Một số tính chất của cơ sở schauder trong không gian banach

Mở đầu Trong lý thuyết nghiên cứu không gian Banach, đặc biệt không gian Banach vô hạn chiều, phần quan trọng việc nghiên cứu loại sở không gian đà đ-ợc nhiều nhà toán học quan tâm Bởi vì, việc nghiên cứu sở không giúp "mô tả" không gian mà xác định đ-ợc tính chất không gian Có thể có nhiều loại sở không gian nh- sở Hamel, sở Schauder , tr-ờng hợp tổng quát, không dễ xác định dạng sở Hamel cho không gian tuyến tính vô hạn chiều Vì lý thuyết sở Hamel có nhiều hạn chế Để giải khó khăn đó, không gian quan trọng với tôpô tuyến tính tự nhiên, đặc biệt không gian Banach, nghiên cứu sở Schauder Nó giúp nghiên cứu không gian tính chất nó, giúp nghiên cứu thêm kết liên quan đến không gian dÃy, phần quan trọng lý thuyết không gian Banach giải tích hàm Với mục đích nh- vậy, khoá luận trình bày khái niệm sở Hamel, sở Schauder, mối liên hệ, tính chất số không gian đ-ợc chia làm ch-ơng: Ch-ơng 1, tác giả trình bày khái niệm sở Hamel, sở Schauder đ-a ví dụ loại sở số không gian quen thuộc Ch-ơng 2, tác giả trình bày mối quan hệ sở Schauder không gian Banach thực phức, tính chất hệ số hàm liên kết với sở Các tính chất, ví dụ khoá luận có tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [4], [5] đà đ-ợc tác giả trình bày hệ thống chứng minh chi tiết Khoá luận đ-ợc thực hoàn thành tr-ờng Đại học Vinh d-ới h-ớng dẫn nhiệt tình, chu đáo thầy giáo Th.s.Trần Đức Thành, tác giả xin đ-ợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn tới thầy cô giáo khoa Toán, tổ giải tích đà tạo điều kiện giúp đỡ qúa trình học tập nghiên cứu tr-ờng Vinh, ngày tháng năm 2008 Tác giả Ch-ơng I Các khái niệm 1.1 Định nghĩa Giả sử E không gian tuyến tính tr-ờng K (R C), hàm thực :E R x x đ-ợc gọi chuẩn E thoả mÃn điều kiện sau (i) x  ,  x  E x 0 x0 (ii) x   x ,  λ  K,  x  E (iii) x  y  x  y ,  x,y  E Kh«ng gian tuyÕn tính E với chuẩn đ-ợc gọi không gian định chuẩn, ký hiệu (E, ) hay E 1.2 Định nghĩa Giả sử X không gian mêtric xn dÃy X Khi xn đ-ợc gọi dÃy Cauchy nÕu víi   > 0,  n0  N cho víi mäi m, n  n0 ta cã d ( xn , xm )   Kh«ng gian mêtric X đ-ợc gọi không gian mêtric đầy ®đ nÕu mäi d·y Cauchy X ®Ịu héi tơ tới điểm thuộc X Cho E không gian định chuẩn, E đ-ợc gọi không gian Banach E không gian mêtric đầy đủ với metric sinh chuẩn 1.3.Định nghĩa Cho E K - không gian tuyến tính Một tập hữu hạn M  {x1 , , xm }  E gäi lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh nÕu víi bÊt kú 1 , , m  K mµ m   j x j  th× 1   m  Mét tËp tuú ý j 1 M  E gọi độc lập tuyến tính tập hợp hữu hạn độc lập tuyến tính Nếu M không độc lập tuyến tính ta nói M phụ thuộc tuyến tính 1.4 Định nghĩa Một tập S không gian tuyến tính V đ-ợc gọi sở Hamel V (i) S độc lập tuyến tính (ii) V = SpanS, tức V tổ hợp tuyến tính hữu hạn S (  x  V: n x    i xi , xi  S, αi  K) i 1.5 Định lý Mọi không gian tuyến tính V { } có sở Hamel Chứng minh Gọi M tập hợp tất tập ®éc lËp tun tÝnh cđa V Do V ≠ { } nên V tồn phần tử x {x} M Từ M , xác định quan hệ thứ tự phận Giả sử ={Mi}là hä c¸c tËp tuú ý thuéc M Ta sÏ chøng minh  cã cËn trªn M=  i Mi M Lấy xi in1 dÃy hữu hạn vectơ M, xi in1 M j , víi j tuú ý Suy xi in1 ®éc lËp tuyÕn tÝnh, tõ ®ã M  M Mặt khác, theo bổ đề Zorn M có phần tử cực đại S Bây ta chứng minh Span S = V Giả sử ng-ợc lại SpanS V z V \ SpanS Rõ ràng (S {z} ) tập độc lập tuyến tính V vµ chøa S Nh- vËy S  {z}  M S S z Hơn S  S  {z} , m©u thn víi S phần tử lớn Vậy SpanS = V, S sở Hamel V 1.6 Định nghĩa Không gian tuyến tính V đ-ợc gọi hữu hạn chiều có sở hữu hạn phần tử, ng-ợc lại V đ-ợc gọi vô hạn chiều 1.7.Ví dụ 1) Giả sử V={ } không gian tuyến tính tầm th-ờng Khi V có sở Hamel Thật vậy, theo quy -ớc tập độc lập tuyến tính, gọi Mi tập tất không gian cđa V chøa  Khi ®ã ta cã Span   M i ,   M i  V i Theo giả thiết, thuộc không gian cđa V, ®ã Span    , sở V 2) Trong không gian tuyến tính thực, phần tử khác R sở Hamel R Nh- R hữu hạn chiều Thật vậy, giả sư A  E vµ A={a}, a  R Khi A độc lập tuyến tính x a Mặt khác, SpanA={ a, x R} = R nên SpanA= R Do A sở Hamel R 3) Trong không gian tuyến tính thực C liên kết với không gian tuyến tính R phức C có së Hamel lµ hƯ B =(1,i) ThËt vËy, ta nhËn thấy B = {1, i) hệ độc lập tuyến tÝnh V× .1  .i     .i     0,   Hơn nữa, α  C,   a  ib (a,b  B) th×   1.a  b.i Suy biểu diễn đ-ợc qua hệ {1; i} = B Do B sở Hamel C liên kết với C R 4) Trong không gian tuyến tính thực hữu hạn chiều Rn có sở Hamel Thật vậy, xét vectơ đơn vị: e1,…,en víi e1=(1, 0, 0,…, 0); e2 (0, 1, 0,…, 0); …;en(0, 0,…, 1)  Rn Khi ®ã B = {e1,, en} độc lập tuyến tính 1e1   2e2    nen  1, ,  n     (1 ,  , ,  n )  (0,0, ,0)  1      n  Mặt khác, x , , ,  n  R th× ta biĨu diễn đ-ợc dạng n x 1e1 n en Nh- vectơ x R tổ hợp tuyến tính phần tử n B hay Rn = SpanB Vậy B sở Rn, Rn hữu hạn chiều 1.8 Định lý Cho V không gian tuyến tính hữu hạn chiều Khi tất sở V có số l-ợng phần tử hay có số véc tơ Chứng minh Cho S T sở Hamel V Giả sử S có n phần tư x1, x2,…, xn, vµ T cã n + phần tử y1, y2,, yn+1 Khi n y i   a¹i x j , i=1,2,…,n j 1 Nên y1, y2,, yn độc lập tuyến tính, ma trËn [aij] cã h¹ng b»ng n, vËy n y n 1   a n 1, j x j , j véc tơ an1 ,1, an1 ,2, , an1 , n tổ hợp tuyến tính hàng véctơ ma trận [aij] Nh- véctơ y1, y2,, yn, yn+1 không độc lập tuyến tính, chứng tỏ tập hợp n + véctơ T phụ thuộc tuyến tính Nh-ng T sở Hamel gồm véctơ độc lập tuyến tính, nh- vËy T cã m (  n ) vÐct¬ T-¬ng tự nh- vậy, thay đổi vai trò S T, ta chứng minh đ-ợc n m Vì vậy, S T có số vectơ 1.9 Định lý Hai sở Hamel không gian tuyến tính V có lực l-ợng Chứng minh Giả sử S T hai sở Hamel V S có vô hạn phần tử, đặt S= T = Bởi S sở Hamel V nên với y V, đặc biệt y T y biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính véctơ x1, x2 , , xn S chØ cã n vÐct¬ T cã thĨ biĨu diƠn theo cách tập Hơn lực l-ợng tập hữu hạn S với lực l-ợng S nên Thay đổi vai trò S T ta chứng minh đ-ợc Do 1.10.Định nghĩa Cho V không gian tuyến tính, lực l-ợng sở Hamel V đ-ợc gọi chiều V đ-ợc ký hiệu dimV 1.11 Định nghĩa Cho X không gian Banach tr-ờng K, dÃy xn X đ-ợc gọi sở Schauder X n K cho x  X , tån t¹i nhÊt d·y  x    i xi (1) i Sự hội tụ chuỗi (1) hội tơ theo chn X, tøc lµ n lim n  x    i xi  i 1.12.Định lý Không gian Banach có sở Schauder không gian khả ly Chứng minh Cho X không gian Banach tr-ờng K (R C) với n sở xn Xét tập hợp A ri xi : ri hữu tỷ K n N Rõ ràng A tập i đếm đ-ợc X Bây giê ta sÏ chøng minh A trï mËt X Cho ε > tuú ý, bëi v× d·y xn sở X nên Spanxn X Khi với x X ,  y  Span xn  cho x  y   Ta cã thÓ viÕt k y    i xni i 1 víi 1,  , ,  k K vµ ta cã thể xác định số hữu tỷ ri (1 i  k ) tho¶ m·n  i  ri   2k xni Ta cã k k i 1 i 1 x   ri xni  x    i xni + k   i  ri i 1 xn i    Điều cho x X tồn phần tö n z   ri xni  A cho x  z   i 1 V× vËy A trï mËt X 1.13.VÝ dơ 1) C¸c vectơ đơn vị ei sở Schauder co ThËt vËy, gi¶ sư x   i  K phần tử co Khi ®ã,  n  N ta cã n x    i ei i 1  0,0, , n 1, n  C  C0 Sup i  (v× n 1i   lim  i  ) i   n VËy x  lim   i ei    i ei (2) n   i 1 i 1 D·y i K thoả mÃn (2) nhÊt, thËt vËy víi  i   K lµ dÃy khác thoả mÃn (2) Khi  i 1 i 1 i 1  i ei    i ei    i   i ei   lim   i  i ei   lim Sup i  i   n n   i 1 i n Hơn nữa: i i  Sup  i  i  n   1 i  n   i   i , i  N VËy {ei} lµ sở Schauder co 2) Các vectơ đơn vị {ei} sở Schauder l1 Thật vậy, giả sử x i K phần tư bÊt kú cđa l1 Khi ®ã   i 1 i   , víi nN ta cã n x   i ei i 1 l1  0,0, , n1 , n2 ,  l1    i n 1 i  (khi n  ∞)  n  x  lim  i ei   i ei (3) n  i 1 i 1 Rõ ràng i K thoả mÃn (3) lµ nhÊt, thËt vËy víi  i   K dÃy khác thoả mÃn (3) ta có  i 1 i 1 n  i ei   i ei  lim   i  i ei  n  i 1 n  lim   i  i    i   i , i  N n  i Do {ei} sở Schauder l1 3) Các vectơ đơn vị {ei} sở lp,  p    p ThËt vËy, gi¶ sư x   i   K phần tử l Khi   i   , víi mäi p i 1 n  N ta cã n x    i ei i 1 lP  0,0, ,  n1 ,  n2 ,  l P   P    i   i n1  P  (khi n   )  n VËy x  lim   i ei    i ei (4) n   i 1 i 1 Râ rµng d·y  i   K thoả mÃn (4) nhất, với { i } K dÃy thoả mÃn (4)    e    e i 1 i i i 1 i i n  lim   i  i ei  n   i 1 n  lim   i  i    i  i , i  N n   i 1 Do vËy {ei} lµ sở Schauder lp 4) Các vectơ đơn vị {ei} không sở Schauder l ThËt vËy, v× ( l  , Sup  i ) không không gian khả ly nên theo định lý1.13 n {ei} không sở Schauder l Bây ta đ-a so sánh sở Hamel sở Schauder Tr-ờng hợp 1: dim X Trong tr-ờng hợp dễ thấy sở Hamel X sở Schauder X ng-ợc lại Tr-ờng hợp 2: dim X = N0 (N0= N) Trong tr-ờng hợp sở Hamel sở Schauder Thật vậy, giả sử S {xn : n N} sở Hamel X Khi x X ta cã thĨ biĨu diƠn nhÊt d¹ng k x    ni xni (  ni  K, k  N*) i 1  n   n §Ỉt  i nÕu n = ni nÕu n ≠ ni  Khi ®ã x   n xn n Điều ng-ợc lại không tức sở Schauder không sở Hamel X Thật vËy, xÐt kh«ng gian tuyÕn tÝnh    i K : i hữu hạn giá trị i}, đ-ợc trang bị chuẩn i    Sup i 1 i  Xét vectơ đơn vị {e1, e2,, en} Φ víi e1 = (1, 0,…, 0); e2 = (0, 1,, 0),,en = (0, 0,, 1) Khi {en} dÃy vectơ thoả mÃn Spanen , n Vậy {en} sở Hamel Ta chứng minh đ-ợc {en} sở Schauder ,   ThËt vËy víi x : x , ,  n  ta cã  x  1e1   e2    n en    i ei i 1 VËy {en} sở Schauder , Bây ta xây dựng sở Schauder , nh-ng sở Hamel nh- sau Giả sử {xn} d·y vect¬ Φ víi   x1  1, ,0,0,     1  x2   0, , ,0,    1   x3   0,0, , ,0,    ………………… …………………   xn   0,0,0, ,0, ,0,  n Khi {xn} sở Schauder nh-ng không sở Hamel Thật vậy, giả sö x  1,  , ,  m ,0,0,    Khi ®ã ta cã thĨ tìm đ-ợc dÃy i im1 K thoả m·n   1 2 3   1   3    3 ………………… ………………… m  1  m1   m m m Ta cã x  1,  , ,  m ,0,0,  ( y, z)  ( y,0)  (0, z)  ( y,0)  i( z,0) , ( y, z ) G phân tích Do ta đồng không gian G với ảnh đẳng cự G,0 E x  E cã thĨ biĨu diƠn nhÊt d¹ng x y iz Hơn ánh xạ x  y vµ y  z lµ phÐp chiÕu víi chuẩn ban đầu vào G ( y,0)  y  y  z  1/  ( y, z ) G x G  ( y, z ) , ( y, z  G ) MƯnh ®Ị sau sÏ xÐt mèi quan hƯ sở G E 2.1.8 Mệnh đề Cho G không gian Banach thực E phức hoá G DÃy yn G sở G yn sở E Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử yn sở G x y iz phần tử tuỳ ý thuộc E Khi tồn biểu diễn j 1 j 1 y   j y j , z    j y j  Khi ®ã y  iz   ( j  i j ) y j Ta chøng minh biĨu diƠn nµy lµ nhÊt j 1  NÕu  ( j  i j ) y j héi tơ vỊ y0  iz0 th× j 1   j 1 j 1   j y j vµ j 1   j yj  j 1 héi tơ vµ y0   j y j , z0    j yi j ThËt vËy, tõ n  ( j  i j ) y j  j 1 n n j 1 j 1   j y j  i   j y j (n  1,2 ) Do với ánh xạ f : E  G y  iz  y , xÐt với chuẩn ban đầu E ta có n n n     y0    j y j   y0    j y j   i z0    j y j  j 1 j 1 j 1     n  ( y0  iz0   ( j  i ) y j  n j Hoàn toàn t-ơng tù: z0    j y j j 1  B©y giê nÕu  ( j  i j ) y j theo j yn j y j vµ j 1   j yj j hội tụ sở G nªn  j   j  ( j  1,2 )tøc  j  i j  0( j 1,2 ) hay biểu diễn y n sở E Điều kiện đủ: Giả sử yn G sở E, với mäi y G ta cã biĨu diƠn y   ( j  i j ) y j j 1 ( j ,  j  R, j ) Do ®ã y   j 1 j 1  j y j  i   j y j Bởi x0 biểu diễn dạng x0=y0 + iz0, y0, z0 G nªn    j y j  vµ j 1  y j y j j Hơn yn sở E, biểu diễn nên yn sở G 2.1.9 Mệnh đề Giả sử G không gian Banach thực, E phức hoá G E * ,G * t-ơng ứng không gian liên hợp E G , ánh xạ  : E *  G* x G * f  {h1 , h2 } Víi h1 ( y )  Re f ( y ) h2 ( y )  Im f ( y ) , y G lµ phép đồng phôi tuyến tính Chứng minh Giả sử f E * hàm h1 , h2 xác ®Þnh bëi h1 ( y)  Re f ( y), h2 ( y)  Im f ( y) ( y  G) , ®ã ta cã h1  G* , h2  G* vµ f ( x)  f ( y)  if ( z)  h1 ( y)  ih2 ( y)  i[(h1 ( z)  ih2 ( z)]  [h1 ( y)  h2 ( z)]  i[h2 ( y)  h1 ( z )], x y iz E Vì f xác định cặp h1 , h2 G* G* Ng-ợc lại, h1 , h2 G* G* với hàm f xác định f ( x) [h1 ( y)  h2 ( z)]  i[h2 ( y)  h1 ( z)], ( x  y  iz  E) , ta cã f  E * H¬n n÷a, víi x  y  iz  G ta cã y  x vµ z  Tõ ®ã f ( y)  h1 ( y)  ih2 ( y) ( y  G) Do ®ã Re f ( y )  h1 ( y ) víi mäi y  G (v× h1 ( y), h2 ( y)  Im f ( y )  h2 ( y ) y G ) Khi tồn ¸nh x¹  : E *  G *  G * f  h1 ,h2 , víi h1 ( y )  Re f ( y ) h2 ( y )  Im f ( y ) , y G ánh xạ song tuyến tính thực Mặt khác ánh xạ song ánh tuyến tính từ E * (r ) vµo G *  G * Hơn đẳng cấu (đồng phôi tun tÝnh) víi chn trªn G *  G * xác định h (h1 , h2 )  h1  h2 1/  h2 1/ 2 x (ở x E x y iz) T-¬ng tù, ta cã  [h2 ( y)  h1 ( z )]  h1  h2 Do ®ã x ( x  y  iz  E ) f ( x)  [h1 ( y)  h2 ( z )]2  [h2 ( y)  h1 ( z )]2  1/   h1  h2 Suy  1/ 2  1/ x ( x  E) , f  (h1 , h2 ) Mặt khác, h1 ( y), h2 ( y) R víi y  G nªn  h1 ( y)  h1 ( y)  h2 ( y) Suy h1  f T-¬ng tù h2  f  1/  f ( y)  f y , Do ®ã Tõ ®ã h1, h2    h1  h2  f f  h1 , h2   f , f  E * VËy ánh xạ phép đồng phôi tuyến tính Đ2 Các hệ số hàm liên kết với sở 2.2.1 Định nghĩa Cho dÃy x n sở không gian Banach E, x X có biểu diễn dạng x  i xi , xi  E,i  K, i  1,2, (1) i 1 D·y hµm tuyÕn tính đ-ợc xác định f j ( x) j ; j 1,2, đ-ợc gọi dÃy hệ số hàm liên kết với sở x n hay dÃy hệ số hàm liên kết với sở đ-ợc ký hiệu a.s.c.f Do đó, x n sở E f n a.s.c.f x  X cã biĨu diƠn nhÊt d¹ng  x   fi ( x).xi (2) i 1 2.2.2 Mệnh đề Giả sử x n dÃy không gian Banach E thoả mÃn xn (n 1,2, ) A1 không gian tuyến tính dÃy thuộc tr-ờng vô h-ớng K A1=  n   K   i xi hội tụ} (3) i đ-ợc trang bị chuẩn n  n   Sup   i xi (4) 1 n   i 1 Khi ®ã A1 không gian Banach n Chứng minh Vì d·y    i xi  héi tơ nªn n hữu hạn i Hơn nữa, xn (n 1,2, ) nên ta có (4) chuẩn không gian tuyến tính A1 Bây giờ, giả sử n(k ) (k  1,2, ) lµ mét d·y Cauchy A1, với tồn N ( )  N cho      Sup   (k ) n ( m) n n 1 n   i 1 (k ) i    i( m) xi   k , m  N ( ) Do ®ã  (k ) n    n   n( m) xn  i 1 (k ) i    i( m) xi    i(k )   i(m)  xi  2 n1 i 1 (k , m  N ( ); n  1,2 ) Tõ ®ã, xn  (n  1,2, ) nªn ta cã  n( k )   n( m)  2 xn (k , m  N ( ); n 1,2, ) Chứng tỏ với n  , d·y  n( k ) (k  1,2, ) héi tơ tíi  n K Tõ ®ã, theo bÊt ®¼ng thøc   i( k )   i( m) xi   (k , m  N ( ); n  1,2, ) , n i cho m ta nhận đ-ợc  i( k )   i xi   (k  N ( ); n  1,2, ) n i 1 Khi ®ã nl nl i n1 i n1   i xi  2    i(k ) xi (k  N ( ); n, l  1,2, ) ,   i 1 i 1 tức chuỗi i( k ) xi hội tụ E đầy đủ nên i xi hội tụ từ ( n ) A1 Hơn nữa, ta lại có (k ) n   Sup   i(k )   i    k  N  , n n 1 n  i 1 ®ã A1 không gian Banach 2.2.3 Mệnh đề a) Giả sử E không gian Banach với sở xn f n a.s.c.f Khi ánh x¹  : A1  E   n    n     i xi (5) i phép đồng phôi , A1 không gian Banach mệnh đề 2.2.2 x  Sup b) 1n n  f i ( x) xi , xE (6) i chuẩn E, đồng thời chuẩn t-ơng đ-ơng với chuẩn xuất phát E Chứng minh a) Theo mệnh đề 2.2.2, xn sở từ tÝnh  nhÊt cđa biĨu diƠn   i xi nªn xn  (n  1,2, ) Từ A1 không gian Banach i Hơn nữa, dễ thấy ánh xạ tuyến tính có chuẩn (từ (4)) Mặt khác từ tồn tính biểu diễn i xi nên song ánh i Từ theo hệ Định lý ánh xạ mở ta có phép đồng phôi b) Dễ chứng minh x chuẩn E Hơn nữa, theo phần a), liên tục nên tån t¹i h»ng sè C  cho  n  i 1 i 1   i xi  Sup   i xi  C   i xi , i 1n  i xi  E i 1 Do ®ã x  x  C x , xE VËy chuẩn t-ơng đ-ơng với chuẩn xuất phát E 2.2.4 Định lý Giả sử xn sở không gian Banach E, hệ số hàm f n liên kết với sở xn  liªn tơc trªn E, tøc f n  E * Hơn nữa, tồn số M tho¶ m·n  xn f n  M (n  1,2, ) (7) Chøng minh Theo mƯnh ®Ị 2.2.3, x chuẩn xác định E đẳng thức (6), tồn số C thoả mÃn x C x, Bởi xn  0; n  1,2, nªn xE n f ( x ) xn f n ( x)  n  xn x  xn Do ®ã f n  E * vµ f n    f i ( x) xi  i 1 n 1  f i ( x) xi i 1 xn  2C x x  E , n  1,2, xn (8) 2C ; n  1,2, xn Mặt khác, theo định nghĩa f n ta có  f n ( xn )  f n xn ; n  1,2, tõ ®ã suy  xn f n  M  2C; n 1,2, 2.2.5 Định nghĩa Cơ sở x n không gian Banach E đ-ợc gọi sở bị chặn inf 1n xn Sup xn   1n - C¬ së x n đ-ợc gọi sở chuẩn tắc xn  1; n  1,2, 2.2.6 NhËn xÐt (i) Nếu x n sở không gian Banach E vµ n  lµ d·y tuú ý thuộc tr-ờng vô h-ớng thoả mÃn n 0; n 1,2, n x n sở không gian E x (ii) DÃy n sở chuẩn tắc E x n 2.2.7 Định lý Giả sử x n sở bị chặn không gian Banach E Khi tồn chuẩn t-ơng đ-ơng x ' E cho với chuẩn x n sở chuẩn tắc Chứng minh Đặt E (n) x1 , , xn1 , xn1 ,  ; n  1,2, (9), E (n) không gian tuyến tính ®ãng cđa E ®-ỵc sinh bëi x1 , , xn 1 , xn 1 , vµ gäi d·y   i xi  E (n) ta cã in  f n E * a.s.c.f sở x n  Khi ®ã víi bÊt kú xn    i xi  i n 1 1   f n  xn    i xi    xn  f f M M i n   xk ; n  1,2, inf 1k  víi M lµ h»ng số, M Do tồn cho     inf xk vµ ta cã M 1k   dist xn , E n   ; n  1,2, (10) Bằng cách đặt S E' co xk   1; k  1,2,   S E  c0 A (11) Víi S E  x E x hình cầu đơn vị E c0 A bao lồi ®ãng cña tËp A =  xk   1; k  1,2   S E (12) Khi ®ã x '  inf     0; x S E' tập lồi đóng tròn S E' chuẩn E (ở đây: tập D E đ-ợc gọi tròn D D với K, =1) ThËt vËy, dƠ chøng minh x ' lµ mét chn E, từ (11) ta có inf xk  inf xk  Sup xk M 1k  1k  1k  Do ®ã    1k    S E  S E'   Sup xk S E , tøc chuÈn x ' t-ơng đ-ơng với chuẩn xuất phát E Cuối cïng ta sÏ chøng minh xn '  1; n 1,2 (13) Cố định n tuỳ ý, đặt n    x k   1; k  1, , n  1, n  1,    S E Khi ®ã dƠ thÊy      n  x  E dist x, E n Do theo (10) xn n Hơn nữa, ta có (15) (14) A  xn   1   n  c0 A  S E' Do ®ã S E'  c0 xn   1 n  (16) Bây giờ, từ (15) n tập lồi đóng tròn, tồn f E * tho¶ m·n f ( xn )  Sup f ( x) xn Do vËy theo (16) vµ xn  S E' ta cã f ( xn )  Sup f ( x)  f ' xS E' Suy  xn '  tøc xn '  1; n  1,2, f ( xn )  f ' KÕt luËn Kho¸ luận đà đạt đ-ợc kết sau - Xây dựng khái niệm sở Hamel, sở Schauder Mối liên hệ hai loại sở ví dụ loại sở - Chøng minh chi tiÕt c¸c tÝnh chÊt vỊ mèi quan hệ sở Schauder không gian Banach phức không gian Banach thực liên kết với - Trình bày dÃy hệ số hàm liên kết với sở Schauder không gian, định lý mối liên hệ sở bị chặn sở chuẩn tắc Sau hoàn thành khoá luận, thấy sở Schauder với kết liên quan đến không gian dÃy, sở Schauder đối ngẫu vấn đề đ-ợc nghiên cứu thời gian tới Tài liệu tham khảo [1] Đậu Thế Cấp, 2000, Giải tích hàm, Nxb Giáo dục [2] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, 1995, Không gian tuyến tính Topo Banach - Hinber, Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp [3] L.Joram, T.Lior, 1977, Classical Banach Space I, Springer Verlag [4] P.K.Jain, O.P.Ahuja, K.Ahmad, 1995, Functional Analysis, John Wiley and Sons [5] Ivan Singer, 1970, Bases in Banach Spaces I Springer - Verlag Môc lục Trang Mở đầu Ch-¬ng 1: Các khái niệm Ch-¬ng 2: Mét sè tÝnh chất sở Schauder không gian Banach 19 Đ Mối quan hệ sở không gian Banach thực phức 19 Đ Các hệ số hàm liên kết với sở 27 KÕt luËn 33 Tài liệu tham khảo 34 Tr-ờng Đại học Vinh Khoa Toán - Trần Thị Huyền số tính chất Cơ sở Schauder không gian Banach Khoá luận tốt nghiệp đại học ngành khoa học toán Vinh 2008 Tr-ờng Đại học Vinh Khoa Toán - mét sè tÝnh chÊt cña Cơ sở Schauder không gian Banach Khoá luận tốt nghiệp đại học ngành khoa học toán Chuyên ngành: Giải tích Ng-ời h-ớng dẫn khoa học Th.S Trần Đức Thành Sinh viên thực hiện: Trần Thị Huyền Lớp: 44E1 - To¸n Vinh 2008 ... së schauder không gian banach Trong toàn ch-ơng này, ta ký hiệu K tr-ờng số thực R tr-ờng số phức C cho không gian tuyến tính sở không gian Banach E sở Schauder Đ Mối quan hệ sở không gian banach. .. 2.1.1 Định nghĩa Giả sử E không gian Banach tr-ờng số phức C Khi E không gian Banach tr-ờng số thực R Ta ký hiệu không gian Banach tr-ờng số thực R E (r ) gọi không gian Banach thực nhận đ-ợc từ... sở Schauder lp 4) Các vectơ đơn vị {ei} không sở Schauder l Thật vậy, ( l , Sup i ) không không gian khả ly nên theo định lý1.13 n {ei} không sở Schauder l Bây ta đ-a so sánh sở Hamel sở