Việchiểu rõ các tính chất của hàm điều hòa là không thể thiếu được khinghiên cứu phương trình đạo hàm riêng.. Nguyễn Anh Tú ở Viện Toán học emxin mạnh dạn thực hiện khóa luận với đề tài:
Trang 1Bùi Bá Thiệu
MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CƠ BẢN CỦA HÀM ĐIỀU HÒA
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Trang 2KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS NGUYỄN ANH TÚ
Hà Nội – Năm 2017
Trang 3Lời mở đầu 1
1.1 Định nghĩa và ví dụ về hàm điều hòa 3
1.2 Tính bất biến của lớp hàm điều hòa đối với phép tịnh tiến, phép vị tự và phép quay 5
1.3 Phép biến đổi Kelvin 8
2 Một số tính chất của hàm điều hòa 12 2.1 Các tính chất cơ bản của hàm điều hòa 15
2.1.1 Định lý giá trị trung bình 15
2.1.2 Nguyên lý cực đại mạnh 17
2.1.3 Nguyên lý cực tiểu mạnh 18
2.1.4 Bất đẳng thức Harnack 24
2.2 Định lý Liouville 25
2.3 Các định lý về sự hội tụ 28
3 Bài toán biên đối với phương trình Laplace 34 3.1 Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace 34
Trang 43.2.1 Cách xây dựng hàm Green 36
3.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace trong hình cầu 39
3.3.1 Hàm Green cho hình cầu 39
3.3.2 Công thức Poisson cho hình cầu 41
3.4 Hàm Green cho nửa không gian 45
Trang 5Trong toàn bộ khóa luận, ta sử dụng các kí hiệu sau đây.
• Cho x ∈ Rn
, các tập hợp A, B ⊂ Rn Khi đó ta kí hiệu
d (x, A) = inf
y∈A|x − y|,
Trang 6d (A, B) = inf
x∈A, y∈B|x − y|,
là khoảng cách giữa hai tập A và B
• ωn là thể tích hình cầu đơn vị trong Rn
• Ω là một tập mở trong Rn, ∂Ω là biên của Ω, Ω = Ω ∪ ∂Ω là baođóng của Ω
• A ⊂⊂ Ω là A ⊂ A ⊂ Ω và A là tập compact
• µ = (µ1, µ2, , µn) là vectơ đơn vị pháp tuyến ngoài đối với ∂Ω
Trang 7Một vectơ có dạng α = (α1, α2, , αn), trong đó mỗi thành phần
αi là một số nguyên không âm (i ∈ {1, 2, , n}), được gọi là một
đa chỉ số bậc
|α| = α1 + α2 + · · · + αn.Cho trước một đa chỉ số α, kí hiệu
Trang 8là giá trị trung bình của u trên B (ξ, R).
• C(Ω) là không gian tất cả các hàm liên tục trên Ω
Trang 9• Lp(Ω) =
n
u : Ω → R
u là đo được Lebesgue , kukLp (Ω) < ∞
o,trong đó
u là đo được Lebesgue , kukL∞ (Ω) < ∞
o,trong đó
kukL∞ (Ω) = ess sup
Ω
|u|
Trang 10Hàm điều hòa là một khái niệm cơ bản của giải tích hiện đại Việchiểu rõ các tính chất của hàm điều hòa là không thể thiếu được khinghiên cứu phương trình đạo hàm riêng Cùng với đó các nghiên cứu
về bài toán biên đối với phương trình Laplace cho ta những kết quảthú vị
Vì vậy với lí do trên cùng với sự đam mê của bản thân và sự giúp
đỡ tận tình của thầy giáo – TS Nguyễn Anh Tú ở Viện Toán học emxin mạnh dạn thực hiện khóa luận với đề tài: " Một số tính chất cơbản của hàm điều hòa "
Nội dung chính của khóa luận được chia làm ba chương
Chương 1 "Một số kiến thức về hàm điều hòa" trình bày định nghĩa
và ví dụ về hàm điều hòa, tính bất biến của lớp hàm điều hòa đối vớiphép tịnh tiến, phép vị tự và phép quay, phép biến đổi Kelvin
Chương 2 "Một số tính chất của hàm điều hòa" nghiên cứu một sốtính chất của hàm điều hòa Đó là định lý giá trị trung bình, nguyên
Trang 11lý cực đại mạnh, nguyên lý cực tiểu mạnh, bất đẳng thức Harnack,định lý Liouville và các định lý về sự hội tụ.
Chương 3 "Bài toán biên đối với phương trình Laplace" trình bày
về bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace, hàm Green, cáchxây dựng hàm Green, sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet đối vớiphương trình Laplace trong hình cầu, hàm Green cho nửa không gian
Tài liệu tham khảo chính của khóa luận là Chương 3, Chương 4của tài liệu [1], Chương 2 của tài liệu [2], Chương 3 của tài liệu [3],Chương 1, Chương 4 của tài liệu [4]
Kết quả của khóa luận là đã trình bày được một số cách chứngminh mới ngắn gọn cho Định lý 2.13, Định lý 2.14 của Chương 2 và
có Định lý 1.2 của Chương 1 là mới
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Giải tích, đã tạo điều kiện thuậnlợi cho em trong quá trình thực hiện bản khóa luận này
Hà Nội, tháng 5 năm 2017Sinh viên thực hiện
Trang 12Một số kiến thức về hàm điều hòa
1.1 Định nghĩa và ví dụ về hàm điều hòa
Định nghĩa 1.1 Hàm u ∈ C2(Ω) được gọi là hàm điều hòa trong Ωnếu thỏa mãn phương trình Laplace
∆u(x) = 0, ∀x ∈ Ω
Hàm u được gọi là hàm điều hòa trong tập A ⊂ Rn (không nhấtthiết mở) nếu u có thể thác triển thành một hàm điều hòa trong mộttập mở chứa A
Ví dụ 1.1.1 (i) Hàm u (x, y) = x + y + 1 là hàm điều hòa trong R2.(ii) Hàm u (x, y) = x
x2 + y2 là hàm điều hòa trong R2\(0, 0)
(iii) Hàm u (x, y, z) = x2 + 2y2 − 3z2
là hàm điều hòa trong R3.(iv) Các hàm tọa độ u (x) = xi (i ∈ {1, 2, , n}) là hàm điều hòatrong Rn
(v) Với mỗi ξ ∈ Rn, hàm Γ (x − ξ) xác định bởi
Trang 13Vậy Γ là hàm điều hòa trong Rn\ {ξ}.
Ngoài ra, trong ví dụ (v) ta có các đánh giá sau đối với đạo hàmcủa hàm Γ như sau
∂Γ
∂xi
x(i) − y
n−2 > −ε
Vì ε > 0 bất kì nên ta được u (y) > 0
Với n = 2 thì ta lí luận cũng hoàn toàn tương tự nhưng hàm v(x)được chọn là
Trang 33trong đó D là đường kính của Ω.
Vậy hệ quả được chứng minh
2.1.4 Bất đẳng thức Harnack
Định lý 2.8 (Bất đẳng thức Harnack) Giả sử u ∈ C2(Ω) là một hàmđiều hòa không âm trong Ω Khi đó với mỗi tập mở, liên thông A thỏamãn A ⊂⊂ Ω thì tồn tại một hằng số C chỉ phụ thuộc vào A sao cho
u (y) 6 2nu (x) Bây giờ, xét x, y ∈ A bất kì Vì A là liên thông và A là compactnên ta có thể phủ A bằng một số hữu hạn hình cầu mở {Bi}Ni=1(N ∈ N, N > 1) mà mỗi hình cầu có bán kính r và Bi ∩ Bi+1 6= ∅(i ∈ {1, 2, , N − 1}) Từ đó ta được
u (y) 6 2nNu (x)
Trang 34A u 6 2nN inf
A u
Đặt C = 2nN Ta thấy C chỉ phụ thuộc vào A
Vậy định lý được chứng minh
2.2 Định lý Liouville
Định lý 2.9 Giả sử u ∈ C (Ω) Nếu đối với bất kì B (ξ, R) ⊂ Ω, hàm
u thỏa mãn đẳng thức về giá trị trung bình
Chứng minh Xem [3], Định lý 3.6, trang 66
Định lý 2.10 (Đánh giá của đạo hàm) Giả sử u ∈ C2(Ω) là hàmđiều hòa trong Ω Khi đó
|Dαu(x0)| 6 Ck
rn+kkukL1 (B(x 0 ,r)), (2.1)với mỗi B(x0, r) ⊂ Ω (r > 0) và với mỗi đa chỉ số α bậc |α| = k Ở đây
Trang 35đối với hàm điều hòa.
Với k = 1 thì trước hết ta thấy uxi (i ∈ {1, 2, , n}) là hàm điều hòatrong Ω Thật vậy, vì u là hàm điều hòa trong Ω nên ∆u = 0 trong Ω
=
6 2n
r kukL∞ (∂B(x 0 ,r/2))
(2.2)
Trang 36|u (x)| 6 1
ωn
2r
n
kukL1 (B(x0,r)).Kết hợp những bất đẳng thức trên đây ta nhận được
Như vậy, (2.1) đúng với k = 1
Bây giờ giả thiết k > 2 và (2.1) đúng với mọi hình cầu mở trong Ω vàvới từng đa chỉ số nhỏ hơn hoặc bằng k − 1 Cố định B (x0, r) và xét
Vì (2.1) đúng với k − 1 cho nên ta có
|Dαu (x0)| 6 2
n+1nkk
ωnrn+k kukL1 (B(x 0 ,r)).Điều này khẳng định (2.1) đúng với |α| = k
Vậy định lý được chứng minh
Trang 37Định lý 2.11 (Định lý Liouville) Giả sử u ∈ C2(Rn) là hàm điềuhòa và giới nội trong Rn Khi đó u là hằng số.
n+1n
ωn .Như vậy ∇u ≡ 0 và kéo theo u là hằng số
Vậy định lý được chứng minh
thì u là một hàm điều hòa trong Ω
Chứng minh Nếu ∆u 6= 0, thì tồn tại B (ξ, R) ⊂ Ω sao cho, chẳng
Trang 38Mâu thuẫn này chứng minh định lý.
Định lý 2.13 (Định lý Harnack 1) Cho Ω là một tập liên thông, bịchặn trong Rn, với ∂Ω trơn
Giả sử {um(x)} (m ∈ N) là một dãy các hàm điều hòa trong Ω và
um(x) liên tục trong Ω
Nếu dãy {um(x)} hội tụ đều trên ∂Ω thì
(i) Dãy {um(x)} hội tụ đều trong Ω
(ii) Hàm giới hạn u(x) của dãy nói trên là một hàm điều hòa trong Ω.(iii) Với bất kì tập mở A thỏa mãn A ⊂⊂ Ω thì dãy các đạo hàm tùy ýcủa {um(x)} hội tụ đều tới đạo hàm tương ứng của hàm giới hạn u(x)
Chứng minh (i) Vì dãy {um(x)} hội tụ đều trên biên ∂Ω nên với mỗi
ε > 0 cho trước tồn tại N (ε) ∈ N sao cho khi m > N và với p ∈ N bất
kì, ta có
|um+p(x) − um(x)| 6 ε, ∀x ∈ ∂Ω
Theo Hệ quả 2.3 ta được
Trang 39|um+p(x) − um(x)| 6 ε, ∀x ∈ Ω.
Khi đó
|um+p(x) − um(x)| 6 ε, ∀x ∈ Ω
Vậy dãy {um(x)} hội tụ đều trong Ω
(ii) Vì um(x) là hàm điều hòa trong Ω nên với bất kì B (ξ, R) thỏamãn B (ξ, R) ⊂ Ω, ta có đẳng thức về giá trị trung bình
Như trên ta đã thấy, dãy {um(x)} hội tụ đều trong Ω nên rõ ràng
nó hội tụ đều trong B (ξ, R) Gọi u(x) là hàm giới hạn của um(x), từ(2.3) khi m → ∞, ta có
Như vậy hàm u thỏa mãn đẳng thức về giá trị trung bình Hơn nữa,
u là hàm liên tục trong Ω vì nó là hàm giới hạn của dãy các hàm liêntục {um(x)} hội tụ đều trong Ω Do đó theo Định lý 2.12 thì u là hàmđiều hòa trong Ω
(iii) Đặt d (A, ∂Ω) = 3δ (δ > 0)
Xét những hình cầu mở có tâm thuộc A, bán kính δ phủ toàn bộ A.Theo định lí Heine-Borel có một số hữu hạn hình cầu mở V , V , , V
Trang 40các đạo hàm của {um(x)} hội tụ đều trong A, chỉ cần chứng minh dãy
đó hội tụ đều trong từng hình cầu mở Vj ( j ∈ {1, 2, , q})
Xét bất kì hình cầu mở Vj nào đó Do {um(x)} hội tụ đều trong Vjnên với mỗi ε > 0 cho trước, tồn tại N (ε) ∈ N sao cho ∀m > N ,
∀p ∈ N ta có
|um+p(x) − um(x)| 6 ε, ∀x ∈ Vj.Khi đó ∀m > N , ∀p ∈ N, ∀ξ ∈ Vj, với mỗi đa chỉ số α bậc |α| = k, ápdụng Định lý 2.10, ta có
C0 = 1
ωn, Ck =
2n+1nkk
ωn (k ∈ N, k > 1) Điều này chứng tỏ dãy các đạo hàm {Dαum(ξ)} hội tụ đều trong Vj
Từ đó {Dαum(ξ)} hội tụ đều trong A Vì vậy, ta có
lim
m→∞Dαum(ξ) = Dα
lim
m→∞ um(ξ)
= Dαu (ξ) Vậy định lý được chứng minh
Định lý 2.14 (Định lý Harnack 2) Cho Ω là một tập liên thông, bịchặn trong Rn, với ∂Ω trơn
Trang 41Giả sử {um(x)} (m ∈ N) là dãy đơn điệu các hàm điều hòa trong Ω,chẳng hạn
um+1(x) > um(x) , ∀x ∈ Ω, (2.4)hội tụ tại một điểm ξ0 nào đó của Ω thì dãy đó hội tụ trong Ω tới mộthàm điều hòa u(x) và sự hội tụ ấy là đều trong mọi tập mở A thỏamãn A ⊂⊂ Ω
Cho m → ∞, p bất kì, do sự hội tụ của {um(ξ0)} nên vm,p(ξ0) → 0
Từ đó ta suy ra {vm,p(ξ)} hội tụ đều về 0 trong VR
Nói khác đi, dãy {um(ξ)} hội tụ đều trong VR Do đó, theo định lýHarnack 1, thì hàm giới hạn u (ξ) là hàm điều hòa trong VR
Dãy um(ξ) không những hội tụ trong VR mà còn hội tụ trong toàn Ω
Trang 42Ta nối ξ0 với ξ∗ bởi một đường l nằm gọn trong Ω và đặt d (l, ∂Ω) = 2δ.Xét hình cầu mở V (ξ0, δ) và gọi ξ1 là giao điểm của đường nối ξ0 với
ξ∗ với biên ∂V (ξ0, δ) của hình cầu mở V (ξ0, δ) Theo chứng minh trênthì dãy {um(ξ)} hội tụ tại ξ1 Lại xét hình cầu mở V (ξ1, δ) và gọi ξ2 làgiao điểm của phần đường nối ξ1 với ξ∗ của đường l với biên ∂V (ξ1, δ)của hình cầu mở V (ξ1, δ)
Theo chứng minh trên {um(ξ)} hội tụ tại ξ2 Tiếp tục như vậy, tađược một dãy các hình cầu chuyển dần về ξ∗ và sau một số hữu hạnbước thì ta có một hình cầu mở V (ξk, δ) (k ∈ N) bao lấy điểm ξ∗.Theo chứng minh trên thì dãy {um(ξ)} hội tụ trong V (ξk, δ), và do
đó hội tụ tại ξ∗
Bây giờ chỉ còn phải chứng minh dãy {um(ξ)} hội tụ đều trong A, với
A là tập bất kì thỏa mãn A ⊂⊂ Ω Muốn vậy chỉ cần phủ A bằng một
số hữu hạn các hình cầu mở Vj, ( j ∈ {1, 2, , q}) , với Vj ⊂ Ω Theochứng minh trên thì dãy {um(ξ)} hội tụ đều trong từng hình cầu mở
Vj, vì vậy hội tụ đều trong
... điều hịa, tính bất biến lớp hàm điều hòa đối vớiphép tịnh tiến, phép vị tự phép quay, phép biến đổi KelvinChương " ;Một số tính chất hàm điều hịa" nghiên cứu s? ?tính chất hàm điều hịa... " Một số tính chất c? ?bản hàm điều hịa "
Nội dung khóa luận chia làm ba chương
Chương " ;Một số kiến thức hàm điều hịa" trình bày định nghĩa
và ví dụ hàm điều. .. data-page="21">
Một số tính chất hàm điều hịa
Trong chương ta trình bày tính chất hàm điều hịa.Trước hết, ta nhắc lại cơng thức tích phân
Các cơng thức tích phân bản< /h3>
Trong