Nửa nhóm nil compact với tính chất mở rộng tương đẳng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ NHÀN NỬA NHĨM - NIL COMPACT VỚI TÍNH CHẤT MỞ RỘNG TƯƠNG ĐẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ NHÀN NỬA NHÓM - NIL COMPACT VỚI TÍNH CHẤT MỞ RỘNG TƯƠNG ĐẲNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS LÊ QUỐC HÁN Nghệ An - 2016 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các quan hệ Grin nửa nhóm D - lớp quy 1.2 Nửa nhóm đơn hồn tồn Định lý Rixơ 1.3 Nửa nhóm tơpơ 11 1.4 Tương đẳng, nửa nhóm thương đồng cấu nửa nhóm tơpơ 16 Nửa nhóm - nil compact với tính chất mở rộng tương đẳng 21 2.1 Nửa nhóm với tính chất mở rộng tương đẳng 21 2.2 Nửa nhóm - nil compact với tính chất mở rộng tương đẳng 25 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 MỞ ĐẦU Một nửa nhóm S với phần tử khơng gọi nửa nhóm – nil ∃n ∈ N để ∀a ∈ S an = (n khơng phụ thuộc vào a) Một nửa nhóm tơpơ S nửa nhóm S trang bị cấu trúc tơpơ Hausdoff cho ánh xạ S × S → S, (x, y) → xy liên tục Một nửa nhóm tơpơ S gọi nửa nhóm compact khơng gian tơpơ không gian compact Giả sử S nửa nhóm (tơpơ) Khi S gọi có tính chất mở rộng tương đẳng đại số (tôpô) nửa nhóm T (tơpơ) S tương đẳng σ (tôpô) T , σ mở rộng thành tương đẳng σ S , nghĩa σ ∩ (T × T ) = σ Năm 1996, K D Aucoin tìm số đặc trưng nửa nhóm Acsmet giao hốn Γ − compact với tính chất chất mở rộng tương đẳng tơpơ Một năm sau, J A Dumesnil mô tả cấu trúc nửa nhóm đơn hồn tồn compact với tính chất mở rộng tương đẳng tơpơ Năm 1998, X Tang thiết lập cấu trúc tổng quát nửa nhóm trừu tượng với tính chất mở rộng tương đẳng chứng tỏ nửa dàn có tính chất Tuy nhiên trước đó, năm 1971 A R Stralka đưa ví dụ để khẳng định tất dàn compact có tính chất mở rộng tương đẳng tơpơ Vì vậy, tốn đặc trưng nửa nhóm compact với tính chất mở rộng tương đẳng tơpơ nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Dựa theo công trình On the congruence extension property in compact having precisely regular D - class tác giả Xiaojiang Guo đăng tạp chí Semgroups Forum [6], chúng tơi bước đầu tìm hiểu lớp nửa nhóm - nil compact với tính chất mở rộng tương đẳng tơpơ Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức liên quan đến quan hệ Grin nửa nhóm nửa nhóm tơpơ để làm cở sở cho việc trình bày chương Chương Nửa nhóm - nil compact với tính chất mở rộng tương đẳng Trong chương trước hết chúng tơi trình bày khái niệm tính chất nửa nhóm tơpơ với tính chất mở rộng tương đẳng Sau chúng tơi trình bày lớp nửa nhóm - nil compact với tính chất mở rộng tương đẳng Luận văn thực trường Đại học Vinh hướng dẫn nhiệt tình PGS.TS Lê Quốc Hán Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, người dành cho chúng tơi bảo tận tình, nghiêm khắc đầy lịng nhân Tơi xin tỏ lịng biết ơn tới thầy cô giáo chuyên ngành Đại số Lý thuyết số - Khoa Toán - Trường Đại học Vinh, người trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho q trình học tập lớp Cao học khóa 22 chuyên ngành Đại số Lý thuyết số Tôi xin gửi lời cảm ơn tới ban chủ nhiệm Khoa Tốn Phịng Sau đại học Trường Đại học Vinh tất bạn đồng nghiệp, tạo điều kiện học tập nghiên cứu cho thời gian qua Luận văn không tránh khỏi thiếu sót, chúng tơi mong bảo, góp ý thầy cô giáo bạn đồng nghiệp Nghệ An, tháng 06 năm 2016 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các quan hệ Grin nửa nhóm D - lớp quy 1.1.1 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm Ta định nghĩa quan hệ L , R, J S sau: aL b S a = S b; aRb aS = bS ; aJ b S aS = S bS S a, aS , S aS iđêan trái, iđêan phải iđêan S sinh a Thế L , R, J quan hệ tương đương S L ◦ R = R ◦ L (Mệnh đề 4.1 [2]) Do quan hệ H = L ∩ R (= R ∩ L ) D = L ◦ R = R ◦ L quan hệ tương đương S Các quan hệ L , R, J , H , D gọi quan hệ Grin S Với a ∈ S , L - lớp, R - lớp, J - lớp, H - lớp, D - lớp chứa a kí hiệu tương ứng La , Ra , Ja , Ha , Da 1.1.2 Chú ý Giả sử S nửa nhóm ε(S) dàn tương đương S Thế L , R, J , H , D thuộc ε(S), H = L ∧ R, D = L ∨ R D ⊆ J 1.1.3 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm i) Một phần tử e ∈ S gọi lũy đẳng e2 = e Tập hợp tất lũy đẳng S kí hiệu E(S), Es hay E ii) Một phần tử a ∈ S gọi phần tử quy có phần tử x ∈ S cho axa = a iii) Nửa nhóm S gọi nửa nhóm quy phần tử S phần tử quy iv) Một D - lớp D S gọi D - lớp quy phần tử D phần tử quy Định lý sau kết Định lý 2.11 [1] 1.1.4 Định lí i) Nếu D - lớp D nửa nhóm S chứa phần tử quy phần tử thuộc D phần tử quy ii) Nếu D quy L - lớp R - lớp chứa D chứa lũy đẳng Định lý sau kết định lý 2.16 [1] 1.1.5 Định lí Grin Giả sử H H - lớp nửa nhóm S Thế khẳng định sau tương đương: i) H chứa lũy đẳng; ii) Tồn x, y ∈ H cho xy ∈ H ; iii) H nhóm S Định lý sau kết Định lý 2.17 [1] 1.1.6 Định lí Mile - Cliphớt Giả sử a, b hai hai phần tử nửa nhóm S Thế ab ∈ Ra ∩ Lb Rb ∩ La chứa lũy đẳng Khi aHb = Hb b = Ha Hb = Hab = Ra ∩ Lb 1.1.7 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm a ∈ S i) Phần tử b ∈ S gọi phần tử ngược a aba = a, bab = b ii) Nửa nhóm S gọi nửa nhóm ngược phần tử S có phần tử ngược Định lý sau kết Định lý 2.18 [1] 1.1.8 Định lí Giả sử a phần tử nửa nhóm S i) Mỗi phần tử ngược với a nằm Da ii) H - lớp Hb chứa phần tử ngược với a hai H - lớp Ra ∩ Lb Rb ∩ La chứa lũy đẳng ii) Một H - lớp không chứa phần tử ngược với a Hệ sau kết Hệ 2.19 [1] 1.1.9 Hệ S nửa nhóm ngược L - lớp R - lớp S chứa lũy đẳng Định lý sau kết Định lý 2.20 [1] 1.1.10 Định lí Giả sử e, f lũy đẳng D - tương đương thuộc nửa nhóm ; a phần tử cố định thuộc Re ∩ Lf a phần tử ngược a ∈ Re ∩ Lf Khi ánh xạ x → a xa, y → aya đẳng cấu ngược từ He lên Hf từ Hf lên He 1.2 Nửa nhóm đơn hồn tồn Định lý Rixơ 1.2.1 Định nghĩa i) Một nửa nhóm S khơng chứa phần tử khơng gọi nửa nhóm đơn S không chứa iđêan thực ii) Một nửa nhóm S chứa phần tử khơng gọi nửa nhóm - đơn thỏa mãn hai điều kiện: (1) S có hai iđêan S ; (2) S = {0} 1.2.2 Nhận xét Từ định nghĩa trực tiếp suy S nửa nhóm đơn J = S × S , nửa nhóm S với phần tử khơng nửa nhóm - đơn S = {0} S có hai J - lớp {0} S| {0} Trong mục 1.8 [1] chứng minh kết sau: Giả sử S nửa nhóm E tập hợp lũy đẳng S Thế quan hệ ≤ E cho e ≤ f ⇔ ef = f e = e quan hệ thứ tự E (và gọi quan hệ thứ tự tự nhiên E ) Nếu S nửa nhóm với phần tử khơng ∈ E lũy đẳng nhỏ nhất S Do ta đưa vào khái niệm: Lũy đẳng f ∈ S gọi lũy đẳng nguyên thủy S f = từ e ≤ f kéo theo e = e = f 1.2.3 Định nghĩa i) Một nửa nhóm S chứa phần tử khơng gọi nửa nhóm - đơn hồn tồn S nửa nhóm - đơn S chứa lũy đẳng ngun thủy ii) Một nửa nhóm S khơng chứa phần tử khơng gọi nửa nhóm đơn hồn tồn S nửa nhóm đơn S chứa lũy đẳng nguyên thủy Các kết nói nửa nhóm nửa nhóm - đơn hồn tồn từ suy kết tương ứng nửa nhóm đơn hồn tồn Kết sau Nửa nhóm ma trận Rixơ 1.2.4 Định nghĩa Giả sử G nhóm với phần tử đơn vị e I , ∧ hai tập hợp khác rỗng Giả sử P = (pλi ) I × ∧ - ma trận Rixơ với thành phần nhóm với phần tử khơng G0 = G ∪ {0} (Xem mục 3.1 [1]) Giả thiết P quy theo nghĩa khơng có hàng hay cột P gồm toàn phần tử 0, nghĩa (∀i ∈ I) (∃λ ∈ ∧) pλi = (∀λ ∈ ∧) (∃i ∈ I) pλi = Giả sử S = (I × G × ∧) ∪ {0}, ta định nghĩa phép toán S cho 10 (i, a, λ) (j, b, µ) = (i, apλj b, µ) pλj = (i, a, λ) (j, b, µ) = pλj = (i, a, λ) = (i, a, λ) = 00 = Thế S nửa nhóm - đơn hồn tồn Nửa nhóm S xây dựng gọi nửa nhóm I × ∧ - ma trận Rixơ nhóm với phần tử khơng G0 kí hiệu µ0 [G; I, ∧; P ] (Xem mục 3.1 [1] hay mục 3.2 [4]) 1.2.5 Định lí Rixơ Giả sử G0 = G ∪ {0} nhóm với phần tử khơng I, ∧ hai tập hợp khác rỗng, P = (pλi ) I × ∧ - ma trận Rixơ với thành phần G0 Giả thiết P quy Giả sử S = (I × G × ∧) ∪ {0} định nghĩa phép nhân S Thế S nửa nhóm - đơn hồn tồn Đảo lại, nửa nhóm - đơn hồn tồn đẳng cấu với nửa nhóm xây dựng 1.2.6 Chú ý Từ kết ta thu kết tương ứng nửa nhóm đơn hồn tồn Giả sử S nửa nhóm khơng chứa phần tử không, E tập hợp lũy đẳng S ≤ thứ tự phận tự nhiên E xác định e ≤ f ⇔ ef = f e = e Lũy đẳng e ∈ E gọi lũy đẳng nguyên thủy f ≤ e ⇒ f = e f ∈ E Nửa nhóm S gọi nửa nhóm đơn hồn tồn S nửa nhóm đơn S chứa lũy đẳng nguyên thủy Giả sử G nhóm với phần tử đơn vị e I, ∧ hai tập hợp khác rỗng Giả sử P = (pλi ) I × ∧ - ma trận Rixơ với thành phần G Thế nửa nhóm ma trận Rixơ µ [G; I; ∧; P ] G với ma trận đệm P bao gồm ba (i, a, λ) i ∈ I, λ ∈ ∧, a ∈ G phép tốn nhân µ [G; I; ∧; P ] cho (i, a, λ) (j, b, µ) = (i, apλj b, µ) Từ định lý Rixơ suy nửa nhóm ma trận Rixơ nhóm nửa nhóm đơn hồn tồn nửa nhóm đơn hoàn toàn đẳng cấu với 19 Giả sử ρ tương đẳng nửa nhóm S Khi ánh xạ p : S → S/ , x → xρ toàn cấu gọi tồn cấu (phép chiếu) tắc ρ 1.4.9 Định nghĩa Giả sử ϕ : S → T đồng cấu nửa nhóm Khi tập ϕ (S) = {ϕ (x) : x ∈ S} gọi ảnh ϕ kí hiệu Imϕ Dễ thấy Imϕ nửa nhóm của T Quan hệ ρ S xác định (a, b) ∈ ρ ↔ ϕ(a) = ϕ(b), ∀a, b ∈ S tương đẳng S gọi tương đẳng hạt nhân ứng với đồng cấu ϕ kí hiệu Kerϕ Với a ∈ S , Kerϕ - lớp chứa a ϕ−1 (ϕ (a)) 1.4.10 Định nghĩa Giả sử S T nửa nhóm tơpơ Khi ánh xạ ϕ : S → T gọi đồng cấu nửa nhóm tơpơ thỏa mãn điều kiện: i) ϕ (ab) = ϕ (a) ϕ (b) , ∀a, b ∈ S ; ii) ϕ ánh xạ liên tục; ii) ϕ ánh xạ đóng 1.4.11 Chú ý Giả sử ϕ : S → T đồng cấu nửa nhóm tơpơ Khi từ tính đóng ϕ ta suy Imϕ nửa nhóm tơpơ T Hơn từ tính liên tục tính đóng ϕ ta suy Kerϕ - lớp ϕ−1 (ϕ (a)) tập đóng S {a} đóng S Do Kerϕ tương đẳng tơpơ S , từ nửa nhóm thương S/Kerϕ nửa nhóm tơpơ Hơn nữa, S nửa nhóm tơpơ ρ tương đẳng tơpơ S ánh xạ đồng iS đẳng cấu tôpô phép chiếu p : S → S/ρ, x → xρ tồn cấu tơpơ 1.4.12 Mệnh đề Giả sử ϕ : S → T tồn cấu nửa nhóm tơpơ ρ = Kerϕ Khi tương ứng ϕ : S/ρ → T, xρ → x (x) đẳng cấu tôpô thỏa mãn điều kiện ϕ∗ ◦ p = ϕ, p : S → S/ρ, x → xρ tồn cấu tắc Hơn nữa, ψ : S/ρ → T đồng cấu nửa nhóm tơpơ thỏa mãn ψ ◦ p = ϕ ψ = ϕ∗ 20 1.4.13 Định nghĩa Giả sử S T nửa nhóm tơpơ Khi ta nói S T đẳng cấu tơpơ với tồn ánh xạ đẳng cấu tôpô ϕ : S → T Kí hiệu S ∼ = T 1.4.14 Mệnh đề i) Giả sử ϕ : S → T tồn cấu nửa nhóm tơpơ Thế S/Kerϕ ∼ = T ii) Giả sử ϕ : S → T đồng cấu nửa nhóm tơpơ Thế S/Kerϕ ∼ = Imϕ 21 CHƯƠNG NỬA NHĨM - NIL COMPACT VỚI TÍNH CHẤT MỞ RỘNG TƯƠNG ĐẲNG 2.1 Nửa nhóm với tính chất mở rộng tương đẳng Trong tiết ta xét nửa nhóm tùy ý khơng thiết có tơpơ tương thích 2.1.1 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm Khi ta nói S có tính chất mở rộng tương đẳng đại số (algebraic congruence extension property ACEP) nhóm T S tương đẳng σ T , σ mở rộng thành tương đẳng σ , nghĩa σ ∩ (T × T ) = σ 2.1.2 Định nghĩa Một nửa nhóm S gọi có tính chất mở rộng iđêan (ideal extension property - ICP) nhóm T S iđêan I T , tồn iđêan J S , cho I = J ∩ T 2.1.3 Định nghĩa Một nửa nhóm S gọi nửa nhóm iđêan tương đẳng tương đẳng Rixơ, nghĩa với tương đẳng ρ S tồn iđêan I S cho ρ = (I × I)∩∆S , ∆S = {(a, a) |a ∈ S } tương đẳng đường chéo 2.1.4 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm iđêan Thế thì: i) S có phần tử không 0; 22 ii) Nếu ρ tương đẳng S , ρ = (I × I) ∪ ∆S , I = {x ∈ S| (x, 0) ∈ ρ} Chứng minh Để chứng minh i) ta ý ∆S = {(a, a) |a ∈ S } tương đẳng S Vì S nửa nhóm iđêan nên tồn iđêan I S cho ∆S = (I × I) ∩ ∆S Như I × I ⊆ ∆S I × I = {(0, 0)} Từ I = {0} S có phần tử không Để chứng minh ii), giả sử ρ tương đẳng S Vì S nửa nhóm iđêan nên tồn iđêan I S cho ρ = (I × I) ∩ ∆S Giả sử J = {x ∈ S |(x, 0) ∈ ρ} Thế J iđêan S J ⊆ I Để hoàn thành phép chứng minh phải chứng tỏ I ⊆ J Thật vậy, giả sử x ∈ I , (x, 0) ∈ I × I ⊆ ρ nên x ∈ J 2.1.5 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm iđêan Khi S có tính chất mở rộng tương đẳng đại số S có tính chất mở rộng iđêan Chứng minh Giả sử S nửa nhóm iđêan với tính chất mở rộng tương đẳng, T nửa nhóm S I iđêan T Thế σ = (I × I) ∪ ∆T tương đẳng T Vì S có tính chất mở rộng tương đẳng nên tồn tương đẳng σ S cho σ ∩ (T × T ) = σ Vì S nửa nhóm iđêan nên tồn iđêan J S cho σ = (J × J) ∩ ∆S Từ I = J ∩ T nên S có tính chất mở rộng iđêan Ta đưa ví dụ nửa nhóm iđêan với iđêan với tính chất mở rộng iđêan khơng có tính chất mở rộng tương đẳng 2.1.6 Ví dụ Giả sử S = {1, 2, 3, 4, 5} nửa nhóm với bảng nhân Cayley: 1 1 1 1 1 1 1 23 Khi S nửa nhóm iđêan với tính chất mở rộng iđêan Giả sử T = {1, 2, 3} Thế T nửa nhóm S quan hệ σ = {(2, 3) , (3, 2)}∪ ∆T tương đẳng T , tương đẳng ρ = σ chứa (5, 5) (2, 1) = (2, 1) ∈ / σ Do thu hẹp ρ T nên S khơng phải nửa nhóm với tính chất mở rộng tương đẳng 2.1.7 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm iđêan Thế S có tính chất mở rộng tương đẳng đại số S có tính chất mở rộng iđêan nửa nhóm S nửa nhóm iđêan Chứng minh Giả sử S nửa nhóm iđêan nửa nhóm S nửa nhóm iđêan Chúng ta khẳng định S có tính chất mở rộng tương đẳng Thật vậy, giả sử T nửa nhóm S σ tương đẳng T Vì T nửa nhóm iđêan nên tồn iđêan I T cho σ = (I × I) ∪ ∆T T Vì S có tính chất mở rộng iđêan nên tồn iđêan J S cho J ∩ T = I Đặt σ = (J × J) ∪ ∆S σ mở rộng σ lên S Và S có tính chất mở rộng tương đẳng Đảo lại, giả thiết S có tính chất mở rộng tương đẳng Thế S có tính chất mở rộng iđêan theo Mệnh đề 2.1.5 Giả sử T nửa nhóm S σ tương đẳng T Vì S có tính chất mở rộng tương đẳng nên tồn mở rộng σ σ lên S Vì S nửa nhóm iđêan nên tồn iđêan J S cho σ = (J × J) ∪ ∆S Đặt I = J ∩ T Thế I iđêan T thỏa mãn σ = (I × I) ∪ ∆T Do T nửa nhóm iđêan Ví dụ sau chứng tỏ tồn nửa nhóm thỏa mãn điều kiện nửa nhóm nửa nhóm iđêan nửa nhóm cho khơng có tính chất mở rộng tương đẳng 24 2.1.8 Ví dụ Giả sử S = {1, 2, 3, 4, 5} nửa nhóm với bảng nhân Cayley: 1 1 1 1 1 3 Bằng tính tốn cụ thể chứng minh nửa nhóm S nửa nhóm iđêan Tuy nhiên S khơng có tính chất mở rơng tương đẳng khơng có tính chất mở rộng iđêan Thật vậy, xét nửa nhóm T = {1, 2, 3} quan hệ hai σ = {(1, 5) , (5, 1)} ∪ ∆T Khi σ tương đẳng T Giả sử σ = σ Vì (2, 2) ∈ ∆S (1, 5) ∈ σ nên (2.1, 2.5) ∈ σ hay (1, 3) ∈ σ Từ (1, 3) ∈ σ ∩ (T × T ) (1, 3) ∈ / σ Vậy σ không mở rộng thành tương đẳng lên S Do S khơng có tính chất mở rộng tương đẳng 2.1.9 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm iđêan Thế S có hai tương đẳng (∆S S × S ) S nửa nhóm - đơn Chứng minh Trước hết giả thiết S nửa nhóm - đơn σ tương đẳng S Vì S nửa nhóm iđêan nên tồn iđêan I S cho σ = (I × I) ∩ ∆S Vì S nửa nhóm - đơn nên I = {0} I = S Nếu I = {0} σ = ∆S Nếu I = S σ = S × S Đảo lại, giả thiết S có hai tương đẳng ∆S S × S Giả sử I iđêan S Khi ρ = (I × I) ∩ ∆S tương đẳng S Vì S có hai tương đẳng ∆S S × S nên ρ = ∆S ρ = S × S Nếu ρ = ∆S I = {0} Nếu ρ = S × S I = S Vậy S nửa nhóm đơn Mệnh đề sau kết Mệnh đề 2.4 [4] 2.1.10 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm compact với tính chất mở 25 rộng tương đẳng I iđêan tơpơ S Thế thương Rixơ S/I có tính chất mở rộng tương đẳng 2.2 Nửa nhóm - nil compact với tính chất mở rộng tương đẳng 2.2.1 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm tơpơ Khi ta nói S có tính chất mở rộng tương đẳng (congruence extension property - CEP) nhóm tơpơ T S tương đẳng tôpô σ T , σ mở rộng thành tương đẳng tơpơ σ S , nghĩa σ ∩ (T × T ) = σ Kết sau Bổ đề 1.3 [4] 2.2.2 Mệnh đề Nếu nửa nhóm compact có tính chất mở rộng tương đẳng mi (S) ≤ Kết sau Định lý 1.3 [5] 2.2.3 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm đơn hồn tồn compact Thế S có tính chất mở rộng tương đẳng S đẳng cấu với tích trực tiếp X × G × Y , G nhóm compact, X nhóm phần tử khơng bên trái (nghĩa xy = x, ∀x, y ∈ X ) Y nhóm phần tử khơng bên phải (nghĩa xy = y, ∀x, y ∈ Y ) Nửa nhóm X(Y ) gọi tắt nửa nhóm zero trái (phải) 2.2.4 Định nghĩa i) Giả sử S nửa nhóm với phần tử khơng Khi S gọi nửa nhóm - nil với phần tử a ∈ S tồn số nguyên dương n (n không phụ thuộc vào a) cho an = ii) Một nửa nhóm S gọi mở rộng - nil T T iđêan S thương Rixơ nửa nhóm - nil 26 2.2.5 Định nghĩa i) Giả sử S nửa nhóm Khi S gọi băng (band) S giao hoán phần tử S phần tử lũy đẳng (nghĩa (∀a, b ∈ S) ab = ba (∀a ∈ S) a2 = a); ii) Băng B gọi băng chữ nhật thỏa mãn điều kiện (∀a, b ∈ S) aba = a; iii) Một nửa nhóm S gọi nhóm chữ nhật S đẳng cấu với tích trực tiếp băng chữ nhật nhóm 2.2.6 Chú ý Giả sử S nhóm chữ nhật S đẳng cấu với tích trực tiếp I × G × ∧, G nhóm, I nhóm phần tử khơng bên trái J nhóm phần tử không bên phải (theo [7]) Giả sử X tập hợp khác rỗng, Ký hiệu TX tập hợp ánh xạ từ X vào Khi TX với phép nhân ánh xạ nửa nhóm Nửa nhóm TX gọi nửa nhóm phép biến đầy đủ X Chú ý phép toán TX tác động từ trái qua phải ký hiệu xf thay cho ký hiệu f (x) quen dùng, nữa: ∀f, g ∈ TX f g : X → X cho x(f g) = (xf )g Ta không dùng ký hiệu thông thường (g ◦ f ) (x) = g [f (x)] Nửa nhóm Q gọi nửa nhóm phận Q có phép tốn phận - khơng phải tích ab xác định với a, b ∈ Q, cho tích ab, bc, (ab)c, a(bc) xác định (ab)c = a(bc) Giả sử M = I ×G×∧ nhóm chữ nhật (Q, ◦) nửa nhóm phận khơng giao với M Giả sử α : Q → T1 , x → αx β : Q → T1 , y → βy ánh xạ từ Q vào nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ I ∧ tương ứng Giả thiết rằng: i) xy ∈ Q kéo theo αxy = αx αy βxy = βx βy ii) xy ∈ M kéo theo αx αy βx βy ánh xạ Giả sử ϕ : I × Q → G ψ : Q × ∧ → G ánh xạ thỏa mãn điều kiện: iii) xy ∈ M kéo theo ϕ (i, xy) = ϕ (iαy , x) ϕ (i, x); 27 iv) ϕ (i, x) = ψ (x, λ) i ∈ I λ ∈ ∧ Định nghĩa phép nhân M ∪ Q cho  (∀x = (i, a, λ) ∈ M, y = (j, b, µ) ∈ M )   (i, ab, µ) (iαx , ϕ (i, x) b, µ) (∀x ∈ Q, y = (j, b, µ) ∈ M ) x•y = (i, aψ (y, λ) , λβ ) (∀x = (i, a, λ) ∈ M, y ∈ Q)  y  r (∀x ◦ y = r ∈ Q) x • y = (xαx αy , ϕ (iαy,x ) ϕ (i, y) , λβx βy ) x, y ∈ Q xy ∈ M Thế ( (I, G, ∧; Q; ϕ, ψ; α, β) ,) nửa nhóm ký hiệu Kết sau rút từ Bổ đề 1.4 [6] 2.2.7 Mệnh đề Một nửa nhóm S gọi mở rộng - nil nhóm chữ nhật S đẳng cấu với nửa nhóm (I, G, ∧; Q; ϕ, ψ; α, β) Để chứng minh định lý tiết ta chứng minh bổ đề sau mà thân chúng có ý nghĩa riêng 2.2.8 Bổ đề Giả sử S nửa nhóm - nil compact với tính chất mở rộng tương đẳng x, y ∈ S Nếu xy = x2 = xy = y Chứng minh Giả thiết xy = Thế x = Giả sử T = x, xy , T1 = T − {xy} Thế T1 iđêan T Vì T T1 ⊆ T.T1 ⊆ T1 T1 T ⊆ T1 T ⊆ T1 nên T1 iđêan T Đặt σ = T1 × T1 ∪ ∆T ∆T = (a, a) |a ∈ T tương đẳng đường chéo T Khi σ tương đẳng tơpơ T Vì S có tính chất mở rộng tương đẳng nên σ mở rộng thành tương đẳng tơpơ σ S , nghĩa σ ¯ ∩ T × T = σ Từ đó, (x, xyx) ∈ σ nên xy, (xy)2 ∈ σ nên xy, (xy)2 ∈ T × T ∩ σ = σ = T1 × T1 ∪ ∆T 28 Do xy, (xy)2 ∈ ∆T nên xy = (xy)2 Từ xy = (Vì S nửa nhóm - nil); trái giả thiết Vì mi (S) ≤ theo Mệnh đề 2.1.5 nên x3 = x ∈ S phần tử nửa nhóm T1 phải có dạng 0, x, x2 , (xy) ∗, x (xy) ∗ Ký hiệu A = 0, x, x2 Thế T1 ⊆ A ∪ xyS ∪ x (xy) S T1 ⊆ A ∪ xyS ∪ x (xy) S ⊆ A ∪ xyS ∪ x (xy) S = A ∪ xyS ∪ x(xy)S Xét ba trường hợp sau: Nếu xy = x, xy = xy • y = xy • y • y = xy = 0; Nếu xy = xyu(u ∈ S)xy = xyu • u = xyu • u • u = xu3 = Nếu xy = x(xy)v(v ∈ S ), xy = x•(x(xy)v)•v = x2 •x(xy)v•v = xv Cả ba trường hợp dẫn đến xy = 0: trái giả thiết Vậy xy = x1 Lập luận tương tự, nhận xy = y 2.2.9 Bổ đề Giả sử S nửa nhóm - nil compact với tính chất mở rộng tương đẳng x, y ∈ S Nếu xy = yx = 0, với z ∈ S ta có: xz = ⇔ yz = zx = ⇔ zy = Chứng minh Giả thiết x, y ∈ S xy = 0, yx = Thế theo Bổ đề 2.2.5 ta có x2 = y = xy = yx Khi T = x, y, xy, nhóm tơpơ S Đặt U = x, y Giả sử ρ = (U × U ) ∪ ∆T Khi ρ tương đẳng tơpơ T Vì S có tính chất mở rộng tương đẳng nên ρ mở rộng thành tương đẳng tôpô τ S , nghĩa τ ∩ (T × T ) = ρ Đối với z ∈ S cho zx = khẳng định zy = Thật trái lại, zy = theo Bổ đề 2.2.5 có z = zy = y zx, zy ∈ T Từ đó, (x, y) ∈ (U × U ) ⊆ ρ ⊆ τ nên (zx, zy) ∈ τ , mà (zx, zy) ∈ T × T 29 nên (zx, zy) ∈ τ ∩ (T × T ) = ρ = (U × U ) ∪ ∆T Mà (zx, zy) ∈ / (U × U ) nên (zx, zy) ∈ ∆T Suy zy = zx = 0: mâu thuẫn với giả thiết phản chứng Vậy zx = kéo theo zy = Đối ngẫu có zy = kéo theo zx = Lập luận tương tự, có zx = ⇔ zy = 2.2.10 Bổ đề Giả sử S nửa nhóm - nil compact thỏa mãn hai điều kiện: i) Nếu xy = x2 = xy = y ; ii) Nếu xy = yx = 0, z ∈ S ta có: xz = ⇔ yz = zx = ⇔ zy = Khi có tính chất mở rộng tương đẳng Chứng minh Chú ý điều kiện i) kéo theo: x ∈ S x3 = 0, số nguyên n ≥ có x3 = xn Từ x3 ∈ M (Γ (x)), nghĩa x3 phần tử quy S Do x3 = 0: mâu thuẫn Vậy x ∈ S , có x3 = Giả sử ρ tương đẳng tơpơ nửa nhóm T S Đặt τ = ρ ∪ ∆S Thế τ tương đương tơpơ S Rõ ràng τ mở rộng lên S Ta cần chứng tỏ τ ổn định hai phía S Thật vậy, x, y, z ∈ S cho x, y ∈ τ = ρ ∪ ∆S x, y ∈ ρ x = y Nếu x = y xz = yz, zx = zy nên (xz, yz), (zx, zy) ∈ ∆S ⊆ τ Giả thiết (x, y) ∈ ρ Ta chứng minh τ ổn định trái phép chứng minh τ ổn định phải hoàn toàn tương tự Xét ba trường hợp sau: Nếu zx = zy = rõ ràng (zx, zy) ∈ τ Nếu zx = 0, zy = 0, zx = z = zy Từ (zx, zy) ∈ τ Nếu hai phần tử zx, zy không, chẳng hạn zx = 0, zy = z = zy = y 30 Chúng ta khẳng định hai phần tử xy, yx phải không Thật trái lại theo điều kiện ii) có zy = 0: mâu thuẫn Giả sử xy = Khi (zx, zy) = xy, y ⊆ τ = ρ ∪ ∆S , ρ tương đẳng nên ổn định phải Ta phát biểu kết tiết 2.2.11 Định lí Giả sử S nửa nhóm - nil compact Thế S có tính chất mở rộng tương đẳng hai điều kiện sau thỏa mãn: i) Nếu xy = x2 = xy = y ; ii) Nếu xy = yx = 0, z ∈ S ta có: xz = ⇔ yz = zx = ⇔ zy = Chứng minh Điều kiện cần suy trực tiếp từ Bổ đề 2.2.9, điều kiện đủ suy trực tiếp từ Bổ dề 2.2.10 Sử dụng Định lí 2.2.10 Hệ 3.8 [9] nhận 2.2.12 Hệ Giả sử S nửa nhóm - nil compact Thế hai điều kiện sau tương đương: i) S có tính chất mở rộng tương đẳng tơpơ; ii) S có tính chất mở rộng tương đẳng đại số 31 KẾT LUẬN Qua luận văn chúng tơi trình bày vấn đề sau: Hệ thống kiến thức liên quan đến quan hệ Grin nửa nhóm, nửa nhóm đơn hồn tồn định lí Rixơ, nửa nhóm tơpơ, tương đẳng, đồng cấu nửa nhóm thương nửa nhóm tơpơ Khái niệm nửa nhóm với tính chất mở rộng tương đẳng, nửa nhóm với tính chất mở rộng iđêan mối quan hệ chúng (Mệnh đề 2.1.5, Mệnh đề 2.1.7) Khái niệm tính chất nửa nhóm - nil compact với tính chất mở rộng tương đẳng (Định lý 2.2.11, Hệ 2.2.12) 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] A H Cliphơt, G B Prestơn (1976), Lý thuyết nửa nhóm (tập ), dịch Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Lê Quốc Hán (2005),Giáo trình lý thuyết nhóm tơpơ, Trường Đại học Vinh [3] Lê Quốc Hán (2008),Giáo trình lý thuyết nửa nhóm lý thuyết nhóm, Trường Đại học Vinh Tiếng Anh [4] K D Aucoin (1996), On the congruence extension property for compact semigroups, Semgroup Forum, 52, 157 – 162 [5] J A Dumesnil (1997), The structure of compact copletely semigroups with the congruence extension property, Semgroups Forum, 55, 396 – 398 [6] * X Guo (2002), On the congruence extension property in compact semigroups having precisely regular D− class,Semgroups Forum, 64, 90 – 100 [7] J M Howie (1995), Fundamentals of Semigroup Theory, Clarendon, Press, Oxford 33 [8] A R Stralka (1971), On the congruence extension property for compact lattices, Pac J Math, 38, 795 - 802 [9] X Tang (1998), Semigroups with the congruence extension property, Semgroups Forum, 56, 228 - 264 ... nửa nhóm thương đồng cấu nửa nhóm tơpơ 16 Nửa nhóm - nil compact với tính chất mở rộng tương đẳng 21 2.1 Nửa nhóm với tính chất mở rộng tương đẳng 21 2.2 Nửa nhóm - nil compact với tính. .. nửa nhóm, nửa nhóm đơn hồn tồn định lí Rixơ, nửa nhóm tơpơ, tương đẳng, đồng cấu nửa nhóm thương nửa nhóm tơpơ Khái niệm nửa nhóm với tính chất mở rộng tương đẳng, nửa nhóm với tính chất mở rộng. .. Giả sử S nửa nhóm compact với tính chất mở 25 rộng tương đẳng I iđêan tơpơ S Thế thương Rixơ S/I có tính chất mở rộng tương đẳng 2.2 Nửa nhóm - nil compact với tính chất mở rộng tương đẳng 2.2.1