Một số tính chất cơ bản của hàm điều hòa

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Bùi Bá Thiệu MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÀM ĐIỀU HÒA KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Bùi Bá Thiệu MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÀM ĐIỀU HÒA Chuyên ngành: Giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN ANH TÚ Hà Nội – Năm 2017 Mục lục Lời mở đầu 1 Một số kiến thức hàm điều hòa 1.1 Định nghĩa ví dụ hàm điều hòa 1.2 Tính bất biến lớp hàm điều hòa phép tịnh 1.3 tiến, phép vị tự phép quay Phép biến đổi Kelvin Một số tính chất hàm điều hòa 2.1 12 Các tính chất hàm điều hòa 15 2.1.1 Định lý giá trị trung bình 15 2.1.2 Nguyên lý cực đại mạnh 17 2.1.3 Nguyên lý cực tiểu mạnh 18 2.1.4 Bất đẳng thức Harnack 24 2.2 Định lý Liouville 25 2.3 Các định lý hội tụ 28 Bài toán biên phương trình Laplace 34 3.1 Bài toán Dirichlet phương trình Laplace 34 3.2 Hàm Green 36 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.2.1 3.3 BÙI BÁ THIỆU Cách xây dựng hàm Green Sự tồn nghiệm toán Dirichlet phương trình Laplace hình cầu 3.4 36 39 3.3.1 Hàm Green cho hình cầu 39 3.3.2 Công thức Poisson cho hình cầu 41 Hàm Green cho nửa không gian 45 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 ii Danh mục kí hiệu Trong toàn khóa luận, ta sử dụng kí hiệu sau • Rn không gian Euclide thực n chiều (n ∈ N, n > 1) • Rn+ = {x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn |xn > 0} nửa không gian • Cho x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn , y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn , ta kí hiệu chuẩn x, tích vô hướng khoảng cách x y |x| = x21 + x22 + · · · + x2n , x · y = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn , |x − y| = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + · · · + (xn − yn )2 • Cho x ∈ Rn , tập hợp A, B ⊂ Rn Khi ta kí hiệu d (x, A) = inf |x − y|, y∈A khoảng cách từ điểm x đến tập A iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI BÁ THIỆU d (A, B) = inf x∈A, y∈B |x − y|, khoảng cách hai tập A B D= sup |x − y|, x∈A, y∈A đường kính tập A • B (x, R) = {y ∈ Rn | |y − x| < R} hình cầu mở Rn với tâm x bán kính R > • B (x, R) = {y ∈ Rn | |y − x| R} hình cầu đóng Rn với tâm x bán kính R > • ωn thể tích hình cầu đơn vị Rn • Ω tập mở Rn , ∂Ω biên Ω, Ω = Ω ∪ ∂Ω bao đóng Ω • A ⊂⊂ Ω A ⊂ A ⊂ Ω A tập compact • µ = (µ1 , µ2 , , µn ) vectơ đơn vị pháp tuyến ∂Ω iv Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI BÁ THIỆU • Nếu u : Ω → R, ta viết u (x) = u (x1 , x2 , , xn ) (x ∈ Ω) Ta thường viết ∂u , ∂xi ∂ 2u = 2, ∂xj ∂ 2u = , ∂xi ∂xj ∂ 3u = , ∂xi ∂xj ∂xk uxi = uxj xj uxi xj uxi xj xk v.v Một vectơ có dạng α = (α1 , α2 , , αn ), thành phần αi số nguyên không âm (i ∈ {1, 2, , n}), gọi đa số bậc |α| = α1 + α2 + · · · + αn Cho trước đa số α, kí hiệu Dα u = ∇u = ∂ |α| u ∂xα1 ∂xα2 · · · ∂xαnn ∂u ∂u ∂u , , , ∂x1 ∂x2 ∂xn gradient u n ∆u = i=1 toán tử Laplace u v ∂ 2u ∂x2i Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI BÁ THIỆU ∂u đạo hàm u theo hướng vectơ đơn vị pháp tuyến ∂µ µ ∂Ω ✂ nωn Rn−1 udS ∂B(ξ,R) giá trị trung bình u ∂B (ξ, R) ✂ ωn R n u (x) dx B(ξ,R) giá trị trung bình u B (ξ, R) • C(Ω) không gian tất hàm liên tục Ω • C k (Ω) (k ∈ N, k 1) không gian tất hàm có đạo hàm riêng đến cấp k thuộc C(Ω) • C ∞ (Ω) không gian tất hàm thuộc C k (Ω) với k ∈ N • Cho A ⊂ Rn bất kì, ta kí hiệu C(A) không gian tất hàm thuộc C(A0 ) có thác triển liên tục A, với A0 phần tập A C k (A) (k ∈ N, k 1) không gian tất hàm có đạo hàm riêng đến cấp k thuộc C(A) vi Khóa luận tốt nghiệp Đại học • Lp (Ω) = BÙI BÁ THIỆU u : Ω → R u đo Lebesgue , u Lp (Ω) 0), ta sử dụng phản xạ qua ∂B (0, R) Định nghĩa 3.3 Nếu x ∈ Rn ta gọi  x   R2 |x| x=  ∞ 39 , x = 0, , x = 0, Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI BÁ THIỆU điểm đối ngẫu x qua ∂B (0, R) Ánh xạ x → x gọi nghịch đảo qua ∂B (0, R) Bây ta sử dụng nghịch đảo qua ∂B (0, R) để tìm hàm Green cho B (0, R) Với ξ ∈ B (0, R), hàm Green cho B (0, R) có dạng G(x, ξ) = Γ(x − ξ) + h(x), h(x) hàm điều hòa B (0, R) h (x) = −Γ (x − ξ) ∂B (0, R) Chọn h (x) = −Γ (λ(x − η)) (λ ∈ R\ {0}) Khi h(x) hàm điều hòa ∀x = η ta chọn η ∈ / B (0, R) h(x) hàm điều hòa B (0, R) Việc chọn η λ thực sau Cụ thể, kí hiệu  ξ   R2 |ξ| ξ=   ∞ , ξ = 0, , ξ = 0, điểm đối ngẫu ξ qua ∂B (0, R) Rõ ràng, ξ ∈ B (0, R) ξ ∈ / B (0, R) Do ta chọn η = ξ Dễ dàng kiểm tra x ∈ ∂B (0, R) |x − ξ| = Do ta chọn λ = |ξ| x−ξ , R |ξ| R 40 ∀ξ = Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI BÁ THIỆU Định nghĩa 3.4 Hàm Green cho B (0, R) xác định sau  |ξ|   Γ (x − ξ) − Γ x−ξ R G(x, ξ) =   Γ (x) − Γ (R) Dễ thấy G (x, ξ) = G (ξ, x), G (x, ξ) , ξ = 0, , ξ = 0, với x, ξ ∈ B(0, R), x = ξ Hơn nữa, cách tính toán trực tiếp ta có ∂G R2 − |ξ|2 = |x − ξ|−n , ∂υ nωn R với x ∈ ∂B(0, R), υ vectơ đơn vị pháp tuyến ∂B (0, R) Nếu u ∈ C (B (0, R)) ∩ C B(0, R) hàm điều hòa theo biểu diễn Green hàm điều hòa ta ✂ R2 − |ξ|2 u (ξ) = nωn R u dS, |x − ξ|n ∂B(0,R) với ξ ∈ B (0, R) Vế phải công thức gọi tích phân Poisson hàm u R2 − |ξ|2 Hàm K (x, ξ) = , với ξ ∈ B (0, R), x ∈ ∂B (0, R) nωn R|x − ξ|n gọi nhân Poisson cho B (0, R) 3.3.2 Công thức Poisson cho hình cầu Định lý 3.3 Giả sử ψ hàm liên tục ∂B (0, R) Khi hàm u xác định 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI BÁ THIỆU  ✂ 2  R − |ξ| ψ   dS  nωn R |x − ξ|n u(ξ) = ∂B(0,R)     ψ(ξ) , ξ ∈ B (0, R), , ξ ∈ ∂B (0, R), thuộc C (B (0, R)) ∩ C B (0, R) thỏa mãn phương trình ∆u = B (0, R) hay u nghiệm toán Dirichlet phương trình Laplace B (0, R) Chứng minh Rõ ràng hàm u thỏa mãn công thức cho hàm điều hòa B (0, R) Tiếp theo ta chứng minh hàm u liên tục ∂B (0, R) Thật vậy, ta có ✂ K(x, ξ)dS = 1, ∀ξ ∈ B (0, R), ∂B(0,R) R2 − |ξ|2 K(x, ξ) = nωn R|x − ξ|n Với ξ (0) ∈ ∂B (0, R), ψ liên tục ∂B (0, R) nên ψ liên tục ξ (0) Do với ε > 0, tồn δ > cho x − ξ (0) < δ < 2R ε ψ (x) − ψ ξ (0) Vì ψ liên tục ∂B (0, R) nên tồn M > cho |ψ(ξ)| M, ∀ξ ∈ ∂B (0, R) Gọi σ giao ∂B (0, R) B ξ (0) , δ δ Đặt δ1 = với ξ − ξ (0) < δ1 ta có 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI BÁ THIỆU ✂ u (ξ) − u ξ (0) K (x, ξ) ψ (x) − ψ ξ (0) = dS ∂B(0,R) ✂ K (x, ξ) ψ (x) − ψ ξ (0) dS = I ∂B(0,R) Mặt khác, lại có ✂ K (x, ξ) ψ (x) − ψ ξ (0) I= σ dS ✂ K (x, ξ) ψ (x) − ψ ξ (0) + dS ∂B(0,R)\σ n−2 ε 2M R − |ξ| R + n δ Vì ||ξ| − R| |ξ| − ξ (0) + ξ (0) − R = |ξ| − ξ (0) ξ − ξ (0) nên ξ − ξ (0) đủ nhỏ, ta có 2M R2 − |ξ|2 Rn−2 δ Từ ta u (ξ) − u ξ (0) n ε ε ξ − ξ (0) đủ nhỏ Do u liên tục ξ (0) Định lý 3.4 Giả sử u ∈ C (Rn ) hàm điều hòa Rn u bị chặn bị chặn Khi u số Chứng minh Nếu u hàm điều hòa bị chặn M 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI BÁ THIỆU u (ξ) M, ∀ξ ∈ Rn , −u hàm điều hòa bị chặn −M −u (ξ) ∀ξ ∈ Rn −M, Vì vậy, cần xét chẳng hạn trường hợp u (ξ) bị chặn u (ξ) Luôn coi m m, ∀ξ ∈ Rn 0, không cần cộng thêm vào u số −m Như ta giả thiết u (ξ) ∀ξ ∈ Rn 0, Giả sử ξ điểm Rn Xét B (0, R) (R > 0) bao lấy điểm ξ bên Khi với x ∈ ∂B (0, R) rõ ràng ta có bất đẳng thức R − |ξ| |x − ξ| R + |ξ| Từ ta có đánh giá sau với nhân Poisson (R − |ξ|) (R + |ξ|) nωn R(R + |ξ|)n Vì u (x) R2 − |ξ|2 nωn R|x − ξ|n (R − |ξ|) (R + |ξ|) nωn R(R − |ξ|)n Rn nên ta có (R − |ξ|) Rn−2 (R + |ξ|)n−1 nωn Rn−1 ✂ ✂ udS ∂B(0,R) ∂B(0,R) 44 R2 − |ξ|2 udS, nωn R|x − ξ|n Khóa luận tốt nghiệp Đại học ✂ R2 − |ξ|2 udS nωn R|x − ξ|n BÙI BÁ THIỆU (R + |ξ|) Rn−2 (R − |ξ|)n−1 nωn Rn−1 ∂B(0,R) ✂ udS ∂B(0,R) Từ suy (R − |ξ|) Rn−2 u (0) (R + |ξ|)n−1 u (ξ) (R + |ξ|) Rn−2 u (0) (R − |ξ|)n−1 Cho R → ∞, ta thấy u (0) u (ξ) u (0) , tức u (ξ) = u (0) , ∀ξ ∈ Rn Vậy định lý chứng minh 3.4 Hàm Green cho nửa không gian Định nghĩa 3.5 Cho điểm x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn+ Ta gọi điểm x = (x1 , x2 , , −xn ) điểm phản xạ x qua mặt ∂Rn+ Một cách tương tự xây dựng hàm Green cho hình cầu ta hàm Green cho nửa không gian Định nghĩa 3.6 Hàm Green cho nửa không gian Rn+ có dạng G (x, ξ) = Γ (x − ξ) − Γ x − ξ ξ điểm phản xạ ξ qua ∂Rn+ 45 , Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI BÁ THIỆU Khi   ∂G  xn − ξn xn + ξn  = n n − ∂xn nωn |x − ξ| x−ξ Suy ra, x ∈ ∂Rn+ ∂G ∂G 2ξn =− , = ∂υ ∂xn nωn |x − ξ|n υ vectơ đơn vị pháp tuyến ∂Rn+ Định lý 3.5 (Công thức Poisson cho nửa không gian) Cho g ∈ C Rn−1 ∩ L∞ Rn−1 Hàm u xác định ✂  2ξn g n   n dS , ξ ∈ R+ ,  nω |x − ξ| n u (ξ) = ∂Rn+    g (ξ) , ξ ∈ ∂Rn+ Khi (i) u ∈ C ∞ (Rn+ ) ∩ L∞ (Rn+ ) , (ii) ∆u = Rn+ , (iii) lim u (ξ) = g ξ (0) , với điểm ξ (0) ∈ ∂Rn+ ξ→ξ (0) Chứng minh (i) Dễ thấy u ∈ C ∞ (Rn+ ) ∩ L∞ (Rn+ ) (ii) Bằng cách tính toán trực tiếp ta rằng, với ξ ∈ Rn+ ✂ K (x, ξ) dS = 1, ∂Rn+ 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI BÁ THIỆU 2ξn nωn |x − ξ|n Vì g giới nội, u xác định theo công thức cho giới nội K (x, ξ) = Vì x → K (x, ξ) hàm trơn với x = ξ, ta dễ dàng kiểm tra ✂ ∆u (ξ) = ∀ξ ∈ Rn+ ∆K (ξ) gdS = 0, ∂R+ n (iii) Bây ta cố định ξ (0) ∈ ∂Rn+ , ε > Chọn δ > đủ nhỏ cho g (x) − g ξ (0) ε, x − ξ (0) < δ, x ∈ ∂Rn+ δ Khi đó, ξ − ξ (0) < ✂ u (ξ) − g ξ (0) K (x, ξ) g (x) − g ξ (0) = dS ∂Rn+ ✂ K (x, ξ) g (x) − g ξ (0) dS K (x, ξ) g (x) − g ξ (0) dS = I + J, ∂Rn+ ∩B (ξ (0) ,δ ) ✂ + ∂Rn+ \B (ξ (0) ,δ ) ✂ I= K (x, ξ) g (x) − g ξ (0) dS, K (x, ξ) g (x) − g ξ (0) dS ∂Rn+ ∩B (ξ (0) ,δ ) ✂ J= ∂Rn+ \B (ξ (0) ,δ ) 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI BÁ THIỆU Ta có ✂ I K (x, ξ) dS = ε ε ∂Rn+ Tiếp theo, ξ − ξ (0) < x−ξ (0) δ x − ξ (0) |x − ξ| + ξ − ξ δ ta nhận δ |x − ξ| + (0) x − ξ (0) |x − ξ| + Do x − ξ (0) |x − ξ| Như ✂ J g K (x, ξ) dS L∞ (Rn−1 ) ∂Rn+ \B (ξ (0) ,δ ) 2n+2 ξn g ✂ L∞ (Rn−1 ) x − ξ (0) nωn ∂Rn+ \B (ξ (0) ,δ ) ξn → 0+ Từ u (ξ) − g ξ (0) 2ε, ξ − ξ (0) đủ nhỏ Vậy định lý chứng minh 48 −n dS → 0, Kết luận Nội dung trình bày khóa luận bao gồm: Trình bày định nghĩa ví dụ hàm điều hòa, tính bất biến lớp hàm điều hòa phép tịnh tiến, phép vị tự phép quay, phép biến đổi Kelvin Nghiên cứu số tính chất hàm điều hòa Đó định lý giá trị trung bình, nguyên lý cực đại mạnh, nguyên lý cực tiểu mạnh, bất đẳng thức Harnack, định lý Liouville định lý hội tụ Trình bày toán Dirichlet phương trình Laplace, hàm Green, cách xây dựng hàm Green, tồn nghiệm toán Dirichlet phương trình Laplace hình cầu, hàm Green cho nửa không gian 49 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thừa Hợp, (2006), Giáo trình phương trình đạo hàm riêng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Mạnh Hùng, (2009), Phương trình vi phân đạo hàm riêng, Nhà xuất Đại học Sư phạm [3] Trần Đức Vân, (2005), Lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Sheldon Axler, Paul Bourdon, Wade Ramey, (2001), Harmonic Function Theory, Springer - Verlag, New York [5] David Gilbarg, Neil S.Trudinger, (2001), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer - Verlag, Berlin Heidelberg, New York [6] Lawrence C.Evans, (1998), Partial Differential Equations, American Mathematical Society [7] Fritz John, (1982), Partial Differential Equations, Springer - Verlag, New York 50 ... tài: " Một số tính chất hàm điều hòa " Nội dung khóa luận chia làm ba chương Chương "Một số kiến thức hàm điều hòa" trình bày định nghĩa ví dụ hàm điều hòa, tính bất biến lớp hàm điều hòa phép... ta thấy ∆u = Ω ∆K [u] = Ω∗ Vậy u hàm điều hòa Ω K [u] hàm điều hòa Ω∗ 11 Chương Một số tính chất hàm điều hòa Trong chương ta trình bày tính chất hàm điều hòa Trước hết, ta nhắc lại công thức... y + hàm điều hòa R2 x hàm điều hòa R2 (0, 0) (ii) Hàm u (x, y) = 2 x +y (iii) Hàm u (x, y, z) = x2 + 2y − 3z hàm điều hòa R3 (iv) Các hàm tọa độ u (x) = xi (i ∈ {1, 2, , n}) hàm điều hòa