Một số tính chất của môđun hollow lifting và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN ĐÌNH TÂM MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MƠĐUN HOLLOW-LIFTING VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An, 07/2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN ĐÌNH TÂM MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN HOLLOW-LIFTING VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ - LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Đinh Đức Tài Nghệ An, 07/2016 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Bảng kí hiệu Kiến thức sở 1.1 Các khái niệm 1.2 Môđun cốt yếu số tính chất 12 Môđun hollow - lifting ứng dụng 15 2.1 Môđun bé, môđun hollow 15 2.2 Môđun hollow - lifting 24 2.3 Một số ứng dụng môđun hollow-lifting 28 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 MỞ ĐẦU Như biết, môđun A M gọi môđun cốt yếu (essential) M , ký hiệu A − M , với X ⊆ M thỏa mãn A ∩ X = X = Giả sử A ⊆ B ⊆ M , A − B B gọi mở rộng cốt yếu (essential extension) A M Môđun A gọi môđun đóng (closed) M , ký hiệu A ⊆c M , A khơng có mở rộng cốt yếu thực M Môđun M gọi môđun (uniform module) giao hai môđun khác không M môđun khác không Đặc biệt, {Ui }I {Vj }J tập hữu hạn môđun M cho ⊕ni=1 Ui ⊕m j=1 Vj môđun cốt yếu M m = n Từ tính chất bất biến này, nhà tốn học người Anh Alfred William Goldie đưa khái niệm chiều hay chiều Goldie môđun: Chiều (hay chiều Goldie) môđun M n tồn tổng trực tiếp môđun ⊕ni=1 Ui cốt yếu Khi ta kí hiệu udim(M ) = n Trong [5], S H Mohamed B J Mă uller ó xut cỏc iu kin C1 , C2 , C3 : • (C1 ): Mọi mơđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M • (C2 ): Mọi mơđun M đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M hạng tử trực tiếp M • (C3 ): Nếu M1 M2 hạng tử trực tiếp M thỏa mãn M1 ∩ M2 = M1 ⊕ M2 hạng tử trực tiếp M Môđun MR gọi môđun liên tục (continuous module) MR thỏa mãn điều kiện (C1) (C2); môđun MR gọi môđun tựa liên tục (quasi-continuous module) hay π- nội xạ (π-injective) MR thỏa mãn điều kiện (C1) (C3); môđun MR gọi CSmôđun(Extending module) MR thỏa mãn điều kiện (C1) Tiếp tục mở rộng khái niệm extending mơđun có khái niệm uniform extending: M gọi môđun uniform - extending môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M Từ định nghĩa có sơ đồ sau: nội xạ ⇒ tựa nội xạ ⇒ liên tục ⇒ tựa liên tục ⇒ extending Nghiên cứu tính chất đối ngẫu hướng nghiên cứu quen thuộc lý thuyết vành Các nhà nghiên cứu lý thuyết vành đề xuất khái niệm đối ngẫu cho khái niệm Chẳng hạn, khái niệm đối ngẫu với khái niệm môđun cốt yếu khái niệm môđun bé: A gọi môđun bé M (small submodule), ký hiệu A M với X ⊆ M thỏa mãn M = A+X X = M Tương tự, đối ngẫu với khái niệm mơđun có khái niệm mơđun hollow: mơđun M gọi môđun hollow môđun thực M bé M Giả sử A ⊆ B ⊆ M , A gọi môđun đối cốt yếu (coessential submodule) B M B/A M/A A gọi đối đóng (coclosed) M (ký hiệu A ⊆cc M ) A khơng có mơđun thực đối cốt yếu M Để xây dựng khái niệm đối ngẫu môđun liên tục, tựa liên tc v CS-mụun, S H Mohamed v B J Mă uller ([5]) đưa điều kiện D1 , D2 , D3 : • (D1 ): Mọi mơđun N M tồn hạng tử trực tiếp K M cho K môđun đối cốt yếu N M • (D2 ): Nếu N ⊆ M cho M/N đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M N hạng tử trực tiếp M • (D3 ): Nếu M1 M2 hạng tử trực tiếp M thỏa mãn M1 + M2 = M M1 ∩ M2 hạng tử trực tiếp M Môđun M gọi môđun lifting M thỏa mãn điều kiện (D1 ), lớp môđun đối ngẫu lớp extending môđun Xây dựng khái niệm đối ngẫu cho lớp môđun uniform extending, K Oshiro định nghĩa khái niệm môđun hollow-lifting: môđun M gọi môđun hollow-lifting môđun N M thỏa mãn M/N mơđun hollow có môđun đối cốt yếu M hạng tử trực tiếp M Lớp môđun lifting mơđun hollow - lifting nhiều nhà tốn học giới quan tâm nghiên cứu, tham khảo kết K Oshiro ([6]); Nil Orhan, Derya Keskin Tă ută uncă u and Rachid Tribak ([2]), Trên sở tài liệu tham khảo ([2]), lựa chọn đề tài "Một số tính chất mơđun hollow - lifting ứng dụng" nhằm có thêm hiểu biết lớp mơđun hollow -lifting ứng dụng đặc trưng số lớp vành Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, cấu trúc luận văn gồm chương: Chương Kiến thức sở Nội dung chương chủ yếu trình bày khái niệm, tính chất nhằm phục vụ nội dung Chương Chương Môđun hollow - lifting ứng dụng Nơi dung chương trình bày phần: 2.1 Môđun bé, môđun hollow Nội dung phần dành để trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất lớp mơđun bé lớp môđun hollow 2.2 Môđun hollow - lifting Trong mục 2.2 giới thiệu định nghĩa số tính chất mơđun hollow - lifting 2.3 Một số ứng dụng môđun hollow-lifting Nội dung phần sử dụng lớp môđun hollow-lifting để chứng minh số tính chất gần xạ ảnh số lớp môđun Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn TS Đinh Đức Tài Tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn tới: Thầy giáo, Cô giáo Bộ môn Đại số, Khoa Tốn, Trường Đại học Vinh; Phịng Đào tạo Sau đại học; gia đình bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ, động viên tinh thần lẫn vật chất, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành khóa học Nghệ An, tháng năm 2016 Tác giả BẢNG KÍ HIỆU Z : Vành số nguyên Q : Trường số hữu tỷ R : Trường số thực C : Trường số phức A ⊆⊕ B : A hạng tử trực tiếp B A − B : A môđun cốt yếu B A B : A môđun bé B A∼ = B : A đẳng cấu với B A ⊕ B : Tổng trực tiếp môđun A môđun B ACC (DCC) : Điều kiện xích tăng (giảm) E(M ) : Bao nội xạ môđun M Soc(M ) : Đế môđun M End(M ) :Vành tự đồng cấu môđun M u-dim(M ) : Chiều Goldie môđun M Ker(f ), Im(f ) : Hạt nhân, ảnh đồng cấu f (tương ứng) M (I) : ⊕i∈I M (tổng trực tiếp I M ) MR (R M ) : M R-môđun phải (trái) Mn (S) : Vành ma trận vuông cấp n với hệ tử S M od-R: Phạm trù R-môđun phải Rad(M ) : Căn môđun M J(R) : Căn Jacobson vành R Z(M ) : Môđun suy biến môđun M CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong suốt luận văn này, khơng nói thêm, vành R ln hiểu vành kết hợp, có đơn vị = R-môđun xét môđun unita phải trái 1.1 Các khái niệm Trước hết, chúng tơi trình bày số khái niệm, tính chất Lý thuyết Vành mà không chứng minh lại Các khái niệm tính chất giới thiệu nhiều tài liệu khác nhau, chủ yếu tham khảo tài liệu [4], [3] Trên vành R, R- môđun phải M gọi môđun đơn (simple) M = khơng có mơđun khác ngoại trừ Mơđun M gọi mơđun nửa đơn (semisimple) thỏa mãn điều kiện tương đương sau: Mọi môđun M tổng môđun đơn M tổng môđun đơn M tổng trực tiếp môđun đơn Mọi môđun M hạng tử trực tiếp M Tổng tất môđun đơn R- môđun phải M gọi đế phải môđun MR Ký hiệu Soc(MR ) Sr (M ) Đối ngẫu với khái niệm đế mơđun có khái niệm mơđun Căn MR , kí hiệu Rad(MR ), giao tất môđun tối đại MR , tổng tất môđun bé MR Nếu MR không chứa môđun tối đại ta định nghĩa Rad(MR ) = M Đặc biệt, Rad(RR ) = Rad(R R) = J(R) Do khơng sợ nhầm lẫn, ta kí hiệu J(R) để Jacobson vành R Radical RR Nếu MR môđun hữu hạn sinh Rad(MR ) MR Cho R- mơđun M khác không Một dãy hữu hạn n + môđun M : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mn = gọi dãy hợp thành có độ dài n (composition series of length n) Mi−1 /Mi đơn Liên quan đến dãy hợp thành sở việc hình thành khái niệm độ dài mơđun, có nh lý Jordan- Hăolder: nh lý 1.1.1 Nu mụun M có phân tích thành dãy hợp thành có độ dài hữu hạn cặp dãy hợp thành M có độ dài Một mơđun M có phân tích thành dãy hợp thành gọi mơđun có độ dài hữu hạn độ dài dãy hợp thành gọi độ dài M Ký hiệu lg(M ) length(M ) Sau định nghĩa số tính chất dãy khớp Định nghĩa 1.1.2 Một cặp đồng cấu M →f M →g M ” gọi khớp (exact) M Im(f ) = Ker(g) Dãy khớp có dạng → M →f M →g M ” → gọi dãy khớp ngắn (short exact sequence) Đối với dãy khớp có số tính chất sau: Mệnh đề 1.1.3 Cho M N R-môđun f : M → N đồng cấu Khi đó: → M →f N dãy khớp f đơn cấu 19 Tiếp theo tìm hiểu lớp môđun hollow Định nghĩa 2.1.5 Môđun khác không M gọi môđun hollow môđun thực M môđun bé M Chúng ta có số ví dụ lớp môđun này: Z4 Z-môđun hollow; Z không Z- môđun hollow; Z ∞ (với p số nguyên tố) Z-môđun hollow Nhận xét 2.1.6 Từ định nghĩa môđun lifting ta thấy, mơđun lifting M khơng phân tích (nghĩa M = M không tổng trực tiếp hai môđun khác không nó) mơđun hollow Mơđun M gọi mơđun địa phương M có mơđun thực lớn N (nghĩa là, N môđun thực M N chứa tất môđun thực khác M ) Chúng ta có kết sau ví dụ khác môđun hollow Mệnh đề 2.1.7 Nếu M R-mơđun địa phương M Rmơđun hollow Chứng minh Giả sử M R-môđun địa phương, từ định nghĩa môđun địa phương suy ra, môđun thực N M ta có N tập radical M (N ⊂ Rad(M )), mặt khác Rad(M ) (có nghĩa M có mơđun thực lớn nhất) Từ N M M theo định nghĩa môđun hollow ta suy điều phải chứng minh Tiếp theo số tính chất khác môđun hollow, Định lý 2.1.8 nêu lên số điều kiện để môđun khác không môđun hollow Định lý 2.1.8 Nếu M R-môđun khác không thỏa mãn điều kiện: 20 M = Rad(M ); Mọi môđun M chứa hạng tử trực tiếp M ; M R-mơđun khơng phân tích được; M mơđun hollow Chứng minh Sử dụng Mệnh đề 2.1.7, cần chứng minh M môđun địa phương Thật vậy, giả sử M môđun khác không thỏa mãn điều kiện (2) (3) Gọi N môđun thực M Khi M = L⊕K, L mơđun N (K ∩N ) M Từ L = M, K = M N = (K ∩ N ) ⊂ Rad(M ) suy Rad(M ) môđun tối đại M Điều chứng tỏ M môđun địa phương Kết định lý sau giúp có câu trả lời cho chiều ngược lại Mệnh đề 2.1.7 Định lý 2.1.9 Nếu X R-mơđun hollow trái, hữu hạn sinh X môđun xyclic Hơn nữa, X ∼ = R/I I chứa iđêan trái tối đại M Ngược lại, I chứa iđêan trái tối đại R/I môđun hollow Chứng minh Giả sử x1 , x2 , , xn tập sinh X Khi đó, X = Rx1 + Rx2 + + Rxn Từ giả thiết X mơđun hollow ta có môđun thực X môđun bé, loại bỏ hạng tử tổng lại hạng tử Rxi , với i Khi ta có, X = Rxi Vậy X môđun xyclic Bây ta giả sử X ∼ = R/I, I linh hóa tử xi Giả sử I chứa iđêan trái tối đại M1 M2 Khi M1 + M2 = R tổng ảnh M1 M2 qua tồn cấu tắc R/I phải R/I Tuy nhiên, biết M1 /I M2 /I 21 môđun thực R/I, điều hoàn toàn mâu thuẫn Vậy I chứa iđêan trái tối đại Cuối chứng minh R/I môđun hollow I chứa iđêan trái tối đại Thật vậy, giả sử I chứa iđêan trái tối đại M Khi đó, mơđun R/I tương ứng với iđêan trái R có chứa I Ta thấy, M iđêan tối đại nên tất iđêan thực phải nằm M tổng hữu hạn mơđun thực R/I phải chứa M/I Vậy R/I môđun hollow Theo Mệnh đề 2.1.7, M R-mơđun địa phương M R-mơđun hollow Điều ngược lại có câu trả lời hệ sau Hệ 2.1.10 Nếu X môđun hollow hữu hạn sinh X có chứa mơđun tối đại Chứng minh Từ Định lý 2.1.9 ta có X ∼ = R/I, I chứa iđêan trái tối đại M R Do đó, mơđun thực R/I phải nằm M/I môđun tối đại R/I Mệnh đề 2.1.11 điều kiện tương đương khác môđun hollow Mệnh đề 2.1.11 Giả sử M R-môđun, điều kiện sau tương đương: M môđun hollow; Với môđun thực N M , M/N môđun hollow N M; Mọi môđun thương khác không M khơng phân tích 22 Chứng minh Chúng ta chứng minh theo lược đồ sau: điều kiện (1) tương đương với điều kiện (2) điều kiện (3) (1) ⇒ (2) : Giả sử M môđun hollow N môđun thực M Theo định nghĩa tính chất mơđun hollow ta có N (2) ⇒ (1) : Giả sử N M M/N môđun hollow M M/N môđun hollow Gọi L môđun thực khác không M , L + N = M L + N/N M/N Đặt M = L + K, K ⊆ M ta có: M/N = L+K/N = L+N/N +K +N/N Thế L+N/N M = K + N Từ giả thiết N M/N M ta suy M = K Vậy M môđun hollow (1) ⇒ (3) : Giả sử M môđun hollow M/N môđun thương khác khơng M , M/N môđun hollow Mặt khác biết, mơđun hollow khơng phân tích M/N mơđun khơng phân tích (3) ⇒ (1) : Giả sử L môđun thực M Giả sử M = L + K, với K ⊆ M Khi M/L ∩ K ∼ = M/L ⊕ M/K Theo giả thiết (3), M/L ∩ K khơng phân tích M/L = M/K = Tuy nhiên, từ giả thiết L môđun thực M nên M/L = Vậy M/K = suy M = K Điều chứng tỏ M môđun hollow Mệnh đề sau cho điều kiện cần đủ môđun hollow Mệnh đề 2.1.12 Cho M R-mơđun, M môđun hollow nếu: với môđun khác không K, N đồng cấu f : K → M , g : M → N , g ◦ f tồn ánh f g toàn ánh Chứng minh Trước hết chứng minh điều kiện cần Giả sử M mơđun hollow g ◦ f tồn ánh, theo tính chất đồng cấu 23 mơđun ta có g tồn ánh M = Im(f ) + Ker(g) Theo giả thiết, M môđun hollow nên Ker(g) M M = Im(f ) hay f toán ánh Tiếp theo, chứng minh điều kiện đủ Giả sử K L môđun thực M thỏa mãn M = K + L Xét dãy khớp ngắn: −→ K −→i M −→π M/L −→ 0, i đồng cấu bao hàm π phép chiếu tự nhiên Từ giả thiết π ◦ i toàn ánh suy i toàn ánh K = M Điều chứng tỏ M môđun hollow Trong Mệnh đề 2.1.7 chứng minh môđun địa phương môđun hollow, sử dụng kết trình bày có định lý sau điều kiện tương đương hai lớp môđun Định lý 2.1.13 Cho M R-mơđun, M mơđun địa phương M môđun hollow môđun xyclic Chứng minh Trước hết ta chứng minh điều kiện cần, giả sử M R-môđun địa phương, M có mơđun tối đại N chứa tất môđun thực khác M Ta chứng minh M môđun xyclic, giả sử m ∈ M m ∈ / N , chứng minh Rm = M Thật vậy, Rm môđun thực M N mơđun tối đại M nên Rm ⊆ N , điều mâu thuẫn Do đó, M mơđun xyclic Tiếp theo chứng minh M môđun hollow Giả sử L môđun thực M thỏa mãn L + K = M , K mơđun M Nếu K = nM K L môđun thực M Do tính chất tối đại N nên thấy L K chứa N Điều suy M = K + L ⊆ N N = M , mâu thuẫn với giả thiết Vậy K = M M mơđun hollow 24 Để chứng minh điều kiện đủ giả sử M mơđun hollow xyclic Khi M có môđun tối đại N Giả sử L môđun thực M , L khơng chứa N L + N = M Nhưng M môđun hollow nên N = M , mâu thuẩn với giả thiết N môđun thực Điều suy ra, môđun thực M chứa N Do M có mơđun tối đại chứa tất môđun thực khác M Vậy M môđun địa phương 2.2 Môđun hollow - lifting Trước hết nhắc lại định nghĩa liên quan: Giả sử A ⊂ B ⊂ M , A − B B gọi mở rộng cốt yếu (essential extension) A M Một môđun A gọi đóng (closed) M A khơng có mở rộng cốt yếu thực M Đối ngẫu chúng với mơđun cốt yếu ta có khái niệm mơđun đối cốt yếu: cho A ⊂ B ⊂ M , A gọi môđun đối cốt yếu (coessential submodule) B M , ký hiệu A ⊂coes B, B/A M/A, môđun A gọi đối đóng (coclosed) M , kí hiệu A ⊂cc M , A khơng có mơđun đối cốt yếu thực M Môđun M gọi extending môđun với môđun N M tồn hạng tử trực tiếp K M cho N cốt yếu K Đối ngẫu có, mơđun M gọi lifting mơđun hay môđun thỏa mãn điều kiện D1 với môđun N M , tồn hạng tử trực tiếp K M cho K môđun đối cốt yếu N M Môđun M gọi extending môđun hay CS -môđun với môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M Đối ngẫu khái niệm có khái niệm mơđun hollow - lifting 25 Định nghĩa 2.2.1 M gọi môđun hollow-lifting với môđun N M thỏa mãn M/N môđun hollow, tồn môđun K M cho M = K ⊕ K ∗ với K môđun đối cốt yếu N M Chúng ta có số ví dụ phản ví dụ lớp mơđun này: Ví dụ 2.2.2 Xét Z4 Z -mơđun , ta có Z4 mơđun hollow lifting Mọi mơđun khơng có mơđun thương hollow mơđun hollow - lifting Z - môđun Z không môđun hollow - lifting Tiếp theo có kết mối liên hệ lớp môđun hollow lớp môđun hollow - lifting Mệnh đề 2.2.3 Cho H1 H2 môđun hollow M = H1 ⊕ H2 Các điều kiện sau tương đương: a M môđun hollow - lifting b M môđun lifting Chứng minh Theo định nghĩa môđun hollow môđun hollow lifting ta có chiều (b) ⇒ (a) hiển nhiên Do đó, ta cần chứng minh (a) ⇒ (b) Thật vậy, giả sử N môđun M Xét phép chiếu π1 : M → H1 π2 : M → H2 Ta thấy: Nếu π1 (N ) = H1 π2 (N ) = H2 , ta có π1 (N ) π2 (N ) H2 π1 (N ) ⊕ π2 (N ) H1 H1 ⊕ H2 Tiếp theo chứng minh N ⊂ π1 (N ) ⊕ π2 (N ) Thật vậy, giả sử n ∈ N n ∈ M = H1 ⊕ H2 n = (h1 , h2 ) với h1 ∈ H1 , h2 ∈ H2 Khi đó, π1 (n) = π1 [(h1 , h2 )] = h1 π2 (n) = π2 [(h1 , h2 )] = h2 Điều chứng tỏ n = (π1 (n), π2 (n)), ta có N ⊂ π1 (n) ⊕ π2 (n), suy N lifting M Điều chứng tỏ M môđun 26 Chúng ta thấy, π1 (N ) = H1 π1 (N ) = π1 (M1 ) M = N + H2 Sử dụng định lý đẳng cấu thứ hai ta có (N + H2 )/N ∼ = H2 /(N ∩H2 ) Do H2 môđun hollow nên H2 /(N ∩H2 ) môđun hollow dó H2 /(N ∩ H2 ) mơđun hollow, suy M/N môđun hollow Nhưng theo giả thiết M mơđun hollow - lifting tồn môđun đối cốt yếu N N M hạng tử trực tiếp M Do M mơđun lifting Ta có số ví dụ minh họa: Ví dụ 2.2.4 Xét mơđun M = Z2 ⊕ Z4 Khi ta có Z2 Z4 Z - môđun hollow M = Z2 ⊕ Z4 môđun lifting M mơđun hollow - lifting Xét mơđun M = Z2 ⊕Z8 Khi ta có Z2 Z8 Z - môđun hollow M = Z2 ⊕ Z8 khơng mơđun lifting Do đó, theo Mệnh đề 2.2.3 ta có M khơng mơđun hollow - lifting Tiếp theo có kết mối liên hệ tính chất hollow hollow - lifting lớp mơđun khơng phân tích Mệnh đề 2.2.5 Cho M mơđun khơng phân tích Các điều kiện sau tương đương: a M môđun hollow - lifting b M môđun hollow M khơng có mơđun thương hollow Chứng minh Theo định nghĩa mơđun hollow mơđun hollow lifting ta có (b) ⇒ (a) hiển nhiên Ta cần chứng minh chiều (a) ⇒ (b) Thật vậy, giả sử M có mơđun thương hollow, tồn mơđun thực N M cho M/N môđun hollow Theo giả thiết, M môđun hollow - lifting ta suy ra, tồn hạng tử trực tiếp K M cho K ⊂coes N M Tuy nhiên, theo giả thiết, M môđun khơng phân tích K = N M Vậy M mơđun hollow 27 Từ kết chứng minh ví dụ sau chứng tỏ mơđun hollow - lifting khơng mơđun lifting Ví dụ 2.2.6 Giả sử M mơđun khơng phân tích khơng có mơđun thương hollow, suy M mơđun hollow-lifting Chúng ta chứng minh M không môđun lifting Thật vậy, giả sử M môđun lifting N môđun thực M Từ giả thiết M môđun lifting, tồn môđun K M cho K ⊂coes N M M = K ⊕ K1 , K1 mơđun M Tuy nhiên, M mơđun khơng phân tích K = suy N M Vậy M môđun hollow, điều mâu thuẫn Chúng ta có tính chất khác mơđun hollow - lifting Mệnh đề 2.2.7 Giả sử M môđun hollow - lifting N, K môđun M cho M/K môđun hollow M = N + K.Khi đó, tồn hạng tử trực tiếp A M cho M = N + A A ⊂coes K M Chứng minh Giả sử K N môđun M cho M/K môđun hollow Từ giả thiết M môđun hollow - lifting, tồn hạng tử trực tiếp A M cho A ⊂coes K M Mặt khác, từ M = N + K ta có M/A = (N + K)/A = (N + A)/A + K/A Nhưng, A ⊂coes K M M/A = (N + A)/A Điều chứng tỏ M = N + A Mệnh đề sau kết môđun đối đóng mơđun hollow - lifting Mệnh đề 2.2.8 Nếu M mơđun hollow - lifting mơđun đối đóng K M thỏa mãn M/K mơđun hollow hạng tử trực tiếp M 28 Chứng minh Giả sử M môđun hollow - lifting K mơđun đối đóng M thỏa mãn điều kiện M/K môđun hollow Do M môđun hollow - lifting nên tồn hạng tử trực tiếp N M cho N môđun đối cốt yếu K M Nhưng K mơđun đối đóng M nên K = N Do K hạng tử trực tiếp M 2.3 Một số ứng dụng môđun hollow-lifting Trong phần sử dụng lớp môđun hollow -lifting để đặc trưng số tính chất gần xạ ảnh số lớp mơđun Trước hết có số khái niệm liên quan Định nghĩa 2.3.1 Giả sử M1 M2 R-môđun Môđun M1 gọi M2 -xạ ảnh (M2 -projective module) với môđun A M2 , đồng cấu f : M1 → M2 /A nâng thành đồng cấu g : M1 → M2 Nghĩa là, π : M2 → M2 /A toàn cấu tự nhiên tồn đồng cấu g : M1 → M2 cho π ◦ g = f Môđun M1 M2 gọi xạ ảnh lẫn (relatively projective) M1 M2 -xạ ảnh ngược lại Chúng ta có kết tính chất xạ ảnh lẫn lớp môđun hollow - lifting Mệnh đề 2.3.2 Giả sử M mơđun hollow-lifting có phân tích M = K ⊕ L, K L môđun xạ ảnh lẫn Khi đó, với mơđun A, B M thỏa mãn M = A + B M/A môđun hollow, tồn lũy đẳng e ∈ End(M ) cho e(M ) ⊆ A, (I − e)(M ) ⊆ B (I − e)(A) (I − e)(M ) Chứng minh Giả sử A, B môđun M thỏa mãn M = A+B M/A môđun hollow Do M môđun hollow - lifting nên tồn 29 môđun K A cho M = K ⊕ L, L ⊆ M A ∩ L L Theo luật modular ta có, A = A ∩ M = A ∩ (K ⊕ L) = K ⊕ (A ∩ L), M = A + B = K + (A ∩ L) + B Nhưng A ∩ L L ⊆ M , M = K + B Theo giả thiết, L K-xạ ảnh, tồn D ⊆ B cho M = D ⊕ K Xét phép chiếu π : M → K đồng cấu bao hàm i : K → M thỏa mãn M = D ⊕ K Đặt f = i ◦ π : M → M Rõ ràng f ∈ End(M ) lũy đẳng f (M ) ⊆ A Tiếp theo ta chứng minh (I-f)(M)=D Thật vậy, lấy m ∈ M , m = k + d, k ∈ K d ∈ D (I − f )(m) = I(m) − f (m) = m − (i ◦ π)(m) = k + d − π(k + d) = k + d − k = d ∈ D Vậy ta có, (I − f )(M ) ⊆ D Ngược lại, với x ∈ D ta có f (x) = Do đó, (I − f )(x) = x − f (x) = x, x ∈ (I − f )(M ), suy D ⊆ (I − f )(M ) Vậy D = (I − f )(M ) Nhưng D ⊆ B (I − f )(M ) ⊆ B Tiếp theo chứng (I − f )(A) = A ∩ (I − f )(M ) = A ∩ D Thật vậy, lấy x ∈ (I − f )(A), tồn a ∈ A cho x = (i − f )(a) = a − f (a) Do x ∈ A x ∈ (I − f )(M ) nên x ∈ A ∩ (I − f )(M ) Vậy ta có (I − f )(A) ⊆ A ∩ (I − f )(M ) Ngược lại, với d ∈ A ∩ (I − f )(M ), d ∈ A d ∈ (I − f )(M ) Vậy tồn y ∈ M cho d = (I − f )(y) = y − f (y) Do y − f (y) = y ∈ A suy d ∈ (I − f )(A) Mặt khác ta có A ∩ D ∼ = A ∩ L, A∩L L∼ (I − f )(M ) = D (I − f )(A) Giả sử M1 M2 R- môđun, môđun M1 gọi M2 xạ ảnh bé M2 - gần xạ ảnh (small M2 -projectiver or nearly M2 projective) đồng cấu f : M1 → M2 /A, A mơđun M2 Im(f ) M2 /A, (Im(f ) = M2 /A), nâng thành đồng cấu g : M1 → M2 Sự phân tích M = ⊕i∈I Mi gọi tổng hạng tử trực tiếp bù (complement direct summands) với hạng tử trực tiếp K M , tồn tập J ⊆ I cho 30 M = K ⊕ (⊕i∈J Mi ) Cuối sử dụng lớp môđun hollow-lifting để đặc trưng số tính chất lớp mơđun xạ ảnh bé hay gọi gần xạ ảnh Mệnh đề 2.3.3 Cho M = ⊕i∈I Mi , Mi môđun hollow ⊕i∈I Mi tổng hạng tử trực tiếp bù Khi đó, M mơđun hollow - lifting ⊕i=j Mi mơđun gần Mj - xạ ảnh Chứng minh Giả sử A môđun thực môđun A đồng cấu f : ⊕i=j Mi → Mj /A, với Im(f ) = M2 /A π : Mj → Mj /A toàn cấu tự nhiên Đặt B = {x + y|x ∈ ⊕i=j Mi , y ∈ Mj , f (x) = −π(y)} Chúng ta chứng minh M = B + Mj Thật vậy, hiển nhiên có B + Mj ⊆ M (1), ta cần chứng minh chiều ngược lại Lấy m ∈ M , m = x + y, x ∈ ⊕i=j Mi y ∈ Mj f (x) ∈ Mj /A Từ tính chất tờn cấu tự nhiên π ta có, tồn y ∗ ∈ Mj cho π(y ∗ ) = f (x), f (x) = −π(−y ∗ ) Vậy m = x + y = x + y ∗ − y ∗ + y, x+y ∗ ∈ B −y ∗ +y ∈ Mj Do m ∈ B+Mj M ⊆ B+Mj (2) Từ (1) (2) suy M = B + Mj A ⊆ B Ta có M/B = (B + Mj )/B Sử dụng định lý đẳng cấu thứ hai ta có (B + Mj )/B ∼ = Mj /(B ∩ Mj ) Do Mj môđun hollow nên Mj /(B ∩ Mj ) môđun hollow M/B mơđun hollow Theo giat thiết, M môđun hollow - lifting nên tồn hạng tử trực tiếp D M cho D ⊂coes B M M/D mơđun hollow Mặt khác, M có phân tích thành hạng tử trực tiếp bù tồn tập J ⊆ I cho M = D ⊕ (⊕i∈J Mi ) Do M/D mơđun hollow nên M/D khơng phân tích M = D ⊕ Mk , với k ∈ I Ta có M/D = (B + Mj )/D = B/D + (Mj + D)/D Do D ⊂coes B M nên M = Mj + D Bây chứng minh k = j Thật vậy, 31 giả sử k = j f toàn cấu ta đặt xj + A ∈ Mj /A Do π toàn cấu tự nhiên nên tồn xj ∈ Mj cho π(xj ) = xj + A Do xj ∈ M xj = d + mk , với d ∈ D, mk ∈ Mk Nhưng D ⊆ B d ∈ B, suy d = x + y, x ∈ ⊕i=j Mi , y ∈ Mj , f (x) = −π(y) xj = x + y + mk xj − y = x + mk Do k = j nên Mk ⊆ ⊕i=j Mi xj − y = x + mk ∈ ⊕i=j Mi ∩ Mj = 0, suy xj = y Từ f (x) = −π(y) ta có f (−x) = π(y) f (−x) = π(xj ) = xj + A Vậy f toàn cấu, điều mâu thuẫn Vậy có k = j M = D ⊕ Mj Bây đặt β : D ⊕ Mj → Mj phép chiếu, π ◦ β|⊕i=j Mi = f Lấy z ∈ ⊕i=j Mi , z ∈ D ⊕ Mj z = d + mj , d ∈ D, mj ∈ Mj Từ D ⊆ B ta có d ∈ B d = x + y, với x ∈ ⊕i=j Mi , y ∈ Mj Khi có π ◦ β|⊕i=j Mi (z) = π ◦ β|⊕i=j Mi (d + mi ) = π(mj ) Nhưng z = d + mj = x + y + mj , x ∈ ⊕i=j Mi , y ∈ Mj f (x) = −π(y) Suy z − x = y + mj ∈ ⊕i=j Mi ∩ Mj = z = x mj = −y Mặt khác, π ◦ β|⊕i=j Mi (z) = π(mj ) = π(−y) = f (x) = f (z) Do π ◦ β|⊕i=j Mi = f Vậy ta có ⊕i=j Mi mơđun gần Mj -xạ ảnh 32 KẾT LUẬN Trên sở tài liệu tham khảo [2], luận văn tìm hiểu chứng minh chi tiết kết sau đây: - Khái niệm môđun bé, môđun hollow số tính chất chúng; - Khái niệm mơđun hollow-lifting số tính chất; - Sử dụng lớp mơđun hollow -lifting để đặc trưng số tính chất gần xạ ảnh số lớp môđun 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tiếng Việt [1] Nguyễn Tiến Quang- Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun vành, NXB Giáo dục B Tiếng Anh [2] Nil Orhan, Derya Keskin Tă ută uncă u and Rachid Tribak (2007), On hollow lifting modules, Taiwanese Journal of Mathematics, Vol 11, No 2, pp 545-568 [3] R Wisbauer (1991), Foundation of Module and Ring Theory, Gordon and Breach Science Publisher [4] T Y Lam (1991), A First Course on Noncommutative Rings, Springer Verlag [5] S H Mohamed and B J Mă uller (1990), Continuous and Discrete Modules, Cambridge Univ Press, Cambridge [6] K Oshiro (1984), Lifting modules, extending modules and their applications to generalized uniserial rings, Hokkaido Math J., 13(3), 339-346 [7] F Kasch (1982), Modules and Rings, Academic Press Inc (London) LTD ... yếu số tính chất 12 Môđun hollow - lifting ứng dụng 15 2.1 Môđun bé, môđun hollow 15 2.2 Môđun hollow - lifting 24 2.3 Một số ứng dụng môđun hollow- lifting. .. số tính chất lớp mơđun bé lớp mơđun hollow 2.2 Môđun hollow - lifting Trong mục 2.2 chúng tơi giới thiệu định nghĩa số tính chất môđun hollow - lifting 2.3 Một số ứng dụng môđun hollow- lifting. .. chứng minh chi tiết kết sau đây: - Khái niệm mơđun bé, mơđun hollow số tính chất chúng; - Khái niệm môđun hollow- lifting số tính chất; - Sử dụng lớp mơđun hollow -lifting để đặc trưng số tính chất