MỤC LỤC Trang Lòi mở đầu Chƣơng I Đại số Lie I Định nghĩa tính chất 1.1 Định nghĩa đại số Lie 1.2 Ví dụ 1.3 Đại số Lie 1.4 Iđêan đại số Lie 1.5 Một số tính chất đại số Lie II Các toán tử đại số Lie 1.6 Đồng cấu Lie 1.7 Vi phân đại số Lie 1.8 Ánh xạ ad 10 10 12 15 Chƣơng II Đại số Lie lũy linh I Đại số Lie lũy linh ug$) 19 2.1 Định nghĩa 19 2.2 Ví dụ 19 2.3 Các tính chất 20 2.4 Đại số Lie lũy linh U{$) 25 II Định lý Engel 28 2.5 Định nghĩa chuẩn hóa 28 2.6 Định lý (Định lý đại số Lie lũy linh ) 30 2.7 Hệ 31 2.8 Định lý Engel 32 2.9 Một số ứng dụng định lý Engel 33 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 LỜI MỞ ĐẦU Vào cuối Thế kỷ 19, cơng trình Xơphux Lie (1842-1899) Phêlix Klein (1849-1925) xuất kết họp lý thuyết nhóm hình học Riemann Sự kết hợp đƣợc xem cơng trình mở đầu lý thuyết mới, lý thuyết nhóm Lie đại số Lie Sự đời lý thuyết nhóm Lie đại số Lie liên kết chuyên ngành Hình học -Tơpơ, Giải tích Đại số lại với Do đại số Lie phận quan trọng toán học đại Lý thuyết nhóm Lie đại số Lie đƣợc ứng dụng nhiều nghiên cứu lý thuyết hệ động lực, vật lý lƣợng tử ngành khác tốn học Đặc biệt đƣợc xem nhƣ cơng cụ quan trọng để nghiên cứu tính chất hình học đa tạp Riemann Hiện lý thuyết đại số Lie đƣợc trình bày nhiều tải liệu đƣợc viết nhà toán học tiếng nhƣ Serre, Rupert Yu, Helgason, Patrice Tauvel, phần mở đầu đƣợc trình bày giảng đại số Lie nhóm Lie cho lớp cao học chun ngành Hình học-Tơpơ trƣờng đại học Nội dung luận văn trình bày cách chi tiết có hệ thống kiến thức đại số Lie lũy linh số ứng dụng Luận văn đƣợc chia làm hai chƣơng: Chƣơng I Đại số Lie Trong chƣơng tác giả trình bày khái niệm, tính chất đại số Lie, số tốn tử đại số Lie tính chất chứng Các tính chất đƣợc chứng minh cách chi tiết Nội dung chƣơng để phục vụ cho việc trình bày chƣơng II Chƣơng II Đại số Lie lũy linh Trong chƣơng tác giả trình bày đại số Lie lũy linh cách có hệ thống Các mệnh đề, định lý đƣợc chứng minh chi tiết bao gồm đại số Lie lũy linh ỈẨ($)> định lý Engel Một số ứng dụng đại số Lie lũy linh đƣợc trình bày nhận xét 2.3.3.; 2.4.2.; hệ 2.7 dấu hiệu nhận biết đại số Lie lũy linh mục 2.9 Luận văn đƣợc hoàn thành khoa Sau đại học - Trƣờng Đại học Vinh, dƣới hƣớng dẫn khoa học thầy giáo PGS TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Trong suốt thời gian học tập nghiên cứu, tác giả nhận đƣợc quan tâm, giúp đỡ tận tình thầy, giáo thuộc khoa Toán, khoa Sau đại học Trƣờng đại học Vinh, Ban giám hiệu thầy cô giáo Trƣờng THPT Nam Đàn I ? bạn bè lớp Cao học KI7 ngành Hình học-Tơpơ Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy, cô bạn Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ biết ơn sâu sắc thân đến thầy giáo tổ Hình học, ngƣời trực tiếp giảng dạy hƣớng dẫn tác giả hồn thành khóa học luận văn Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƢƠNG I ĐẠI SỐ LIE Trong chƣơng chúng tơi trình bày định nghĩa, ví dụ, số tính chất đại số Lie, số toán tử đại số Lie tính chất chúng Ta giả thiết K trƣờng G không gian véc tơ K Nhƣ biết, G đại số ta trang bị thêm vào G ánh xạ song tuyến tính: [x,y\ thỏa mãn đồng thời: a [x,y] = -[y,x],\/x,yeG b [[x,yịz]+[[y [[* ,x],yJ = 0, Vx,y,z Eơ (hệ thức Jacobi) [,] đƣợc gọi tích Lie hay móc Lie So chiều đại so Lie số chiều không gian véc tơ G Với G không gian véc tơ hữu hạn chiều mà dimG = n, cấu trúc đại số Lie G đƣợc cho móc Lie cặp véc tơ thuộc sở {e 15e2, ,e } chọn trƣớc G nhƣ sau: n k= l Các hệ số cị đƣợc gọi số cấu trúc đại số Lie G 1.2 Ví dụ a) Với G không gian véc tơ ơclit thông thƣờng chiều M3, định nghĩa [ x , y } = X A y tích có hƣớng thơng thƣờng G đại số Lie M Thật vậy: • G = M3 modun với phép toán cộng nhân thơng thƣờng • Phép tốn \x,y\ = X A y song tuyến tính Vx, y, z E M3 ta có: + XA(y + z) = XAy + XAz ; (ỵ + y)AZ = XAZ + yAZ + XA (Ẩy) = I.(xay ) ; ( Ẳ X ) A y = Ấ(iAẵy) Suy G = M3 đại số • Tính phản xứng thỏa mãn Vx, yel3 , XA y = -y A X • Bằng phép tính tốn trực tiếp, dễ chứng minh đƣợc hệ thức Jacobi: [[x>y]>z]+[[y>z],x] + [[z,x],iy]= ( x Ay) A Z + ( y A Z ) A X + ( z A X ) Ay=0 b) Mỗi không gian véc tơ V K đại số Lie với tích Lie: [x,y]=0 ,\/x,yeV Đại số Lie đƣợc gọi đại số Lie tầm thƣờng c) M (M) = {A I A ma trận vuông cấp n M } với tích Lie: [A?B] - A.B - B.A đại số Lie Thật vậy: Với phép cộng, phép nhân thông thƣờng ma trận tích đƣợc định nghĩa M (M) đại số Ta kiểm tra điều kiện đại số Lie: • VA, Be M (M) thì: [A,B] = A.B -B.A = -(B.A-A.B)= - [B,A] • VA,B, CeM (M) thì: [[A,B],C] + [[B,C],A] +[[C,A]3] = [A.B - B.A,C] +[B.C - C.B,A] +[C.A - A.C,B] = (A.B - B.A).C - C.(A.B - B.A) + (B.c - C.B).A - A (B.c - C.B) + (C.A - A.C).B - B.(C.A - A.C) = ABC - BAC - CAB + CBA + BCA - CBA - ABC + ACB + CAB - ACB - BCA + BAC =0 Vậy M (M) đại số Lie í a b\ a^h^c e M f không gian véc tơ thực chiều d) Xét H = —a c -b -c V Xác định tích [A? B] = A.B - B.A ,VA,B eH Khi H đại số Lie 1.3 Đại số Lie Với G đại số Lie K Với M, N không gian G, ta ký hiệu: [M?N] = ([ wí,«]|ffíeM,«eiVV( [M,N] không gian sinh M, N) Nhận xét: Neu A, B, c không gian véc tơ G thì: • [A + B,C] G Iđêan đại số Lie G - Mỗi Iđêan G đại số Lie G - Tâm G đại số Lie giao hoán 1.4.2 Mệnh đề Nếu M, N hai Iđêan đại số Lie G M D N, M+N, [M,NJ Iđêan G Chứng minh: M? N hai Iđêan đại số Lie G nên [G,M]cM ^G^ỊCÌV [M,JV]C[G,JV]C]V [ M , N ] = [ N , M ] c [G,M] cM , N] hay [M9 Af] đại số Lie G [G, [ M , N Ĩ ] < ^ [ M , [ N , G ] ] + [ N , [ G M ]] c= [M, N ] + [ N , M ] = [M, A^] Từ suy [M, ] Iđêan G Hề ỉđêan G 1.5 Một số tính chất đại số Lie 1.5.1 Định lý Cho G đại so Lie, Vx, y,z e [[x,y],z] = -[[.y,z],x]-[[z,x],.y] Mà ta có [[y, z], x] + [[z,y\, x] = Ịịy, z] + [ z , y \ , x] = [o, x ] = Suy [[j:,}']!z]=[[z,}'],)c] + [y,[z,x]],Vj:j,zeG +) Giả sử G đại số Lie với phép nhân [x,y] A đại số G Khi A ổn định với phép nhân [x,y] G Vì [x, y \ = — [ y , x \, Vx, y e A hệ thức Jacobi thỏa mãn A Vậy A đại số Lie với phép nhân \ x ^ y \ +) Giả sử G đại số Lie G/H - {x + H I xe G} Khi G/H đại số Lie với phép tốn sau: +) (x+H) + (y+H) = (x+y) + H +) k(x+H) = kx + H +) [x+H , y+H] = [x y] + H Ta kiểm tra tính chất Jacobi G/H : V X + H , y + H , z + H E G/H ta có: [[x + H, y + H], z + H] = [[x , y] + H, z+ H] = [[x , y], z] + H [[y + H, z + H], X + H] = [[y , z] + H, x+ H] = [[y , z], x] + H [[z + H, X + H], y + H] = [[z , x] + H, y+ H] = [[z , x], y] + H Cộng vế theo vế ta đƣợc: [[x + H, y + H], z + H] + [[y + H, z + H], X + H] + [[z + H, X + H], y + H] = [[x,y],z]+H+[[y,z],x]+H+[[z,x],y]+H = [[X , y], z] + [[y , z ị , x] + [[z , x], y] + H = H Vậy hệ thức Jacobi G/H thỏa mãn Gọi (ơ.)5 / = 1, n họ n đại số Lie với tích Lie [x.?ẽy.] n Xét G = - Ịx = (X.) \ x e G J = l,/7 j tích trực tiếp (ơ.), i = \,n /=1 Dễ chứng minh đƣợc G không gian véc tơ Định nghĩa tích G là: [,]: G X G —> G (x,y)H> [x,y] Với: [ x , y ] = ([(>,),(>,)]) = { [ x l , y l ] , [ x , y ] , , [ x n , y n ] ) , đóX = (xi, ,xn),y = (yi, ,yn);Xi,Ỵ i S G i , i = l , n Khi đó: • G đại số với phép nhân ĩ x y ị định nghĩa • Vx = (x.), y = (>'.) thuộc G ta có: [ x , y ] = ([(x,.),^,.)]) =-([ừ,),(x,)]) = -[>‟^]- • Vx = (x.), y = ( y ) , z = ( z ) thuộc G ta có: [[x,y],z]= [([w,]),>(*,),] = [[z,y] ,x] +[y,[z,x] ] Suy hệ thức Jacobi thỏa mãn n Vậy G =m đại số Lie với tích [ x , y ] - ([(*■ 7=1 Gọi G đại số Lie với phép nhân (x,3/) I—> [-X*,>"] Đại số đối G G° với tích (x, y } 1-^ x y = [ y , x ị Ta chứng minh G° đại số Lie Thật vậy: Vx, y , z E G° • x.y = [ y , x ] = - [ x , y ] ; y.x= [x,y] ^>x.y = -y.x • (x.y).z + (y.z).x +(z.x).y = [ z , x.y] + [x, y.z] +[y, z.x] = [z, [y, X]] + [X, [z, y]] + [y, [x, z]] = - [[y, x]s z] - [ [ z , y], x] - [[x, z], y] = Vậy G° đại số Lie 1.5.2 Mệnh đê G đại số kết hợp trường K Xác định tích [ x , y ] = x y - y x , V x , y e G Khi G đại so Lỉe _ 21 Theo nguyên lý quy nạp ta đƣợc c cA.; i = 1, n Mà An = =^> Cn = Vậy G lũy linh 2.3.3 Nhận xét Đại soLỉe Heỉsenberg M lũy lỉnh Đại số Lie Heisenberg M đại số Lie mà phần tử ma trận có dạng: 22 00 n A= 0 0 00 n Trong phần tử ma trận số thực phức Thật vậy: Đặt G tập hợp ma trận có dạng Khơng khó khăn việc chứng minh G đại số Lie với phép tốn cộng, nhân ma trận thơng thƣờng tích Lie: [X?Y] = X.Y- Y.x , v x , Y eG Giả sử X, Y? z phần tử tùy ý thuộc G, đó: ■ ữ/7 'o /ỉ' 0 '1 ■ ■ 0 k' Y = X= t' '0 M 0 V ■ ■ z = 0 b n 0 d n 0 v vO oJ v O oJ v O oJ / Ta có: " [X,Y] = a h' C ■ c 0 0 v O 0 n 0 0 h v O 0 , n '0 c 0 ả n 0 0, v0 k' n '0 0 0 0 v0 0 , p ' \ ■ c k' a n h' n 0 \ ả n 0 h 0, v0 n 23 [[X,Y],Z] = 0 p ' "o u n t' ^0 0 0 0 V 0 0 0 V u n 0 V 0 V n vO 0, v0 t ' 0 p ' 0 0 0 0 v0 0 n oJ v0 0 00 0 00 0 0 00 00 Vậy đại số Lie Heisenberg M lũy linh 2.3.4 Định lý Giả sử G đại so Lỉe lũy linh G' đại so Lie cp: G —> G' đong cấu Lỉe ỉm (p đại so Lỉe lũy linh Chứng minh: Vì G lũy linh nên có n E N cho Vx1, x2, ầ, X E G có [x1,[x2,[ ,[xn_1,xn] ] = Lấy yỉ,y2, ,y tùy ý thuộc Imq) tồn al7a27 7a eG cho (p{a.) = y.; i = 1, n Do điều kiện suy có \ax, [ a [ a _1, a ] ]= Hơn (p đồng cấu nên Ộ9(0) = 0, suy có (p{\ax, [ a [ a , a ] ]) = => [p(a 1), [ớp(ô2 )ằ[ãããằ [ớP(ằ-i)ằ |y!, |y 2, , ly ^1, ^= Vậy Im (p đại số Lie lũy linh 2.3.5 Định lý Cho G đại so Lỉe lũy lỉnh Khi đại so con, đại so thương G đại so lũy lỉnh Chửng minh: a) Giả sử X đại số G Trƣớc hết ta chứng minh xk G/H xh^>x+H Do G lũy linh nên có n để [x1,[x2,[ ,[x7?_1,x;7] ] = 0, Vxỉ,x2, ,xn E G Suy ,[ x , [ [ x ^, x n\ ]) = => [ W(x n -1X G/H lũy linh 2.3.6 Định lý Tích trực tiếp hai đại soLie lũy linh đại soLỉe lũy lỉnh Chứng minh: Giả sử G1? G2 đại số Lie lũy linh Theo định lý 1.5.1 G = Gi X G2 = {x = b) I a E Ơ1,b E ơ2 Ị với tích Lie : [J : G x G ^ G (x,y)h-> [x,y] = ([ứpứ:],[ốpố:]) X = ( m Lấy G m phần tử C!, c2, ắ ắắ, c tùy ý , c = (a.,b k ) Ta chứng tỏ rằng: [^I5[^2?[ắắắ?[^w-l?^w]ắắắ] — 25 Thật vậy: giả sử Cn KA = (a Jt ,bki), Cn_! = ( a , , b ^ ) , Cn_2 = (a, , hk{ ) thì: a h’aA [Cn-2=[Cn-l=Cn]] = ịa h, [a h ,a k ]J, [bh Xh2 yK ] Tiếp tuc trình C1 = (ũ , b, ) thì: Jn n [C1,[ ,[Cn_2>[Cn_1>Cn]] ] = ([a]n,[ ,[ah,[a]2,ah]] ] , = (0i,02) = 0G Hệ Tích trực tiếp hữu hạn đại so Lỉe lũy linh lũy lỉnh 2.3.7 Mệnh đề Các đại so Lỉe lũy lỉnh khác khơng giao hốn có tâm khác Chứng minh: Giả sử G đại số Lie lũy linh khác không, theo định nghĩa tồn số nguyên dƣơng n cho Gn = [G5Gn_1] - {0}, với Gn_1 ^ {0} G khơng giao hốn Do tồn y E Gn_1 cho y ^ [G,y] = hay [x,y] = , Vx E G Điều chứng tỏ tâm G khác 2.4 Đại số Lie lũy linh 1Ẩ(50 Xét V không gian véc tơ trƣờng số thực M Ký hiệu: ff={ vXo vớiO = VũCVlC CV„=V Trong V khơng gian véc tơ V, có dim V = i 'S đƣợc gọi cờ V U ( $ ) = {ue EndV| u(Ỵ.)c= ỵ_r, V/ > 1} 26 2.4.1 Mệnh đe a ) U ( $ ) đại so Lie EndV b) ĨẢ^B) đại so Lie lũy linh Chửng minh: a) ỈẤi^S) đại số Lie EndV +) Ta chứng minh ĨẢ(%) không gian véc tơ EndV V u?v E U{$) ; \ f a , p E K Vị 5Vi_i E Vi > ta lấy tùy ý X E Vị Dou(ỵ.)í=X_i nênu(x)?v(x) eVị.i =>au(x),/?v(x) eVị.i =^> a u ( x ) + /?v(x) eVị.1 =^> (au + /?v)(x) = tni(x) + yổv(x) E Vị.! => (au + yổv)(Y)cVi_1 =^> OCU + f3v ta lấy tùy ý X E Vi thì: u(x),v(x)e VM => (u.v)(x),(v.u)(x)eVi.1 =^> [u,v](x) = (uv-vu)(x) = (u.v)(x)-(v.u)(x)eV,Ị => [u9v](Vi) c= v±-1 suy [u,v] E U ( $ ) Vậy có ụẨ^S), U ( { S ) I c= LL(ìs) suy LL(ìs) đại số Lie EndV b) ĨẨ^S) đại số Lie lũy linh Ta xét dãy G= Aj z> A2 z> ặặặ z> A = {0}, đó: G = ĨẨị^S) G= A1 = {u E EndVI u(V;) c= v^}, 27 A2 = {u e EndVI u(y) c= Vy_2} A.={ueEndV| u(X)ey_.}? J A, Aj c: AJ+1 A A,(X)c A.(VM) c = Aj+1 (X) => A j A l c AJ+1 Do đó: AjAj - AjAj c AJ+1 => IA Ay I c AJ+1 => |G.A;| c AJ+1 Suyra: [G,A ]cA., Vj=l,2, ,» =í> dãy Aj,A2, ,A dãy Iđêan G theo bổ đề 2.3.1 ta có: A./A.+1 nằm tâm G/A.+1 Vậy theo định lý 2.3.2 U{$) đại số Lie lũy linh 2.4.2 Nhận xét Đại soLỉe ma trận tam giác ngặt ỉuỹ lỉnh Chửng minh: V không gian véc tơ M Khi theo mệnh đề 2.4.1 thi ỈẨ.($) đại số Lie lũy linh Ta lấy V sở {e1,e2,.e }, e e V , i > Với u E Uịg), u có ma trận Au đƣợc xác định từ phép biến đổi sơ {e1,e2, ,e } sang sở {e^e^ e'n} Vì: e\ = 0^ +0.e2 + + 0.6nl +0.en e'2 =a21.e1+0.e2+ + 0.en_1+0.en e 'n -1 = V n - e i +an_12.e2 + + 0.en_1 +0.en e 'n =anl.e1 +an2.e2 + + am_1.en_1 +0.en 28 #91 a , , a , Zi /7- 11 /?1 0 an_u a„2 nên ma trận Au ma trận tam giác ngặt 00 1° Đặt M = { Au|ueU($)} Với f? g Eitiị^s) mà f? g có ma trận lần lƣợt Af, A ta định nghĩa tích Lie M là: [Af, Ag] = Af.Ag - Ag.Af Khi 1Ầ{$) đại số Lie lũy linh nên M đại số Lie lũy linh II Định lý Engel 2.5 Định nghĩa chuẩn hóa Giả sử G đại số Lie H đại số Lie G Tập u = { XE G I [x,H] c: H } đƣợc gọi chuẩn hóa H Hiển nhiên H cU [H,H] x + y e V [[x,y],h] =[[/í,>‟],x]+[>‟,[/!,x]] = [X, hi] + [y, h2] H, Vh H ^ [x,y] u Vậy u đại số 29 b) H Iđêan u vì: VxeUthì[x,H] cH nên có [U,H] Nhân xét: Như vậy, từ đại so Lie H đại so Lie G ta xây dựng đại so Lỉe lớn 2.5.2 Bỗ đề G đại số Lie lũy lỉnh, H đại số thực G u chuấn hóa H Khỉ u đại so lớn G nhận H làm Iđêan U*H Chửng minh: Giả sử có U‟ đại số G nhận H làm Iđêan Khi đó: Vx eu\ [U\H] cH (vì H Iđêan U‟) nên có [x, H] c= H Theo định nghĩa u suy X eU =^> U‟ c u Vậy u đại số lớn G nhận H làm Iđêan Ta cần chứng minh U^H Do G đại số Lie lũy linh nên tồn dãy: = c cC_]c cQcC] = G tì n-l Gọi k số nguyên dƣơng lớn mà Ck + H ^ H Khi ta có: [Ck+H,H] c [Ck,H] + [H,H] c [Ck,G] + H c Ck+1 + H Do k số nguyên dƣơng lớn mà Ck + H ^ H Ck+1 + H = H Vậy [Ck+H,H]cH => Ck+HcU T H c C k + H c U ^ > U ^ H 2.5.3 Bỗ đề G đại số Lie lũy linh, dimG = n G ln có Iđêan H mà dỉmH = n — Chửng minh: Giả sử H đại số thực sự, cực đại đại số Lie lũy linh G (tức G) Ta gọi u chuẩn hóa H Theo bổ đề 2.5.1 u đại số chứa H u khác H Vậy có u = G H Iđêan G Đặt M= {Xy + h|VXeK,VheH,yeG\H} Dễ thấy M đại số chứa H, H cực đại nên M = G =^> H Iđêan M =^> Vg e G g = ^ y + h; X e K, h e H, y e G \ H =* 30 G = (y)®H Vì dim^y^> = dimG = n dimH = n - 2.6 Định lý ( Định lý đại số Lie lũy linh ) Giả sử V không gian véc tơ hữu hạn chiều G đại so Lie EndV mà X lũy lỉnh, Vx E G Khỉ có véc tơveV, v^o cho: x(v) = 0, Vx E G Chứng minh: Giả sử dimV = n Ta chứng minh định lý phƣơng pháp quy nạp theo n +) Với dimV = 1: dỏ G = Do X lũy linh nên 3k E N*: xk(u) = 0, VueV oxo(xk“1(u)) = 0,VueV » x(v) = 0, Vu E V (trong V = xk_1 (u)eV,v^0) Với g E G =^> g = Xx, X E K => g(v)=Xx(v) = 0,VgeG Vậy định lý đứng với n = +) Giả sử định lý với đại số Lie G mà dimG < n -1 Ta chứng minh định lý đứng với dimG = n Thật vậy: Vì G lũy linh nên theo bổ đề 2.5.3 G có Iđêan H mà G = (y)®H với dimH = 11-1 Sử dụng giả thiết quy nạp H: Vh eH, 3v ^ để h(v) = Đặt Q = {u e VI h(u) = 0, Vh E H} =^> Q ^ Với Vu E Q ta có [y,h](u) = v h(u) - h v(u) Vì u E Q [y,h] EH => [y,h](u) = h(u) = => h v(u) = => y(u)E Q Vậy y(u) E Q , Vu E Q Do y lũy linh nên y (yk~„ (u)) = 0, Vu Q =í> y (u0) = 0, Vu0 Q 31 Với VgeG,g = Xy + h suy có: g(u0) = Xy(u0)+ h(u0) = Vậy u0 véc tơ cần tìm định lý đƣợc chứng minh Bây ta ký hiệu M = a12 ■ aln-l aln 0 ■ a2n-l a2n A= |aijeM 0 0 Xét Mn với sở tự nhiên {e1, e , e } F = { f : M" M" I A f = A e M Ị Af ma trận f sở 2.7 Hệ Vf EF, khỉ có a(l,0, ,0) e Mn thỏa mãn f(oi) =0 Chửng minh: Giả sử a(a1?oc2, ,a )eln lấy tùy ý f E F Ta có: f(a) = 05Vf E F Af.[a] = 0, Vf E F a £L 1/7 a ■■■ 2n-l a 2n 0 a n - ln 0 0J a ■ %-l + a13a3 + + ã, a ln n a,| a Vai;j e l ; i s j = l,2, ,n _a n _ A ct A + + ÍV A cL 0 \/ T]T\ • - » 23 24 2n n , Va^ M ; i, j = l,2, ,n n-ln n a0 = ou = = a = n a1 = Vậy a = (l,0, ,0)eftn (sai khác bội), thỏa mãn f(a) = 0a n—ln 00, 32 2.8 Định lý Engel Giả sử p : G —>EndV ỉà cấu Lie cho p lũy lỉnh Vx e G Khi tổn V cờ í? = {V }”=1 mà p(G)d Chửng minh: Ta chứng minh hai định lý 2.8 2.6 tƣơng đƣơng Thật vậy: • (2.8.) =>(2.6.) Trƣớc hết p đồng cấu Lie nên yp(G) đại số Lie EndV Vì p(G)c= WỊ¥) => px E^(5r),Vx E G =>/7x(Vi) = 0íVxe G =^> p (v) = Vx E G V ^ • (2.6.) =>(2.8.) Ta chứng minh điều quy nạp theo chiều không gian véc tơ V +) Với dimV = Xét cờ 5r= {0,^}, Vj = V Do giả thiết định lý 2.8 thỏa mãn định lý 2.6 nên áp dụng định lý 2.6 ta có: 3VE V, v^O: yOx(v) — 0, Vx E G =^> PX(V) = => px , Vx E G Vậy định lý 2.8 đứng dimV = +) Giả sử định lý 2.8 đứng với w mà dimW = n -1, ta chứng minh định lý 2.8 đứng dimV = n Thật vậy, giả sử V có véc tơ v^o, p (v) = 0, Vx eG=>V=|v|©W, dimW = n - Áp dụng giả thiết quy nạp cho w, tức có cờ: ' S i = {W }, i = 1,2, , n-1 cho = W cW c c W„_1 = w mà p x (%) a WM yp x E p( G) Xét cờ 'S V là: cz Vj cz V2 cz ặặặ cz V = V với V = W_1 Ta có: A(Vj)= A((v) © WH) c/?x((v)) © A(Wh) => A Í V ^ c O ® Wj_2 = Vj_! Hay: p (G) c: Ĩ Ắ ị ^ Ị Tức kết luận định lý 2.8 Vậy hai định lý 2.8 2.6 tƣơng đƣơng Do định lý 2.6 đƣợc chứng minh nên định lý 2.8 33 2.9 Một số ứng dụng định lý Engel 2.9.1 ứng dụng Cho đại so Lỉe G Khỉ đó: G lũy linh ad lũy linh, Vx e G (ad lũy linh, Vx E G nghĩa tồn n để (ad Ỵ = với Vx E G) Chứng minh: • Nếu G lũy linh bậc n =^> có n để [xl9[x2,[ ,[x _ l x ] ] = 0, Vxỉ,x2, ,x eG cónđể [x,[x,[ ,[x,y] =0, Vx?ếyeG ( lấy X = X1 = x = = X _1 y = xn ) => [adx [ , [adx ,adx (y)] ] = 0, Vx, y e G ^ ad phần tử lũy linh, Vx E G • Giả sử ad phần tử lũy linh, Vx E G Áp dụng định lý Engel biểu diễn liên hợp, ta có dãy Iđêan: {0} d A1 d A2 d d An — G cho [G,Aị] d Ai+1 Vậy G lũy linh 2.9.2 ứng dụng Giả sử G đại so Lie, H ỉđêan thuộc tâm G cho G/jj đại so Lỉe lũy lỉnh Khỉ G đại so Lỉe lũy lỉnh Chứng minh: Lấy X E G Vì G/H đại số Lie lũy linh suy ad +H lũy linh nên tồn ne N để: [adx+H]n = H => Vy e G có [adx+H ]n (y +H) = H [adx+Hr1[adx+H](y + H) = H [adx+H]n-1([x + H,y+H]) = H [adx+H]n_1 ([X,y] + H) = H [adx+Hf1([adx(y) + H]) = H 34 [adx]n(y) + H = H =* [adxf(y)eH Mà H thuộc tâm G nên [ad ]n (y) thuộc tâm G Vậy có: [X, (adx )n (y)] = (ads )n+1 (y) = 0, Vy e G => (adx )n+1 = Vậy adx lũy linh Áp dụng 2.9.1 ta có G đại số Lie lũy linh KÉT LUẬN Luận văn đạt đƣợc kết sau: + Trình bày cách hệ thống khái niệm, tính chất đại số Lie chứng minh chi tiết tính chất đại số Lie (Định lý 1.5.1.; Mệnh đề 1.4.2.; Mệnh đề 1.5.2 ) + Trình bày hệ thống toán tử đại số Lie Chứng minh chi tiết tính chất đồng cấu Lie, vi phân đại số Lie ánh xạ adx ( Định lý 1.7.4., Định lý 1.8.2 ; Mệnh đề 1.6.4.; Mệnh đề 1.8.4.) + Trình bày khái niệm tính chất đại số Lie lũy linh Chứng minh chi tiết: tích trực tiếp hai đại số Lie lũy linh đại số Lie lũy linh, IẢ(#) đại số Lie lũy linh, chứng minh chi tiết định lý Engel (Định lý 2.3.6.; Mệnh đề 2.4.1.; Định lý 2.8.) Phát biểu chứng minh Định lý 2.3.4 + Chỉ số ứng dụng đại số Lie lũy linh: Đại số Lie Heisenberg M, đại số Lie ma trận tam giác ngặt đại số Lie lũy linh, véc tơ chung cho ánh xạ tuyến tính Mn (Nhận xét 2.3.3.; Nhận xét 2.4.2.; Hệ 2.7 ) Chỉ dấu hiệu nhận biết đại số Lie lũy linh (ứng dụng 2.9.1.; ứng dụng 2.9.2.) Thời gian tới, chứng tiếp tục nghiên cứu biểu diễn liên hợp đại số Lie lũy linh ánh xạ lũy linh TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 [1 ] Nguyễn Việt Dũng (1997), Lý thuyết đại sỗ Lỉe nhóm Lie, Đại học Vinh [2] Trần Việt Dũng (1995), Đại so Lie, Bài giảng chuyên đề cao học chuyên ngành Hình Học - Tôpô, Đại học Vinh [3] Nguyễn Hữu Quang (2005), Bài giảng đại soLỉe nhóm Lie, Đại học Vinh [4] Ben Baker, Daniel Boer? (2008), Repnesentatỉons of Lie Groups and Lie Algebras5 Amsterdam [5] Nathan Jacobson (1971), Lỉe Algebras, Courier Dover Publications [6] Patrice Tauvel, Rupert W.T.Yu (2005), Lie Algebras and Algebraic Groups, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Germany [7] Serre (1965), Lie Algebras andLie Groups, Benjamin, New York ... Phát biểu chứng minh Định lý 2.3.4 + Chỉ số ứng dụng đại số Lie lũy linh: Đại số Lie Heisenberg M, đại số Lie ma trận tam giác ngặt đại số Lie lũy linh, véc tơ chung cho ánh xạ tuyến tính Mn (Nhận... giả trình bày đại số Lie lũy linh cách có hệ thống Các mệnh đề, định lý đƣợc chứng minh chi tiết bao gồm đại số Lie lũy linh ỈẨ($)> định lý Engel Một số ứng dụng đại số Lie lũy linh đƣợc trình... niệm, tính chất đại số Lie, số toán tử đại số Lie tính chất chứng Các tính chất đƣợc chứng minh cách chi tiết Nội dung chƣơng để phục vụ cho việc trình bày chƣơng II Chƣơng II Đại số Lie lũy linh