chuyên đề về phương trình hàm (phương trình hàm với phép biến đổi đối số)

Bài 3PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỐI SỐ I/ HÀM SỐ XÁC ĐỊNH BỞI CÁC BIẾN ĐỔI TỊNH TIẾN VÀ ĐỒNG DẠNG Trong I/ này, sẽ khảo sát lớp phương trình hàm sinh bởi các phép biến đổi hình h

Bài 3

PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỐI SỐ

I/ HÀM SỐ XÁC ĐỊNH BỞI CÁC BIẾN ĐỔI TỊNH TIẾN VÀ ĐỒNG DẠNG

Trong I/ này, sẽ khảo sát lớp phương trình hàm sinh bởi các phép biến đổi hình học

cơ bản như phép đồng dạng x ax, phép tịnh tiến x x bvà các tổ hợp của chúng

x b

x b

d

c h x

c với h x( ) là hàm tùy ý sao cho h x b( ) h x( ),với c 0.

Kết luận:

- Nếu c 1 thì f x( ) g x( ) d x,

b với g x( )tuần hoàn tùy ý chú ý| |b

- Nếu c 1thì

( ),1

x b

x b

d

c h x

c với h x( ) là hàm tùy ý sao cho h x b( ) h x( ),nếu c 0.

Bài toán 2.Cho các số a R\ 0;1; 1 ,b R\ 0 và c R Tìm tất cả các hàm

:

f R R thỏa mãn điều kiện f ax( ) bf x( ) c, x R (2)

Giải.

- Xét trường hợp b 1 Khi đó (2) có dạng f ax( ) f x( ) c, x R (i)

Thay x 0 vào (i) ta được điều kiện cần để (i) có nghiệm là c 0 Khi đó f x( ) là

hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ a

g x

| | log | |

| | a b ( )

x h x nếu x 0,thì

( ), 0

h x x với b 0,( )

f x

| | log

| | ( ), 0,1

a b c

f x

| | log | |

| | ( )1

a b c

b nếu x 0, với h x( )làm hàm tùy choh ax( ) h x( ),

Kết luận :

- Nếu b 1,c 0 thì phương trình vô nghiệm

- Nếu b 1,c 0 thì f x( ) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ a trên R

- Nếu 0 b 1 thì

c

b khi x 0( )

f x

| | log

| | ( ), 0,1

a b c

f x

| | log | |

| | ( ); 0,1

a b c

b vớih x( )làm hàm tùy ý sao choh ax( ) h x( ),

Bài toán 3.Cho b R\ 0 và c R Tìm tất cả các hàm f R: R thỏa mãn điều

kiện f( )x bf x( ) c, x R (3)

Giải.

- Xét trường hợp b 1 khi đó (3) có dạng f( )x f x( ) c.cho x 0,ta được

(0) (0)

f f c Vậy điều kiện cần để phương trình có nghiệm là c 0 Khi đó, mọi

hàm f x( ) chẵn xác định tên R đều nghiệm

- Xét trường hợp b 1.Khi đó (3) có dạng f( )x f x( ) c và mọi hàm

- Khib 1và c 0 thì phương trình vô nghiệm

- Khi b 1 và c 0thì mọi hàm f x( )chẵn xác định trên Rđều là nghiệm

α βKhi đó (4) có dạng

h x ph x a q ϕ x h x , trong đó

1

( ) ( ) qh x ,

So sánh (iii) và (v), ta thu được g x ( ) h x1( ) Do đó

( ) ( )

h x ϕ , với ϕ2( ) x là hàm tùy ý sao cho

2( x a ) 2( ), x x R

Để ý rằng hàm h(x) xác định theo công thức (vi) có tính chất

2( ) ( ) | | ( )(1 )

2

( ) ( ) qh x

h x

Từ (iii) và (vii) ta thu được g x ( ) h x2( ) Do đó

( ) ( )

trong đó h(x) = │q│ϕx φ2(x), với φ2(x) là hàm tùy ý sao cho φ2(x-φ)-φ2(x), x R

Bài toán 5 Cho h(x) là 1 hàm tuần hoàn trên R chu kì (a > 0) Xác định các hàm f(x)

thỏa mãn điều kiện

f(x + a ) – f(x) = h(x), x R (5)Giải

trong đó g(x) là hàm tùy ý sao cho g(x + a) = g(x), x R

Bài toán 6 Cho h(x) là một hàm phần tuần hoàn trên R chu kỳ a (a > 0) Xác định tất cả

các hàm f(x) thỏa mãn điều kiện

với g(x) là hàm tùy ý sao cho g(x + a) = g(x)

Bài toán 7 Cho b ≠ -1 và h(x) là một hàm tuần hoàn trên R chu kỳ a, a > 0 Xác định tất

cả các hàm f(x) thỏa mãn điều kiện F(x + a) = bf(x) = h(x), x R (7)

( ) ( ) ( )

1

h x

f x

b │b│a x q(x),Trong đó q(x) là hàm tùy ý sao cho:

Bài toán 8 Cho b ≠ -1 và h(x) là một hàm phản tuần hoàn trên R chu kỳ a, a > 0 Xác

định tất cả các hàm f(x) thỏa mãn điều kiện

Sử dụng tính phản tuần hoàn của h(x), ta có đẳng thức

( ) ( ),

( ) ( ) ( )

q x a q x khib

q x a q x khib

Bài toán 9.Cho a R\{0} và tam thức bậc hai P(x) = αx2 + βx + γ Xác định tất cả

các hàm f(x) thỏa mản điều kiện

n n

Các công thức (iii) và(iii’) tương thích và xác định cùng một hàm số f(x) thoản mãn

(12) Nếu x0sao cho [1 p(2 x0)) ( )] 0p x0 thì điều kiện cần để phương trình có

nghiệm là các đẳng thức sau được thỏa mãn

Nếu x0sao cho

1/ Xác định các hàm f(x) thỏa mãn điều kiện f(x)f(x + 1) = 1, x R.

2/ Xác định các hàm f(x) thỏa mãn điều kiện f(x)f(1 – x) = x(1 – x), x R

3/ Cho h(x) là hàm tuần hoàn trên R chu kỳ a (a > 0) Xác định các hàm f(x) thỏa mãn

Trong II/ này , ta sẽ nghiên cứu các phương trình dạng f(ω(x)) = pf(x) + q

Bài toán 1 Tìm tất cả các hàm số f : R → R sao cho

1 ( ) 2 ( ) 3, 2.

(i)

Bài toán 3 Cho hàm số w( )x ax b

cx d, c 0, ad - bc 0 sao cho phương trình ω(x) =

Theo giả thiết thì phương trình ω(x) = x có nghiệm duy nhất x = x0

Thay x = x0vào (3), ta được f(x0) = 1

0

1 ( ) x x 1

t

d x c

ω

Khi đó có thể viết (3) dưới dạng

d x c

g t h t trong đó hàm h(t) tùy ý thỏa mãn

0

1 ( ) ( ), 0.

d x c

Từ (i) và (ii) ta có

Kết luận :

0

0 0

1, , ( ) ( 1 ) 1, \{x , }

t t

c

Bài toán 4 Cho hàm số

2 ( )

x

t x

t x

Viết (4) dưới dạng sau

22

1 ( ) (2 ), {2,1,0}.

ω(x) = x có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 Tìm tất cả các hàm số

1 2

2 1 2

với h(t) là hàm tùy ý thỏa mãn: h(αt) = h(t), t {1

với g(x) tùy ý xác định trên R \ {2}, đều là nghiệm của (6)

Thật vậy, nếu f(x) có dạng (i) thì

với g(x) là hàm tùy ý xác định trên R \ {2}

Bài toán 7 Cho các hàm số h(x), x R và ω(x) = 2 5

2

x x

Tìm tất cả các hàm số f : R \ {2} → R sao cho f(ω(x)) = f(x) + h(x), x ≠ 2, (7)

Giải

Nhận xét rằng phương trình ω(x) = x không có nghiệm thực và ω(ω(x)) ≡ x

thay x bởi ω(x), từ (7) ta được h(ω(x)) = - h(x), (i)

vậy điều kiện cần để (7) có nghiệm là điều kiện (i) được thỏa mãn

Giả sử điều kiện (i) được thỏa mãn Khi đó

1 ( ) [ ( ) ( ( ))]

2

Ta chứng minh rằng mọi hàm dạng

1 ( ) [ ( ( )) ( ) ( )]

2

với g(x) là hàm tùy ý trên R \ {2} là các nghiệm của (7)

Thật vậy , nếu f(x) có dạng (ii) thì

Ngược lại, khi f(x) thỏa mãn (7) thì chỉ cần chọn g(x) = f(x) ta có ngay biểu diễn (ii),

Kết luận :

1 ( ) [ ( ( )) ( ) ( )]

2

với g(x) là hàm tùy ý xác định trên R \ {2}

Bài toán 8 Cho hàm số 1

( )

1

x x

x x

x x

x x

x R \ {-1, 0}

Từ (8) ta thấy f(x) ≡ 1 là một nghiệm của bài toán

Đặt f(x) = 1 + g(x) Khi đó có thể viết (8) dưới dạng

3

với h(x) là hàm tùy ý xác định trên R \ {-1, 0}

Thật vậy, khi g(x) có dạng (ii) thì

Ngược lại, khi g(x) thỏa mãn (i) thì ta chỉ việc chọn h(x) = g(x) sẽ có ngay công thức

biểu diễn (ii)

Kết luận :

2

( ) 1, \{ 1,0}

1 ( ) 1 [2 ( ) ( ( )) ( ( ))]

3

Với h(x) là hàm tùy ý xác định trên R \ {-1, 0}

Bài toán 9 Cho hàm số q(x) xác định trên R vàw( ) 1

1

x

x Tìm tất cả các hàm số f : R \ {-1, 0} → R sao cho

x

x x

với h(x) là hàm tùy ý xác định trên R \ {-1, 0}

Thật vậy, khi g(x) có dạng (iv) thì

1( ( ))) ( ( )) ( ) [2 h( ( )) h( (x)) h(x)]

2 2

1

[2 ( ) ( ( ))) ( ( ))) ( ( ))] 0

3 h x h ω x h ω x h ω x

Ngược lại, khi g(x) thỏa mãn (iii) thì ta chỉ việc chọn h(x) = g(x) sẽ có ngay công thức

biểu diễn (iv)

với h(x) là hàm tùy ý xác định trên R \ {-1, 0}

Bài toán 10 Cho các hàm số p(x) và q(x) các định trên R và

1

x

ωTìm tất cả các hàm số f : R \ {0} → R sao cho

Các công thức (ii) và (iii) xác định cùng một hàm số f(x) thỏa mãn phương trình (10)

Nếu x0 0 sao cho [1 p ( ( )) ( )] 0 ω x0 p x0 thì điều kiện cần để (10) có nghiệm

Nhận xét rằng nếu x0≠ 0 thuộc Zpqthì ω( )x0 cũng thuộc Zpq Khi đó nghiệm của (10)

được xác định theo cách sau

a) Nếu x ≠ 0 và x Zpqthì

( ) ( ) ( ( )) ( )

b) Nếu x ≠ 0 và x Z pq thì f(x) được chọn tùy ý sao cho (10) được thỏa mãn

Kết luận :

a) Nếu 1 – p (x)p(ω(x)) ≠ 0, x ≠ 0 thì

( ) ( ) ( ( )) ( )

b) Nếu tồn tại x0 0 sao cho 1 p x p( ) ( ( )) 00 ω x0 thì điều kiện để (10) có

III/ HÀM SỐ XÁC ĐỊNH BỞI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ

Bài toán 1 Cho α R, α ≠ ± 1 Tìm tất cả các hàm số f(x) xác định và liên tục trên R+

thỏa mãn điều kiện

( ) 1, ( ) 1, x R

f x

Bài toán 3 Tìm tất cả các hàm số f(x) xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện

2( ) ( ) ( 1)

2

0 1

k n k

Từ (i) suy ra gn – 1(x) là hàm liên tục và gn – 1(0)

Xét 0 < x < 1 Khi đó (i) cho ta

1 4

1

t x

t x

Kết luận :

2

, | | 1 ( )

t , t > 0 với h(t) là hàm tùy ý xác định trên R+

Bài toán 7 Tìm tất cả các hàm số f(x) xác định trên R thỏa mãn điều kiện

1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), \{0}

φ(x) = , ≠ 0 (v)

trong đó ψ (x) là hàm chẵn tùy ý trên R \ { 0}.

Thật vậy khi φ(x) thỏa mãn ( iii ) thì chỉ việc chọn ψ (x) = φ(x) ,

Ta có ngay ψ (x) là hàm chẵn trên R \ { 0} và công thức ( v ) đúng

Ngược lại, khi φ(x) được cho bởi công thức ( v ) thì φ(-x) = φ(x) do φ(x) là hàm

trong đó g(x) = + , với h(x) là hàm số tùy ý xác định trên R và

φ(x) = , ≠ 0, với φ(x) là hàm chẵn tùy ý trên R\

Bài toán 8.Tìm tất cả các hàm số f(x) xác định trên R thỏa mãn điều kiện

Nhận xét rằng hệ phương trình (ii) có nghiệm khi và chỉ khi hệ (iii) có nghiệm thỏa

mãn điều kiện (iv)

Xét hệ (iii) Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình (iii) có nghiệm là

Khi điều kiện này được thỏa mãn thì nghiệm của (8) được tính theo công thức

Bài toán 9.cho hàm số h(x) > 0, x R tìm tất cả các hàm số f(x)>0 xá định trên

R\{0} và thỏa mãn điều kiện

f(x)f = h(x), x ≠ 0 (9)

Giải

Thay x bởi ta nhận được điều kiện cần để (9) có nghiệm là

Vậy có thể viết (9) dưới dạng f(x)f x ≠ 0,

trong đó g(x) = > 0, x ≠ 0

Ta chứng minh rằng mọi nghiệm g(x) của phương trình (iii) đều có dạng

g(x) = , (iv)

với q(x) là một hàm tùy ý thỏa mãn q(x) > 0, x ≠ 0

Thật vậy, khi g(x) > 0 thỏa mãn (iii) thì chỉ cần chọn q(x) = g(x) sẽ có ngay

Bài toán 10.Cho hàm số h(x) > 0, x R Tìm tất cả các hàm số f(x) > 0 xác định trên

R \ {0} và thỏa mãn điều kiện

(iii)g(x) = f(x)f -

Nhận xét rằng mọi nghiệm g(x) của (iii) đều có dạng

Điều kiện để (v) có nghiệm là p(x) > 0, .Khi đó theo kết quả của bài toán 9,

thì nghiệm của (v) được tính theo công thức

2 Tìm tất cả các hàm f(x) xác định và liên tục trên thỉa mãn điều kiện

f(x)f(ω (x)) f(ω(ω (x))) = 1, x R\ {0, 1}

IV/ PHƯƠNG TRÌNH TRONG LỚP CÁC HÀM TUẦN HOÀN

Trong IV/ này, sẽ khảo sát lớp phương trình hàm trong lớp các hàm số tuần hoàn

Giải (i) và (1), ta nhận được f(x) = , x R

Thử lại, ta thấy nghiệm này thỏa mãn (1)

d(x) = (ii’)Thế d(x) từ (ii) vào (2), ta được phương trình

trong đó g(x) = f(x) -

Ta chứng minh rằng, mọi nghiệm g(x) của (iii) đều có dạng

g(x) = , (iv)

trong đó h(x) là hàm tùy ý sao cho h(x + 2) = h(x),

Thật vậy, khi g(x) thỏa mãn (iii) thì ta chỉ cần chọn h(x) = g(x), sẽ có ngay

h(x + 2) = g(x + 2) = -g(x + 1)

=-(-g(x)) = g(x) = h(x),Ngược lại, khi g(x) có dạng (iv) thì

với h(x) là hàm tùy ý sao cho h(x),

Bài toán 3 cho các số a R \ {0; 1; -1} và b R \{0} Tìm tất cả các hàm f : R → R

thỏa điều kiện

(3)

Giải

- Xét trường hợp b = 1 Khi đó (3) có dạng

(i)Thay x = 0 vào (i) ta được điều kiện cần để (i) có nghiệm là c = 0 Khi đó f(x) là hàm

tuần hoàn nhân tính chu kì a

- Xét trường hợp b = -1 Khi đó (3) có dạng

(ii)

Ta chứng minh rằng, mọi nghiệm f(x) của (ii) đều có dạng

f(x) = + , (iii)

trong đó h(x) là hàm tùy ý sao cho h = h(x),

Thật vậy, nếu f(x) thỏa mãn (ii) thì chọn f(x) = f(x) - ,

Hai công thức trên cho ta nghiệm f(x) =

Rõ ràng nghiệm này thỏa mãn (3)

Kết luận:

- Nếu b = 1, c ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm

- Nếu b = 1, c = 0 thì f(x) là hàm tuần hoàn nhân tính tùy ý chu kỳ a trên R

- Nếu b = -1 thì f(x) = + , với h(x) là hàm tùy ý sao cho

Đặt f(x) = g(x) +

Khi đó (4) có dạng

(i)Lần lượt thay x bởi x + a, x + 2a và x + 3a vào (i), ta được hệ

Từ đó suy ra ∆ = 0 khi và chỉ khi α =β = - 1 (vì α + β ≠ 1 theo giả thiết)

Nếu α ≠ -1 hoặc β ≠ -1, thì hệ trên có nghiệm duy nhất g(x) ≡ 0

Nếu α = β = - 1 thì g(x) thỏa mãn hệ phương trình

Ta chứng minh mọi nghiệm g(x) của (ii) có thể biểu diễn được dưới dạng

g(x) = h(x + a) – h(x + 2a), (iii)trong đó h(x) là hàm thỏa mãn h(x + 3a) = h(x) Thật vậy, từ (iii) ta có

= h(x + a) – h(x + 2a) + h(x + 2a) – h(x + 3a) + h(x + 3a) – h(x + 4a) = h(x + a) – h(x

+ a) = 0, x R

Ngược lại, nếu g(x) là hàm thỏa mãn (ii) thì lần lượt thay vào (iii) những giá trị x bởi

x + a và x + 2a ta đi đến hệ ba phương trình được xác định duy nhất bởi h(x)

trong đó h(x) là hàm tùy ý sao cho h(x + 3a) = h(x), x R

Bài toán 5.Cho a, α R; a ≠ 0 Tìm tất cả các hàm f : R → R thỏa mãn điều kiện

Giải

Lần lượt thay x bởi x + a và x + 2a vào (5), và sử dụng dảng thức f(x + 3a) = f(x), ta

được hệ tuyến tính thuần nhất:

Lần lượt thay x bởi x + 1, x + 2 và x + 3 vào (6), và sử dụng đẳng thức f(x + 4) =

f(x), ta được điều kiện cần để hệ phương trình (6) có nghiệm là

trong đó q(x) là hàm tùy ý sao cho q(x + 4) = q(x),

Thật vậy, khi g(x) thỏa mãn (iii) thì ta chỉ cần chọn q(x) = g(x), sẽ có ngay

Ngược lại, khi g(x) có dạng (v) thì

+++

4[3q(x) – q(x + 1) – q(x + 2) – q(x + 3)], với q(x) là hàm tùy ý sao cho

q(x + 4) = q(x), với mọi x thuộc R

Bài toán 7.Cho b = ± 1 và h(x) là m t hàm xác nh trên R, xác định tất cả các hàm

f(x) thỏa mãn các điều kiện

(7)

Giải

Trước hết, xét trường hợp b = 1 Khi đó (7) có dạng

Thay x bởi vào (7), và sử dụng đẳng thức , ta được điều kiện cần để

Khi điều kiện (i) được thỏa mãn, ta có thể viết h(x) = , (ii)

Sử dụng (ii), viết (7) dưới dạng

(iii)

trong đó g(x) = f(x) - h(x), (iv)

Ta chứng minh rằng mọi nghiệm của (iii) đều có dạng g(x) = , (v)

trong đó q(x) là hàm tùy ý sao cho ,

Thật vậy, khi g(x) thỏa mãn (iii) thì ta chỉ cần chọn q(x) = g(x), sẽ có ngay

Thay x bởi vào (vi), và sử dụng đẳng thức , ta được điều kiện cần

để hệ phương trình (vi) có nghiệm là h = - h(x), (vii)

Khi điều kiện (vii) được thỏa mãn, ta có thể viết

Sử dụng (viii), viết (vi) dưới dạng

(ix)trong đó g(x) = f(x) + h(x),

Ta chứng minh rằng mọi nghiệm của (ix) đều có dạng

g(x) = , (xi)

trong đó q(x) là hàm tùy ý sao cho

,Thật vậy, khi g(x) thỏa mãn (ix) thì ta chỉ cần chọn q(x) = g(x), sẽ có ngay

Khi b = 1 : điều cần để (7) có nghiệm là h(x) = ,

Khi điều kiện này được thỏa mãn, mọi nghiệm của (7) đều có dạng

f(x) = h(x) + g(x),

trong đó g(x) = , với q(x) là hàm tùy ý sao cho

= q(x),Khi b = -1 : Điều kiện cần để (7) có nghiệm là

Thật vậy, lần lượt thay x bởi và vào (ii), ta được hệ

Cộng lại, ta được (iii)

Khi điều kiên (iii) được thỏa mãn, thay x bởi vào (iii), ta được

Đặt g(x) - = Ψ(x) thì (ii) có dạng

Bài toán 9. Cho các hàm số p(x) và q(x) xác định và tuần hoàn cộng tính chu kì 2 trên

R Tìm tất cả các hàm số f(x) xác định trên R sao cho

Nhận xét rằng phương trình hai của (9) và (i) là hệ hai phương trình tuyến tính

đối với hai ẩn hàm f(x) và f(x + 2).

1 – p( )p( ) = 0.Gọi là tập hợp các nghiệm của phương trình

1 – p(x)p(x) = 0.Nếu thì 2 + cũng thuộc Khi đó nghiệm của (9) được xác định

Nếu x thì f(x), f(2 + x) được chọn tùy ý sao cho (9) được thỏa mãn, trong

đó là tập hợp các nghiệm của phương trình 1 – p(x)p(x) = 0.

Bài toán 10.Cho hàm số (x) =

Nhận xét rằng phương trình (x) = x không có nghiệm thực Từ (10) ta thấy f(x) 1

là một nghiệm Đặt f(x) = 1 + g(x) Khi đó có thể viết (10) dưới dạng

g( (x)) + g( (x)) + g(x) = 3 , x {-1, -3, 1}.

Ta chứng minh rằng mọi nghiệm của (i) đều có dạng

g(x) = [2h(x) – h( (x)) – h( (x))], (ii)

trong đó h(x) là hàm tùy ý sao cho h (x)) = h(x) , x {-1; -3; - ; 1,5}.

Thật vậy, khi g(x) có dạng (ii) thì

g( (x)) + g( (x)) + g(x) = [2h( (x)) h( (x)) h(x)] + [2h( (x)) h(x)

-h( (x)) ] + [2h(x) - h( (x)) - h( (x))] = 0

và g (x)) = g(x) , x {-1; -3; - ; 1,5}.

Ngược lại, khi g(x) thỏa mãn (i) thì ta chỉ việc chọn h(x) = g(x) sẽ có ngay công

thức biểu diễn (ii).

Kết luận:

f(x) = 1 + [2h(x) - h( (x)) - h( (x))], trong đó h(x) là hàm tùy ý sao cho

Nhận xét rằng phương trình (x) = x không có nghiệm thực Từ các tính chất của hàm

f(x), suy ra điều kiện cần để phương trình (11) có nghiệm là

q( (x)) = q(x) , x {-1; -3; 1} (i) Giả sử điều kiện (i) được thỏa mãn Khi đó có thể viết

Thật vậy, khi g(x) có dạng (iv) thì

g( (x)) + g( (x)) + g(x) = [2h( (x)) - h( (x)) - h(x)] + [2 h( (x)) - h(x)

- h( (x))] + [2h(x) - h( (x)) - h( (x))] = 0 , x {-1; -3; - ; 1,5}.

Ngược lại, khi g(x) thỏa mãn (iii) thì ta chỉ việc chọn h(x) = g(x) sẽ có ngay

công thức biểu diễn (iv).