nghiƯm thc Ai víi i I } t-ơng đẳng S A hạt nhân t-ơng đẳng Ng-ợc lại, t-ơng đẳng nhóm phải S, hạt nhân A = {Ai| i I } hệ hạt nhân chuẩn S = A 2.3 T-ơng đẳng nửa nhóm ng-ợc 2.3.1 Bổ đề Giả sử S nửa nhóm ng-ợc : S P đồng cấu nửa nhóm Thế (S) nửa nhóm ng-ợc P 20 Chứng minh Vì  (x) =  (xx-1x) =  (x) (x-1 ) (x) nên (S) nửa nhóm quy Giả sử g, h E( (S)) Khi tån t¹i e, f  E(S) cho g = (e) h = (f) Do gh =  (e). (f) =  (ef) = (fe) = hg nên lũy đẳng (S) giao hoán Từ (S) nửa nhóm ng-ợc P Nói riêng ta có 2.3.2 Hệ Nếu t-ơng đẳng nửa nhóm ng-ợc S S/ nửa nhóm ng-ợc Do 2.3.3 Hệ i, Giả sử t-ơng đẳng nửa nhóm ng-ợc S Thế x y  x-1y-1 (x, y  S), ii, Gi¶ sư  : S P đồng cấu từ nửa nhóm ng-ợc S lên nửa nhóm P Thế (x-1) = (x)-1, x S 2.3.4 Định nghĩa Một nửa nhóm T ng-ợc với S đ-ợc gọi nửa nhóm ng-ợc x  T, cã x-1  T, ®ã x-1 phần tử ng-ợc x S Tuy nhiên nửa nhóm nửa nhóm ng-ợc nửa nhóm ng-ợc, thực tế là: 2.3.5 Bổ đề Giả sử A nửa nhóm nửa nhóm ng-ợc S Thế A nửa nhóm ng-ợc S nÕu x-1  A víi mäi x  A Nh- hệ 2.2.5 ta có: 2.3.6 Hệ Giả sử : S P đồng cấu từ nửa nhóm ng-ợc S vào nửa nhóm P Nếu e E(P) -1(e) nửa nhãm ng-ỵc cđa S Chøng minh NÕu  (x) = e =  (y) th×  (xy) =  (x) (y) = e.e = e2 = e nªn xy -1(e) Do -1(e) nửa nhóm ng-ợc S Nếu x -1(e) (x) = e nªn  (x-1) =  (x)-1 = e-1 = e Do -1(e) nửa nhóm ng-ợc S 21 2.3.7 Định nghĩa Với iđêan I nửa nhóm S, ký hiệu S/ th-ơng Rees đ-ợc gọi mở rộng iđêan cđa I bëi S/I ThÕ th× ta cã 2.3.8 MƯnh đề: Giả sử iđêan I nửa nhóm S Khi S nửa nhóm ng-ợc I S/I nửa nhóm ng-ợc 2.3.9 Định nghĩa Giả sử t-ơng đẳng nửa nhóm S chứa lũy đẳng Khi ta định nghĩa hạt nhân tập Ker( ) : = { x  S| x  e víi e E(S) } Và vết tËp Tr(  ) : = { ( e, f)| e, f E(S) } Từ định nghĩa suy ker(  ) =  e, e  E(S) 2.3.10 Mệnh đề Giả sử S na nhóm ng-ợc, t-ơng đẳng S ThÕ th×    e  E(S) : e e Chứng minh Một chiều khẳng định hiển nhiên Giả sử e e , e  E(S) , thÕ th× x  y  x x-1  y x-1  x x-1  y x-1  x  y x-1 x x  y  x-1 x  x-1 y  x-1 x  x-1 y  y x-1 x  y x-1 y x y x y x-1 x ( ) Mặt khác x y  x-1  y-1  x-1 y  y-1 y  y x-1 y  y ( ) Tõ ( ), ( ) cã x  y Từ 2.3.11 Hệ Giả sử t-ơng đẳng nửa nhóm ng-ợc S Thế thì: = e E(S) : e =e 2.3.12 Định lý ( Định lý Vagner ) Giả sử t-ơng đẳng nửa nhóm ng-ợc S Thế thì:  =   ker()= ker() vµ tr() = tr() 22 Nói cách khác, : S P : S T toàn cấu nửa nhóm ng-ợc S ker() = ker() víi mäi x S vµ e, f  E(S) cã: (x)  E(P)  (x)  E(T) (e)  (f) (e) (f) Chứng minh Một chiều khẳng định hiển nhiên Giả sử ker() = ker() tr() = tr() NÕu e  E(S) th× e  x   f  E(S) :f  x  f x-1 = f  x x-1 e  x  e e-1 = e  x x-1  e  x x-1 Vµ nh- vËy e  f vµ f x đúng, nên e x e  e  T-¬ng tù e   e nên e = e Từ = theo hệ 2.3.11 T-ơng đẳng nửa nhóm ng-ợc đ-ợc phân loại theo vết chúng 2.3.13 Bổ đề Giả sử S nửa nhóm ng-ợc, x S e E(S) Thế x-1ex E(S) Chứng minh Vì lũy đẳng S giao hoán xx-1 , x-1 x E(S) nên x-1 e x x-1 e x = x-1 x x-1 e e x = x-1 ex Do ®ã x-1 ex E(S) 2.3.14 Định nghĩa Đối với t-ơng đẳng nửa nhóm ng-ợc S, thu đ-ợc t-ơng đẳng cách định nghĩa: xminy e  E(S): xe = ye, x-1x  e vµ y-1y e 2.3.15 Định lý Đối với t-ơng đẳng nửa nhóm ng-ợc S, t-ơng đẳng bé có vết tr() Chứng minh Theo định nghĩa, quan hệ t-ơng đ-ơng S Ta chứng minh t-ơng đẳng S Thật vậy, giả sử xmin y e E(S) cho xe = ye Khi ®ã x  S cã z-1ez := f E(S) theo bổ đề 2.2.13 xzf = xzz-1ez = xzz-1.e.z = xezz-1.z = yezz-1.z = yzz-1.e.z = y.f Hơn (xz)-1.xz = z-1x-1xz z-1ez z-1y-1yz = (yz)-1yz nên xzmin yz Mặt khác, xe = ye kéo theo ex-1 = ey-1 Bằng cách nghịch đảo hai vế, sử dụng điều đó, có (zx)-1zx = x-1z-1zx = x-1 x.x-1z-1z.z ex-1z-1zx 23 (zy)-1zy = y-1z-1zy = y-1 y.y-1z-1z.y.y-1 ey-1z-1zye = ex-1z-1zxe  ex-1z-1zx.x-1x = ex-1z-1zx Điều xz zy, ex-1z-1zx lũy đẳng Do t-ơng đẳng S Ta chứng minh tr(min) = tr( ) Gi¶ sư g, f  E(S), fmin g  e  E fe = ge, f e, g  e f g Mặt khác, giả thiết f  g Khi ®ã, ®èi víi e = fg cã fe = ffg = fg = fgg = gfg = ge, vµ râ rµng f  e, g  e Do f g nên tr(min ) = tr(  ) Cuèi cïng cÇn chøng tá r»ng min t-ơng đẳng bé có tính chất Thật vậy, giả sử t-ơng đẳng tùy ý trªn S víi tr(  ) = tr( ) Khi đó, x, y S mà x y, e  E(S) : xe = ye vµ xx-1  e, y-1y  e Khi ®ã xx-1  e, y-1y  e  x  xe, y  ye  x y Từ suy điều phải chứng minh Nói riêng ta có với t-ơng đẳng S 2.3.16.Định nghĩa Đối với t-ơng đẳng nửa nhóm S, ta xác định max x maxy  e  E(S) : x-1ex  y-1ey 2.3.17 Định lý Giả sử t-ơng đẳng nửa nhóm ng-ợc S Thế max t-ơng đẳng lớn S có vết tr( ) Chứng minh Theo định nghĩa, max quan hệ t-ơng đ-ơng S Ta chứng minh max ổn định hai phÝa Gi¶ sư x  zx max max y z S Thế zy e E(S) : (zx)-1exz  (zy)-1ezy  x-1z-1ezx  y-1z-1ezy z-1ez E(S) Theo bổ đề 2.3.13 nên x maxy  x-1z-1ez.x  y-1z-1ez.y vµ nhvËy zx  max zy tháa m·n nÕu x  max y tháa m·n suy max ổn định phải nên max t-ơng đẳng S Bây ta chứng minh tr(max) = tr(  ) Gi¶ sư g, f  E(S), thÕ th× fmax g  f-1 ff  fg  f fg lập luận nh- trên, ta có f max g  g  fg, tõ ®ã f g nên tr( max) tr( ) Đảo lại, e E(S), f g f-1ef g-1eg nên f max g, tr( )  tr( max) vµ nh- vËy tr( max) = tr( ) 24 Cuối cùng, max t-ơng đẳng lớn Nh- vậy, giả sử t-ơng đẳng S cho tr( ) = tr(  ) Khi ®ã, e  E(S) cã x  y  x-1ex  y-1ey  x-1ex  y-1ey  x  maxy , v× x-1ex, y-1ey  E(S) max Bây ta mô tả t-ơng đẳng nửa nhóm ng-ợc dựa hệ hạt nhân chuẩn chúng 2.3.18 Bổ đề Giả sử : S S đồng cấu tõ nưa nhãm chÝnh quy S lªn nưa nhãm S’ Khi S nửa nhóm quy Chứng minh Giả sử a = (a) phần tử tùy ý thuộc S x phần tử ng-ợc víi a S ThÕ th× tõ axa = a ta cã  (axa) =  (a) hay  (a) (x) (a) = (a) Suy a’ (x).a’ = a’ Do (x) phần tử ng-ợc với a S Vì phần tử thuộc S có phần tử ng-ợc nên S quy 2.3.19 Định nghĩa Giả sư S lµ mét nưa nhãm tïy ý vµ A = {Ai| i I } họ tập đôi không giao S Ta nói A tập thừa nhận đ-ợc (bên trái, bên phải) tập S A tập thừa nhận đ-ợc (bên trái, bên phải) S tồn t-ơng đẳng (trái, phải) S cho tập {Ai| i I } - lớp Ng-ợc lại, ta gọi t-ơng đẳng nh- t-ơng đẳng thừa nhận A Nếu A thừa nhận đ-ợc (bên trái, bên phải) tồn t-ơng đẳng (trái, phải) S thừa nhận A ta nói A tập chuẩn (bên trái, bên phải) tập S, A tập chuẩn (bên trái, bên phải) S 2.3.20 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm quy (đặc biệt S nửa nhóm ng-ợc), t-ơng đẳng S A tập - lớp chứa lũy đẳng Thế A tập chuẩn S Chứng minh Giả sử t-ơng đẳng tùy ý S thừa nhận A Ta cần chøng tá  =  Gi¶ sư (x, y)  Vì S quy nên tồn a, b  S cho xax =x, axa = a, yby = y, byb = b Đặc biệt từ suy xa yb lũy đẳng 25 Vì ổn định bên phải nên (xa, ya) , t-ơng ổn định bên trái nên (bx, by) , t-ơng ổn định bên trái nên (bx, by) Vì theo giả thiết thừa nhận A nên - lớp chứa lũy đẳng xa trùng với  - líp chøa xa Nh- vËy (xa, ya)   , t-¬ng tù, (bx, by)   Dïng tính ổn định bên trái bên phải cách thích hợp, ta đ-ợc x = xax, (xax, yax)  , yax = ybyax, ( ybyax, ybxax)   vµ ybxax = ybx, (ybx, yby)  , yby = y Từ tính bắc cầu ta cã (x, y)   nªn    Đối ngẫu ta có nên = 2.3.21 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm ng-ợc t-ơng đẳng S, A tập - lớp chứa lũy đẳng Thế A tập chuẩn bên trái S Chứng minh Giả sử t-ơng đẳng tr¸i tïy ý thõa nhËn A Cịng nh- chøng minh mệnh đề 2.3.20, ta cần chứng minh   Gi¶ sư (x, y)   Ta lập luận t-ơng tự chứng minh trên, dùng tính ổn định trái, ta đ-ợc (x-1x, x-1y) (y-1x, y-1y)   TiÕp theo, ta rót x = xx-1x, (xx-1x, xx-1y) , xx-1y = yy-1xx-1y Vì lũy đẳng S giao hoán đ-ợc với nhau, nên (yy-1xx-1y, yy-1xx-1x)  , yy-1xx-1x = yy-1, (yy-1x, yy-1y)  , yy-1y = y Từ tính bắc cầu ta đ-ợc (x, y) nên Theo mệnh đề 2.3.20 theo định nghĩa tập chuẩn ta thấy t-ơng đẳng nửa nhóm ng-ợc S đ-ợc xác định cách tập chuẩn A tất - lớp chứa lũy đẳng Bây ta tiến đến tìm đặc tr-ng tập A mô tả cấu trúc t-ơng đẳng t-ơng ứng 2.3.22 Định nghĩa Tập A = {Ai| i I } đ-ợc gọi hệ hạt nhân chuẩn nửa nhóm ng-ợc S nếu: (k1) Mỗi Ai nửa nhóm ng-ợc S, 26 (k2) Ai  Aj =  víi i ≠ j, (k3) Mỗi lũy đẳng S đ-ợc chứa Ai thuộc A , (k4) Đối với a S i I tồn j  I cho a-1Aia  Aj (ta sÏ viÕt j = ia, nghÜa lµ a-1Aia  Aia), (k5) NÕu a, ab, bb-1  Ai th× b  Ai 2.3.23 Định nghĩa Giả sử đồng cấu nửa nhóm ng-ợc S Tập lũy đẳng nửa nhóm S/ đ-ợc gọi hạt nhân đồng cấu t-ơng đẳng , t-ơng đẳng hạt nhân đ-ợc xác định bëi: (a, b)     (a) =  (b) (a, b S) 2.3.24 Bổ đề Giả sử t-ơng đẳng nửa nhóm ng-ợc S Thế hạt nhân t-ơng đẳng hệ hạt nhân chuẩn nửa nhóm S Chứng minh Giả sư A = {Ai| i  I } lµ tËp lũy đẳng S/ , nghĩa A hạt nhân t-ơng đẳng Ta cần chứng minh A thỏa mÃn tất điều kiện ®Þnh nghÜa 2.3.12 Ta thÊy ®iỊu kiƯn k2 tháa mÃn Điều kiện k1 suy từ hệ 2.3.6 kí hiệu ánh xạ tự nhiên từ S lên S/ Mỗi lũy đẳng thuộc S qua ánh xạ đ-ợc biến thành lũy đẳng S/ Từ suy điều kiện k3 k4 hiển nhiên Ta phải thử điều kiện k5 Giả sư a, ab, bb-1  Ai víi i  I Thế (a) = (a).(b) = (b).(b-1) = Ai lũy đẳng S/ nên theo bỉ ®Ị 2.3.1 ta cã ψ(b-1) = [ψ(b) ]-1 Tõ ®ã suy ψ(b) = ψ(b) (ψ(b))-1ψ(b) = Ai.ψ(b) = ψ(a) ψ(b) = Ai Nh- vËy b  Ai §iỊu ®ã chøng tá ®iỊu kiƯn K5 ®-ỵc tháa m·n Ta xét toán ng-ợc lại: Một hệ hạt nhân chuẩn tïy ý A = {Ai| i  I } cña nửa nhóm S xác định t-ơng đẳng A trªn S nh- sau: A = {(a, b)  S| aa-1, bb-1, ab-1  Ai, i  I } (1) 27 Để chứng minh điều ta cần số bổ đề chuẩn bị Ta dùng ký hiệu nêu điều kiện k4 Bây ta chứng minh mƯnh ®Ị sau vỊ quan hƯ A 2.3.25 Bổ đề Giả sử A = {Ai| i I } hệ hạt nhân chuẩn nửa nhóm ng-ợc S Quan hệ hai A xác định (1) t-ơng đẳng S Chứng minh Rõ ràng quan hệ A có tính phản xạ theo ®iỊu kiƯn k3 vµ cã tÝnh ®èi xøng theo ®iỊu kiÖn k1 Ta chøng minh r»ng A cã tÝnh chÊt bắc cầu Giả sử (a, b), (b, c) A Thế tồn i I cho aa-1, bb-1, cc-1, ab-1, bc-1  Ai VËy ®Ĩ chøng minh (a, c)  A ta chØ cÇn chøng tá r»ng ac-1  Ai Gi¶ sư x = cb-1, y = ac-1 Thế x = (bc-1)-1 Ai Hơn xy = cb-1ac-1 cAiac-1 Ta lại có Aia = Aib = Aiac Do ®ã cAiac-1 = cAicc-1 = cA(ic)c-1 = Ai Nh- vËy xy  Ai Cuèi cïng yy-1 = ac-1ca-1  aAica-1 Nh-ng Aia = Aic vµ v× vËy aAica-1 = cAiac-1  cA(ia)a-1 = Ai Nh- yy-1 Ai Ta chứng tỏ đ-ợc x, xy, yy-1  Ai Tõ ®ã ta cã ac-1 = y  Ai theo ®iỊu kiƯn k5 VËy A quan hệ t-ơng đ-ơng S Giả sử aa-1, bb-1, ab-1  Ai Lóc ®ã (ca)(ca)-1 = c.aa-1.c-1 cAic-1 Aic-1 t-ơng tự phần tử (cb)(cb)-1 (ca)(cb)-1 thuộc Aic-1 Do (a, b)  A kÐo theo (ca, cb)  A H¬n n÷a (a, b)  A kÐo theo (a-1, b-1)  A Do ®ã (a, b)  A kÐo theo (c-1a-1, c-1b-1) A từ lại kéo theo (ac, bc) A Vậy A ổn định hai phía t-ơng đẳng S Bây ta chøng minh A thõa nhËn A 2.3.26 Bỉ ®Ị Giả sử A = {Ai| i I } hệ hạt nhân chuẩn nửa nhóm ng-ợc S Thế A hạt nhân t-ơng đẳng A Chứng minh ta cần chứng tỏ Ai - lớp Giả sử a, b Ai Thế theo điều kiện k1 ta có aa-1, bb-1, ab-1 Ai (a, b) A 28 Bây giả thiết a Ai (a, b) A Thế aa-1, bb-1, ab-1 Aj với j thuộc I Nh-ng a  Ai kÐo theo aa-1  Ai Do i = j a, ab-1 Ai Hơn aa-1, b-1b Aia Nh-ng a Ai kÐo theo aa-1  Ai Do ®ã i = ia b-1b Ai Từ a, ab-1, b-1(b-1)-1 Ai nên b-1 Ai theo điều kiện k5 Nh-ng ®ã b  Ai theo ®iỊu kiƯn k1 §iỊu ®ã chøng tá r»ng Ai lµ mét A - líp Râ ràng Ai lũy đẳng nửa nhóm S/A Thật vậy, Ai nửa nhóm ng-ợc S chứa lũy đẳng Đảo lại từ Hệ suy lũy đẳng S/A A - lớp chứa lũy đẳng Nh-ng theo điều kiện k3 lũy đẳng thuộc S/A phần tử hệ A Do A hạt nhân t-ơng đẳng A 2.3.27 Bổ đề Giả sử A = {Ai| i I } hệ hạt nhân chuẩn nửa nhóm ng-ợc S Thế = A Chøng minh Ta suy trùc tiÕp tõ Bỉ ®Ị 2.2.25 mệnh đề 2.2.26 Từ bổ đề trên, ta thu đ-ợc định lý sau: 2.3.28 Định lý Giả sư A = {Ai| i  I } lµ mét hệ hạt nhân chuẩn nửa nhóm ng-ợc S Thế quan hệ A xác định (1) t-ơng đẳng S A hạt nhân t-ơng đẳng Đảo lại, giả sử :S S đồng cấu từ nửa nhóm ng-ợc S lên nửa nhóm S A hạt nhân đồng cấu Thế A hệ hạt nhân chuẩn S A = -1o (nghĩa lµ (a,b)  -1o    (a) =  (b)), (a,b  S) 29 KÕT LUËN Khãa luËn đà thu đ-ợc kết sau đây: - Hệ thống khái niệm sở nửa nhóm - Hệ thống khái niệm tính chất t-ơng đẳng, nửa nhóm quy, nửa nhóm ng-ợc nhóm phải - Khảo sát t-ơng đẳng nửa nhóm ng-ợc nhóm phải, phân loại t-ơng đẳng nửa nhóm ng-ợc - Mô tả t-ơng đẳng nửa nhóm ng-ợc dựa vào hệ hạt nhân chuẩn chúng 30 Tài liệu tham khảo Tiếng việt [1] Nguyễn Tự C-ờng (2003), Giáo trình Đại số đại, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Lê Quốc Hán (2007), Lý thuyết ngôn ngữ nhóm, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [3] Nguyễn Hữu Việt H-ng (1998), Đại số đại c-ơng, NXB Giáo dục Hà Nội [4] Hoàng Xuân Sính (1992), Đại số đại c-ơng, NXB Giáo dục Hà Nội TiÕng Anh [5] H Cliford and G B Preston (1961 - 1967), The Algebraic theory of semigroups Vol I & II, Mathematical Surveyys of the Amer Math Soc [6] P M Higgins (1992), Techniques of semigroup theory, Oxford Univesity Prees [7] J M Howie (1995), Fundamertals of semigroup theory, Academi Press [8] M Petrich (1984), Letures in semigroups, Wiley 31 mục lục Trang LờI NóI ĐầU Ch-ơng CáC KHáI NIệM CƠ BảN 1.1 Các định nghĩa 1.2 Nưa nhãm ng-ỵc 1.3 Nhãm ph¶i Ch-ơng TƯƠNG ĐẳNG TR£N MéT Sè LíP NưA NHãM CHÝNH QUY 10 2.1 T-ơng đẳng nửa nhóm th-ơng 10 2.2 T-ơng đẳng nhóm phải 13 2.3 T-ơng đẳng nửa nhóm ng-ợc 18 KÕT LUËN 28 Tài liệu tham khảo 29 ... sở nửa nhóm - Hệ thống khái niệm tính chất t-ơng đẳng, nửa nhóm quy, nửa nhóm ng-ợc nhóm phải - Khảo sát t-ơng đẳng nửa nhóm ng-ợc nhóm phải, phân loại t-ơng đẳng nửa nhóm ng-ợc - Mô tả t-ơng đẳng. .. đẳng cấu từ G E lên S (iii) đ-ợc chứng minh (iii) (i) Vì S tích trực tiếp hai nhóm phải G E, nên S nhóm phải 10 11 Ch-ơng TƯƠNG ĐẳNG TRÊN MộT Số LớP NửA NHóM CHíNH QUY 2.1 T-ơng đẳng nửa nhóm. .. x-1  T, x-1 phần tử ng-ợc x S Tuy nhiên nửa nhóm nửa nhóm ng-ợc nửa nhóm ng-ợc, thực tế là: 2.3.5 Bổ đề Giả sử A nửa nhóm nửa nhóm ng-ợc S Thế A nửa nhóm ng-ợc S nÕu vµ chØ nÕu x-1  A víi mäi