Thông tin tài liệu
Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học Vinh Hoàng Thị Tân Luận văn thạc sĩ toán học số tính chất vành môđun cohen - macaulay Chuyên ngành: Đại số Lí thuyết số M· sè: 60.46.05 Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: TS Ngun Thị Hồng Loan Vinh 2009 Mục lục Mở đầu Ch-¬ng KiÕn thøc chuÈn bÞ 1.1 Vành địa ph-ơng 1.2 Phổ giá môđun 1.3 Sù ph©n tích nguyên sơ môđun 1.4 Vành địa ph-ơng đầy đủ theo tôpô m adic 1.5 Độ cao iđêan chiều Krull vành môđun 1.6 Hệ tham sè 1.7 Đối đồng điều địa ph-ơng 1.8 Vành môđun th-ơng 10 Ch-¬ng Vành môđun Cohen - Macaulay 13 2.1 Định nghĩa 13 2.2 Một số tính chất vành môđun Cohen - Macaulay 15 KÕt luËn cña luËn văn 26 Tài liệu tham khảo 27 Më đầu Cho R vành giao hoán Noether, M R - môđun Một dÃy phần tử x1, x2, , xr R đ-ợc gọi dÃy quy M (hay gọi M - dÃy) (x1, , xr)M M xi không -ớc không môđun M/ (x1, , xi-1)M với i = 1, , r Điều có nghÜa lµ xi p, víi mäi p AssM/(x1, , xi-1)M, i = 1, , r Cho I iđêan tùy ý R x1, , xr M - dÃy I Khi x1, , xr đ-ợc gọi dÃy quy cực đại I không tồn y I cho x1, , xr, y lµ d·y chÝnh qui M Ta biết M R môđun hữu hạn sinh khác không M IM dÃy qui cực đại iđêan I có độ dài Do độ dài dÃy qui cực đại iđêan I đ-ợc gọi bậc I M, kí hiệu grade(I; M) gradeMI grade(AnnM; M) đ-ợc kí hiệu grade(M) gọi bậc môđun M Khi xét R R - môđun grade(I; R) đ-ợc kí hiệu gradeI gọi bậc iđêan I Nếu (R, m) vành địa ph-ơng với iđêan cực đại m grade(m; M) đ-ợc gọi độ sâu M kí hiệu depthM Nếu x1, , xr lµ mét d·y chÝnh qui cđa M phần hệ tham số M Do ta có bất đẳng thức depthM dimM, víi dimM lµ chiỊu Krull cđa M Khi dấu = xảy ra, tức depthM = dimM môđun M đ-ợc gọi môđun Cohen - Macaulay Trong tr-ờng hợp vành R không thiết địa ph-ơng R - môđun M đ-ợc gọi Cohen - Macaulay môđun địa ph-ơng hóa Mm Rm môđun Cohen - Macaulay, với iđêan cực đại m R Vành R đ-ợc gọi vành Cohen - Macaulay R R - môđun Cohen - Macaulay Khái niệm môđun Cohen - Macaulay đà đời từ lâu đ-ợc nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Đến nay, kết lớp môđun phong phú Mục đích luận văn dựa vào tài liệu tham khảo để tìm hiểu, tổng hợp, từ trình bày lại khái niệm chứng minh số tính chất vành môđun Cohen - Macaulay Trong toàn luận văn, vành đ-ợc giả thiết giao hoán, có đơn vị Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn đ-ợc viết thành ch-ơng Ch-ơng trình bày kiến thức sở Đại số giao hoán liên quan đến kết chứng minh ch-ơng Ch-ơng trình bày nội dung luận văn Trong ch-ơng trình bày định nghĩa khái niệm chứng minh số tính chất vành môđun Cohen - Macaulay Các kết ch-ơng tổng hợp từ tài liệu [3], [4] [5] Luận văn đ-ợc hoàn thành vào tháng 12 năm 2009 tr-ờng Đại học Vinh d-ới h-ớng dẫn cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, ng-ời đà tận tình giúp đỡ h-ớng dẫn học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Chúng xin cảm ơn thầy giáo, cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học, Ban giám hiệu Tr-ờng Đại học Vinh, tr-ờng THPT Huỳnh Thúc Kháng, tr-ờng THPT Nguyễn Tr-ờng Tộ, đồng nghiệp, bạn bè gia đình đà tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập, nghiên cứu Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả: Hoàng Thị Tân Ch-ơng i KIến thức chuẩn bị Trong ch-ơng trình bày (không chứng minh) số kiến thức sở Đại số giao hoán liên quan đến kết chứng minh ch-ơng 1.1 Vành địa ph-ơng 1.1.1 Định nghĩa (i) Vành R đ-ợc gọi vành địa ph-ơng R có iđêan cực đại m Khi vành th-ơng R/m tr-ờng đ-ợc gọi tr-ờng thặng d- vành R, kí hiệu: K = R/m (ii) Vành R đ-ợc gọi nửa địa ph-ơng R có hữu hạn iđêan cực đại 1.1.2 Tính chất (i) Giả sử m iđêan vành R cho x R \ m khả nghịch vành R Khi R vành địa ph-ơng với iđêan cực đại m (ii) Cho m iđêan cực đại vành R Khi phần tử tập hợp: 1+ m = {1 + a / a m} khả nghịch vành R R vành địa ph-ơng với iđêan cực đại m 1.2 Phổ giá môđun 1.2.1 Phổ vành Iđêan p vành R đ-ợc gọi iđêan nguyên tố nÕu p ≠ R vµ víi mäi a, b R, ab p a p b p Kí hiệu specR tập hợp tất iđêan nguyên tố R Khi specR đ-ợc gọi phổ vành R Với iđêan I cđa vµnh R, kÝ hiƯu V(I) = {p specR p I } 1.2.2 Giá môđun Tập SuppM = {p specR Mp 0} cña SpecR đ-ợc gọi giá môđun M Với x M, kÝ hiÖu AnnR(x) ={a R ax = 0}; AnnRM ={a R aM = 0} = {a R ax = 0, x M} Ta có AnnR(x) AnnRM iđêan M; AnnRM đ-ợc gọi linh hóa tử của môđun M Hơn SuppM = V(AnnRM) 1.3 Sự phân tích nguyên sơ môđun 1.3.1 Iđêan nguyên tố liên kết Iđêan nguyên tố p R đ-ợc gọi iđêan nguyên tố liên kết môđun M tồn x M, x ≠ cho P = AnnR(x) Tập tất iđêan nguyên tố liên kết M đ-ợc kí hiệu AssRM (hoặc đơn giản AssM ta không để ý đến vành R) 1.3.2 Sự phân tích nguyên sơ môđun Cho N môđun môđun M N đ-ợc gọi môđun nguyên sơ M Ass(M/N) gồm phần tử, tức tồn iđêan nguyên tố p cho Ass(M/N) = {p} Khi ta nói N môđun p - nguyên sơ Cho N môđun môđun M N đ-ợc gọi có phân tích nguyên sơ tồn hữu hạn môđun nguyên sơ Q1, Q2, , Qn cña M cho N = Q1 Q2 Qn (1) Giả sử Qi pi - nguyên sơ Khi phân tích (1) đ-ợc gọi phân tích thu gọn pi đôi khác Qi bỏ đ-ợc Nếu pi tối thiểu tập {p1, , pn} môđun Qi t-ơng ứng đ-ợc gọi thành phần cô lập, trái lại Qi đ-ợc gọi thành phần nhúng Định lý phân tích nguyên sơ Lasker nói môđun môđun Noether có phân tích nguyên sơ thu gọn Chú ý phân tích nguyên sơ thu gọn môđun không nh-ng N = Q1 Q2 Qn lµ mét phân tích nguyên sơ thu gọn môđun N, Qi pi - nguyên sơ với mäi i = 1, , n th× tËp {p1, , pn} xác định {p1, , pn} = Ass(M/N) Các thành phần cô lập có mặt phân tích nguyên sơ thu gọn môđun 1.4 Vành địa ph-ơng đầy đủ theo tôpô m adic Cho (R, m) vành địa ph-ơng Ta xét R nh- vành tôpô với sở lân cận phần tử iđêan mt, t = 0, 1, 2, Chú ý sở lân cận cđa mét phÇn tư tïy ý r R gåm c¸c líp ghÐp r + mt, víi t = 0, 1, 2, Khi vành đầy đủ theo t«p« m - adic cđa R kÝ hiƯu bëi R đ-ợc định nghĩa cách thông th-ờng theo ngôn ng÷ cđa d·y Cauchy nh- sau: mét d·y Cauchy R dÃy (rn) phần tử R cho víi mäi t > 0, tån t¹i sè tự nhiên n0 để rn - rm mt với m, n > n0 DÃy (rn) đ-ợc gọi héi tơ vỊ d·y kh«ng nÕu víi mäi t > 0, tồn số tự nhiên n0 để rn - = rn mt víi mäi n > n0 Hai dÃy Cauchy (rn) (rm) đ-ợc gọi t-ơng đ-ơng, kí hiệu (rn) ~ (rm) dÃy (rn - rm) dÃy không Khi quan hệ ~ tập dÃy Cauchy quan hệ t-ơng đ-ơng Ta kí hiệu R tập lớp t-ơng đ-ơng dÃy Cauchy Chú ý (rn) (rm) dÃy Cauchy dÃy (rn + rm ), (rnrm) dÃy Cauchy lớp t-ơng đ-ơng dÃy (rn + rm), (rnrm) không phụ thuộc vào việc chọn đại diện lớp t-ơng đ-ơng dÃy Cauchy (rn) vµ (rm), tøc lµ nÕu (rn) ~ (rn’) vµ (sn) ~ (sn ’) th× (rn+ sn) ~ (rn’ +sn’) (rnsn) ~ (rnsn) Vì R đ-ợc trang bị hai phép toán hai (+) (.); hai phép toán này, R lập thành vành Mỗi phần tử r R đồng với lớp t-ơng đ-ơng dÃy Cauchy mà tất phần tử dÃy r Vì ta có đơn cấu tự nhiên vành RR r (r) , (r) dÃy mà tất phần tử r Định nghĩa t-ơng tự cho môđun M với sở lân cận phần tử {mtM} Khi M R- môđun với phép nhân vô h-ớng nh- sau: cho a = (a1, a2, ) R, x = (x1, x2, ) M Ta cã ax = (a1x1, a2x2, ) M 1.5 Độ cao iđêan chiều Krull vành môđun 1.5.1 Định nghĩa Cho (R, m) vành địa ph-ơng, M R môđun Một dÃy giảm iđêan nguyên tố vành R: p0 p1 pn đ-ợc gọi xích nguyên tố có độ dài n Cho p SpecR Chặn tất độ dài xích nguyên tố với p0 = p đ-ợc gọi độ cao p, kí hiệu ht(p) Nghĩa ht(p) = sup{độ dài xích nguyên tố với p0 = p} Chặn tất độ dài xích nguyên tố R đ-ợc gọi chiều Krull vành R, kí hiệu dimR Cho M R - môđun Khi dim(R/AnnRM) đ-ợc gọi chiều Krull môđun M, kÝ hiƯu lµ dimM Chó ý r»ng dimM = dimM vµ dimM = max{dimR/p | p AssM} Cho I iđêan R, ta định nghĩa độ cao iđêan I ht(I) = inf{htp: p specR p I} Khi ta có ht(I ) = min{ht(p)| p AssR/I} 1.5.2 Định lÝ Cho R lµ vµnh Noether, I = (a1,…., ar) iđêan đ-ợc sinh r phần tử Khi iđêan nguyên tố tối tiểu p I có độ cao ht(p) r Đặc biệt ht(I) r 1.6 HƯ tham sè Cho R lµ mét vµnh giao hoán, địa ph-ơng, Noether với iđêan cực đại m; M R - môđun hữu hạn sinh cã chiÒu Krull dimM = d > (i) Mét hƯ gåm d phÇn tư x := (x1, , xd) m đ-ợc gọi hệ tham số M (M/ (x1, , xd)M) < (ở (*) kí hiệu độ dài R - môđun, kí hiệu đ-ợc dùng suốt toàn luận văn) (ii) Iđêan đ-ợc sinh hệ tham số đ-ợc gọi iđêan tham số (iii) Nếu x : = (x1, , xd) lµ mét hƯ tham sè môđun M hệ phần tử (x1, , xi) đ-ợc gọi phần hệ tham số với i = 1, , d Sau sè tÝnh chÊt cđa hƯ tham sè cÇn dïng luận văn Mọi hoán vị hệ tham số môđun M hệ tham số cđa M NÕu x := (x1, , xd) lµ hệ tham số môđun M n : = (n1, , n1 nd nd) lµ mét bé gåm d số nguyên d-ơng x (n) : = (x1 , , xd ) cịng lµ mét hƯ tham sè môđun M Nếu x := (x1, , xd) hệ tham số môđun M dim M/ (x1, , xd)M = d - i, i = 1, , d NÕu x := (x1, , xd) hệ tham số môđun M x cịng lµ hƯ tham sè cđa M, M bao đầy đủ m - adic M 14 2.1.1 Định nghĩa Giả sử M R - môđun khác DÃy phần tử x1, , xr R đ-ợc gọi dÃy qui M hay gọi M - dÃy điều kiện sau đ-ợc thỏa mÃn: (i) M/(x1, , xr)M ≠ 0, (ii) (x1, , xi-1) M : M xi = (x1, , xi-1)M, i = 1, , r Chó ý r»ng, nÕu (R, m) lµ vành địa ph-ơng x1, , xr m điều kiện (i) đ-ợc thỏa mÃn 2.1.2 Chú ý Cho M R - môđun; (x1, , xr) dÃy phần tử thuộc vành R Khi phát biểu sau t-ơng đ-ơng: (i) (x1, , xr) lµ mét d·y chÝnh qui cđa M; (ii) Phần tử xi không -ớc M /(x1, , xi-1)M, i =1, , r; (iii) xi p , p AssM / (x1, , xi-1)M, i =1, , r Cho I iđêan tïy ý cđa R vµ (x1, , xr) lµ mét M - d·y I Khi ®ã (x1, , xr) đ-ợc gọi dÃy qui cực đại I không tồn y I cho (x1, , xi, y) lµ d·y chÝnh qui cđa M Ta biÕt r»ng nÕu IM M vµ M lµ R - môđun hữu hạn sinh dÃy qui cực đại iđêan I có độ dài Do độ dài dÃy qui cực đại iđêan I đ-ợc gọi bậc iđêan I M, kí hiệu gradeM(I) grade(I; M) Khi xét R R - môđun, bậc iđêan I R đ-ợc kí hiệu grade(I) (nh- grade(I) := grade(I; R)) gradeM(AnnM) đ-ợc kí hiệu đơn giản grade(M) gọi bậc R môđun M Đặc biệt (R, m) vành địa ph-ơng I = m gradeM(m) đ-ợc gọi độ sâu M kí hiệu depthM 2.1.3 Định lý Cho (R, m) vành địa ph-ơng, Noether, M R môđun hữu hạn sinh Khi ®ã ta cã: depth(M) dim(R/p), p Ass(M) 15 Chøng minh Chóng ta sư dơng phÐp quy nạp theo độ sâu M Với depthM = hiển nhiên Giả sử định lí với tr-ờng hợp depthM = k, với k số tự nhiên Cho M R - môđun có depthM = k +1 Do k +1 > 0, cã mét phần tử a M mà a không -ớc không M nên ta có depth(M/aM) = k Do theo giả thiết quy nạp suy depth(M/ aM) dimR/q, víi q Ass(M/aM) B©y giê cho p AssM Do p lµ linh hãa tư cđa phần tử khác không M, môđun (0:M p) khác không thấy r»ng (0:M p) aM = a(0:M p) Cho g (0:M p) aM V× g = ag’, víi g M nên với r p arg = rg = 0, suy rg = (v× a không -ớc không M ) Vì vËy g’ (0:M p) nªn g = ag’ a(0:M p) Do ®ã (0:M p) aM a(0:M p) đà chứng minh đ-ợc (0:M p) aM = a(0:M p) Hợp thành R - đồng cấu (0:M p) M M/aM (ánh xạ đầu đồng cấu nhúng, ánh xạ thứ hai toàn cấu tắc) có hạt nhân (0:M p) aG = a(0:M p) Do ®ã M/aM cã môđun đẳng cấu với (0:M p)/ a(0:M p) (chó ý r»ng a(0:M p) ≠ v× (0:M p) a M nên p + (a) lµ linh hãa tư (0:M p) / a(0:M p) vµ môđun khác không M/ aM Do đó, từ định lí tránh nguyên tố, ta có p + (a) Zdv(M/ aM) = q (v× p +(a) p’ víi p’ Ass(M/ aM)) qAss ( M / aM ) Chó ý r»ng a p, a không -ớc không M (ở p Ass(M) chứa toàn -ớc không M ), p p’ Suy dimR/p’ < dimR/p B»ng quy n¹p cã 16 depthM/aM dimR/p’ nªn depthM = k + = depth(M/aM) + dimR/p’ dimR/p 2.1.4 HÖ depth(M) dimM Luận văn tìm hiểu lớp môđun M thỏa mÃn dấu đẳng thức hệ trên, gọi môđun Cohen- Macaulay nh- định nghĩa sau 2.1.5 Định nghĩa (i) Cho (R, m) vành địa ph-ơng, Noether M R - môđun hữu hạn sinh M đ-ợc gọi môđun Cohen - Macaulay (viết tắt C.M.) M = depthM = dimM (ii) NÕu R lµ vµnh Noether tïy ý (không thiết địa ph-ơng) M R - môđun M đ-ợc gọi môđun Cohen - Macaulay Mm Rm - môđun Cohen - Macaulay, với iđêan cực đại m R (iii) Vành R đ-ợc gọi vành Cohen - Macaulay R R - môđun Cohen - Macaulay 2.2 Một số tính chất vành môđun Cohen- Macaulay Định lí sau nói lên với môđun Cohen - Macaulay, bậc iđêan tùy ý hoàn toàn xác định số chiều 2.2.1 Định lí Cho (R, m) vành địa ph-ơng, Noether M R - môđun Cohen - Macaulay Khi ®ã: (i) dim(R/p) = depthM = dimM, p Ass(M); (ii) grade(I, M) = dimM - dim(M/IM), iđêan I m; (iii) Nếu a1, , an mét M - d·y m th× Mr = M / (a1 +.+ ar)M môđun Cohen - Macaulay vµ dimMr = dimM – r, r = 1, …, n; (iv) Mäi hƯ tham sè x cđa M ®Ịu lµ d·y chÝnh qui 17 Chøng minh (i) Do M R - môđun Cohen - Macaulay nên với p AssRM theo Định lí 2.1.3, ta cã depthM = dimM = dimR / AnnR(M) ≥ dimR/ p ≥ depthM (ii) NÕu grade(I, M) = th× p Ass(M) cho I p Khi ®ã theo (i), dim(M/IM) = dim M NÕu grade(I, M) > ta chọn x I phần tử qui M Ta có: grade(IM/xM) = grade(I, M) - 1, depth(M/xM) = depthM – 1, dim(M/xM) = dim M - Bằng việc qui nạp hoàn toàn ta có điều phải chứng minh (iii) Chứng minh qui nạp theo r, cần chứng minh với r = 1, tức cần M1 = M/a1M môđun Cohen - Macaulay Cho a1 phÇn tư M - chÝnh quy, M1 = M/a1M Khi a1 không nằm phần tử tối thiểu supp(M), dimM1 < dimM Mặt kh¸c depthM1 = depthM - = dimM - (do M môđun Cohen - Macaulay) Nh- dimM - ≥ dimM1 ≥ depthM1 = dimM - Từ điều ta suy đ-ợc dimM1 = depthM1 Vậy M1 môđun Cohen - Macaulay (iv) Giả sử x1, , xd lµ mét hƯ tham sè cđa m Ta cần chứng minh x1,, xd M - d·y Theo (i), nÕu p Ass(M) th× dimR/p = d, x1 p Nh- x1 M - quy Khi đó, ta đặt M = M/ x1M ta có M môđun Cohen - Macaulay chiỊu d - Nh- vËy theo quy n¹p ®èi víi d ta thÊy x1,…, xd lµ mét M - dÃy Định lí sau cho thấy tính Cohen - Macaulay đ-ợc bảo toàn chuyển qua địa ph-ơng hóa 2.2.2 Định lí Cho R vành Noether M R - môđun hữu hạn sinh 18 (i) Giả sử x M - dÃy Khi M/xM môđun Cohen - Macaulay (trên R R/(x)) Điều ng-ợc lại R vành địa ph-ơng (ii) Giả sử M môđun Cohen - Macaulay Khi tập nhân đóng S R môđun th-ơng S-1M môđun Cohen - Macaulay Đặc biệt Mp môđun Cohen - Macaulay víi mäi p SpecR; nÕu Mp ≠ th× depth Mp = grade(p; M) vµ dimM = dim Mp + dim M/pM Chøng minh (i) Gi¶ sư x = (x1,, xn) M - dÃy Theo định nghĩa môđun Cohen - Macaulay ta giả thiết R vành địa ph-ơng Khi theo Định lí 2.2.1.(iii), ta cã dim(M/xM) = dimM - n vµ depth M/xM = depthM - n Suy M/xM môđun Cohen - Macaulay (trên R R/(x)) (ii) Cho q iđêan tối đại S-1R Iđêan q mở rộng iđêan p R, S-1R Rp Cho m iđêan cực đại R chứa p Khi Rp địa ph-ơng hóa vành địa ph-ơng Cohen - Macaulay Rm Vì không tính tổng quát giả thiết R vành địa ph-ơng Mp = 0: hiển nhiên Mp 0, ta sử dụng qui nạp depthMp Nếu depthMp = p AssM Do p iđêan nguyên tố tối thiểu suppM Khi ®ã dimMp = T-¬ng tù, ta chØ r»ng p đ-ợc chứa iđêan q AssM nÕu depthMp > V× vËy p chøa phần tử qui x, áp dụng giả thiết qui nạp với M/xM, ta dễ dàng suy Mp môđun Cohen Macaulay depthMp = grade(p; M) Đẳng thức thứ hai suy từ Định lí 2.2.1 2.2.3 Hệ Cho R vành Cohen - Macaulay I iđêan R, I R Khi gradeI = htI Hơn nữa, R vành địa ph-ơng 19 ht(I) + dimR/I = dimR Chøng minh Ta cã: Ht(I) = min{dimRp : p V(I)}, gradeI = min{depthRp : p V(I)} Theo Định lí 2.2.2, p SpecR Rp vành Cohen - Macaulay, dimRp = depthRp Vì grade(I ) = ht(I) Đẳng thức thứ hai đ-ợc suy từ Định lí 2.2.1 Cho k tr-ờng Ta thấy môđun hữu hạn sinh vành đa thức k[X1, , Xn] vành chuỗi lũy thừa hình thức k[[X1, , Xn]] có chiều xạ ảnh hữu hạn Hơn vành vành Cohen Macaulay Một R - môđun hữu hạn sinh M đ-ợc gọi hoàn chỉnh projdimM = gradeM 2.2.4 Định lí Cho R vành Cohen - Macaulay, M R - môđun hữu hạn với chiều xạ ảnh hữu hạn (i) Nếu M môđun hoàn chỉnh M môđun Cohen - Macaulay (ii) Điều ng-ợc lại R vành địa ph-ơng Chứng minh Cho M môđun hoàn chỉnh p suppM Khi Mp môđun hoàn chỉnh Vì giả sử R vành địa ph-ơng Ta có, projdimM = dim R - depthM (công thức Auslander Buchsbaum) theo Hệ 2.2.3, gradeM = dimR - dimM Nếu M môđun hoàn chỉnh projdimM = gradeM Do depthM = dimM Nhvậy M môđun Cohen - Macaulay Ng-ợc lại M môđun Cohen - Macaulay depthM = dimM nên suy projdimM = gradeM Do M môđun hoàn chỉnh Định lí đ-ợc chứng minh 2.2.5 Định lí Cho (R, m) vành địa ph-ơng Cohen - Macaulay Khi đó, với dÃy a1, , ar m, điều kiện sau t-ơng đ-ơng: (i) D·y a1,…, ar lµ R - chÝnh quy; 20 (ii) ht(a1,…., ai) = i, ≤ i ≤ r; (iii) ht(a1,…., ar) = r; (iv) Tån t¹i ar+1,…., an (n = dimR) m cho {a1,… , an} lµ mét hƯ cđa tham sè Chøng minh (i) (ii) Từ a1 thuộc iđêan nguyên tố cực tiểu cđa (a1,…., -1), theo quy n¹p ta cã ht(a1,…., ai) i Mặt khác ht(a1,., ai) i (theo ®Þnh lÝ 1.5.2) VËy ht(a1,…., ai) = i (ii) (iii) Hiển nhiên (iii) (iv) Theo Định lí 1.5.2 (iv) (i) Cho (a1,…., an) lµ hƯ sè cđa tham số, cho p iđêan nguyên tố Ass(R) Khi ®ã dimR/p = n (theo 2.2.1(i)) NÕu p phần tử (a2, ., an) R /p sinh iđêan nguyên tố nằm iđêan cực đại R/p Nh- ta có dimR/p < n Do ®ã a1 p Nh- vËy a1 phần tử R - quy R/(a1) vành Cohen - Macaulay địa ph-ơng với chiều n (theo Định lí 2.2.1(iii)) Do đó, cách qui quy nạp theo n ta suy đ-ợc dÃy a1, …, an lµ R chÝnh quy Cho R lµ vành Noether, I iđêan R Nh- ta đà nãi ch-¬ng ht(I) = min{ht(p)| p AssR/I} I đ-ợc gọi iđêan không trộn lẫn ht(I) = ht(p), víi mäi p AssR(R/ I ) Ta nãi R thỏa mÃn định lí không trộn lẫn iđêan có dạng I = (a1,, ar)R, r = htI I không trộn lẫn Nếu I = q1 , qs phân tích nguyên sơ thu gọn I p iđêan nguyên tố IAp = qi p qiAp phân tích nguyên sơ thu gọn IAp Nh- R thỏa mÃn định lí không trộn lẫn Rp thỏa mÃn định lí đó, với iđêan cực đại p R 21 2.2.6 Định lí Vành Noether R Cohen - Macaulay iđêan I sinh htI phần tử không trộn lẫn Chứng minh () Giả sư R lµ vµnh Cohen - Macaulay Cho I lµ iđêan R đ-ợc sinh ht(I ) phần tử Ta cần chứng minh I iđêan không trộn lẫn Đặt ht(I ) = r Khi tồn a1, …, ar R I = (a1, …, ar) Ta cã {a1, …, ar} lµ d·y R - qui Do {a1, , ar} phần hƯ tham sè cđa R Suy dimR/I = dimR - r dimR/I + ht(I ) = dimR ht(I ) = dimR - dimR/I Cho p AssR/I, ta cã ht(p) + dimR/p dimR Suy ht(p ) dimR - dimR/p Do R lµ vµnh - Macaulay nên dimR/p = dimR/I Vì từ chứng minh ta có ht(I ) ht(p) Mặt khác theo định nghĩa ht(I ) ht(p) Do ht(I ) = ht(p) Vậy iđêan I iđêan không trộn lẫn () Cho J iđêan tùy ý R, htJ = k Khi tồn x1, , xk J víi ht(x1, , xi) = i, với i = 0, , k Ta có xi+1 đ-ợc chứa iđêan nguyên tố cực tiểu (x1, , xi) Vì xi+1 phần tử R/ (x1, , xi) - chÝnh qui Do ®ã x1, , xk R - dÃy Ta suy đ-ợc gradeI = htI VËy R lµ Cohen - Macaulay 2.2.7 Định lí Cho R vành Noether Các điều kiện sau t-ơng đ-ơng: (i) R thỏa mÃn định lí không trộn lẫn; (ii) Rp Cohen - Macaulay với iđêan nguyên tố p vành R; (iii) Rm Cohen - Macaulay với iđêan cực đại m cđa vµnh R 22 Chøng minh (i) (ii) Cho p iđêan nguyên tố với độ cao r Khi tìm đ-ợc dÃy (a1,., an) phần tử p cho ht(a1,., ai) = i, i r Iđêan (a1,., ai) trộn lẫn giả thiết Do ai+1 không nằm iđêan nguyên tố liên kết R/(a1,…., ai) Nh- vËy (a1,…., ar) lµ d·y R - chÝnh quy p, ®ã r ≤ depthRp ≤ dimRp = ht(p) = r (ii) (iii) HiĨn nhiªn (iii) (i) Ta cần chứng minh vành R thỏa mÃn định lí không trộn lẫn với iđêan cực đại m R Do giả sử R vành địa ph-ơng Cohen - Macaulay chứng minh R thỏa mÃn định lí không trộn lẫn Ta biết iđêan (0) không trộn lẫn Cho (a1, ., ar) iđêan với độ cao r > Khi a1,., ar dÃy R - quy Do R/(a1,., ar) Cohen - Macaulay Vì (a1,., ar) không trộn lẫn Từ định lí ta có hệ sau 2.2.8 Hệ Cho R vành Noether Khi R vành Cohen Macaulay R thỏa mÃn định lí không trộn lẫn 2.2.9 Nhận xét Từ hệ trên, ta định nghĩa: vành Noether R thỏa mÃn định lý không trộn lẫn đ-ợc gọi vành Cohen - Macaulay Điều t-ơng đ-ơng với định nghĩa đ-a R vành địa ph-ơng Cho (R, m) vành địa ph-ơng, Noether với iđêan cực đại m Vành R đ-ợc gọi vành qui tån t¹i mét hƯ tham sè cđa R sinh iđêan m Hệ tham số đ-ợc gọi hệ tham số qui 2.2.10 Định lí Nếu R vành quy R vành Cohen Macaulay 23 Chứng minh Đặt d := dimR Ta đà biết m đ-ợc sinh d phần tử Nếu d = m = (R tr-ờng) grade(m) = ht(m) = Giả sử d > cho u1,., ud d phần tử sinh m Thì dÃy (u1,, un) R - dÃy m với độ dài d Khi dimR = d ≤ depthR ≤ dimR V× thÕ depthR = dimR Ta cần chứng minh R vành Cohen - Macaulay Ta cã d = dimR = ht(m) Cho a1,…, an lµ mét R - d·y, cho J = (a1,, an) iđêan đ-ợc sinh số hạng R - dÃy Chú ý a1,, an ph¶i n»m m Chóng ta ph¶i chØ J không trộn lẫn Cho p AssJ; điều có nghĩa p AssM(R/J), depthR(R/J) ≤ dimR/p Nh-ng depthR(R/J) = gradeR/Pm = grade(m) - n = depthR - n = d - n Ng-ợc lại, htp + dimR/p ≤ dimR = d Khi ®ã htp ≤ dimR - dimR/p ≤ d - depthR(R/J) = d - (d - n) = n Mặt khác, htp htJ = n Nh- vËy htp = n Do p phần tử tuỳ ý AssJ, suy J không trộn lẫn Khi theo Hệ 2.2.8, vµnh R lµ Cohen - Macaulay 2.2.11 MƯnh đề Giả sử (R, m) vành địa ph-ơng, Noether, M R - môđun hữu hạn sinh, M bao đầy đủ m - adic M Khi đó: (i) dimR M = dimRM vµ depthRM = depthRM; (ii) M R - môđun Cohen - Macaulay nÕu vµ chØ nÕu M lµ R - môđun Cohen - Macaulay 24 Chứng minh (i) Do đồng cấu mở rộng : R R địa ph-ơng phẳng, M = M R R Từ ta có điều phải chứng minh (ii) Suy từ (i) 2.2.12 Mệnh đề Giả sử R vành Artin Khi R vành Cohen Macaulay Chứng minh Vì R vành Artin nên R vành Noether iđêan nguyên tố R tối đại Do P spec(R) htP = Khi Rp vành địa ph-ơng với số chiều 0, từ Định lí 2.1.3, depth Rp ≤ dimRp = Nh- vËy depthRp = dimRp Theo định nghĩa, RP vành Cohen Macaulay Vậy R vành Cohen - Macaulay 2.2.13 Định lí Cho R vành Cohen - Macaulay Khi vành đa thøc R[x1,…., xn] cịng lµ vµnh Cohen - Macaulay Chøng minh Ta cần chứng minh n = Đặt B = R[x] Cho P iđêan nguyên tố B đặt p = P R Chúng ta chứng minh vành địa ph-ơng Bp Cohen - Macaulay Do Bp địa ph-ơng hoá cđa Rp [x] vµ tõ Rp lµ vµnh Cohen - Macaulay nên ta giả thiết R vành địa ph-ơng p iđêan tối đại R Khi B/pB = K[x], K tr-ờng Do ta có P = pB P = pB + fB, f = f(x) B đa thức đơn hệ với bậc d-ơng Do B môđun phẳng R, nên Bp Điều suy với bất kú d·y R - chÝnh quy a1,…., ar (r = dim R) p cịng lµ Bp chÝnh quy NÕu P = pB, ta cã dim Bp = dimR vµ depth Bp dim R Bp vành Cohen - Macaulay 25 NÕu P = pB + fB dim Bp = dimR + đa thức đơn hệ -ớc không vành R/( a1,., ar)[x], ta có depth Bp ≥ r +1 = dim Bp Nh- vËy Bp lµ Cohen - Macaulay Vậy theo Định lí 2.2.7 Hệ 2.2.8, ta có B = R[x] vành Cohen - Macaulay 2.2.14 Định lý Cho vành địa ph-ơng Noether (R, m), M R - môđun Cohen - Macaulay víi dimM = d Khi ®ã Him(M) = 0, víi mäi i ≠ d Chøng minh Theo tÝnh chÊt môđun đối đồng điều địa ph-ơng Him(M) = víi mäi i < depthM hc víi mäi i > d Ta chøng minh qui n¹p theo d n (0 M : m ) Vì M Khi d = 1, ta ph¶i chøng minh H0m(M) = = n môđun Cohen - Macaulay nên tồn x m lµ M - chÝnh qui, tøc lµ 0: M x = 0: M xn = Mµ x m 0: mn 0: M xn= H0m (M) = Giả sử định lí với môđun có chiều bé d Do M môđun Cohen - Macaulay nên tồn x1 m M - qui Khi ta cã d·y khíp: x1 M M/x1M 0 M Suy d·y khíp dµi: x1 i Hi-1 Him (M) Him (M/x1M) m (M/x1M) Hm (M) Do M/xpM môđun Cohen - Macaulay dim M/x1M = d - nên theo giả thiết qui nạp Him(M/x1M) = 0, i ≠ d - Tõ ®ã ta có đơn ánh: x1 Him (M), i d Him (M) 26 Giả sử tồn y Him(M), y ≠ 0, x1y ≠ x1ny 0, n Điều mâu thuẫn với tính chất đối đồng điều địa ph-ơng: x m, y Him (M) tồn n cho: xny = Do ®ã y = hay Him(M) = 0, i ≠d KÕt luận Vành môđun Cohen - Macaulay lớp vành môđun mà ng-ời ta quan tâm đến nhiều Đại số giao hoán Dựa vào tài liệu tham khảo mà chủ yếu [3], [4] [5] đà tìm hiểu, tổng hợp, từ trình bày cách có hệ thống khái niệm vành môđun Cohen Macaulay Cụ thể luận văn đà hoàn thành đ-ợc việc sau: Trình bày khái niệm vành môđun Cohen - Macaulay Trình bày số tính chất vành môđun Cohen Macaulay 27 Tài liệu tham khảo A Tiếng Việt [1] Ng« Sü Thđy, 2005, Mét sè tÝnh chÊt cđa môđun giả Cohen Macaulay môđun giả Cohen - Macaulay suy rộng, Luận văn thạc sĩ toán học, Vinh B TiÕng Anh [2] M F Atiyah and I G Macdonal, 1969, Introduction to commutative algebra Addison – Wesley [3] W Bruns and J Herzog, 1992, Cohen - Macaulay rings, Cambridge University Press [4] H Matsumura, 1970, Commutative algebra, W A Benjamin, Inc [5] R Y Sharp, 1990, Steps in commutative algebra, Cambridge University Press 28 ... iđêan cực đại m R (iii) Vành R đ-ợc gọi vành Cohen - Macaulay R R - môđun Cohen - Macaulay 2.2 Một số tính chất vành môđun Cohen- Macaulay Định lí sau nói lên với môđun Cohen - Macaulay, bậc iđêan... môđun M đ-ợc gọi Cohen - Macaulay môđun địa ph-ơng hóa Mm Rm môđun Cohen - Macaulay, với iđêan cực đại m R Vành R đ-ợc gọi vành Cohen - Macaulay R R - môđun Cohen - Macaulay Khái niệm môđun Cohen. .. niệm vành môđun Cohen - Macaulay Trình bày số tính chất vành môđun Cohen Macaulay 27 Tài liệu tham khảo A Tiếng ViƯt [1] Ng« Sü Thđy, 2005, Mét sè tÝnh chÊt môđun giả Cohen Macaulay môđun giả Cohen
Ngày đăng: 16/10/2021, 22:29
Xem thêm:
