Một số tính chất của tích lie đối với các hàm và liên thông trên đại số

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ VĂN TRUNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH LIE ĐỐI VỚI CÁC ĐẠO HÀM VÀ LIÊN THÔNG TRÊN ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Nghệ An - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ VĂN TRUNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH LIE ĐỐI VỚI CÁC ĐẠO HÀM VÀ LIÊN THƠNG TRÊN ĐẠI SỐ CHUN NGÀNH: HÌNH HỌC – TƠPƠ Mã số: 62.46.01.05 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Hữu Quang Nghệ An - 2014 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU CHƢƠNG I ĐẠO HÀM LIE TRÊN ĐẠI SỐ LIE I Đại số đại số Lie .4 II Đạo hàm Lie đại số Lie 13 CHƢƠNG II TÍCH LIE CỦA ĐẠO HÀM LIE VÀ LIÊN THƠNG TUYẾN TÍNH TRÊN ĐẠI SỐ LIE 20 I Tích Lie đạo hàm Lie đại số G 20 II Đạo hàm Lie liên thông tuyến tính đại số G 22 III Tích Lie đạo hàm hiệp biến 27 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 LỜI MỞ ĐẦU Vào cuối kỷ 19 cơng trình Xơphux Lie Phêlix Klein xuất kết hợp lý thuyết nhóm hình học Riemann Sự kết hợp đƣợc xem cơng trình mở đầu lý thuyết mới, lý thuyết nhóm Lie đại số Lie Sự đời lý thuyết nhóm Lie đại số Lie liên kết chuyên ngành Hình học – Tơpơ, Giải tích Đại số Do đại số Lie phận tốn học đại Lý thuyết nhóm Lie đại số Lie đƣợc ứng dụng nhiều nghiên cứu lý thuyết hệ động lực, vật lý lƣợng tử ngành khác toán học Đặc biệt đƣợc xem nhƣ cơng cụ quan trọng để nghiên cứu tính chất hình học đa tạp Riemann Hiện nay, lý thuyết đại số Lie đƣợc trình bày tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [4], [5], [7] phần mở đầu đại số Lie đƣợc trình bày giảng đại số Lie nhóm Lie cho lớp cao học chun ngành Hình học – Tơpơ trƣờng đại học Dƣới hƣớng dẫn thầy giáo PGS TS Nguyễn Hữu Quang chọn đề tài: “Một số tính chất tích Lie đạo hàm liên thông đại số” Luận văn đƣợc trình bày hai chƣơng Chƣơng Đạo hàm Lie đại số Lie Trong chƣơng này, chúng tơi trình bày khái niện số tính chất đại số, đại số Lie, đồng cấu Lie đạo hàm Lie F Đây kiến thức sở để chuẩn bị cho việc trình bày chƣơng Chƣơng đƣợc chia làm hai phần: I Đại số đại số Lie II Đạo hàm Lie đại số Lie Chƣơng Tích Lie đạo hàm Lie liên thơng tuyến tính đại số Lie Trong chƣơng này, trình bày ba nội dung là: Tích Lie đạo hàm Lie, tích Lie đạo hàm hiệp biến tích Lie đạo hàm Lie đạo hàm hiệp biến Chƣơng đƣợc chia làm ba phần I Tích Lie đạo hàm Lie đại số G II Đạo hàm Lie liên thơng tuyến tính đại số G III Tích Lie đạo hàm hiệp biến Luận văn đƣợc hoàn thành vào tháng 10 năm 2014 trƣờng Đại học Vinh, dƣới hƣớng dẫn thầy giáo PGS TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, ngƣời dẫn tận tình tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cám ơn thầy giáo mơn Hình học – Tơpơ, thầy giáo khoa Tốn, phịng đào tạo Sau đại học – Trƣờng Đại học Vinh, nhiệt tình giảng dạy, góp ý tạo điều kiện cho tác giả trình học tập thực luận văn Cũng này, tác giả xin chân thành cám ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập Vinh, tháng 10 năm 2014 Tác giả CHƢƠNG I ĐẠO HÀM LIE TRÊN ĐẠI SỐ LIE Trong chƣơng này, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất đại số Lie I ĐẠI SỐ VÀ ĐẠI SỐ LIE Đại số 1.1 Nhƣ ta biết, môđun G vành K (K giao hốn, có đơn vị (1  0)), nhóm cộng Aben G với phép nhân vô hƣớng K  G  G , (a, x) a a.x , thỏa mãn tiên đề: a( x  y )  ax  ay; a  K ; x, y  G (a  b) x  ax  bx; a, b  K ; x  G (a.b) x  a(bx); a, b  K ; x  G 1.x  x; x  G  a nhận thấy rằng, trƣờng hợp K trƣờng G khơng gian véctơ trƣờng K Định nghĩa 1.1.1 G đƣợc gọi đại số K, G đƣợc trang bị phép toán tích “.” : GG G ( x, y) a x.y có tính chất song tuyến tính Nghĩa là: ) x.( y  z )  x y  x.z; x, y, z  G ) ( x  y ).z  x.z  y.z; x, y, z  G ) (a.x) y  x.( a y)  a.( x y); x, y  G, a  K Chú ý: +) Nếu tích có tính chất giao hốn đại số G đƣợc gọi đại số giao hốn +) Nếu tích có tính chất kết hợp đại số G đƣợc gọi đại số kết hợp +) Nếu x.y = 0; x, y  G đại số G đƣợc gọi đại số tầm thƣờng +) Trong luận văn này, ta quy ƣớc viết: x.y = xy 1.1.2 Ví dụ Giả sử M đa tạp khả vi thực n chiều Ta ký hiệu: F (M) ={ f | f : M  R, f khả vi} tập hàm khả vi đa tạp M Các phép toán đƣợc trang bị F (M) là: Phép cộng: ( f + g): M  R x a f ( x)  g ( x) Phép nhân: R  F(M):M  F(M) (a, f ) a af Phép tích trong: F(M) x F(M)  R ( f ,g)(x) f ( x) g ( x), f , g F(M) Khi đó, F(M) đại số giao hốn, kết hợp, có đơn vị R Thật vậy: +) F(M) với phép toán 1) 2) không gian véc tơ +) Để chứng minh F(M) đại số, ta cần kiểm tra điều kiện Ta có: f , g , h  F(M); x  M ; a R *)  f  g  h   x   f  x  g  h  x   f  x   g  x   h  x   f  x  g  x   f  x  h  x   f  g  h   fg  fh *)  f  g  h   x    f  g  x  h  x    f  x   g  x  h  x   f  x  h  x   g  x  h  x    f  g  h  fh  gh *)  af  g   x    af  x  g  x   a f  x  g  x   f  x  ag  x    f  ag    x   a f  x  g  x    a  fg    x    af  g  f  ag   a  fg  +) Tích ánh xạ F(M) có tính chất giao hoán, kết hợp +) Phần tử đơn vị ánh xạ:  : p 1; p  M Vậy F(M) đại số giao hoán, kết hợp, có đơn vị R Đại số Lie 1.2 1.2.1 Định nghĩa Cho G đại số K, với phép nhân đƣợc ký hiệu [,] G đƣợc gọi đại số Lie tích [,] thỏa mãn tính chất phản xứng hệ thức Jacobi: i)  x, y    y, x ; x, y  G ii)  x, y , z    y, z , x    z, x , y   0; x, y, z  G Chú ý: +) Điều kiện i) thay  x, x  0; x  G +) Chiều K môđun G đƣợc gọi chiều đại số Lie G 1.2.2 Nhận xét  Mọi đại số tầm thƣờng G đại số Lie  Cho G không gian n-chiều K Cấu trúc đại số Lie G, đƣợc cho cặp véctơ sở e1 , e2 , , en  chọn G nhƣ sau : n ei , e j    Cijk ,  i  j  n ; k 1 x   xi e i , y   y j e j , i j    x, y    xi y j ei , e j       xi y j  x j yi  Cijk ek  i, j i j  k  Các hệ số Cijk ,1  i  j  n đƣợc gọi số cấu trúc đại số Lie G 1.2.3 Ví dụ Khơng gian véctơ R với tích Lie hai véctơ tích có hƣớng thơng thƣờng hai véctơ, R đại số Lie R Nhắc lại, tích có hƣớng đƣợc định nghĩa nhƣ sau : x(x1, x2, x3), y(y1, y2, y3) Ỵ R , ta có : [x,y] = x Ù y = (x2 y3 - x3 y2 , x3 y1 - x1 y3 , x1 y2 - x2 y1 ) Thật vậy, ta kiểm tra tính chất song tuyến tính, phản xứng hệ thức Jacobi tích Lie  [,] thoả mãn tính chất song tuyến tính Với x(x1, x2, x3), y(y1, y2, y3), z(z1, z2, z3) Ỵ R a, b Ỵ K ta có : * [ax + by, z] = (ax+by) Ù z = a(x Ù z)+ b(y Ù z) = a[x,z] + b[y,z]. * [ x, ay + bz] = x Ù (ay + bz) = a ( x Ù y ) + b( x Ù z ) = a[ x, y ] + b[ x, z ]  [,] thoả mãn tính chất phản xứng Với x Ỵ R3 [x,x] = x Ù x =  [,] thỏa mãn hệ thức Jacobi Với x( x1, x2 , x3 ), y( y1, y2 , y3 ), z( z1, z2 , z3 ) Ỵ R3 ta có : 10 * éëx,[y, z ]ù û= x Ù ( y Ù z) * éëz,[x, y ]ù û= z Ù ( x Ù y) * éëy,[z, x ]ù û= y Ù ( z Ù x) ù+ éz,[x, y]ù+ éy,[z, x]ù= Khi : éëx,[y, z ]û ë û ë û Ta ký hiệu tập hợp ma trận vuông cấp n K Matn (K) Trên Matn (K) ta trang bị tích Lie [x, y] = xy – yx với x, y Ỵ Matn (K) Khi đó, Matn (K) với tích Lie nhƣ đại số Lie Ta kiểm tra tính chất song tuyến tính, phản xứng hệ thức Jacobi tích Lie  [,] thoả mãn tính chất song tuyến tính Thật vậy, " x, y, z Î Matn ( K ) a, b Î K ta có: [ax + by, z ]= (ax + by ) z - z (ax + by ) = a( xz - zx) + b( yz - zy ) = a [x, z ]+ b[y, z ] Tƣơng tự ta kiếm tra đƣợc [x, ay + bz ]= a[x, y ]+ b[x, z ]  [,] thoả mãn tính chất phản xứng Thật vậy, [x, x]= xx - xx = với x Ỵ Matn ( K )  [,] thỏa mãn hệ thức Jacobi Thật vậy, " x, y, z Ỵ Matn ( K ) ta có : * [x,[y, z]]  [x, yz  zy]  x  yz  zy    yz  zy  x  xyz  xzy  yzx  zyx * [y,[z, x]]  [y, zx  xz]  y  zx  xz    zx  xz  y  yzx  yxz  zxy  xzy 22 Giả sử X  F Phép đạo hàm Lie theo hƣớng X đại số Lie G ánh xạ: LX : F  F Y LX Y  [X ,Y ] 1.1.2 Nhận xét a) LX  X '  LX  LX ' ; X , X '  F Thật vậy, LX  X 'Y  [X  X ' ,Y ]  (X  X ') Y  Y (X  X ')  X Y  X ' Y  (Y X  Y X ' )  X Y Y X  X ' Y Y X '  LX Y  LX 'Y ; X , X ' ,Y  F b) LaX  a.LX ; X  F , a  K Thật vậy, LaX  [aX ,Y]  (a X ) Y  Y (a X )  a( X Y  Y X )  aLX Y ; X , Y  F , a  K c) LX (Y Y' )  LX Y  LX Y ' ; X ,Y ,Y '  F Thật vậy, LX (Y  Y ' )  [X ,Y  Y ' ]  X (Y  Y ' )  (Y  Y ' ) X  X Y  X Y '  (Y X  Y ' X )  X Y Y X  X Y' Y' X  LX Y  LX Y ' ; X ,Y ,Y '  F d) LX (a Y )  aLX Y ; X ,Y  F , a  K Thật vậy, LX (a Y )  [X,aY]  X (aY )  (aY ) X  a( X Y  Y X )  aLX Y ; X , Y  F , a  K 23 Ta ký hiệu: L  {LX | X  F} ta đƣa vào L phép toán sau: LX  LX  LX  X ' aLX ' = LaX ; a  K Ta nhận thấy L với hai phép tốn mơđun K 1.2 Tích Lie đạo hàm Lie đại số G 1.2.1 Định nghĩa Tích Lie LX , LY đƣợc ký hiệu [LX , LY] đƣợc xác định nhƣ sau: [LX , LY ] Z   LX LY  Z   LY LX  Z  ; Z  F 1.2.2 Mệnh đề Giả sử LX , LY hai phép đạo hàm Lie theo hướng X, Y đại số Lie G; X ,Y  F Khi đó, ta có: [LX , LY ]  L[X ,Y ] Chứng minh [LX , LY ] Z   LX LY  Z   LY LX  Z   LX [Y , Z ]  LY [X , Z ]  [X ,[Y , Z ]]  [Y ,[X , Z ]]  [X ,[Y , Z ]]  [Y ,[Z , X ]]  [Z ,[X ,Y ]] ( theo đẳng thức Jacobi)  [[X,Y],Z]  L[X ,Y ] Z ; Z  F Vậy [L X , LY ]  L[X ,Y ] 1.2.3 Nhận xét L đại số Lie K với tích Lie [L X , LY ]  L[X ,Y ] Thật vậy, ta kiểm tra tính chất phản xứng hệ thức Jacobi tích Lie L +) [LX , LY ]  L[X ,Y ] 24  L[Y , X ]   L[Y , X ]  [LY , LX ]; LX , LY  L +) [[LX , LY ], LZ ]=[LX LY  LY LX , LZ ]  LX LY LZ  LY LX LZ  LZ LX LY  LZ LY LX (1) Tƣơng tự ta có: [[LY , LZ ], LX ]  [LY LZ  LZ LY , LX ]  LY LZ LX  LZ LY LX  LX LY LZ  LX LZ LY (2) [[LZ , LX ], LY ]  [LZ LX  LX LZ , LY ]  LZ LX LY  LX LZ LY  LY LZ LX  LY LX LZ (3) Cộng vế theo vế (1), (2), (3) ta đƣợc: [[LX , LY ], LZ ]+[[LY , LZ ], LX ]  [[L Z , LX ], LY ]=0 II ĐẠO HÀM LIE CỦA LIÊN THƠNG TUYẾN TÍNH TRÊN ĐẠI SỐ G Trong mục này, ta giả thiết G đại số Lie giao hốn, kết hợp, có đơn vị e K F = { X| X đạo hàm đại số Lie G} 2.1 Liên thơng tuyến tính đại số G 2.1.1 Định nghĩa Giả sử G đại số Lie  ánh xạ : F  F  F ( X ,Y ) XY thỏa mãn điều kiện sau:  X (Y  Z )   X Y   X Z ; X ,Y , Z  F  X Y Z   X Z  Y Z ; X ,Y , Z  F  xX Y  x X Y ; X ,Y  F , x  G  X xY  X  xY  x X Y ; X ,Y  F , x  G Khi đó,  đƣợc gọi liên thơng tuyến tính đại số Lie G  X Y đƣợc gọi đạo hàm trƣờng véctơ Y dọc theo X  25 2.1.2 Mệnh đề Giả sử G = F(Rn ), F  B(Rn ),  liên thơng tuyến tính đại số Lie G, S ánh xạ song tuyến tính từ F  F  F Khi  + S liên thơng tuyến tính đại số Lie G Chứng minh Ta kiểm tra tiên đề liên thơng tuyến tính: 1:  X (Y  Z )  S ( X ,Y  Z ) =  X Y   X Z  S ( X ,Y )  S ( X , Z ) = ( X Y  S ( X ,Y ))  ( X Y  S ( X , Z )); X ,Y , Z  F 2:  X Y Z  S ( X  Y , Z) =  X Z  Y Z  S ( X , Z )  S(Y, Z) = ( X Z  S ( X , Z ))  (Y Z  S (Y , Z )); X ,Y , Z  F 3:  fX Y  S ( fX,Y )  f  X Y  ( X ,Y ) = f ( X Y  S ( X ,Y ));  X,Y  F, f  G 4:  X ( fY )  S ( X , f Y)  X  f .Y  f  X Y  ( X ,Y )  X  f .Y  f ( X Y  S ( X ,Y )); X ,Y  F , f  G Vậy   S liên thơng tuyến tính đại số Lie G Bây giờ, ta xét: x : F  F  F ( X ,Y ) x. X Y ; x  G 2.1.3 Mệnh đề Giả sử 1 , 2 hai liên thơng tuyến tính đại số Lie G e đơn vị G Khi   y1  (e  y)2 liên thông tuyến tính, y  G Chứng minh Ta chứng minh :   y1  (e  y)2 liên thơng tuyến tính Thật vậy, X , X ' ,Y ,Y '  F ; x, y  G Ta kiểm tra điều kiện liên thơng tuyến tính  26 1:  X (Y  Y ' )  ( y1  (e  y ) ) X (Y  Y ' )  y1X (Y  Y ' )  (e y ) 2X (Y  Y ' )  y1X Y  y1X Y '  (e y ) 2X Y  (e y ) 2X Y '  (b1  (e  b) ) X Y  (b1  (e  b) ) X Y '   X Y   X Y ' :  X  X 'Y  ( y1  (e  y ) ) X  X ' Y  y1X  X 'Y  (e  y ) 2X  X 'Y  y (1X Y  1X 'Y )  (e  y )( 2X Y   2X 'Y )  y1X Y  y1X 'Y  (e  y ) 2X Y  (e  y ) 2X 'Y  ( y1  (e  y ) ) X Y  ( y1  (e  y ) ) X ' Y   X Y   X 'Y 3:  xX Y  ( y1  (e  y ) ) xX Y  y1xX Y  (e  y ) 2xX Y  xy1X Y  x(e  y ) 2X Y  x( y1  (e  y ) ) X Y  x X Y :  X ( xY )  ( y1  (e  y ) ) X ( xY )  y1X ( xY )  (e  y ) 2X ( xY )  y ( X  x .Y  x1X Y )  (e  y )( X  x .Y  x 2X Y )  X  x .Y  x( y1X Y  (e  y ) 2X Y )  X  x .Y  x( y1X  (e  y ) 2X )(Y )  X  x .Y  x( y1  (e  y ) ) X Y 2.2 Đạo hàm Lie liên thơng tuyến tính đại số G 2.2.1 Định nghĩa Giả sử X  F  liên thơng tuyến tính đại số Lie G Đạo hàm  theo hƣớng X đƣợc ký hiệu LX  đƣợc xác định nhƣ sau: 27 LX  : F  F  F Y , Z   L  Y , Z   L  Z     L Z    X X Y Y X [X ,Y ] Z 2.2.2 Ví dụ Trong R2 , với X( 2x ; y), Y(x ; xy), Z(xy ; x2y) Tính ( LX )(Y , Z ) với   D thông thƣờng Thật vậy, áp dụng công thức   D,  X Y  DX Y ,  X ,Y   DX Y  DY X , DX Y  ( X Y1 , X Y2 ) Với ( LX D)(Y , Z )  LX ( DY Z )  DY ( LX Z )  D X ,Y Z   X , DY Z   DY  X , Z   D X ,Y Z Ta có: +) DY Z  ( xy  x y;2 x y  x3 y) nên  X , DY Z   ( xy  3x y;8x y  x3 y) +) [X,Y] = (0 ; 2xy) nên D[X,Y]Z = (2x2y ; 2x3y) +) [X,Z] = (xy ; 4x2y) nên DY([X,Z]) = (x2y + xy ; 8x2y + 4x3y) Vậy ( LX D)(Y , Z )  2.2.3 Mệnh đề Đạo hàm Lie LX  liên thông tuyến tính  theo X thỏa mãn điều kiện: a) L[X ,Y ]  LX  LY    LY  LX   ; X ,Y  F b) LaX bY   aLX   bLY  X ,Y  F ; a, b  K Chứng minh a) X ,Y , Z ,W  F , ta có: LX  LY   Z , W   LY  LX   Z , W   LX  LY   Z , W    LY   LX Z , W   LY   Z , LX W   LY  LX   Z , W    LX   LY Z , W   LX   Z , LY W  28  LX  LY   Z W    LX   Z LY W   LX   L Z W   LY  L Z W Y X   L Z LY W   L  L Z  W  LY  Z LX W   Z LY  LX W    L Z LX W X Y Y X  LY  LX   Z W    LY   Z LX W   LY   L Z W   LX  L Z W X   L Z LX W   L Y X  LY Z  W Y  LX  Z LY W   Z LX  LY W    L Z LY W X  LX  LY   Z W    LY  LX   Z W     L  L Z  W   L Y X X  LY Z  W   Z LY  LX W    Z LX  LY W   [X ,[Y ,  Z W]]+[Y ,[X ,  Z W]]    Z [X,[Y , W]]  [ X ,[ Y , Z ]]    [X ,[Y , Z ]] W  [Y ,[X , Z ]] W   [[X , Y ],  Z W]   Z [[X , Y ], W]  [[X ,Y ],Z ]W  L[X ,Y ] Z W   Z  L[X ,Y ] W   [[X ,Y ], Z ] W  L[X ,Y ]  Z , W  b) Z , W  F , a, b  K Ta có:  LaX bY    Z , W   LaX bY   Z W    Z  LaX bY W   [aX bY ,Z ]W  [aX  bY ,  Z W]   Z [aX  bY , W]  [aX ,Z ]W  [bY ,Z ]W  [aX ,  Z W]   Z [aX , W]  [bY ,  Z W]   Z [bY , W]  [aX ,Z ]W  [bY ,Z ]W  [aX ,  Z W]   Z [aX , W]  [aX ,Z ]W  [bY ,  Z W]   Z [bY , W]  [bY ,Z ]W III  a [X ,  Z W ]   Z [X , W]  [X ,Z ]W   b [Y ,  Z W]   Z [Y , W]  [Y ,Z ]W   a  LX    b  LY   TÍCH LIE CỦA CÁC ĐẠO HÀM HIỆP BIẾN 3.1 Đạo hàm hiệp biến 3.1.1 Định nghĩa Giả sử  liên thơng tuyến tính đại số Lie G X  F Đạo hàm hiệp biến theo hƣớng X ánh xạ X : F  F Y XY Từ định nghĩa liên thông tuyến tính  , ta nhận thấy rằng: 29  X Y  Z    X Y   X Z ; Y , Z  F  X  aY   a X Y ; a  K Bây giờ, ta ký hiệu G  { X | X  F} ta đƣa vào G phép toán sau:   X  Y  Z    X Z  Y Z ; X ,Y , Z  F  a. X  Z   a. X Z ; X , Z  F , a  K 3.1.2 Nhận xét a)  X  Y G ;   X , Y G Thật vậy, Z , W  F , a  K , ta có: +)   X  Y  Z  W    X  Z  W   Y  Z  W    X Z   X W  Y Z  Y W    X  Y  Z     X  Y  W  +)   X  Y  aZ    X  aZ   Y  aZ   a. X Z  a.Y Z  a.  X  Y  Z  b) a. X G ;  X G , a  K Thật vậy, Y , Z  F , +) a, b  K , ta có:  a Y  Z   a  Y  Z   X X  a( X Y   X Z )  a  XY   a  X Z    a X  Y   a X  Z +)  a  bY   a  bY   X X  a (b X Y )  ab   X Y   ba   X Y   b   a X  Y  30 c) Vậy G với hai phép toán mơđun K 3.2 Tích Lie đạo hàm hiệp biến 3.2.1 Định nghĩa Tích Lie  X , Y , đƣợc ký hiệu [ X , Y ] đƣợc xác định bởi: [ X , Y ] Z    X Y  Z   Y  X  Z  ; Z  F 3.2.2 Nhận xét a) [ X  X , Y ]  [ X , Y ]  [ X , Y ] ' ' Thật vậy, Z  F , ta có: [ X  X , Y ] Z    X  X Y  Z   Y  X  X  Z  ; '     X   X  Y ' '   Z     Y X  X '   Z    X Y  Z    X  Y  Z    Y  X  Z    Y  X  Z  ' '  [ X , Y ] Z   [ X , Y ]  Z  ' Vậy [ X  X , Y ]  [ X , Y ]  [ X , Y ] ' ' b) [ xX , Y ]  x.[ X , Y ]; Thật vậy, x  G, x  G Z  F , ta có: [ xX , Y ] Z    xX Y  Z   Y  xX  Z     x. X  Y   Z    Y  x. X    Z   x. X Y  Z   x.Y  X  Z  Vậy [ xX , Y ]  x.[ X , Y ]; x  G 3.2.3 Mệnh đề G đại số Lie K, với tích Lie xác định [ X , Y ]   X Y  Y  X ;  X , Y G Chứng minh Ở đây, ta kiểm tra tính phản xứng hệ thức Jacobi tích Lie G 31 *) [ X , Y ] Z     X Y  Y  X  Z     Y  X   X Y  Z   [Y ,  X ]  Z  Vậy [ X , Y ]  [Y ,  X ] *) [[ X , Y ], Z ] Z   [ X Y  Y  X , Z ] Z     X Y Z  Y  X  Z   Z  X Y   Z Y  X  Z    X Y  Z  Z   Y  X  Z  Z    Z  X Y  Z    Z Y  X  Z  1 [[Y , Z ],  X ]  Z   [Y Z  Z Y ,  X ]  Z   (Y Z  X  Z Y  X   X Y Z   X  Z Y )  Z    Y  Z  X  Z    Z Y  X  Z    X Y  Z  Z    X  Z  Y )  Z   2 [[Z ,  X ], Y ]  Z   [Z  X   X Z , Y ]  Z   (Z  X Y   X Z Y  Y Z  X  Y  X  Z )  Z    Z  X Y  Z    X  Z Y  Z   Y  Z  X  Z   Y  X  Z  Z   3 Cộng vế theo vế (1), (2), (3) ta đƣợc: [[ X , Y ], Z ]+[[Y , Z ],  X ]  [[Z ,  X ], Y ]=0 3.3 Tích Lie đạo hàm Lie đạo hàm hiệp biến 3.3.1 Định nghĩa Cho X ,Y  F , tích Lie LX Y đƣợc ký hiệu [ LX , Y ] đƣợc xác định: [L X , Y ]Z  LX  Y Z   Y  LX Z  ; 3.3.2 Nhận xét a) [ LX  X , Y ]  [LX , Y ]  [LX , Y ] ' ' Z  F 32 Thật vậy, Z  F , ta có: [ LX  X , Y ] Z   LX  X  Y Z   Y  LX  X Z  ' ' '   LX  LX '  Z     L Z  L Z  Y Y X' X  LX  Y Z   LX  Y Z   Y  LX Z   Y  LX Z  ' '  [LX , Y ]  Z   [LX , Y ]  Z  '  [LX , Y ]  [LX , Y ]  Z  ' Vậy: [ LX  X , Y ]  [LX , Y ]  [LX , Y ] ' ' b) [LX , Y Y ]  [LX , Y ]  [LX , Y ] ' ' Thật vậy, Z  F , ta có: [LX , Y Y ] Z   LX  Y Y Z   Y Y  LX Z  ' ' '  LX  Y Z  Y Z    Y  Y ' '  L Z  X  LX  Y Z   LX  Y Z   Y  LX Z   Y  LX Z  ' '  [LX , Y ]  Z   [LX , Y ]  Z  '  ([LX , Y ]  [LX , Y ])  Z  ' Vậy: [LX , Y Y ]  [LX , Y ]  [LX , Y ] ' c) ' [LaX , Y ]  a.[LX , Y ] Thật vậy, Z  F , a  K , ta có: [ LaX , Y ] Z   LaX  Y Z   Y  LaX Z    a.LX  Y Z   Y  a.LX Z   a.LX  Y Z   a.Y  LX Z   a  LX  Y Z   Y  LX Z    a.[LX , Y ]  Z  Vậy: [LaX , Y ]  a.[LX , Y ] d) [LX ,  yY ]  y.[L X , Y ] 33 Thật vậy, Z  F , y  G , ta có: [LX ,  yY ] Z   LX   yY Z    yY  LX Z   LX  y.Y Z    y.Y  LX Z   y.LX  Y Z   y.Y  LX Z   y.[LX , Y ] Z  Vậy: [LX ,  yY ]  y.[L X , Y ] 3.3.3 Mệnh đề  X ,Y , Z  F , [ LX , Y ]Z  [X ,Y ] Z  LX  Y , Z  Chứng minh  X ,Y , Z  F , ta có : [L X , Y ]Z  LX  Y Z   Y  LX Z  theo định nghĩa 2.2.1 (Chƣơng 2) ta có:  L  Y , Z   L  Z     L Z    X X Y Y X [X ,Y ] Z  LX  Y Z    LX  Y , Z   Y  LX Z   [X ,Y ]Z Thay vào (1) ta đƣợc: [L X , Y ]Z   LX  Y , Z   Y  LX Z   [X ,Y ]Z  Y  LX Z    LX  Y , Z   [X ,Y ]Z (1) 34 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tơi đạt đƣợc kết sau đây: Hệ thống số khái niệm, chứng minh chi tiết số tính chất đại số, đại số Lie, đồng cấu Lie, phép đạo hàm Lie đại số Lie Trình bày số định nghĩa tính chất tích Lie đạo hàm Lie đại số, tích Lie đạo hàm hiệp biến, tích Lie đạo hàm Lie đạo hàm hiệp biến Phát biểu chứng minh mệnh đề tích Lie đạo hàm Lie đại số G, (mệnh đề 1.2.2 trang 20) Phát biểu chứng minh mệnh đề tích Lie đạo hàm hiệp biến, ( nhận xét 3.2.2 trang 27 mệnh đề 3.2.3 trang 28) Phát biểu chứng minh mệnh đề tích Lie đạo hàm Lie đạo hàm hiệp biến, ( mệnh đề 3.3.3 trang 30) 35 Trong thời gian tới, tiếp tục khảo sát tính ứng dụng tích Lie đạo hàm hiệp biến đại số vào độ cong, độ xoắn đại số TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt [1] Khu Quốc Anh (2011), Lý thuyết liên thơng hình học Riemann, NXB Đại học sƣ phạm Hà Nội, 68 - 220 [2] Nguyễn Việt Dũng (1997), Lý thuyết đại số Lie nhóm Lie, Đại học Vinh [3] Trần việt Dũng (1995), Đại số Lie, Bài giảng chuyên đề cao học chuyên nghành hình học – tôpô, Đại học Vinh [4] Nguyễn Hữu Quang (2013), Bài giảng Hình học nhóm Lie, Đại học Vinh [5] Đồn Quỳnh (2011), Hình học vi phân, NXB giáo dục, 52 - 256 Tiếng Anh [6] Alexander A Kirillov (2008), An introduction to Lie groups and Lie Algebras, Cambridge University Prees 36 [7] A.Ya.Sultanov (2010), Derivations of linear algebras and linear connections, Journal of Mathematical Sciences, Vol.169, No.3, 364 – 403 [8] Nathan Jacobson (1971), Lie Algebras, Courier Dover Publications, 30 132 ... ĐẠO HÀM LIE TRÊN ĐẠI SỐ LIE I Đại số đại số Lie .4 II Đạo hàm Lie đại số Lie 13 CHƢƠNG II TÍCH LIE CỦA ĐẠO HÀM LIE VÀ LIÊN THƠNG TUYẾN TÍNH TRÊN ĐẠI SỐ LIE 20 I Tích Lie. .. thống số khái niệm, chứng minh chi tiết số tính chất đại số, đại số Lie, đồng cấu Lie, phép đạo hàm Lie đại số Lie Trình bày số định nghĩa tính chất tích Lie đạo hàm Lie đại số, tích Lie đạo hàm. .. đại số F Vậy Ga đại số Lie F CHƢƠNG TÍCH LIE CỦA ĐẠO HÀM LIE VÀ LIÊN THƠNG TUYẾN TÍNH TRÊN ĐẠI SỐ LIE Trong chƣơng này, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất tích Lie đạo hàm Lie, tích Lie