Một số tính chất của đối ngẫu mạnh và mối liên hệ với cơ sở trong không gian banach

MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach, sở không gian Banach 1.2 Các phiếm hàm hệ số liên kết với sở 1.3 Hệ song trực giao 11 Chương Một số tính chất đối ngẫu mạnh, mối liên hệ sở không gian dãy 14 2.1 Một số tính chất đối ngẫu mạnh 14 2.2 Cơ sở không gian dãy 26 KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết sở khơng gian Banach quan trọng Giải tích hàm, nhà toán học quan tâm nghiên cứu suốt 60 năm qua Các nhà tốn học như: M Day, A Wilansky, E Edwards đưa số kết nghiên cứu vấn đề trước năm 1963, sau B L Sanders tổng hợp lại thành tài liệu quan trọng sử dụng Giải tích hàm Những năm gần đây, lý thuyết sở không gian Banach nghiên cứu rộng rãi thu nhiều kết quan trọng, nhiều hướng nghiên cứu sở tiến hành nói lý thuyết sở không gian Banach mở chân trời nghiên cứu rộng lớn cho nhà toán học Dựa vào tài liệu "Bases in Banach spaces" I Singer chúng tơi trình bày phần nhỏ lý thuyết luận văn thạc sĩ Trong luận văn chúng tơi tâm vào việc tìm hiểu tính chất đối ngẫu mạnh mối liên hệ đối ngẫu mạnh với sở không gian Banach Luận văn làm tài liệu tham khảo cho học viên cao học chuyên ngành Giải tích Với ý tưởng chúng tơi lựa chọn đề tài: "Một số tính chất đối ngẫu mạnh mối liên hệ với sở không gian Banach" Với nội dung nghiên cứu đó, luận văn viết thành hai chương Chương Trình bày vấn đề cần thiết cho phần sau như: không gian định chuẩn, không gian Banach, vài kết lý thuyết toán tử, định nghĩa tính chất sở khơng gian Banach, Chương Trình bày số tính chất đối ngẫu mạnh áp dụng cho hệ song trực giao phiếm hàm hệ số liên kết với sở không gian Banach Qua đó, chúng tơi tìm hiểu liên hệ đối ngẫu mạnh với sở không gian Banach Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo PGS.TS Tạ Khắc Cư Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán Tác giả xin cảm ơn PGS.TS Đinh Huy Hồng, PGS.TS Trần Văn Ân thầy, giáo khoa Tốn nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 15 - Giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 11 năm 2009 Tác giả CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 KHÔNG GIAN BANACH, CƠ SỞ TRONG KHÔNG GIAN BANACH 1.1.1 Định nghĩa Không gian định chuẩn cặp (E, ), E K-khơng gian vectơ ánh xạ từ E vào R thỏa mãn điều kiện sau đây: (i) x ≥ 0, x = x = 0; (ii) λx = |λ| x , với λ ∈ K x ∈ E ; (iii) x + y ≤ x + y , với x, y ∈ E 1.1.2 Nhận xét Nếu chuẩn E cơng thức d(x, y) = x − y metric E Metric gọi metric sinh chuẩn 1.1.3 Định nghĩa Không gian định chuẩn đầy đủ gọi không gian Banach Cho E , F khơng gian định chuẩn ánh xạ tuyến tính f : E → F Khi đó, ta biết tính liên tục f tương đương với tính bị chặn nó, tức tồn k > cho f (x) ≤ k x , ∀x ∈ E Ký hiệu L(E, F ) không gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F Khi L(E, F ) khơng gian định chuẩn với chuẩn xác định f := inf{k > : f (x) ≤ k x } = sup f (x) , ∀f ∈ L(E, F ) x =1 Không gian định chuẩn E gọi đẳng cấu với không gian định chuẩn F tồn đẳng cấu tuyến tính f : E → F cho f f −1 liên tục Khi f gọi đẳng cấu E F 1.1.4 Định lý ([4]) (Nguyên lý bị chặn đều) Giả sử E không gian Banach, F không gian định chuẩn {fα }α∈ họ tốn tử tuyến tính liên tục từ E vào F Khi đó, với x ∈ E , sup fα (x) < +∞ α∈ sup fα < +∞ α∈ 1.1.5 Định nghĩa ([2]) Giả sử E không gian định chuẩn trường K Ta gọi E ∗ = L(E, K) = {f : E → K cho f ánh xạ tuyến tính liên tục } không gian đối ngẫu (hoặc liên hợp) E gọi E ∗∗ = L(E ∗ , K) không gian đối ngẫu thứ hai (hoặc không gian liên hợp thứ hai) E Trên E ta xét tôpô yếu cho f ∈ E ∗ liên tục Tôpô xét gọi tôpô yếu E ký hiệu σ(E, E ∗ ) Tôpô xuất phát sinh chuẩn gọi tôpô mạnh Rõ ràng σ(E, E ∗ ) yếu tôpô mạnh Dãy {xn } ⊂ E gọi hội tụ yếu đến x ∈ E với lân cận U x σ(E, E ∗ ) tồn n0 cho xn ∈ U với n ≥ n0 Người ta chứng minh dãy xn hội tụ yếu tới x f (xn ) → f (x) với f ∈ E ∗ 1.1.6 Định nghĩa ([2]) Ánh xạ π : E → E ∗∗ cho π(x)(f ) = f (x) với x ∈ E, f ∈ E ∗ gọi ánh xạ tắc 1.1.7 Định lý ([2]) Ánh xạ tắc π : E → E ∗∗ tuyến tính thỏa mãn π(x) = x với x ∈ E Do đó, π phép nhúng đẳng cự E vào E ∗∗ Trên E ∗ có tơpơ sinh chuẩn f := inf{k > : f (x) ≤ k x } = sup f (x) , ∀f ∈ E ∗ x =1 Ta xét tôpô yếu E ∗ cho ánh xạ x : E ∗ → K xác định x(f ) = f (x), ∀f ∈ E ∗ ánh xạ liên tục với x ∈ E Tôpô xác định gọi tôpô yếu E ∗ ký hiệu σ(E ∗ , E) 1.1.8 Định nghĩa ([2]) Không gian định chuẩn E gọi phản xạ ánh xạ tắc π đẳng cấu 1.1.9 Định lý ([4]) (Banach-Steinhaus) Giả sử E không gian Banach, F không gian định chuẩn {fα }α∈ dãy suy rộng tốn tử tuyến tính liên tục từ E vào F Giả sử với x ∈ E tồn limfα (x) = f (x) F Khi đó, f : E → F tốn tử tuyến tính liên tục Chứng minh Dễ dàng kiểm tra f tuyến tính Với x ∈ E {fα (x)} hội tụ nên sup fα (x) < +∞ Theo nguyên lý bị chặn tồn α K > cho fα ≤ M , với α Từ ta có f (x) = lim fα (x) = lim fα (x) ≤ lim fα α α α x ≤M x Vậy, f tuyến tính liên tục 1.1.10 Định nghĩa ([2]) Cho E không gian định chuẩn E ∗ đối ngẫu E Họ {fi }i∈I ⊂ E ∗ gọi đồng liên tục với ε > 0, tồn lân cận U O E cho |fi (x)| < ε, với x ∈ U , với i ∈ I 1.1.11 Nhận xét (1) Nếu họ {fi }i∈I đồng liên tục U = {x ∈ E : |fi (x)| < 1, ∀i ∈ I} lân cận O E Thật vậy, chọn ε = 1, từ định nghĩa họ đồng liên tục suy tồn lân cận V E cho |fi (x)| < 1, ∀x ∈ V, ∀i ∈ I Suy V ⊂ U = {x ∈ E : |fi (x)| < 1, ∀i ∈ I} Vậy U lân cận (2) Từ |fi (x)| ≤ fi x suy họ {fi }i∈I với fi = 1, với i ∈ I họ đồng liên tục Thật vậy, |fi (x)| ≤ x , ∀x ∈ E, ∀i ∈ I nên |fi (x)| < ε với x ∈ U = B(0, ε) Do họ {fi }i∈I đồng liên tục 1.1.12 Định nghĩa ([4]) 1) Một đại số phức A không gian véctơ A trường C với phép nhân A thoả mãn điều kiện: i) x(yz) = (xy)z, ∀x, y, z ∈ A; ii) x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz, ∀x, y, z ∈ A; ii) (αx)y = αxy, ∀x, y ∈ A, ∀α ∈ C 2) Một đại số Banach A đại số phức thoả mãn điều kiện i) A không gian Banach với chuẩn cho trước; ii) xy x y , với x, y ∈ A; iii) Tồn e ∈ A cho ex = xe = x, ∀x ∈ A; iv) e = Cho E không gian định chuẩn trường K Ký hiệu L(E) khơng gian tốn tử tuyến tính liên tục từ E vào E IE toán tử đồng E Trên L(E) xét phép nhân phép hợp thành ánh xạ Khi L(E) đại số phức Phần tử T ∈ L(E) gọi khả nghịch tồn P ∈ L(E) cho T P = P T = IE Nếu E không gian Banach L(E) đại số Banach với chuẩn thơng thường L(E) 1.1.13 Định nghĩa ([4]) Giả sử E F khơng gian định chuẩn (i) Tốn tử tuyến tính T : E → F gọi tốn tử compact ảnh T (B) hình cầu đơn vị B E compact tương đối F (tức bao đóng T (B) compact F ) (ii) Tốn tử tuyến tính T gọi hữu hạn chiều T (E) không gian hữu hạn chiều F 1.1.14 Nhận xét (i) Ta dễ dàng chứng minh toán tử compact toán tử liên tục (ii) Do không gian hữu hạn chiều đẳng cấu với Kn tập bị chặn Kn compact tương đối nên toán tử liên tục hữu hạn chiều toán tử compact 1.1.15 Định nghĩa ([4]) Giả sử E F không gian định chuẩn T : E → F toán tử tuyến tính liên tục Tốn tử T ∗ : F ∗ → E ∗ xác định T ∗ (f )(x) = f (T (x)), ∀x ∈ E gọi toán tử liên hợp T 1.1.16 Định lý ([4]) (Schauder) Giả sử E F hai không gian Banach T ∈ L(E, F ) Khi đó, T tốn tử compact T ∗ toán tử compact 1.1.17 Định nghĩa ([8]) Giả sử E không gian Banach vô hạn chiều Dãy {xn } ⊂ E gọi sở ( sở Schauder) E với x ∈ E , tồn dãy vô hướng {αn } ⊂ K cho ∞ x= (1.1) αi x i i=1 1.1.18 Ví dụ Xét khơng gian dãy ∞ |xn |p < +∞ , (p ≥ 1) lp = x = {xn } ⊂ K : n=1 với chuẩn ∞ x p |xn |p = p n=1 Khi đó, dãy {en } ⊂ lp cho en = (0, , 1, 0, ), n = 1, 2, n sở lp Thật vậy, với x = (x1 , , xn , ) ∈ lp ta có ∞ |xn |p = lim k→∞ n=k+1 Với k = 1, 2, đặt xk = x1 e1 + + xk ek Ta có xk ∈ lp |xn |p ) p → ∞ xk − x p =( n=k+1 k → ∞ Do ∞ xn en x= n=1 dãy vơ hướng {xn } Vì {en } sở lp Tương tự ta chứng minh {en } sở c0 không gian dãy hội tụ tới với chuẩn x = sup |xn |, ∀x = {xn } ∈ c0 n≥1 1.1.19 Nhận xét Nếu không gian Banach E có sở {xn } khả ly Bởi vì, span{xn } = E Khơng gian span{xn } khơng gian tuyến tính đóng sinh dãy {xn } 1.2 CÁC PHIẾM HÀM HỆ SỐ LIÊN KẾT VỚI CƠ SỞ 1.2.1 Định nghĩa ([8]) Giả sử {xn } sở không gian Banach E Dãy phiếm hàm tuyến tính {fn } xác định n fj (x) = αj , αi xi ∈ E, j = 1, 2, x= (1) i=1 gọi dãy phiếm hàm hệ số liên kết với sở {xn }, hay đơn giản dãy phiếm hàm hệ số viết tắt a.s.c.f 1.2.2 Nhận xét Nếu {xn } sở không gian Banach E {fn } a.s.c.f với x ∈ E biểu diễn dạng ∞ x= fj (x)xj j=1 (2) 1.2.3 Mệnh đề ([8]) Giả sử {xn } dãy không gian Banach ∞ E cho xn = 0(n = 1, 2, ) giả sử A1 = {{αn } ⊂ K| αi xi hội tụ } i=1 khơng gian tuyến tính với chuẩn n {αn } = sup αi x i 1≤n