Luận văn ngôn ngữ tựa xiclic và ứng dụng vào khảo sát cấu trúc một số lớp nửa nhóm

Mở đầu Trong những năm gần đây, lý thuyết ngôn ngữ hình thức phát triển mạnh mẽ và có ứng dụng ngày càng sâu rộng trong nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật, đặc biệt là đối với tin học và toán học. Một hớng phát triển của ngôn ngữ hình thức đợc nhiều ngời quan tâm là sử dụng tơng đẳng trên các nửa nhóm để khảo sát cấu trúc đại số của ngôn ngữ hình thức. Cụ thể là khi nghiên cứu một ngôn ngữ, ngời ta thờng xét đến vị nhóm cú pháp, văn phạm, dáng điệu ngôn ngữ và ôtômát của ngôn ngữ đó. Trong luận văn này, theo sự hớng dẫn của thầy giáo PGS.TS Lê Quốc Hán, chúng tôi tập trung nghiên cứu một lớp ngôn ngữ có liên hệ mật thiết đến nửa nhóm xiclic, đó là ngôn ngữ tựa xiclic, ký hiệu là ngôn ngữ UOL. Luận văn gồm: phần mở đầu, chơng 1, chơng 2 và phần kết luận. Chơng 1. Đại cơng về ngôn ngữ hình thức. Trong chơng này, chúng tôi trình bày khái niệm và các tính chất cơ bản của nửa nhóm tự do và nửa nhóm xiclic; khái niệm ngôn ngữ hình thức, vị nhóm cú pháp và văn phạm sinh ngôn ngữ, ôtômat đoán nhận ngôn ngữ. Kiến thức chơng này là cơ sở để trình bày chơng sau. Chơng 2. Ngôn ngữ tựa xiclic. Chơng này gồm 3 tiết và cũng là nội dung chính của luận văn. 2.1. Khái niệm và tính chất cơ bản. Trong tiết này chúng tôi đa ra khái niệm ngôn ngữ tựa xiclíc, ngôn ngữ đơn định, ngôn ngữ lan truyền, ngôn ngữ tăng trởng và nêu lên một số đặc trng của các lớp ngôn ngữ đó. Kết quả chính của tiết này là định lý 2.1.6, 2.1.7, 2.1.8, 2.1.9 và 2.1.10. 3 2.2. Biểu thức chính quy và ngôn ngữ tựa xiclic. Tiết này chúng tôi trình bày sơ lợc về biểu thức chính quy, ngôn ngữ sinh bởi biểu thức chính quy và ngôn ngữ tựa xiclic trong trờng hợp nó là chính quy. 2.3. Khảo sát nửa nhóm xiclíc. Tiết này, chúng tôi dùng công cụ ngôn ngữ hình thức và ôtômát để nghiên cứu nửa nhóm xiclic và đa ra một số tính chất ( 2.3.7, 2.3.8). Luận văn đợc hoàn thành nhờ sự giúp đỡ tận tâm nhiệt tình của thầy giáo PGS.TS Lê Quốc Hán. Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy. Tác giả xin trân trọng tỏ lòng biết ơn tới các thầy giáo GS.TS Nguyễn Quốc Thi, PGS.TS Nguyễn Quý Dy, PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS Nguyễn Thành Quang, TS Mai T, TS Chu Trọng Thanh, TS Nguyễn Thị Hồng Loan và các thầy cô giáo trong tổ Đại số đã động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập cũng nh trong việc hoàn thành luận văn này. Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ban giám hiệu nhà trờng, Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau đại học và các phòng ban liên quan đã tạo điều kiện thuận lợi trong thời gian học tập và nghiên cứu tại trờng Đại học Vinh. Mặc dù đã rất cố gắng song chắc chắn trong luận văn vẫn còn những thiếu sót, rất mong đợc sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn học viên. Vinh, tháng 12/ 2006 Tác giả. Chơng 1. 4 Đại cơng về ngôn ngữ hình thức. 1.1. Nửa nhóm tự do và hệ thức xác định. Mỗi ngôn ngữ trên bảng chữ cái X là một tập con của vị nhóm tự do sinh bởi X. Do đó, trong tiết này, chúng tôi trình bày khái niệm nửa nhóm tự do và một số tính chất cần thiết. 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử X là một tập tuỳ ý và J X gồm tất cả các dãy hữu hạn các phần tử cuả X. Phép nhân hai phần tử (x 1 ,x 2 , ,x m ), (y 1 ,y 2 , ,y n ) thuộc J X đợc định nghĩa nh sau. (x 1 ,x 2 , ,x m ). (y 1 ,y 2 , ,y n )= (x 1 ,x 2 , ,x m ,y 1 ,y 2 , ,y n ). Khi đó J X trở thành nửa nhóm tự do xác định trên tập X. Các phần tử của J X gọi là các từ và m là độ dài của từ (x 1 ,x 2 , ,x m ). Nếu ta đồng nhất x với từ (x) có dộ dài bằng 1 thì theo định nghĩa trên ta có : (x 1 ,x 2 , ,x m )=(x 1 )(x 2 ) (x m )= x 1 x 2 x m . Nh vậy X chính là tập sinh của J X , hơn nữa là tập sinh duy nhất không có phần tử nào thừa. Ta ký hiệu J X 1 hay X * là vị nhóm tạo thành bởi J X đợc thêm vào từ rỗng ( ký hiệu là ) nh là phần tử đơn vị. Bây giờ ta đặt một hệ thức lên các phần tử của X. Giả sử hệ thức đó có dạng u v , I = , I là một tập chỉ số còn u , v J X . Đặt 0 {(u , v ) | I,u v } = = và là tơng đẳng trên J X sinh bởi 0 , còn 5 là đồng cấu tự nhiên từ J X lên X J và (u ) (v ), I = . Ta gọi X J là nửa nhóm sinh bởi tập X và và hệ thức xác định u v , I = . Thật ra, nó sinh ra bởi tập (X) . 1.1.2. Mệnh đề. Giả sử J X là một nửa nhóm tự do trên tập X . Giả sử S là một nủa nhóm tuỳ ý và 0 là một ánh xạ bất kỳ từ X vào S. Khi đó 0 có thể mở rộng một cách duy nhất thành đồng cấu từ J X vào S. Chứng minh. Nếu là một đồng cấu bất kỳ tử nửa nhóm J X vào S trùng với 0 trên X, thì đối với các phần tử x 1 ,x 2 , , x m X ta có (x 1 x 2 x m )= 1 2 m (x ) (x ) (x ) . Do đó tồn tại không quá một đồng cấu nh thế. Nhng đẳng thức cuối cùng có thể lấy làm định nghĩa cho ánh xạ từ J X vào S . Rõ ràng đồng cấu này trùng với trên X. 1.1.3.Định lý. Giả sử J X là một nửa nhóm tự do trên tập X, và 0 là một quan hệ bất kỳ trên J X ; còn là tơng đẳng sinh bởi 0 . Giả sử * là đồng cấu tự nhiên từ J X lên X J . Nếu S là nửa nhóm bất kỳ và là đồng cấu từ J X vào S sao cho (u) (v) = đối với mỗi (u,v) 0 . Khi đó tồn tại đồng cấu từ J X vào S sao cho * . . = Chứng minh. Trớc hết chúng ta chứng tỏ rằng nếu w, w J X mà w w ' thì (w) (w ') = . Thật vậy, vì là tơng đẳng sinh bởi 0 nên w w ' khi 6 và chỉ khi có thể đi từ w đến w bằng một dãy hữu hạn 0 - bắc cầu. Do đó chỉ cần chứng minh (w) (w ') = nếu có thể đi từ w đến w bằng một dãy hữu hạn 0 - bắc cầu. Nhng điều đó cũng có nghĩa là w=w 1 uw 2 và w =w 1 vw 2 , trong đó w 1 ,w 2 J X và 0 u, v . Trong mỗi trờng hợp , theo giả thiết ta có (u) (v) = và do dó 1 2 1 2 1 2 (w) (w ) (u) (w ) (w ) (u) (w ) (w vw ) (w ') = = = = . Bây giờ ta định nghĩa ánh xạ từ x J vào S bằng cách đặt * ( (w)) (w) = với mỗi w X J . Trên đây chúng ta đã chứng tỏ rằng * * X (w) (w ') (w, w ' J ) = , tức w w ' kéo theo (w) (w ') = . Từ đó suy ra tính đơn trị của . Còn miền xác định của là toàn bộ tập X J suy ra từ chỗ mỗi phần tử của X J có dạng * (w) với w J X . Vì đẳng thức * . = bây giờ là hiển nhiên nên ta chỉ cần chứng minh là đồng cấu. Giả sử w,w J X , khi đó * * * * ( (w) (w ')) ( (ww ')) (ww ') (w) (w ') ( (w) (w ')) = = = = Vậy là đồng cấu. 1.1.4. Định lý. Nửa nhóm S là một nửa nhóm tự do trên tập X khi và chỉ khi mỗi phần tử của S có thể biểu diễn đợc một cách duy nhất dới dạng tích của các phần tử thuộc X. Chứng minh. Nếu S= J X thì theo định nghĩa nửa nhóm tự do, mỗi phần tử của S biểu diễn đợc một cách duy nhất dới dạng tích các phần tử của X. 7 Đảo lại, giả sử mỗi phần tử của S biểu diễn đợc một cách duy nhất dới dạng tích các phần tử của X, khi đó theo mệnh đề 1.2 ánh xạ đồng nhất từ X vào S có thể mở rộng một cách duy nhất thành đồng cấu từ nửa nhóm J X lên S. Mặt khác là ánh xạ 1 1 do đó là đẳng cấu. Từ đây ta suy ra điều phải chứng minh. 1.1.5. Định lý[2]. S là một nửa nhóm tự do khi và chỉ khi nó thoả mãn các đièu kiện dới đây. 1. Thoả mãn luật giản ớc trái và phải. 2. S không chứa đơn vị hai phía. 3. Nếu ax=by đối với a,b,x,y S thì a=b hoặc một trong các phần tử a,b là ớc bên trái của phần tử kia. 4. Mỗi phần tử của S có một số hữu hạn ớc bên trái. Lu ý rằng không phải bao giờ một nửa nhóm con của một nửa nhóm tự do cũng là một nửa nhóm tự do. 1.1.6. Hệ quả. Nửa nhóm con T của một nửa nhóm tự do là một nửa nhóm tự do khi và chỉ khi từ đẳng thức ax = by ( a,x,b,y T) ta suy ra a=b hoặc một trong các phần tử a, b là ớc của phần tử kia. Cuối cùng là một kết quả của Suytxenbecje, đa ra một đặc trng đối xứng của nửa nhóm con của một nửa nhóm tự do. 1.7. Mệnh đề [2]. Một nửa nhóm con T của một nửa nhóm tự do S cũng là một nửa nhóm tự do khi và chỉ khi với mọi phần tử x S, từ điều kiện Tx T và xT T ta suy ra x T. 8 1.2. Nửa nhóm Xiclic. Nội dung chủ yếu của luận văn này là khảo sát ngôn ngữ tựa xiclic, có mối liên quan mật thiết với nửa nhóm xiclic. Do vậy trong tiết này, chúng tôi trình bày khá chi tiết về khái niệm nửa nhóm xiclic và tơng đẳng trên nó. Nửa nhóm xiclic. 1.2.1.Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm và a là một phần tử của S. Khi đó nửa nhóm con <a> của S gồm tất cả các luỹ thừa nguyên dơng của a <a>={ a, a 2 , }, đợc gọi là nửa nhóm con xiclic của nửa nhóm S sinh bởi a. Trong trờng hợp S=<a> thì S đợc gọi là nửa nhóm xiclic sinh bởi a và a đợc gọi là phần tử sinh. Cấp của a đợc gọi là cấp của nửa nhóm con xiclic <a>. Với mỗi a S chỉ có hai khả năng sau xảy ra. i) Hoặc là mọi luỹ thừa của a đều khác nhau, khi đó cấp của a là vô hạn ( đếm đợc). ii) Hoặc tồn tại các số nguyên r và s với r<s sao cho a r =a s . Khi đó a có cấp hữu hạn. Giả sử s là số nguyên dơng bé nhất sao cho a s là một luỹ thừa của a bằng luỹ thừa bé hơn nào đó của a. Thế thì a s =a r với r nào đó bé hơn s ( r là phần tử duy nhất có tính chất này). Đặt m=s-r, khi đó a s =a m+r . Trong trờng hợp này m đợc gọi là chu kỳ, r đợc gọi là chỉ số của phần tử a hay của nửa nhóm xiclic <a>. 9 1.2.2. Mệnh đề. Giả sử a là một phần tử của nửa nhóm S là <a> là một nửa nhóm con xiclic sinh bởi phần tử a. Nếu <a> là nửa nhóm xiclic vô hạn thì mọi luỹ thừa của a đều khác nhau. Nếu <a> là nửa nhóm xiclic hữu hạn với chỉ số r và chu kỳ m thì a m+r =a r và <a>={a,a 2 ,a 3 , ,a r , ,a m+r-1 }. Tập K a = {a r ,a r+1 , ,a r+m-1 } là nhóm con xiclic của nửa nhóm S. Chứng minh. Với <a> = {a,a 2 ,a 3 ,}. +) Trờng hợp <a> là nửa nhóm xiclic vô hạn, điều này có nghĩa là <a> có vô số phần tử. Vậy mọi luỹ thừa của a là khác nhau. +) <a> là nửa nhóm xiclic với chu kỳ m=s-r, khi đó a s =a m+r ; vì các phần tử a,a 2 , ,a s-1 khác nhau cho nên ta suy ra <a>={ a,a 2 , ,a s-1 }={a,a 2 ,a 3 ,,a r , ,a m+r-1 }. Vậy a có cấp m+r-1. +) Tập K a = {a r ,a r+1 , ,a r+m-1 } là nhóm con xiclic của nửa nhóm S. Thật vậy, hiển nhiên K a là nhóm con của nửa nhóm S. Ta đặt a n K a (r n m r 1) + . Xét ánh xạ n :a (m) n +a , trong đó (m)+n là lớp thặng d các số nguyên modm chứa n. Rõ ràng là đẳng cấu từ K a lên Z/ (m) tất cả các lớp thặng d theo mô đun m. Từ đó ta kết luận K a là nhóm con xiclic cấp m của nửa nhóm S. 1.2.3. Mệnh đề. Giả sử S là nhóm xiclic hữu hạn với chu kỳ m và chỉ số r, n là số tự nhiên thoả mãn (r n m r 1) + và n 0(modm). Khi đó a n là đơn vị của nhóm con tối đại K a = {a r ,a r+1 , ,a r+m-1 }. Chứng minh. Xét ánh xạ a m h :K Z a h a 10 Khi đó là một đẳng cấu nhóm và h a 1(mod m) h (a ) 0 h 0 h 0(mod m) = = với 0 h m r + . 1.2.4. Mệnh đề. Mỗi ảnh đồng cấu của nửa nhóm xiclic vô hạn N là một nhóm con xiclic hữu hạn, và mỗi nhóm xiclic hữu hạn là ảnh đồng cấu của một nửa nhóm xiclic N. Chứng minh. +) Điều kiện cần. Giả sử : N G là một đồng cấu từ nửa nhóm xiclic N lên nửa nhóm G và (1) y = . Khi đó g G, k N sao cho k (k) g g y = = , suy ra G là nhóm xiclic sinh bởi y . Mặt khác với 1 . = thì N / y< > . Khi đó hoặc N i N G = ( mâu thuẫn vì N là nửa nhóm, G là nhóm); hoặc N i N / hữu hạn nên G hữu hạn. +) Điều kiện đủ. Giả sử Z n là một nhóm xiclic cấp hữu hạn thì tơng ứng n : N Z k k a Là một đồng cấu từ N lên Z n nên Z n là một ảnh đồng cấu của N. Tơng đẳng trên nửa nhóm xiclic vô hạn. 1.2.5. Bổ đề. Giả sử là một tơng đẳng trên nửa nhóm xiclic vô hạn N và i N ( i N là quan hệ đồng nhất trên N). Khi đó tồn tại duy nhất một cặp số tự nhiên (m,r) sao cho a b khi và chỉ khi a b, max(a,b) r a b(mod m), max(a, b) r nếu nếu = < Đảo lại, nếu (m,r) là một cặp số tự nhiên và là quan hệ trên N thoả mãn hệ thức (1) thì là một tơng đẳng trên N. 11 Chứng minh. +) Điều kiện cần. Ta thấy N/ là nửa nhóm xiclic sinh bởi 1 . Vì i N nên tồn tại p,q N sao cho p q mà p =q . Từ đó ta suy ra N/ là một nửa nhóm xiclic hữu hạn. Do đó tồn tại cặp số (m,r) sao cho r =(m+r) và m+r là số bé nhất có thể chọn thoả mãn điều kiện ấy ( m là chu kỳ còn r là chỉ số của N/ ). Khi đó mỗi lớp 1 , 2 , , (r-1) chỉ chứa một phần tử của N nên nếu max(a,b)<r thì a b khi và chỉ khi a=b. Giả sử max(a,b) r và N/ ={1 , 2 , , (r-1) , , (m+r-1) }, còn 1 m :K Z là đẳng cấu xét trong mệnh đề 2.4. Thế thì a = b a(1)=b(1) ab(modm). Cặp số tự nhiên (m,r) tồn tại và duy nhất. Thật vậy, giả sử tồn tại cặp số (n,s) thoả mãn đièu kiện (1). Khi đó N/ gồm s lớp, mỗi lớp chỉ chứa một phần tử của N và n lớp, mỗi lớp chứa nhiều hơn một phần tử. Từ đó suy ra r=s và m=n ( vì các lớp của N/ không giao nhau). +) Điều kiện đủ. Giả sử (m,r) là cặp số tự nhiên và là quan hệ trên N thoả mãn hệ thức (1). Thế thì là một tơng đẳng trên N. Thật vậy, tính phản xạ và đối xứng của là hiển nhiên. Ta chứng minh tính chất bắc cầu của ( chứng minh o ). Giả sử (a,b) o . Khi đó tồn tại c N sao cho (a,c) và (c,b). Theo (1) có thể xảy ra các trờng hợp sau: - Trờng hợp 1. max(a,c) <r và max(b,c)<r. Khi đó a=c và b=c và max(a,b)<r (a,b) . - Trờng hợp 2. max(a,c)<r và max(c,b)r. Khi đó a=c và bc(modm), max(a,b)r suy ra ab(modm) và max(a,b)r (a,b) . 12 . ảnh đồng cấu của nửa nhóm xiclic vô hạn N là một nhóm con xiclic hữu hạn, và mỗi nhóm xiclic hữu hạn là ảnh đồng cấu của một nửa nhóm xiclic N. Chứng minh ra khái niệm ngôn ngữ tựa xiclíc, ngôn ngữ đơn định, ngôn ngữ lan truyền, ngôn ngữ tăng trởng và nêu lên một số đặc trng của các lớp ngôn ngữ đó. Kết quả