Tính chất thu hẹp iđêan đối với nửa nhóm lũy đẳng

-1- BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỒNG THANH TRIẾT TÍNH CHẤT THU HẸP IĐÊAN ĐỐI VỚI NỬA NHĨM LŨY ĐẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGHỆ AN, 12 2011 -2- MỞ ĐẦU Tính chất mở rộng iđêan nửa nhóm đƣợc đề xuất nghiên cứu vào năm cuối kỷ hai mƣơi J I Giacia (1991), K D Aucoin (1999) vào đầu kỷ hai mƣơi mốt X Guo (2001) Một vấn đề tự nhiên nảy sinh xét tính chất thu hẹp iđêan nửa nhóm Năm 2003, K D Aucoin, J A Dumesnil L A Hildebrant khảo sát vấn đề báo “Semigroups with the ideal retraction property” đăng tạp chí Semigroup Forum số 66 năm 2003 Năm 2004, cơng trình “The structure of commutative semigroups with the ideal retraction property” nhóm tác giả đăng tạp chí Semigroup Forum số 68, họ tiếp tục khảo sát nửa nhóm giao hốn có tính chất thu hẹp iđêan Luận văn dựa báo “The ideal retraction property for idempotent semigroups” hai tác giả M.E Adams Mathew Gould, đăng tạp chí Semigroup Forum số 74 năm 2007, nhằm tìm hiểu nửa nhóm lũy đẳng có tính chất thu hẹp iđêan, lớp nửa nhóm mà phần tử lũy đẳng Ngồi ra, dựa báo “Sequentially injective hull of acts over idempotent semigroups” hai tác giả M Mahmoudi Gh Moghaddasi Angizan, đăng tạp chí Semigroup Forum số 74 năm 2007, chúng tơi tìm hiểu cách xây dựng bao nội xạ liên tục tác động nửa nhóm lũy đẳng -3- Mục đích luận văn trình bày lại kết nói M E Adams, Mathew Gould [4] M Mahmoudi, Gh Moghaddasi Angizan [11] Luận văn gồm có ba chƣơng: Chương Nửa nhóm lũy đẳng 1.1 Nửa dàn lũy đẳng Băng nửa nhóm 1.2 Băng nhóm Chương Nửa nhóm lũy đẳng có tính chất thu hẹp iđêan 2.1 Nửa nhóm có tính chất thu hẹp iđêan 2.2 Nửa nhóm lũy đẳng có tính chất thu hẹp iđêan Chương Bao nội xạ liên tục tác động nửa nhóm lũy đẳng 3.1 S – tác động Tiêu chuẩn đầy đủ Cauchy 3.2 Bao nội xạ liên tục tác động nửa nhóm lũy đẳng Luận văn đƣợc hồn thành Trƣờng Đại học Vinh, dƣới hƣớng dẫn PGS TS Lê Quốc Hán Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS TS Lê Quốc Hán định hƣớng nghiên cứu, thƣờng xuyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi, với lời động viên khích lệ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu Tác giả xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Khoa sau Đại học, Ban chủ nhiệm khoa Khoa Toán Trƣờng Đại học Vinh Tác giả xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Khoa Toán – Ứng dụng Trƣờng Đại học Sài Gòn -4- Tác giả xin đƣợc cám ơn PGS TS Ngô Sỹ Tùng, PGS TS Nguyễn Thành Quang, TS Nguyễn Thị Hồng Loan Quý thầy, cô công tác Khoa Tốn Trƣờng Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập suốt trình viết, chỉnh sửa luận văn Cuối cùng, tác giả xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, bạn lớp Cao học 17 Đại số Lý thuyết số Trƣờng Đại học Vinh cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, nhƣng luận văn khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Tác giả mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp xây dựng Q thầy, đồng nghiệp Nghệ An, tháng 12 năm 2011 Tác giả -5- CHƢƠNG NỬA NHÓM LŨY ĐẲNG 1.1 Nửa dàn lũy đẳng Băng nửa nhóm Cho S nửa nhóm Phần tử e  S đƣợc gọi phần tử lũy đẳng (idempotent) S e2  e Tập hợp tất phần tử lũy đẳng nửa nhóm S đƣợc ký hiệu E ( S ), ES hay đơn giản E không sợ nhầm lẫn Một quan hệ hai ““ tập X đƣợc gọi quan hệ thứ tự phận (partical order) có tính chất phản xạ (a  a với a  X ), phản xứng (nếu a, b  X , a  b b  a kéo theo a  b) bắc cầu (nếu a, b, c  S , a  b b  c kéo theo a  c) 1.1.1 Bổ đề Giả sử E tập hợp lũy đẳng nửa nhóm S Khi quan hệ “  “ xác định E e  f  ef  fe  e quan hệ thứ tự phận tập hợp E (quan hệ thứ tự gọi thứ tự tự nhiên tập hợp E ) Chứng minh Với e  E, ta có e2  e, hay e  e Do quan hệ ”  “ có tính phản xạ Lấy e, f tùy ý thuộc E cho e  f f  e Thế ef  fe  e fe  ef  f , suy e  f Do quan hệ “  “ có tính phản xứng -6- Lấy e, f , g thuộc S cho e  f f  g Thế ef  fe  e fg  gf  f Khi đó, eg  (ef ) g  e( fg )  ef  e, ge  g ( fe)  ( gf )e  fe  e Suy e  g Do quan hệ ”  “ có tính bắc cầu Vậy “  “ quan hệ thứ tự phận tập hợp E  1.1.2 Định nghĩa Giả sử “  “ quan hệ thứ tự phận X ; Y tập hợp X i) Phần tử b  X đƣợc gọi cận tập hợp Y y  b với y  Y ; ii) Cận b tập hợp Y đƣợc gọi cận bé Y b  c với cận c Y Cận bé Y đƣợc gọi hợp Y ; iii) Phần tử a  X đƣợc gọi cận tập hợp Y a  y với y  Y ; iv) Cận dƣới a tập hợp Y đƣợc gọi cận lớn Y d  a với cận dƣới d Y Cận dƣới lớn Y đƣợc gọi giao Y ; v) Tập hợp thứ tự phận X đƣợc gọi nửa dàn [t.ƣ nửa dàn trên] tập hợp gồm hai phần tử X có giao [t.ƣ hợp] X Nếu a, b  X giao { a, b} đƣợc ký hiệu a  b (hoặc a  b ); hợp { a, b} đƣợc ký hiệu a  b (hoặc a  b ); vi) Một dàn (lattice) tập hợp thứ tự phận đồng thời nửa dàn nửa dàn dƣới; vii) Dàn X đƣợc gọi dàn đầy đủ (complete lattice) tập hợp X có hợp giao -7- Nhận xét: Dễ thấy Y có giao [t.ƣ hợp] Y giao [t.ƣ hợp] 1.1.3 Ví dụ i) Giả sử X tập hợp tất nửa nhóm nửa nhóm S có bổ sung thêm tập hợp rỗng Thế X đƣợc thứ tự phận theo quan hệ bao hàm Lý thuyết tập hợp Vì giao họ tùy ý nửa nhóm S tập rỗng nửa nhóm S nên X dàn đầy đủ Giao tập Y X trùng với giao theo Lý thuyết tập hợp nửa nhóm thuộc Y ; hợp Y nửa nhóm sinh hợp theo Lý thuyết tập hợp nửa nhóm thuộc Y Tất lý luận có hiệu lực ta thay cụm từ “nửa nhóm nửa nhóm S ” cụm từ “tƣơng đẳng S ” ii) Tập hợp tất iđêan trái [t.ƣ phải, hai phía] nửa nhóm S bổ sung thêm tập hợp rỗng với quan hệ bao hàm, đóng với phép hợp nhƣ phép giao, nên dàn đầy đủ đại số Boole tất tập nửa nhóm S 1.1.4 Định nghĩa Nửa nhóm S đƣợc gọi băng (band) phần tử S phần tử lũy đẳng Giả sử S băng Khi S  E S đƣợc thứ tự với quan hệ thứ tự tự nhiên: a  b  ab  ba  a, a, b  S 1.1.5 Mệnh đề Một băng giao hoán nửa dàn thứ tự phận tự nhiên S Giao a  b tập hợp {a, b}  S trùng với tích ab chúng -8- Đảo lại, nửa dàn băng giao hoán phép toán a, b  S , ab  a  b Chứng minh Theo Bổ đề 1.1.1, quan hệ “  “ đƣợc xác định a, b  S , a  b ab  ba  a, thứ thự phận S  E Lấy a b tùy ý thuộc S Ta chứng minh tích ab trùng với cận dƣới lớn tập hợp { a, b} Từ (ab)a  a(ba)  a(ab)  (aa)b  ab a(ab)  (aa)b  ab, ta suy ab  a Lý luận tƣơng tự, ta có ab  b Do ab cận dƣới { a, b} Giả sử c cận dƣới { a, b}, nghĩa c  a c  b, tức ca  ac  c bc  cb  c Thế (ab)c  a(bc)  ac  c , tƣơng tự ta có c(ab)  (ca)b  cb  c, nên c  ab Do ab cận dƣới lớn { a, b} Vậy S nửa dàn dƣới a  b = ab với a, b  S Đảo lại, giả sử ( S ,  ) nửa dàn dƣới Đặt ab  a  b với a, b  S Lấy a, b, c tùy ý thuộc S Đặt d  a  b, e  b  c, f  a  e g  d  c Khi ta có e  b, e  c, f  a, f  e Thế f  c, f  a f  b, suy f  c f  d Từ f  g Lý luận tƣơng tự, ta có g  f Do f  g Nhƣ a(bc)  a  (b  c)  a  e  f  g  d  c  (a  b)  c  (ab)c, nghĩa phép nhân có tính kết hợp S , tức S nửa nhóm Dễ thấy ab  ba với a, b  S nên phép nhân giao hoán S -9- Với a  S , ta có a  a a  a, suy a cận dƣới a a Mặt khác, có c  S cho c  a, c  a c  a Do a cận dƣới lớn a a, nghĩa a  a  a Từ ta có a  aa  a  a  a, nghĩa a  E (S ) Suy S  E (S ) Vậy S băng giao hoán  1.1.6 Chú ý Giả sử S băng giao hoán Đặt a  b ab ( ba)  b ( S ,  ) nửa dàn Tuy nhiên, thống nhất, từ trở ta xét quan hệ “” đƣợc xác định nhƣ Bổ đề 1.1.1 Hơn nữa, từ “nửa dàn” đồng nghĩa với từ “băng giao hoán” Nhƣ vậy, nửa dàn đƣợc ngầm hiểu nửa dàn dƣới, khơng thích thêm 1.1.7 Ví dụ Giả sử X Y hai tập hợp tùy ý S  X  Y tích Đềcác X Y Ta định nghĩa phép tốn hai ngơi S cách đặt ( x1, y1 )( x2 , y2 )  ( x1, y2 ) với x1, x2  X y1, y2 Y Khi đó, dễ thấy phép tốn cho có tính kết hợp S , nghĩa S nửa nhóm, phần tử S phần tử lũy đẳng Vậy S băng Ta gọi băng S đƣợc xây dựng nhƣ băng chữ nhật tập X  Y Lý tên gọi nhƣ sau: Ta tƣởng tƣợng X  Y bảng chữ nhật gồm điểm, điểm ( x, y) nằm “dòng x ” (dòng chứa phần tử x ) “cột y ” (cột chứa phần tử y ) bảng Thế a1  ( x1, y1 ) a2  ( x2 , y2 ) hai đỉnh đối diện hình chữ nhật, hai đỉnh cịn lại hình chữ nhật a1a2  ( x1, y2 ) a2a1  ( x2 , y1 ) - 10 - Các băng chữ nhật X  Y X ' Y ' đẳng cấu với X  X ' Y  Y ' Nếu X = [t.ƣ Y  ], băng chữ nhật X  Y đẳng cấu với nửa nhóm zero phải [t.ƣ trái] Y [t.ƣ X ] 1.1.8 Định nghĩa Nếu nửa nhóm S đƣợc phân chia thành hợp nửa nhóm rời S với   I (I tập hợp số đó) ta nói S phân tích thành nửa nhóm S với   I , hay S hợp rời nửa nhóm S ,   I Khi ta ký hiệu   S   S hay S   {S /  I }  I Chú ý phân tích có ý nghĩa nửa nhóm S thuộc vào lớp nửa nhóm hẹp S (S có tính chất đặc biệt S )  1.1.9 Định nghĩa Giả sử S   {S /  I } phân tích nửa nhóm S cho với   thuộc I , tồn   I để S S   S Khi I trở thành băng I xác định phép toán    S S   S Ta nói S hợp băng I nửa nhóm S viết S  [S ,   I ] Ánh xạ  : S  I đƣợc xác định  (a)   a  S , tồn cấu nửa nhóm S lớp tƣơng đẳng Ker ( ) cho (a, b)  Ker ( )  (a)   (b) - 41 - Thật vậy, giả sử b b ' giới hạn dãy (as ) sS Khi ta có bs  as b ' s  as với s  S Thế bs  b ' s, s  S Từ suy b  b ' (vì A S  tác động tách đƣợc) 3.1.7 Bổ đề Với S  tác động A, tập hợp C ( A) S  tác động với tác động S lên cho (as )sS t  (at s )sS , t S Nếu S nửa nhóm lũy đẳng tác động tách Chứng minh Với dãy Cauchy (as ) sS t  S , ta có (at s ) s '  (at s) s '  at (ss ')  at ( ss ')  a(t s ) s ' s '  S , nghĩa dãy (at s ) sS dãy Cauchy Do tập hợp C ( A) đóng kín dƣới tác động đƣợc định nghĩa Bây t , t '  S dãy Cauchy (as ) sS A Thế [(as )sS t ] t '  (at s ) sS t '  (at '(t s ) ) sS  (a(t 't ) s ) ) sS  (as ) sS (t t ') Do đó, với tác động định nghĩa ta có S  tác động C ( A) Giả sử S nửa nhóm lũy đẳng Ta chứng minh S  tác động C ( A) tách đƣợc Thật vậy, giả sử   (as )sS ,  '  (a 's ) sS hai dãy Cauchy    ' Khi tồn s0  S cho as0  a 's0 Vì S nửa nhóm lũy đẳng nên s0 s0  s0 , ta có as0s0  as0  a 's0  a 's0s0 , suy  s0   ' s0 Vậy S  tác động C ( A) tách đƣợc  3.1.8 Định nghĩa Một S  tác động A đƣợc gọi đầy đủ Cauchy (Cauchy complete) hay đầy đủ liên tục (sequentially complete) hay đơn giản s  đầy đủ (s  complete), dãy Cauchy A có giới hạn A - 42 - 3.1.9 Định lý Giả sử S nửa nhóm lũy đẳng A S  tác động tùy ý Khi C ( A) S  tác động s  đầy đủ Chứng minh Lấy dãy Cauchy ( s ) sS C ( A),  s  (ats )t S với s  S Thế ( s ) sS dãy Cauchy C ( A) nên  s t '   st ' , ats't  atst ' với s, t , t ' S (3.2) Mặt khác,  s dãy Cauchy A nên ats t '  atst ' với s, t , t ' S (3.3) Khi đó, dãy   (ass ) sS nằm C ( A), nên áp dụng (3.2) (3.3) với ý S nửa nhóm lũy đẳng, ta nhận đƣợc: ass t  asts  asts st  atssst  atsst  astsst  astst Suy  s  (att )tS s  (astst )tS (3.4) (3.5) Bằng cách sử dụng (3.2), (3.4) S nửa nhóm lũy đẳng, ta có thành phần  s ats  atss  asts  asts st  asts st  astst (3.6) Từ (3.5) (3.6) suy  s   s với s  S , nghĩa dãy ( s ) sS C ( A) có giới hạn  thuộc C ( A) Vậy C ( A) S – tác động s  đầy đủ  3.1.10 Nhận xét Cho S  tác động A Đặt  ( A) = { (a)  (as)sS , a  A} Khi i) Với a  A , ta có dãy (as) sS dãy Cauchy hội tụ (convergent) Hơn nữa, tập hợp  ( A) S  tác động C ( A) ; - 43 - ii) Quy tắc f : A   ( A) xác định f (a)   (a) với a  A , S  ánh xạ Hơn nữa, f – A tách được, trường hợp ta có A   ( A); iii) S  tác động A s  đầy đủ C ( A)   ( A) Thật i) Xét dãy (bs ) sS , bs  as, s  S Thế (bs ) sS dãy A bs t  (as) t  a(st )  bst với t  S , suy dãy (bs ) sS dãy Cauchy A Dãy có giới hạn a (vì as  bs , s  S ) Vậy dãy (as) sS dãy Cauchy A có giới hạn a Rõ ràng  ( A) S  tác động C ( A) ii) Rõ ràng f ánh xạ từ A vào  ( A) Với a  A với t  S ta có f (a) t   (a) t  (bs ) sS t  (bt s ) sS  (ats) sS  f (at ) (trong bs  as, s  S ) Do f S  ánh xạ Giả sử f S  ánh xạ  a, a '  A thỏa mãn as  a ' s với s  S Khi ta có (as)sS  (a ' s) sS , nghĩa f (a)  f (a ') Thế a  a ' (do f song ánh) Do A S  tác động tách đƣợc; Đảo lại, giả sử S  tác động A tách đƣợc a, a '  A cho f (a)  f (a ') Khi ta có (as)sS  (a ' s) sS , nghĩa as  a ' s với s  S Thế a  a ' (do A tách đƣợc) Do f đơn ánh Ngoài ra, rõ ràng f toàn ánh Vậy f song ánh iii) Giả sử S  tác động A s  đầy đủ (as ) sS  C ( A) Khi tồn b  A cho dãy (as ) sS có giới hạn b, nghĩa bs  as với s  S - 44 - Từ suy (as ) sS = (bs)sS   (b)   ( A) Do C ( A)   ( A) Mặt khác, hiển nhiên ta có  ( A)  C ( A) Vậy  ( A)  C ( A) Đảo lại, giả sử  ( A)  C ( A) (as ) sS dãy Cauchy A Khi (as ) sS   ( A), tồn b  A cho (as )sS   (b)  (bs) sS , nghĩa bs  as với s  S Do dãy (as ) sS có giới hạn b  A Vậy S  tác động A s  đầy đủ  3.1.11 Ví dụ (về S  tác động mà không s  đầy đủ) Lấy S nửa nhóm nhân, khơng có đơn vị trái Khi ta có S  tác động S (với tác động phép nhân S ) Trên S , xét dãy (as ) sS as  s với s  S Vì as t  st  ast , t  S nên (as ) sS dãy Cauchy S Giả sử dãy (as ) sS có giới hạn b  S , bs  as  s với s  S Khi b đơn vị trái S , trái giả thiết S khơng có đơn vị trái Do dãy (as ) sS khơng có giới hạn S Vậy S  tác động S không s  đầy đủ Nhận xét Giả sử S nửa nhóm Khi ta có S  tác động S s  đầy đủ nửa nhóm S có đơn vị trái Thật vậy, giả sử S  tác động S s  đầy đủ Khi đó, theo Ví dụ 3.1.11 S có đơn vị trái b Đảo lại, giả sử S có đơn vị trái e giả sử (as )sS dãy Cauchy S Khi đó, ta có ae s  ae s as với s  S , nghĩa dãy (as ) sS có giới hạn ae  S Vậy S  tác động S s  đầy đủ  - 45 - 3.2 Bao nội xạ liên tục tác động nửa nhóm lũy đẳng Trong tiết này, chúng tơi trình bày tốn tử bao đóng CS , tính nội xạ liên quan đến đơn cấu CS – trù mật Sau để tìm s  bao nội xạ tác động nửa nhóm lũy đẳng S , chúng tơi tìm hiểu kết mơ tả bao nội xạ cho tác động nửa nhóm lũy đẳng để tính s  nội xạ trùng với tính nội xạ 3.2.1 Định nghĩa Cho S  tác động B tác động A B i) Tập hợp CS ( A) = {b  B / bS  A} đƣợc gọi s  bao đóng ( s  closuve) A B; ii) Ta nói A s  đóng ( s  closet) B CS ( A) = A; iii) Ta nói A s  trù mật ( s  dense) B CS ( A) = B; iv) Một S  ánh xạ f : A  B đƣợc gọi s  trù mật ( s  dense) f ( A) tác động s  trù mật B , nghĩa b  B / bS  f ( A)  B; v) Một S  ánh xạ f : A  B đƣợc gọi s  đóng ( s  closet) f ( A) tác động s  đóng B 3.2.2 Định nghĩa i) Một S  tác động A đƣợc gọi nội xạ liên tục (sequentially injective) hay s  nội xạ ( s  injective) nội xạ với S  đơn cấu s  trù mật ii) Một S  tác động A đƣợc gọi co rút tuyệt đối liên tục (sequentially absolute retract) hay s  co rút tuyệt đối ( s  absolute retract) co rút mở rộng s  trù mật - 46 - 3.2.3 Định lý Đối với S  tác động A , điều kiện sau tương đương i) A s  đầy đủ; ii) A s  nội xạ; iii) A s  co rút tuyệt đối Chứng minh i)  ii): Giả sử f : B  C đơn cấu s  trù mật, giả sử g : B  A S  ánh xạ Thế f s  trù mật, nghĩa f ( B) s  trù mật C , nên cs  f ( B) với c  C s  S Vì f đơn ánh nên có bsc  B cho f (bsc )  cs Khi đó, với t  S , ta có f (bsct )  f (bsc ) t  (cs) t  c( st )  f (bstc ), suy bsc t  bstc Từ đó, g (bsc ) t  g (bsct )  g (bstc ) với t  S , nghĩa dãy ( g (bsc )) sS dãy Cauchy A Vì A s  đầy đủ nên với c  C tồn ac  A cho ac s  g (bsc ) (tức giới hạn dãy ( g (b sc )) sS ac  A ) Bây lấy c  C Ta xác định h : C  A nhƣ sau: c  f ( B), có b  B cho f (b)  c, trƣờng hợp ta đặt h(c)  h[ f (b)]  g (b); c  C \ f ( B) ta đặt h(c)  ac Khi đó, với s  S , ta có: h(c)s  h[ f (b)]s  h[ f (b)s]  h[ f (bs)]  g (bs)  h(cs), c  f ( B) h(cs)  g (bsc )  ac s  h(c) s, c  C \ f ( B) Cả hai trƣờng hợp ta có h(c) s  h(cs), nghĩa h S  ánh xạ - 47 - Cuối cùng, với b  B có ho f (b)  h[ f (b)]  g (b), nghĩa ho f  g Vậy A s  nội xạ ii)  iii): Hiển nhiên iii)  i): Giả sử A S  tác động s  co rút tuyệt đối (as ) sS dãy Cauchy A Xét S  tác động B  A  {b} với b s  as , sS Thế ánh xạ bao hàm f : A  B S  đơn cấu s  trù mật (vì f đơn ánh   B /  S  f ( A)  B) Do đó, tồn S  ánh xạ g : B  A cho g A  f Bây ta có g (b)  A g (b)s  g (bs)  g (as )  as với a  S nên g (b) giới hạn dãy Cauchy (as ) sS A  Chúng ta chuyển sang nghiên cứu mở rộng s  cốt yếu để nhận đƣợc s  bao nội xạ 3.2.4 Định nghĩa i) Một S  đơn cấu s  trù mật f : A  B đƣợc gọi mở rộng cốt yếu liên tục (sequentially essential) hay s  cốt yếu ( s  essential) mở rộng cốt yếu với đơn cấu s  trù mật, nghĩa g : B  C S  ánh xạ cho g o f S  đơn cấu s  trù mật g S  đơn cấu s  trù mật ii) Một S  tác động s  nội xạ B đƣợc gọi s  bao nội xạ ( s  injective hull) S  tác động A tồn h : A  B S  đơn cấu s  cốt yếu - 48 - 3.2.5 Bổ đề Một S  đơn cấu f s  cốt yếu f cốt yếu s  trù mật Chứng minh Giả sử S  đơn cấu f : A  B s  cốt yếu Thế theo định nghĩa, f s  trù mật Giả sử g : B  C S  ánh xạ cho g o f S  đơn cấu Khi ta có g o f : A  g ( B) S  đơn cấu s  trù mật Kết hợp với giả thiết f : A  B s  cốt yếu, ta nhận đƣợc g : B  g ( B) đơn cấu s  trù mật, từ suy g đơn cấu Nhƣ f cốt yếu Đảo lại, giả sử S  đơn cấu f : A  B cốt yếu s  trù mật giả sử g : B  C S  ánh xạ cho g o f S  đơn cấu s  trù mật Khi đó, f cốt yếu nên g S  đơn cấu Mặt khác, g o f S  đơn cấu s  trù mật nên C  {c  C / cS  go f ( A)}  {c  C / cS  g[ f ( A)]}  {c C / cS  g (B)} Do g S  đơn cấu s  trù mật Vậy f S  đơn cấu s  cốt yếu  3.2.6 Chú ý Giả sử S nửa nhóm, A S  tác động  tập tập hợp C ( A) \  ( A) Ký hiệu A   A( ), thấy S  tác động với tác động đƣợc cho  t  at ,   (as ) sS t  S Cũng nhƣ vậy, với a  A t  S at đƣợc xác định nhƣ A - 49 - Ta gọi mở rộng B S  tác động A   mở rộng (  – extention) A tồn đẳng cấu B A( ), tập  tập hợp C ( A) \  ( A), mà ánh xạ A cách đồng 3.2.7 Bổ đề Giả sử S nửa nhóm Một S  tác động B mở rộng cốt yếu A   mở rộng A Chứng minh Giả sử S  tác động B   mở rộng A Khi tồn đẳng cấu B A( ), tập  tập hợp C ( A) \  ( A), mà ánh xạ A cách đồng Ta chứng minh B mở rộng cốt yếu A Thật vậy, giả sử C mở rộng A g : A( )  C S  ánh xạ cho g A một–một Giả thiết g ( )  g ( ') với   (as ) sS  '  (a 's ) sS thuộc  Thế với s  S , ta có g (as )  g ( s)  g ( )s  g ( ')s  g ( ' s)  g (a 's ) Vì g A (3.7) một–một, nên từ (3.7) ta có as  a 's với sS , nghĩa    ' Chú ý rằng, với a  A    , g (a)  g ( ) xảy Đó trƣờng hợp này, áp dụng lập luận nhƣ ta nhận đƣợc as  as với s  S , nghĩa   (as) sS   ( A), mâu thuẫn Do g S  đơn cấu Vậy B mở rộng cốt yếu A  3.2.8 Định lý Giả sử S nửa nhóm lũy đẳng Thế với S  tác động A, tập hợp A( ) với   C ( A) \  ( A), S  tác động s  đầy đủ - 50 - Chứng minh Lấy   (as ) sS dãy Cauchy A( ) giả sử dãy khơng có giới hạn A Nếu as  A với s  S , ta có  t  at ,    điểm giới hạn   (as ) sS A( ); Nếu tồn t  S cho at  A, suy at   , at  (bs ) sS , ta có at t  bt  A, nhƣ at  at t  at t  bt  A, mâu thuẫn Do trƣờng hợp khơng xuất  3.2.9 Định lý Giả sử S nửa nhóm lũy đẳng A S  tác động Thế A* = A( ) với   C ( A) \  ( A), s  bao nội xạ A Chứng minh Rõ ràng ánh xạ bao hàm h : A  A( ) S  đơn cấu s  trù mật Hơn nữa, theo Bổ đề 3.2.7 h cốt yếu, vậy, theo Bổ đề 3.2.5 h s  cốt yếu Theo Định lý 3.2.3 Định lý 3.2.8 ta có A*  A( ) s  nội xạ Vậy A *  A( ) s  bao nội xạ A  3.2.10 Hệ Cho S nửa nhóm lũy đẳng A S  tác động tách Thế C ( A) s  bao nội xạ A Chứng minh Xin nhắc lại từ Nhận xét 3.1.10 rằng, A tách đƣợc A   ( A), nên rõ ràng trƣờng hợp này, A( ) đẳng cấu với C ( A), Từ đó, theo Định lý 3.2.9 C ( A) s  bao nội xạ A  Ta kết thúc tiết vài ý sau đây: Đối với số lớp nửa nhóm lũy đẳng S đó, tính nội xạ trùng với tính s  đầy đủ tác động với phần tử cố định, từ - 51 - trùng với tính s  nội xạ Với nửa nhóm S nhƣ vậy, theo Định lý 3.2.9 A* thực bao nội xạ A S  tác động A với phần tử cố định Hai lớp nửa nhóm nhƣ đƣợc M M Ebrahimi giới thiệu “On the Bear criterion for acts over semigroups” tạp chí Comm Alg., số 35 (2007), từ trang 3912 đến 3918, i) Các nửa nhóm lũy đẳng S cho ( Idr (S ),  , ) đại số Boole, Idr (S ) tập hợp iđêan phải S Nói riêng, nửa nhóm phần tử zero trái (hay zero phải); ii) Các nửa nhóm lũy đẳng S iđêan phải khác rỗng thực đƣợc sinh phần tử trung tâm Nói riêng, S  ( , min) - 52 - KẾT LUẬN Luận văn hồn thành cơng việc sau: Hệ thống lại khái niệm: nửa dàn lũy đẳng, băng nửa nhóm, băng nhóm tính chất chúng Trình bày định nghĩa ví dụ nửa nhóm có tính chất thu hẹp iđêan Trình bày kết nửa nhóm có tính chất thu hẹp iđêan liên quan đến iđêan rút gọn yếu (Định lý 2.1.6) Trình bày số kết dàn nửa dàn có tính chất thu hẹp iđêan Đã chứng minh rằng: i) Một nửa dàn hữu hạn S có tính chất thu hẹp iđêan S (Định lý 2.1.10, Mệnh đề 2.1.12); ii) Một nửa dàn S có tính chất thu hẹp iđêan S không chứa (  1)  chuỗi (Mệnh đề 2.1.13) Trình bày điều kiện đủ để nửa nhóm quy có tính chất thu hẹp iđêan (Mệnh đề 2.1.14) Trình bày tính chất nửa nhóm lũy đẳng có tính chất thu hẹp iđêan (Mệnh đề 2.2.2, Định lý 2.2.7) Dựa Lý thuyết tổ hợp để sáng tỏ kết Hệ thống lại khái niệm: S  tác động S  ánh xạ với khái niệm liên quan, dãy Cauchy S  tác động, giới hạn dãy S  tác động, S  tác động s  đầy đủ, s  bao đóng S  tác động, mở rộng s  cốt yếu, s  bao nội xạ S  tác động, … Trình bày điều kiện cần đủ để dãy S  tác động có giới hạn mở rộng (Bổ đề 3.1.6) - 53 - Chứng minh chi tiết điều kiện đủ để S  tác động C(A) (tập tất dãy Cauchy S  tác động A) s  đầy đủ (Định lý 3.1.9) Chứng minh chi tiết điều kiện cần đủ để S  tác động s  đầy đủ (Nhận xét 3.1.10) Chứng minh chi tiết: điều kiện cần đủ để S  tác động s  đầy đủ (Định lý 3.2.3), điều kiện cần đủ để S  đơn cấu s  cốt yếu (Bổ đề 3.2.5) 10 Chứng minh chi tiết điều kiện đủ để S  tác động mở rộng cốt yếu S  tác động cho (Bổ đề 3.2.7) 11 Trình bày số tính chất S  tác động A( ) S nửa nhóm lũy đẳng (Định lý 3.2.8, Định lý 3.2.9, Hệ 3.2.10) - 54 - TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] A H Cliphớt G B Prestơn (1970), Lý thuyết nửa nhóm (Tập 1), Bản dịch Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Lê Quốc Hán (2007), Lý thuyết ngơn ngữ nhóm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Lê Quốc Hán (2008), Giáo trình Lý thuyết nửa nhóm Lý thuyết nhóm, Trƣờng Đại học Vinh Tiếng Anh [4] M E Adams and Mathew Gould (2007), The ideal retraction property for idempotent semigroups, Semigroup Forum 74, 149 – 154 [5] K D Aucoin, J A Dumesnil and J A Hildebrant (2003), Semigroups with the ideal retraction property, Semigroup Forum 66, 416 – 432 [6] K D Aucoin, J A Dumesnil and J A Hildebrant (2004), The structure of commutative semigroups with the ideal retraction property, Semigroup Forum 68, 202 – 208 [7] B Banaschewski (1970), Injectivity and essential extensions in equational classes of algebras, Queen’s Papers in Pure and Applied Mathematics 25, 131 – 147 [8] P Berthiaume (1967), The injective envelope of S – sets, Canad Math Bull 10(2), 261 – 273 - 55 - [9] M M Ebrahimi, M Mahmoudi and Gh Moghaddasi Angizan (2007), On the Baer criterion for acts over semigroups, Comm Alg 35, 3912 – 3918 [10] J M Howie (1995), Fundamentals of Semigroup Theory, Oxford Univesity Press Inc., New York [11] M Mahmoudi and Gh Moghaddasi Angizan (2007), Sequentially injective hull of acts over idempotent semigroups, Semigroup Forum 74, 240 – 246 [12] M Yamada, and N Kimura (1958), Note on idempotent semigroups II, Proc Japan Acad 34, 110 – 112 ... 1.1 Nửa dàn lũy đẳng Băng nửa nhóm 1.2 Băng nhóm Chương Nửa nhóm lũy đẳng có tính chất thu hẹp iđêan 2.1 Nửa nhóm có tính chất thu hẹp iđêan 2.2 Nửa nhóm lũy đẳng có tính chất thu hẹp iđêan Chương... Do J nửa nhóm quy Suy J nửa nhóm rút gọn yếu Theo Định lý 2.1.6, tồn thu hẹp đồng cấu  : T  I Vậy T nửa nhóm có tính chất thu hẹp iđêan  2.2 Nửa nhóm lũy đẳng với tính chất thu hẹp iđêan. .. CÁC NỬA NHÓM LŨY ĐẲNG 2.1 Nửa nhóm có tính chất thu hẹp iđêan 2.1.1 Định nghĩa Một nửa nhóm S đƣợc gọi có tính chất thu hẹp iđêan (ideal retraction property) S không đơn I iđêan S tồn thu hẹp