Một số tính chất của mô đun π bất biến đầy đủ và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN XN HỢP MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MƠĐUN CON π - BẤT BIẾN ĐẦY ĐỦ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An, 07/2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN XUÂN HỢP MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MƠĐUN CON π - BẤT BIẾN ĐẦY ĐỦ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ - LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Đinh Đức Tài Nghệ An, 07/2017 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Bảng kí hiệu Kiến thức sở 1.1 Các khái niệm 1.2 Môđun cốt yếu số tính chất 12 Một số tính chất mơđun π- bất biến đầy đủ ứng dụng 2.1 Môđun π- bất biến đầy đủ 15 17 2.2 Một số ứng dụng môđun π- bất biến đầy đủ 27 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 MỞ ĐẦU Lớp vành quy nội xạ lớp vành đóng vai trị quan trọng lý thuyết vành mơđun Trong thời gian gần nhiều nhà nghiên cứu lý thuyết vành môđun tập trung nghiên cứu tính chất vành mơđun thơng qua tính quy tính nội xạ mơđun, đồng cấu, Đặc biệt, số tác giả nghiên cứu vành tự đồng cấu quy mơđun nội xạ ([4], [8], ) Mơđun N M gọi bất biến đầy đủ (fully invariant) f (N ) ≤ N với f ∈ End(M ) Với N môđun M S = End(M ) vành tự đồng cấu M Môđun N gọi môđun π-bất biến đầy đủ (π-fully invariant) M với s ∈ S thỏa mãn = s(M ) ≤ N , tồn n > cho Ssn (M ) ≤ N Chúng ta dễ thấy rằng, môđun bất biến đầy đủ π-bất biến đầy đủ Nhưng điều ngược lại không trường hợp tổng Z Z 0 quát, chẳng hạn như: xét vành R = 02 Z2 x = Khi 2 x = x xR mơđun π-bất biến đầy đủ RR khơng mơđun bất biến đầy đủ RR Bởi vì, xR không iđêan R Vành R gọi vành quy (regular) với a ∈ R, tồn b ∈ R cho a = aba Vành R gọi quy mạnh (strongly regular) với a ∈ R, tồn b ∈ R cho a = a2 b or a = ba2 Chúng ta lưu ý rằng, với môđun M End(M ) vành quy Im(f ) Ker(f ) hạng tử trực tiếp M , với f ∈ End(M ) Một R-môđun phải N gọi M -nội xạ tổng quát (M general principally injective) ký hiệu M -gp-nội xạ với tự đồng cấu khác không ε M, tồn n ∈ N cho εn = với đồng cấu từ εn (M ) tới N mở rộng thành đồng cấu từ M tới N (xem [9]) Nếu N môđun RR -gp-nội xạ N gọi GP-nội xạ (xem [6], [14]) Một số kết đặc trưng lớp GP-nội xạ nghiên cứu [12], [10] Sử dụng khái niệm mơđun nội xạ tổng qt (general principally injective) nghiên cứu số đặc trưng lớp mơđun quy vành tự đồng cấu chúng Trên sở tài liệu tham khảo ([11]), chúng tơi lựa chọn đề tài "Một số tính chất môđun π - bất biến đầy đủ ứng dụng" nhằm có thêm hiểu biết lớp môđun π - bất biến đầy đủ số ứng dụng Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, cấu trúc luận văn gồm chương bố cục sau: Chương Kiến thức sở Nội dung chương chủ yếu trình bày khái niệm, tính chất nhằm phục vụ nội dung Chương Chương Một số tính chất mơđun π- bất biến đầy đủ ứng dụng Nôi dung chương trình bày phần: 2.1 Mơđun π- bất biến đầy đủ Nội dung phần dành để trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất lớp mơđun π- bất biến đầy đủ 2.2 Một số ứng dụng môđun π- bất biến đầy đủ Trong mục 2.2 giới thiệu số ứng dụng môđun π bất biến đầy đủ việc đặc trưng vành Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn TS Đinh Đức Tài Tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn tới: Thầy giáo, Cô giáo Bộ môn Đại số (Viện Sư phạm Tự nhiên), Trường Đại học Vinh; Phòng Đào tạo Sau đại học; gia đình bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ, động viên tinh thần lẫn vật chất, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành khóa học Nghệ An, tháng năm 2017 Tác giả BẢNG KÍ HIỆU Z : Vành số nguyên Q : Trường số hữu tỷ R : Trường số thực C : Trường số phức A ⊆⊕ B : A hạng tử trực tiếp B A − B A ≤e B: A môđun cốt yếu B A B : A môđun bé B A∼ = B : A đẳng cấu với B A ⊕ B : Tổng trực tiếp môđun A môđun B ACC (DCC) : Điều kiện xích tăng (giảm) E(M ) : Bao nội xạ môđun M Soc(M ) : Đế môđun M End(M ) :Vành tự đồng cấu môđun M u-dim(M ) : Chiều Goldie môđun M Ker(f ), Im(f ) : Hạt nhân, ảnh đồng cấu f (tương ứng) M (I) : ⊕i∈I M (tổng trực tiếp I M ) MR (R M ) : M R-môđun phải (trái) Mn (S) : Vành ma trận vuông cấp n với hệ tử S M od-R: Phạm trù R-môđun phải Rad(M ) : Căn môđun M J(R) : Căn Jacobson vành R Z(M ) : Môđun suy biến môđun M CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong suốt luận văn này, khơng nói thêm, vành R hiểu vành kết hợp, có đơn vị = R-mơđun xét môđun unita phải trái 1.1 Các khái niệm Trước hết, chúng tơi trình bày số khái niệm, tính chất Lý thuyết Vành mà không chứng minh lại Các khái niệm tính chất giới thiệu nhiều tài liệu khác nhau, chủ yếu tham khảo tài liệu [7], [13] Trên vành R, R- môđun phải M gọi môđun đơn (simple) M = khơng có mơđun khác ngoại trừ Mơđun M gọi môđun nửa đơn (semisimple) thỏa mãn điều kiện tương đương sau: Mọi môđun M tổng môđun đơn M tổng môđun đơn M tổng trực tiếp môđun đơn Mọi môđun M hạng tử trực tiếp M Tổng tất môđun đơn R- môđun phải M gọi đế phải môđun MR Ký hiệu Soc(MR ) Sr (M ) Đối ngẫu với khái niệm đế mơđun có khái niệm mơđun Căn MR , kí hiệu Rad(MR ), giao tất môđun tối đại MR , tổng tất môđun bé MR Nếu MR không chứa mơđun tối đại ta định nghĩa Rad(MR ) = M Đặc biệt, Rad(RR ) = Rad(R R) = J(R) Do khơng sợ nhầm lẫn, ta kí hiệu J(R) để Jacobson vành R Radical RR Nếu MR mơđun hữu hạn sinh Rad(MR ) MR Cho R- môđun M khác không Một dãy hữu hạn n + môđun M : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mn = gọi dãy hợp thành có độ dài n (composition series of length n) Mi−1 /Mi đơn Liên quan đến dãy hợp thành sở việc hình thành khái niệm độ dài mụun, chỳng ta cú nh lý Jordan- Hăolder: nh lý 1.1.1 Nếu mơđun M có phân tích thành dãy hợp thành có độ dài hữu hạn cặp dãy hợp thành M có độ dài Một mơđun M có phân tích thành dãy hợp thành gọi mơđun có độ dài hữu hạn độ dài dãy hợp thành gọi độ dài M Ký hiệu lg(M ) length(M ) Sau định nghĩa số tính chất dãy khớp Định nghĩa 1.1.2 Một cặp đồng cấu M →f M →g M ” gọi khớp (exact) M Im(f ) = Ker(g) Dãy khớp có dạng → M →f M →g M ” → gọi dãy khớp ngắn (short exact sequence) Đối với dãy khớp có số tính chất sau: Mệnh đề 1.1.3 Cho M N R-môđun f : M → N đồng cấu Khi đó: → M →f N dãy khớp f đơn cấu M →f N → dãy khớp f toàn cấu → M →f N → dãy khớp f đẳng cấu Định nghĩa 1.1.4 Nếu f : M → N , f : N → M đồng cấu thỏa mãn f ◦ f = 1N ta nói f tồn cấu chẻ (split epimorphism) f đơn cấu chẻ (split monomorphism) Dãy khớp ngắn → M →f M →g M ” → gọi dãy khớp ngắn chẻ (split exact) f đơn cấu chẻ g toàn cấu chẻ Trong lý thuyết vành, lớp iđêan đặc biệt linh hóa tử Nhiều tính chất lớp vành đặc trưng chúng nghiên cứu thông qua lớp iđêan Định nghĩa 1.1.5 Cho vành R A ⊂ R tập khác rỗng Linh hóa tử (annihilator) phải (trái) tập A R tập hợp r(A) := {b ∈ R|ab = 0; ∀a ∈ A} (tương ứng, l(A) := {b ∈ R|ba = 0; ∀a ∈ A}) Một cách tự nhiên có linh hóa tử phần tử a trường hợp đặc biệt tập A = {a} linh hóa tử tập A tập hợp thỏa mãn tính chất linh hóa tử hai phía trái phải Đối với linh hóa tử ta có số tính chất sau: Bổ đề 1.1.6 Cho A tập khác rỗng vành R Khi ta có: Linh hóa tử trái l(A) iđêan trái R Tương tự linh hóa tử phải r(A) Nếu A tập Z(R) (tâm vành R) l(A) = r(A) iđêan vành R Nếu A iđêan trái (phải) vành R l(A) (r(A)) iđêan vành R 22 Chúng ta có (1 − t)n+1 = (tk suk u)n+1 = tk (suk utk )n suk u Khi (1 − t)n+1 (M ) ≤ N (1M − (1 − t)n+1 )(M ) ≤ t(M ) ≤ N Suy M = N , điều mâu thuẩn Suy ( ti sui )(M ) = N , suy M = N , mâu thuẩn Vậy s(M ) + Kers = M với s ∈ S Điều chứng tỏ S vành quy mạnh Mệnh đề 2.1.7 Cho M môđun tựa xạ ảnh I môđun bất biến đầy đủ M Nếu môđun thương đơn M M -gp-nội xạ mơđun thương đơn M/I M/I-gp-nội xạ ¯ = M/I, S¯ = End(M ¯ ) M/L RChứng minh Ta đặt M môđun đơn với I ≤ L (và M/L (M/I)/(L/I)) Theo giả thiết, môđun thương đơn M M -gp-nội xạ nên M/L M ¯ Do M môđun tựa xạ ảnh nên tồn gp-nội xạ Giả sử = s¯ ∈ S = s ∈ S cho πs = s¯π, π : M → M/I phép chiếu tắc Khi đó, tồn n > cho sn = với đồng cấu từ sn (M ) → M/L mở rộng đến M Chúng ta giả sử ¯ ) → M/L đồng cấu Đặt φ : sn (M ) → s¯n (M ¯ ) α : s¯n (M đồng cấu qua φ(sn (m)) = s¯n (m), ¯ với m ∈ M Khi tồn h : M → M/L mở rộng αφ Mặt khác, tồn t ∈ S cho πL t = h, πL : M → M/L phép chiếu tắc (do tính chất tựa xạ ảnh M ) Vì I mơđun bất biến đầy đủ M , ¯:M ¯ → M/L t(I) ≤ I I ≤ Kerh Khi tồn đồng cấu h ¯ = h Chúng ta dễ dàng chứng minh h ¯ mở rộng cho hπ ¯ -gp-nội xạ α Vậy M/L M Định lý 2.1.8 Cho M môđun tựa xạ ảnh S = End(M ) Các điều kiện sau tương đương: 23 S vành quy; Mọi R-môđun phải M -gp-nội xạ Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử s ∈ S, s = Do s quy nên s(M ) hạng tử trực tiếp M Vì vậy, đồng cấu từ s(M ) tới R-mơđun phải mở rộng đến M (2) ⇒ (1) Giả sử s ∈ S, s = Theo giả thiết (2), tồn n > cho sn = M/Kersn M -gp-nội xạ Đặt φ : sn (M ) → M/Kersn đẳng cấu tắc Khi đó, tồn đồng cấu g : M → M/Kersn cho gsn = φsn Hơn nữa, M môđun tựa xạ ảnh nên mơđun sn (M )-xạ ảnh Đặt t ∈ S cho t(M ) ≤ sn (M ) g = φt Suy φtsn = φsn tsn = sn Mặt khác, tồn u ∈ S cho t = sn u (vi M tựa xạ ảnh) Do sn = sn usn Nếu n = 1, s phần tử quy Ta xét với n ≥ đặt s1 = sn−1 − sn−1 usn Khi s21 = Tiến hành lặp lại q trình có s1 phần tử quy Điều chứng tỏ sn−1 phần tử quy Tiếp tục q trình ta có s phần tử quy S quy Từ kết định lý thấy Theorem ([14]) hệ trực tiếp Hệ 2.1.9 ([14, Theorem 9]) Cho vành R, phát biểu sau tương đương: R vành quy; Mọi R-mơđun phải GP-nội xạ Như biết, R vành quy mạnh với a ∈ R ta có R = aR + r(a) Từ khái niệm này, có khái niệm mơđun tự quy mạnh Mơđun M gọi tự quy mạnh (endo-strongly regular) với s ∈ End(M ), 24 M = Ims + Kers (hoặc điều kiện tương đương, với s ∈ End(M ), s(M ) = s2 (M )) Tiếp theo có số kết liên quan: Mệnh đề 2.1.10 Cho M môđun tựa xạ ảnh S = End(M ) Các điều kiện sau tương đương: S vành quy mạnh; M mơđun tự quy mạnh; Với s ∈ S, Ims = Ime với lũy đẳng tâm e ∈ S đó; S vành quy mơđun M -cyclic M môđun π-bất biến đầy đủ Chứng minh Ta thấy, chiều (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) hiển nhiên (4) ⇒ (1) Đặt s ∈ End(M ) = S Khi tồn t ∈ S cho s = sts Theo giả thiết (ts)2 = ts ta có Sts(M ) ≤ ts(M ) Điều chứng tỏ sts(M ) ≤ ts(M ) đó, theo tính chất xạ ảnh M ta có sts = tsu với u ∈ S Vậy s = sts = tsu = t(sts)u = ts(tsu) = ts2 Để thuận tiện, giả sử M R-môđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh S = End(M ) cho tất kết đề cập sau Định lý 2.1.11 Cho M môđun, điều kiện sau tương đương: M mơđun tự quy mạnh; Mọi môđun tối đại M môđun π-bất biến đầy đủ môđun thương đơn M môđun M -gp-nội xạ Chứng minh Chiều từ (1) ⇒ (2) hiển nhiên (2) ⇒ (1) Trước hết giả sử = s ∈ S, s2 = Xét N môđun tối đại M chứa Ker(s) (vì M 25 mơđun hữu hạn sinh) Do đó, M/N mơđun đơn, kết hợp giả thiết ta có M/N M -gp-nội xạ Chúng ta định nghĩa f : s(M ) → M/N via f (s(m)) = m + N Dễ dàng chứng minh f đồng cấu Xét biểu đồ sau: M/N f ✲ ♣ ✻ ■♣ ♣ s(M ) ♣ ♣g ♣♣ ♣♣ ♣ ✲ M Từ M/N M -gp-nội xạ, tồn g : M → M/N cho g(s(m)) = f (s(m)) với m ∈ M Mặt khác, s(M ) ≤ N N môđun π-bất biến đầy đủ Ss(M ) ≤ N Đòng thời, tồn ϕ ∈ S cho pϕ = g, p : M → M/N phép chiếu tắc (vì M mơđun tựa xạ ảnh) Điều chứng tỏ ϕs(M ) ≤ N pϕs(M ) = gs(M ) = Với m ∈ M , có m + N = f (s(m)) = g(s(m)) = 0, m ∈ N Suy N = M , mâu thuẩn Như vậy, chứng minh rằng, với s ∈ S ta có s2 = s = Vậy sm = với m ∈ N s ∈ S, s = (∗) Đặt s ∈ S, s = Giả sử tồn m ∈ N cho M = Kersm +s(M ) Khi sm (M ) = sm+1 (M ) sm = sm+1 t với t ∈ S (do tính chất tựa xạ ảnh M ) Sử dụng (*), có rS (sm ) = rS (s) 1M − st ∈ rS (sm ) = rS (s) s = s2 t [Ker(sk ) + s(M )] Do M hữu hạn sinh, Ngược lại, đặt A = k∈N A = M Đặt N môđun tối đại M chứa A (vì M hữu hạn sinh) Từ M/N môđun đơn N môđun π-bất biến đầy đủ, tồn n > cho Ssn (M ) ≤ N sn = (theo (∗)) Mặt khác, theo giả thiết M/N M -gp-nội xạ tồn m > cho 26 snm = với đồng cấu từ snm (M ) đến M/N mở rộng thành đồng cấu từ M đến M/N Chúng ta định nghĩa f : snm (M ) → M/N , f (snm (x)) = x + N Dễ chứng minh được, f đồng cấu Xét biểu đồ sau: M/N ♣ ✻ ■♣ ♣ f ✲ snm (M ) ♣♣ g ♣♣ ♣♣ ♣♣ ♣ ✲ M Tồn g : M → M/N cho g(snm (x)) = f (snm (x)) với x ∈ M Mặt khác, tồn ϕ ∈ S cho pϕ = g p : M → M/N phép chiếu tắc (vì M mơđun tựa xạ ảnh) Chúng ta có: ϕsnm (M ) = ϕsn(m−1) sn (M ) ≤ N Điều có nghĩa pϕsnm (M ) = gsnm (M ) = Vậy N = M mâu thuẫn Vành R gọi tựa duo phải (right quasi-duo) iđêan phải iđêan Từ kết ta thấy Định lý ([8]) hệ Hệ 2.1.12 ([8]) Các điều kiện sau tương đương R vành quy mạnh R vành tựa duo phải R-môđun đơn phải GP-nội xạ Tiếp theo xét bổ đề sau Bổ đề 2.1.13 Cho S M môđun có tính chất aben, S = End(M ) s ∈ S Nếu N môđun tối đại M cho Ker(s) + Ims ≤ N , N cốt yếu M 27 Chứng minh Nếu N khơng cốt yếu M N hạng tử trực tiếp M (vì tính chất tối đại N ) Đặt = e2 = e ∈ S N = Ker(e) Từ Ims ≤ N , es = suy se = Do e(M ) ≤ Kers ≤ N = Kere e = 0, điều mâu thuẩn Vậy N cốt yếu M Hệ 2.1.14 Cho S M mơđun có tính chất aben Các điều kiện sau tương đương: M mơđun tự quy mạnh Mọi môđun tối đại M π-bất biến đầy đủ môđun thương đơn suy biến M M -gp-nội xạ Chứng minh Sử dụng Bổ đề 2.1.13 kỹ thuật chứng minh Định lý 2.1 2.2 Một số ứng dụng môđun π- bất biến đầy đủ Xét môđun M , đặt W (S) = {s ∈ S| Kers ≤e M } Khi W (S) iđêan hai phía S (xem [13]) Bổ đề 2.2.1 Giả sử môđun thương suy biến M M gp-nội xạ Khi đó, với s ∈ S, tồn n > K ≤ M cho M = [Ker(sk ) + SsM ] ⊕ K Chứng minh Trước hết, giả sử s phần tử lũy linh, tồn số nguyên dương m cho sm = sm+1 = Đặt K ≤ M cho L = [SsM + Ker(sm )] ⊕ K ≤e M Nếu L = M, tồn môđun tối đại N M chứa L Do N ≤e M M/N M -gp-nội xạ theo giả thiết Chúng ta có (sm )2 = 0, R-đồng cấu từ sm (M ) 28 vào M/N mở rộng đến M Dễ thấy f : sm (M ) → M/N via f (sm (x)) = x + N đồng cấu Xét biểu đồ sau: M/N ♣ ✻ ■♣ ♣ f ✲ ♣♣ g ♣♣ ♣ sm (M ) ♣♣ ♣ ✲ M Tồn g : M → M/N cho g(sm (x)) = f (sm (x)) với x ∈ M Mặt khác, tồn ϕ ∈ S cho pϕ = g p : M → M/N phép chiếu tắc (vì M tựa xạ ảnh) Từ ϕ(sn (M )) ≤ N , pϕsm (M ) = suy gsm (M ) = Với x ∈ M , có x + N = f (sm (x)) = g(sm (x)) = 0, or x ∈ N Điều có nghĩa N = M , mâu thuẫn Như vậy, cần xét trường hợp s không phần tử [Ker(sk ) + SsM ] K ≤ M lũy đẳng (và b = 0) Đặt A = k∈N e cho A ⊕ K ≤ M Giả sử A = M Lặp lại trình chứng minh Định lý 2.1 có phân tích M = A ⊕ K Do M môđun hữu hạn sinh Ker(sk ) + SsM ≤ Ker(sk+1 ) + SsM với k ∈ N, tồn n > cho M = [Ker(sn ) + SsM ] ⊕ K Bổ đề 2.2.2 Nếu môđun thương đơn suy biến M M -gp-nội xạ W (S) ∩ J(S) = Chứng minh Giả sử W (S)∩J(S) = Đặt = z ∈ W (S)∩J(S) Khi Ker(z) ≤e M Trước hết chứng minh rằng, tồn c ∈ S cho = zc(M ) ≤ Ker(z) Thật vậy, theo Bổ đề 2.2.1, tồn n > cho M = Kerz n + SzM Suy z n M = z n SsM Do M môđun tựa xạ ảnh hữu hạn sinh nên tồn v ∈ SzS ≤ J(S) cho z n = z n v z n (1M − v) = Chú ý = v ∈ J(S), ta có z n = Như vậy, chọn số tự nhiên k ≥ 29 cho z k−1 = z k = Suy = z k−1 (M ) ≤ Kerz Do đó, tồn c ∈ S cho = zc(M ) ≤ Ker(z) Chúng ta có (zcz)2 = zczzcz = zc(z c)z = Theo Bổ đề 2.2.1, tồn K ≤ M cho R = [SzczM + Ker(zcz)] ⊕ K, suy K = (vì Ker(zcz) ≤e M ) M = SzczM + Ker(zcz) Suy zcz(M ) = zcz(SzczM ) Vì M mơđun tựa xạ ảnh hữu hạn sinh nên tồn a ∈ SzczS ≤ J(S) cho zcz = zcza Khi zcz(1 − a) = zcz = (vì a ∈ J(S)) Suy (zc)2 = Chúng ta tiếp tục trình thu zc = 0, mâu thuẫn Vậy W (S) ∩ J(S) = Bổ đề 2.2.3 Môđun đơn N M hạng tử trực tiếp M Hom(M, N )N = Chứng minh Giả sử N môđun đơn M Hom(M, N )N = Suy {f (N )| f ∈ Hom(M, N )} = Do tồn đồng cấu f : M → N cho f (N ) = Từ N môđun đơn nên f (N ) = N , N = f (N ) = f (M ) M = N + Kerf Mặt khác, có N ∩ Kerf = Ker(f |N ) f |N : N → N đẳng cấu (vì N đơn) Suy N ∩ Kerf = M = N ⊕ Kerf Mô đun M gọi Kasch môđun (Kasch modules) chứa mơđun đơn phạm trù σ[M ] (xem [2]) Định lý 2.2.4 Cho môđun M , điều kiện sau tương đương: M môđun đơn M Kasch môđun môđun thương đơn suy biến M M -gp-nội xạ M Kasch môđun W (S) = M Kasch môđun S vành nửa nguyên thủy 30 Chứng minh Chúng ta thấy, từ (1) ⇒ (2), (3), (4) hiển nhiên (2) ⇒ (1) Chúng ta cần chứng minh M khơng có mơđun cốt yếu tối đại Thật vậy, giả sử N môđun cốt yếu tối đại M Do M Kasch môđun nên tồn đơn cấu ϕ : M/N −→ M Định nghĩa s : M −→ M , s(m) = ϕ(m + N ) Khi = s ∈ S N = Kers Nhưng N cốt yếu M , s ∈ W (S) Chúng ta lưu ý s(M ) M/Kers môđun đơn Sử dụng Bổ đề 2.2.3 ta có, s(M ) hạng tử trực tiếp M Hom(M, s(M ))s(M ) = Nếu s(M ) hạng tử trực tiếp M Khi s(M ) M -xạ ảnh Suy M/Kers M -xạ ảnh Từ Kers cốt yếu M suy Kers = M , mâu thuẫn Do có Hom(M, s(M ))s(M ) = Hơn nữa, sSsS(M ) ≤ Hom(M, s(M ))s(M ) = suy (sS)2 = s ∈ J(S) Theo Bổ đề 2.2.2, s ∈ W (S) ∩ J(S) = 0, mâu thuẫn Vậy M môđun đơn (4) ⇒ (3) Giả sử W (S) = Đặt = s ∈ S K ≤ M cho s(M ) ⊕ K ≤e M Nếu s(M ) ⊕ K = M , s(M ) M -xạ ảnh Nhưng Kers ≤e Kers = M , mâu thuẫn Vậy s(M ) ⊕ K = M Đặt N môđun tối đại M chứa s(M )⊕K Khi N = Keru u ∈ W (S) với = u ∈ S Tương tự chứng minh (2) ⇒ (1), có (uS)2 = u = (vì S vành nửa nguyên thủy), điều mâu thuẩn Vậy W (S) = (3) ⇒ (1) Giả sử N môđun cốt yếu tối đại M Sử dụng kỹ thuật chứng minh (2) ⇒ (1), ta có N = Kers với s ∈ W (S) = Do N = Kers = M , mâu thuẫn Vậy M mơđun nửa đơn Từ kết Định lý ta có hệ sau: Hệ 2.2.5 ([5, Theorem 3.9]) Các điều kiện sau tương đương: R vành Artinian nửa đơn 31 R vành Kasch phải môđun đơn suy biến GP-nội xạ R vành Kasch phải Z(SS ) = R vành Kasch phải S vành nửa nguyên thủy Mệnh đề 2.2.6 Nếu môđun thương đơn suy biến M M gp-nội xạ M khơng có mơđun thực bất biến đầy đủ đẳng cấu với M Chứng minh Trước hết giả sử s : M → M đơn cấu H = s(M ) môđun thực bất biến đầy đủ M Theo Bổ đề 2.2.1, tồn n > K ≤ M cho M = [Kersn + SsM ] ⊕ K Do s đơn cấu nên Kersn = Suy ra, M = Ss(M ) ⊕ K M = H ⊕ K = s(M ) ⊕ K (vì H mơđun bất biến đầy đủ M ) Vậy s(M ) = e(M ) với e2 = e ∈ S Nhưng M môđun tựa xạ ảnh, s = es e = st với t ∈ S Suy s = sts, (1M − ts)(M ) ≤ Kers = 1M − ts = Do M = ts(M ) ≤ t(H) ≤ H M = H, mâu thuẩn Định lý 2.2.7 Nếu môđun tối đại M môđun π-bất biến đầy đủ môđun thương đơn suy biến M M -gp-nội xạ W (S) = Chứng minh Giả sử W (S) = Khi tồn s ∈ W (S), s = s2 = Ngược lại, với u ∈ W (S), u không lũy linh Đặt [Ker(uk ) + u(M )] A ≤e M Giả sử A = M Lặp lại A= k∈N trình chứng minh Định lý 2.1, ta có M = A Vì M hữu hạn sinh Ker(uk ) + uM ≤ Ker(uk+1 ) + uM với k ∈ N, tồn n > cho M = Ker(un ) + uM Suy un M = un+1 M Do tính chất tựa xạ ảnh nên tồn v ∈ S cho un = un+1 v 32 Nếu n = u = u2 v Do u2 = u2 vu nên (u − uvu)(M ) ≤ Keru ∩ u(M ) Giả sử u(1M − vu)(M ) = 0, u = uvu Điều chứng tỏ u(M ) hạng tử trực tiếp M M -xạ ảnh Nhưng Keru ≤e M nên u = 0, mâu thuẩn Vậy u(1M − vu)(M ) = Nếu n ≥ u(un−1 − un v) = (un−1 − un v)(M ) ≤ Keru ∩ u(M ) Giả sử (un−1 − un v)(M ) = un−1 = un v Lặp lại trình chứng minh ta có u(1M − vu)(M ) = 0, n ≥ Tiếp tục trình có = u(1M − vu)(M ) ≤ Keru ∩ u(M ) Do đó, tồn = t ∈ S cho ut = u2 t = Điều chứng tỏ (utu)2 = utu = theo giả thiết Do (ut)2 = 0, theo giả thiết ta có ut = 0, mâu thuẫn Vậy, tồn s ∈ S, s = s2 = Sử dụng cách chứng minh Định lý 2.1 có điều mâu thuẫn Vậy W (S) = Hệ 2.2.8 Nếu iđêan phải tối đại R π-bất biến đầy đủ R-môđun đơn suy biến GP-nội xạ Z(RR ) = Hệ 2.2.9 ([5, Theorem 3.2]) Nếu iđêan phải tối đại R iđêan R-môđun đơn suy biến GP-nội xạ Z(RR ) = Ký hiệu S = End(M ) Môđun M gọi ZI-môđun sm = suy sSm = với m ∈ M s ∈ S Bổ đề 2.2.10 Cho M ZI-mơđun Khi Mọi lũy đẳng S lũy đẳng tâm Ker(s) môđun bất biến đầy đủ M với s ∈ S Chứng minh (1) Thật vậy, với e2 = e ∈ S s ∈ S Với m ∈ M , ta có e(1 − e)m = 0, suy es(1 − e)m = es(1 − e) = Tương tự ta có (1 − e)se = nên suy se = es 33 (2) Để chứng minh, đặt s ∈ S Với m ∈ Kers, s(m) = sSm = Suy sf m = f (m) ∈ Kers với f ∈ S Do f (Kers) ≤ Kers với f ∈ S Mệnh đề 2.2.11 Nếu M ZI-môđun với môđun thương đơn suy biến M M -gp-nội xạ S rút gọn Chứng minh Trước hết giả sử = s ∈ S với s2 = Sử dụng Bổ đề 2.2.1, tồn K ≤ M cho M = [Kers + SsM ] ⊕ K Do M ZI-môđun SsM ≤ Kers nên M = Kers ⊕ K Điều chứng tỏ Kers = e(M ) K = (1 − e)M với e2 = e ∈ S se = Tuy nhiên, e phần tử lũy đẳng tâm, es = s(M ) ≤ Kers ∩ K = Suy s = 0, điều mâu thuẩn Định lý 2.2.12 Nếu M ZI-môđun môđun thương đơn suy biến M M -gp-nội xạ S rút gọn S môđun suy biến yếu Chứng minh Từ Mệnh đề 2.2.11 ta có S rút gọn Chúng ta chứng minh SsM +Kers = M với s ∈ S Thật vậy, từ Bổ đề 2.2.1, tồn K ≤ M cho M = [Kers+SsM ]⊕K Tồn e2 = e ∈ S cho Kers + SsM = Kere K = eM Suy es = se = 0, điều chứng tỏ K = eM ≤ Kers ≤ (Kers + SsM ) ∩ K = Do K = M = Kers + SsM Mặt khác, với mọ s ∈ S ta có SsM + Kers = M , nên s(M ) = sSsM Vì M môđun tựa xạ anh hữu hạn sinh, s = ss1 sh1 + + ssk shk với si , hi ∈ S Do s ∈ sSsS S môđun suy biến yếu phải Do S rút gọn nên S môđun suy biến yếu trái Hệ 2.2.13 ([6, Theorem 4]) Cho R vành ZI Nếu môđun đơn suy biến GP-nội xạ R rút gọn R vành quy yếu 34 KẾT LUẬN Trên sở tài liệu tham khảo [11], luận văn tìm hiểu chứng minh chi tiết kết sau đây: - Mối liên hệ giữa: lớp vành quy mạnh vành quy yếu phải (Định lý 2.1.6); lớp vành quy mạnh lớp vành thỏa mãn điều kiện R-môđun phải M -gp-nội xạ (Định lý 2.1.8); lớp vành quy mạnh lớp vành thỏa mãn điều kiện môđun tối đại M môđun π-bất biến đầy đủ môđun thương đơn M môđun M -gp-nội xạ (Định lý 2.1.11) - Sử dụng tính chất môđun π- bất biến đầy đủ để khảo sát lớp môđun: lớp môđun Kasch (Định lý 2.2.4); lớp môđun M -gp-nội xạ (Định lý 2.2.7); lớp ZI-môđun (Định lý 2.2.12) 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tiếng Việt [1] Nguyễn Tiến Quang- Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun vành, NXB Giáo dục B Tiếng Anh [2] T Albu, R Wisbauer, Kasch moduls, in Advances in Ring Theory, edited S K Jain and S T Rizvi, Birkhaă user, 1997, 1-16 [3] F.W Anderson, K R Fuller, Rings and Categories of Modules, Springer-Verlag, New York, 1974 [4] J Clark, C Lomp, N Vanaja and R Wisbauer, Lifting Modules: Supplements and Projectivity in Module Theory (Frontiers in Mathematics, Birkhăauser, Basel, 2006) [5] N Q Ding and J L Chen , Rings whose simple singular môđunes are Y J-injective, Math Japon 40 (1) (1994), 191-195 [6] N K Kim, S B Nam, J Y Kim, On simple singular GPinjective môđunes, Comm Algebra, 27(5)(1999), 2087-2096 [7] T Y Lam (1991), A First Course on Noncommutative Rings, Springer Verlag [8] R Yue Chi Ming, On P-injective and generalizations, Riv Mat Univ Parma., 5(5)(1996), 183-188 36 [9] N V Sanh and K P Shum, Endomorphism rings of quasiprincipally injective môđunes, Comm Algebra 29 (1)(2001), 1437-1443 [10] B Samruam, H D Hai, N V Sanh, A General form of pseudo p-Injectivity, Southeast Asian Bull of Math., 35(6)(2011), 927993 [11] Truong Cong Quynh, Dinh Duc Tai, Regular endomorphism rings and principally injective modules, Scientific Annals of "Al I Cuza" University of Iasi - Romania (SCIE) (nhận đăng) [12] T C Quynh and N V Sanh , On quasi pseudo-GP-injective rings and modules, Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society, 37(2)(2014), 321-332 [13] R Wisbauer, Foundations of Module and Ring Theory, Gordon and Breach, Reading 1991 [14] J Zhang, J Wu, Generalizations of principal injectivity, Algebra Colloq., (1999)( 3), 277-282 ... 1.2 Mô? ?un cốt yếu số tính chất 12 Một số tính chất m? ?đun π- bất biến đầy đủ ứng dụng 2.1 Mô? ?un π- bất biến đầy đủ 15 17 2.2 Một số ứng dụng mô? ?un π- bất biến đầy đủ ... định nghĩa, ví dụ số tính chất lớp m? ?đun π- bất biến đầy đủ 2.2 Một số ứng dụng mô? ?un π- bất biến đầy đủ Trong mục 2.2 giới thiệu số ứng dụng mô? ?un π bất biến đầy đủ việc đặc trưng vành Luận văn... 2.1.8); lớp vành quy mạnh lớp vành thỏa mãn điều kiện mô? ?un tối đại M mô? ?un π- bất biến đầy đủ mô? ?un thương đơn M mô? ?un M -gp-nội xạ (Định lý 2.1.11) - Sử dụng tính chất m? ?đun π- bất biến đầy đủ để