chuyên đề về về phương trình hàm (một số tính chất cơ bản của hàm số)

Chứng minh rằng mọi hàm số xác định trên R đều có thể viết được dưới dạng hiệu của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ, xác định trên R.. Xác định hàm số g x biết rằng đồ thị của hàm số nà

Bài 1

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ I/ HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ

Xét hàm số f x( ) với tập xác định D f( ) R và tập giá trị R f( ) R

ĐỊNH NGHĨA 1

a) f x( ) được gọi là hàm số chẵn trên M, M D f( ) (gọi tắt là hàm chẵn trên M) nếu

( )

x M x D f và f( x) f x ,( ) x M

b) f x( ) được gọi là hàm số lẻ trên M (gọi tắt là hàm lẻ trên M) nếu

x M x D f( ) và f( x) f x ,( ) x M

Bài toán 1 Cho x0 R Xác định tất cả các hàm số f x( ) sao cho

f x x f x , x R (1) Giải.

0

2

x

,

2

x

Khi đó (2) có dạng g( )t g t( ), t R

Vậy g t( ) là hàm chẵn trên R

Kết luận :

0

( )

2

x

trong đó g x( ) là hàm chẵn tùy ý trên R.

Bài toán 2 Xác định ,a b R Xác định tất cả các hàm số f x( ) sao cho

( )

Giải.

Đặt

2

a

Khi đó

2

a

và

2

a

Thành thử (3) có dạng

f t f t b (4)

Khi đó có thể viết (4) dưới dạng

hay g( )t g t , t( ) R

Vậy g t( ) là hàm số lẻ trên R.

Kết luận :

( )

trong đó g x( ) là hàm lẻ tùy ý trên R.

BÀI TẬP

1 Cho f x( ) là một hàm số đồng thời vừa chẵn và vừa lẻ trên R Chứng minh rằng f x( ) 0

2 Chứng minh rằng mọi hàm số xác định trên R đều có thể viết được dưới dạng hiệu của một

hàm số chẵn và một hàm số lẻ, xác định trên R.

3 Cho hàm số f x( ) xác định trên R Xác định hàm số g x( ) biết rằng đồ thị của hàm số này đối

xứng với đồ thị của hàm số đã cho qua đường thẳng x x cho trước.0

4 Cho hàm số f x( ) xác định trên R Xác định hàm số g x( ) biết rằng đồ thị của hàm số này đối

xứng với đồ thị của hàm số đã cho qua điểm M x0, y0 cho trước

5 Biết rằng đồ thị của đa thức P x( ) có tâm đối xứng Chứng minh rằng đồ thị của đa thức

'( )

P x có trục đối xứng

6 Biết rằng đồ thị của đa thức P x( ) có trục đối xứng Chứng minh rằng đồ thị của đa thức

'( )

P x có tâm đối xứng

f x x x bx c Một đường thẳng cắt đồ thị

tại ba điểm A x y1, 1 , B x y2, 2 , C x y3, 3 sao cho AB BC Chứng minh rằng

II/ HÀM TUẦN HOÀN VÀ PHẢN TUẦN HOÀN

ĐỊNH NGHĨA 2

a) Hàm số f x( ) được gọi là hàm tuần hoàn (cộng tính) chu kỳ a a 0 trên M nếu

( )

M D f và

( ),

b) Cho f x( ) là một hàm tuần hoàn trên M Khi đó T T 0 được gọi là chu kỳ cơ sở của

( )

f x nếu f x( ) tuần hoàn với chu kỳ T mà không là hàm tuần hoàn với bất cứ chu kỳ nào bé

hơn T

Bài toán 1 Tồn tại hay không tồn tại một hàm số f x( ) hằng số, tuần hoàn trên R nhưng

không có chu kỳ cơ sở

Giải.

Xét hàm Dirichle

0, ( )

1,

khi x Q

f x

khi x Q

Khi đó f x( ) là hàm tuần hoàn trên R chu kỳ a Q tùy ý Vì trong Q không có số nhỏ

nhất nên hàm f x( ) không có chu kỳ cơ sở

Bài toán 2 Cho cặp f x( ), g x( ) tuần hoàn trên M có các chu kỳ lần lượt là a và b với

a

Q

b Chứng minh rằng

F x T f

và G x( ) : f x g x cũng là những hàm( ) ( )

tuần hoàn trên M.

Giải.

Theo giả thiết m, n N , m, n 1 sao cho a m

Đặt T na mb Khi đó

F x T f x na g x mb f x g x F x x M

G x T f x na g x mb f x g x G x x M

Hơn nữa, dễ thấy x M thì x T M

Vậy F x( ), G x là những hàm tuần hoàn trên M.( )

ĐỊNH NGHĨA 3

a/ Hàm số f x( ) được gọi là hàm phản tuần hoàn (cộng tính) chu kỳ b b 0 trên M nếu

( )

M D f và

( ),

b/ Nếu hàm f x( ) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b trên M mà không là hàm phản tuần hoàn với0

bất cứ chu kỳ nào bé hơn b trên M thì0 b được gọi là chu kỳ cơ sở của hàm phản tuần hoàn0

( )

f x trên M.

Bài toán 3 Chứng minh rằng mọi hàm phản tuần hoàn trên R cũng là hàm tuần hoàn trên M.

Giải.

Theo giả thiết b 0 sao cho x M thì x b M và

( )

f x b f x , x M

Vậy f x( ) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ 2b trên M

Bài toán 4 Chứng minh rằng f x( )là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b trên M khi và chỉ khi f x( )

có dạng

( ) ( ) ( ),

Với g x( ) là một hàm tuần hoàn chu kỳ 2b trên M

Giải.

Thật vậy, với f x( ) thỏa mãn (6) ta có

g x g x b

g x b g x

f x x M

Hơn nữa, x M thì x b M Do đó f x( ) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b trên

M

Ngược lại, với f x( ) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b trên M, chọn ( ) 1 ( )

2

g x f x thì g x( ) là

là hàm phản tuần hoàn chu kỳ 2b trên M (Bài toán 2) và

g x b g x

BÀI TẬP

1 Chứng minh rằng hàm số f x( ) tgx không là hàm phản tuần hoàn trên

π

2 Chứng minh rằng 2π là chu kỳ cơ sở của hàm số f x( ) cosx

3 Cho f x( ) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b trên R Hỏi kết luận sau đây có đúng không :

( )

f x là hàm tuần hoàn có chu kỳ cơ sở 2b trên R?

4 Chứng minh rằng không phải là một hàm tuần hoàn trên R.

5 Cho f x( ), g x( ) là các hàm liên tục và tuần hoàn có chu kỳ cơ sở a và b, tương ứng, trên

R Biết rằng F x( ) : f x( ) g x cũng là một hàm tuần hoàn trên R Chứng minh rằng( )

a

Q

III/ HÀM TUẦN HOÀN VÀ PHẢN TUẦN HOÀN NHÂN TÍNH

A.HÀM TUẦN HOÀN NHÂN TÍNH

ĐỊNH NGHĨA 4

( )

f x được gọi là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ a a 0, 1, 1 trên M nếu

( )

M D f và

1

Ví dụ.

Xét f x( ) sin 2π log2x Khi đó f x( ) là hàm tuần hoàn nhân tính 2 trên R

Thật vậy, ta có x R thì 1

2

(2 ) sin 2 log (2 )

2

sin 2π (1 log x)

2

sin 2π log x f x( ), x R

Bài toán 1 Cho f x( ), g x( ) là hai tuần hoàn nhân tính chu kỳ cơ sở a và b, tương ứng trên

ln

Chứng minh rằng F x( ) : f x( ) g x và( ) G x( ) : f x g x là những hàm tuần hoàn( ) ( )

nhân tính trên M.

Giải.

Từ giả thiết suy ra a n b m Ta chứng minh 2 2

( ) à G( )

F x v x Thật vậy, ta có

F Tx f a x g b x f x g x F x , x M

G Tx f a x g b x f x g x G x , x M

Hơn nữa, x M thì 1

T x M Do đó F x( ) và G( )x là những hàm tuần hoàn nhân

tính trên M

B HÀM PHẢN TUẦN HOÀN NHÂN TÍNH

ĐỊNH NGHĨA 5

( )

f x được gọi là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ a a 0, 1, 1 trên M nếu

( )

M D f và

1

Bài toán 2 Chứng minh rằng mọi hàm phản tuần hoàn nhân tính trên M cũng là hàm tuần hoàn

nhân tính trên M.

Giải.

Theo giả thiết, b 0, 1 sao cho x M thì b x1 M và

f bx f x , x M

Suy ra x M thì (b2) 1x M và

2

f b x f bbx f bx f x f x , x M

Như vậy, f x( ) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b2 trên M

Bài toán 3 Chứng minh rằng f x( ) là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ

0, 1

b b trên M khi và chỉ khi f x( ) có dạng :

1

2

f x g bx g x , (7) trong đó, g x( ) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b2 trên M.

Giải.

Thật vậy, nếu f x( )có dạng (7) thì

2

1

2

1

2 1

2

Hơn nữa, x M thì 1

b x M Do đó f x( ) là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ b

trên M.

Ngược lại, giả sử f x( ) là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ b trên M Khi đó

g x f x f x( ) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2

b trên M (Bài toán 2) và

1

IV/ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC HÀM TUẦN HOÀN CỘNG TÍNH VÀ NHÂN TÍNH

Bài toán 1 Cho a 0,a 1 Xác định các hàm f x( ) sao cho

f ax f x , x R (8)

Giải Xét các trường hợp a 0 và a 0

(i) Với a 0

x a và ( )t 1( )t

f a h a Khi đó t loga x và

(8) h t1 1 h t1( ), t R

Xét x 0, đặt x a và t ( t) 2( )

f a h t Khi đó t loga x và

(ii) Với a 0

Khi đó f a x( 2 ) f x và mọi nghiệm của (8) được cho bởi công thức( )

1

2

trong đó g a x( 2 ) g x( ), x R (i)

Thật vậy, nếu vậy f x( ) có dạng (i) thì ta có

( )

g x

1

2

1

Ngược lại, nếu f x( ) thoả mãn (8) thì chọn g x( ) f x Khi đó( )

2

g a x g x x R và

1

Tiếp theo, áp dụng kết quả nhận được trong (i)

Kết luận :

2

a

a

trong đó h t1( ), h t là các hàm tuần hoàn cộng tính tuỳ ý chu kỳ 1 trên R.2( )

2

f x g x g ax , trong đó

3

4

1

2

1

2

a

a

h x khi x

g x d t y khi x

h x khi x

trong đó h t3( ), h t là các hàm tuần hoàn cộng tính tuỳ ý chu kỳ 1 trên R.4( )

Bài toán 2 Cho a 0, a 1 Xác định các hàm f x( ) sao cho

Giải.

Từ (9) suy ra 2

f a x f x với mọi x R Vậy mọi nghiệm của (9) có dạng 1

2

trong đó 2

g a x g x x R

Thật vậy, nếu f x( ) có dạng đó thì ta có

2

1

2

1

Ngược lại, với mỗi f x( ) thoả mãn (9), chọn g x( ) f x Kh đó( )

2

g a x g x x R

và

1

Từ kết quả của Bài toán 1 suy ra nghiệm của (9) có dạng

1

2

trong đó

2

1

2

1

2

a

a

h x khi x

h x khi x

với h t1( ), h t là các hàm tuần hoàn cộng tính tuỳ ý chu kỳ1 trên R.2( )

Nhận xét Nếu f x( ) là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì a 0 trên R thì

g t f t t là hàm tuần hoàn nhân tính e a tr nê R

Ngược lại, nếu f x( ) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kì a 0 a 1 trên R , thì

( ) ( )t

g t f e là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì lna trên R

BÀI TẬP

1 Cho a 0, a 1 Xác định tất cả các hàm f x( ) sao cho

2 Cho a 0, a 1 Xác định tất cả các hàm f x( ) sao cho

3 Cho a 0, a 1 Xác định tất cả các hàm f x( ) sao cho

4 Cho hàm số g x( ) xác định trên R Xác định tất cả các hàm f x( ) thoả mãn điều kiện

),

2 ( )

( )

2 ( )

f

5 Cho hàm số

Z k

k x

khi x tg

Z k

k x

khi x

f

, 2

2 1

, 2

0 )

(

π π

Chứng minh rằng hàm số g(x) f(x) f(ax) là hàm tuần hoàn (cộng tính) trên R khi

và chỉ khi a Q

V/ ĐẶC TRƯNG HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ SƠ CẤP

Để mô tả bức tranh mang tính định hướng, gợi ý và dự đoán công thức nghiệm cuả các bài

toán liên quan, chúng ta xét một vài tính chất hàm tiêu biểu của một số dạng hàm số quen biết

1 Hàm bậc nhất : f(x) ax b a 0, b 0 có tính chất

R y

x y

f x

f y

x

2

1

2 Hàm tuyến tính : f(x) ax a 0 có tính chất

,

y f x

f y

x f

3 Hàm mũ : f x a x a 0, a 1 có tính chất

,

y f x f y

x

f

4 Hàm logarit : f x loga x a 0, a 1 có tính chất

0

\ ,

y f x

f xy

5 Hàm lũy thừa : f x x a có tính chất

0

\ ,

y f x f xy

6.Hàm lượng giác :

Hàm f x sinx có tính chất

,

4 3

f

Hàm f x cosx có các tính chất

R x

x f x

và

R y

x y f x f y

x f y

x

Cặp hàm f x sin ,x g(x) cosx có tinh chất

R y

x y f x f y

g x g y

x

g

R y

x x g y f y

g x f y

x

f

, ), ( ) ( )

( ) (

, ), ( ) ( )

( ) (

Hàm f(x) tgx có tính chất

) ( ) ( 1

) ( )

(

y f x f

y f x

f y

x f

2

1

Hàm f(x) cotgx có tính chất

c

) ( )

(

1 )

( ) (

y f x

f

y f x f y

x f

7 Hàm lượng giác ngược

a) Hàm f(x) arcsinx có tính chất

1 , 1 ,

, 1

1 )

( )

f

b) Hàm g(x) arc cosx có tính chất

1 , 1 ,

, 1

1 )

( )

c) Hàm h )(x arctgx có tính chất

1 :

, , 1

) ( )

xy

y x

h y

h x

h

d) Hàm p(x) arccotgx có tính chất

0 :

, ,

1 )

( )

y x

xy p y

p x

8 Các hàm hyperbolic

2

1 : )

),

( 4 )

( 3 )

3

R x

x f x

f x

f

e e

shx x

g

2

1 : )

,

), ( ) (

y x

g y

x g

x x

e e

e e

thx x

,

, ) ( ) ( 1

) ( )

(

R y

x y

h x h

y h x

h y

x h

x x

e e

e e

x x

0 ,

, : , , ) ( )

(

) ( ) ( 1

y x

y x y x y

q x

q

y q x q y

x