chuyên đề về phương trình hàm (phương trình hàm với phép biến đổi đối số)

VINAMATH.COM Bài 3 PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỐI SỐ I/ HÀM SỐ XÁC ĐỊNH BỞI CÁC BIẾN ĐỔI TỊNH TIẾN VÀ ĐỒNG DẠNG Trong I/ này, sẽ khảo sát lớp phương trình hàm sinh bởi các phép biến đổi hình học cơ bản như phép đồng dạng ,x ax󽞯 phép tịnh tiến x x b󽞯 󽜬 và các tổ hợp của chúng. Cụ thể là chúng ta sẽ khảo sát lớp phương trình hàm dạng ( ) ( ) ,f ax b cf x d󽜬 󽜾 󽜬 với 0, 0.a c󽞺 󽞺 Bài toán 1. Cho các số 󽝼 󽝾 , \ 0b c R󽟏 và .d R󽟏 Tìm các hàm :f R R󽞯 thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) , .f x b cf x d x R󽜬 󽜾 󽜬 󽜣 󽟏 (1) Giải. - Xét trường hợp 1.c 󽜾 khi đó (1) có dạng ( ) ( ) , .f x b cf x d x R󽜬 󽜾 󽜬 󽜣 󽟏 (i) Để ý rằng ( ) , . d d d x b x x R b b 󽜾 󽜬 󽜮 󽜣 󽟏 Vì vậy có thể viết (i) dưới dạng ( ) ( ) ( ) , , d d f x b x b f x x x R b b 󽜬 󽜮 󽜬 󽜾 󽜮 󽜣 󽟏 hay ( ) ( ),g x b g x󽜬 󽜾 với ( ) ( ) , . d g x f x x x R b 󽜾 󽜮 󽜣 󽟏 (ii) Vậy, ( ) ( ) , d f x g x x b 󽜾 󽜬 với ( )g x là hàm số tùy ý sao cho ( ) ( ),g x b g x󽜬 󽜾 .x R󽜣 󽟏 - Xét trường hợp 1.c 󽞺 Đặt ( ) ( ) . 1 d f x g x c 󽜾 󽜬 󽜮 Khi đó ta có ( ) ( ) , , 1 1 d d g x b c g x d x R c c 󽟧 󽟷 󽜬 󽜬 󽜾 󽜬 󽜬 󽜣 󽟏 󽟨 󽟸 󽜮 󽜮 󽟩 󽟹 hay ( ) ( ),g x b cg x󽜬 󽜾 trong đó ( ) ( ) , . 1 d g x f x x R c 󽜾 󽜮 󽜣 󽟏 󽜮 Đặt ( ) | | ( ), x b g x c h x󽜾 ( )h x với 0,c 󽜿 ( )h x b󽜬 󽜾 ( )h x󽜮 với 0.c 󽜽 Vậy ( ), 1 x b d c h x c 󽜬 󽜮 với ( )h x là hàm tùy ý sao cho ( ) ( ),h x b h x󽜬 󽜾 với 0,c 󽜿 ( )f x 󽜾 | | ( ), 1 x b d c h x c 󽜬 󽜮 với ( )h x là hàm tùy ý sao cho ( ) ( ),h x b h x󽜬 󽜾 󽜮 với 0.c 󽜽 Kết luận: VINAMATH.COM 1 VINAMATH.COM - Nếu 1c 󽜾 thì ( ) ( ) , d f x g x x b 󽜾 󽜬 với ( )g x tuần hoàn tùy ý chú ý | |b - Nếu 1c 󽞺 thì ( ), 1 x b d c h x c 󽜬 󽜮 với ( )h x là hàm tùy ý sao cho ( ) ( ),h x b h x󽜬 󽜾 nếu 0,c 󽜿 ( )f x 󽜾 | | ( ), 1 x b d c h x c 󽜬 󽜮 với ( )h x là hàm tùy ý sao cho ( ) ( ),h x b h x󽜬 󽜾 󽜮 nếu 0.c 󽜽 Bài toán 2. Cho các số 󽝼 󽝾 󽝼 󽝾 \ 0;1; 1 , \ 0a R b R󽟏 󽜮 󽟏 và .c R󽟏 Tìm tất cả các hàm :f R R󽞯 thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) , .f ax bf x c x R󽜾 󽜬 󽜣 󽟏 (2) Giải. - Xét trường hợp 1.b 󽜾 Khi đó (2) có dạng ( ) ( ) , .f ax f x c x R󽜾 󽜬 󽜣 󽟏 (i) Thay 0x 󽜾 vào (i) ta được điều kiện cần để (i) có nghiệm là 0.c 󽜾 Khi đó ( )f x là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ .a - Xét trường hợp 1.b 󽞺 Khi đó đặt ( ) ( ) 1 c f x g x b 󽜾 󽜬 󽜮 và viết (2) dưới dạng ( ) ( ), g(0) 0, .g ax bg x x R󽜾 󽜾 󽜣 󽟏 Đặt 0 nếu 0x 󽜾 ( )g x 󽜾 | | log | | | | ( ) a b x h x nếu 0,x 󽞺 thì ( ), 0h x x󽜣 󽞺 với 0,b 󽜿 ( )h ax 󽜾 ( ), 0h x x󽜮 󽜣 󽞺 với 0.b 󽜽 Vậy (i) với 0b 󽜿 thì 1 c b󽜮 khi 0x 󽜾 ( )f x 󽜾 | | log | | ( ), 0, 1 a b c x h x x b 󽜬 󽜣 󽞺 󽜮 với ( )h x làm hàm tùy ý sao cho ( ) ( ),h ax h x󽜾 (ii) với 0b 󽜽 thì 1 c b󽜮 với 0x 󽜾 ( )f x 󽜾 | | log | | | | ( ) 1 a b c x h x b 󽜬 󽜮 nếu 0,x 󽞺 với ( )h x làm hàm tùy cho ( ) ( ),h ax h x󽜾 󽜮 Kết luận : - Nếu 1, 0b c󽜾 󽞺 thì phương trình vô nghiệm. - Nếu 1, 0b c󽜾 󽜾 thì ( )f x là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ a trên .R - Nếu 0 1b󽜽 󽞺 thì VINAMATH.COM 2 VINAMATH.COM 1 c b󽜮 khi 0x 󽜾 ( )f x 󽜾 | | log | | ( ), 0, 1 a b c x h x x b 󽜬 󽜣 󽞺 󽜮 với ( )h x làm hàm tùy ý sao cho ( ) ( ),h ax h x󽜾 - Nếu 0 b󽜿 thì 1 c b󽜮 với 0x 󽜾 ( )f x 󽜾 | | log | | | | ( ); 0, 1 a b c x h x x b 󽜬 󽜣 󽞺 󽜮 với ( )h x làm hàm tùy ý sao cho ( ) ( ),h ax h x󽜾 󽜮 Bài toán 3. Cho 󽝼 󽝾 \ 0b R󽟏 và .c R󽟏 Tìm tất cả các hàm :f R R󽞯 thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) , .f x bf x c x R󽜮 󽜾 󽜬 󽜣 󽟏 (3) Giải. - Xét trường hợp 1.b 󽜾 khi đó (3) có dạng ( ) ( ) .f x f x c󽜮 󽜾 󽜬 cho 0,x 󽜾 ta được (0) (0) .f f c󽜾 󽜬 Vậy điều kiện cần để phương trình có nghiệm là 0.c 󽜾 Khi đó, mọi hàm ( )f x chẵn xác định tên R đều nghiệm. - Xét trường hợp 1.b 󽜾 󽜮 Khi đó (3) có dạng ( ) ( )f x f x c󽜮 󽜾 󽜮 󽜬 và mọi hàm ( ) ( ) , 2 c f x g x󽜾 󽜬 với ( )g x tùy ý : ( ) ( ), ,g x g x x R󽜮 󽜾 󽜮 󽜣 󽟏 xác định trên R đều là nghiệm. - Khi 1b 󽞲 thì dễ thấy rằng . 1 1 c c c b b b 󽜾 󽜮 󽜮 󽜮 Vì vậy có thể (3) dưới dạng ( ) ( ) , , 1 1 c c f x b f x x R b b 󽟧 󽟷 󽜮 󽜮 󽜾 󽜮 󽜣 󽟏 󽟨 󽟸 󽜮 󽜮 󽟩 󽟹 Hay ( ) ( ),g x bg x󽜮 󽜾 trong đó ( ) ( ) , . 1 c g x f x x R b 󽜾 󽜮 󽜣 󽟏 󽜮 (i) Từ (i) suy ra 2 ( ) ( ( )) ( ) ( ).g x g x bg x b g x󽜾 󽜮 󽜾 󽜮 󽜾 Do đó ( ) 0g x 󽞻 và vì vậy ( ) . 1 c f x b 󽞻 󽜮 Kết luận: - Khi 1b 󽜾 và 0c 󽞺 thì phương trình vô nghiệm. - Khi 1b 󽜾 và 0c 󽜾 thì mọi hàm ( )f x chẵn xác định trên R đều là nghiệm. - Khi 1b 󽜾 󽜮 thì mọi hàm ( ) ( ) , 2 c f x g x󽜾 󽜬 với ( )g x la hàm tùy ý sao cho ( ) ( ), ,g x g x x R󽜮 󽜾 󽜮 󽜣 󽟏 xác định trên R đều là nghiệm. - Khi 1b 󽞺 󽞲 thì ( ) . 1 c f x b 󽞻 󽜮 Bài toán 4. Cho 2 , , , , 0; 4 ; 1.a b R aα β α β α β󽟏 󽞺 󽜿 󽜬 󽞺 Tìm tất cả các hàm :f R R󽞯 thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) ( ) , .f x a f x x a b x Rα β󽜬 󽜾 󽜬 󽜮 󽜬 󽜣 󽟏 (4) VINAMATH.COM 3 VINAMATH.COM Giải. Nếu α = 0 hoặc β = 0 thì ta có Bài toán 1. Vì vậy ta có thể giả thiết α ≠ 0 và β ≠ 0. Đặt (x) g(x) 1 b f α β 󽜾 󽜬 󽜮 󽜮 Khi đó (4) có dạng g(x + a) = αg(x) + βg(x – a ), 󰤁 x 󰤉 R (i) Gọi p, q là các nghiệm của phương trình 2 0t tα β󽜮 󽜮 󽜾 (ii) Khi đó α = p + q, - β = pq, p ≠ q, p ≠ 1, q ≠ 1 và (i) ( ) ( ) ( ) ( ),g x a p q g x pqg x a x R󽟜 󽜬 󽜾 󽜬 󽜮 󽜮 󽜣 󽟏 ( ) ( ) ( ( ) ( )),g x a pg x q g x pg x a x R󽟜 󽜬 󽜮 󽜾 󽜮 󽜮 󽜣 󽟏 Hay h(x + a) = qh(x), trong đó h(x) = g(x) –pg(x – a ), 󰤁 x 󰤉 R (iii) Do β ≠ 0 nên q ≠ 0 Trường hợp 1: 0 < q ≠ 1. Khi đó theo Bài toán 1, phương trình h(x + a) = qh(x) có nghiệm 1 1 1 ( ) ( ), ( ) ( ), x a h x q x x a x x Rϕ ϕ ϕ󽜾 󽜬 󽜾 󽜣 󽟏 (iv) Để ý rằng hàm h(x) xác định theo công thức (iv) có tính chất 1 ( ) ( ) ( )(1 ) x a p h x ph x a q x q ϕ 󽜮 󽜮 󽜾 󽜮 Hay 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) x a h x ph x a q x h xϕ󽜮 󽜮 󽜾 󽜾 , trong đó 1 ( ) ( ) , qh x h x x R p q 󽜾 󽜣 󽟏 󽜮 (v) So sánh (iii) và (v), ta thu được 1 ( ) ( ) g x h x󽜾 . Do đó ( ) ( ) 1 qh x b f x q p α β 󽜾 󽜬 󽜮 󽜮 󽜮 Trong đó h(x) được xác định theo (iv) Trường hợp 2: 0 > q. Theo Bài toán 1, phương trình h (x + a) = qh(x) có nghiệm 2 ( ) | q | x a h x ϕ󽜾 , với 2 ( )xϕ là hàm tùy ý sao cho 2 2 ( ) ( ), x a x x Rϕ ϕ󽜬 󽜾 󽜮 󽜣 󽟏 (vi) Để ý rằng hàm h(x) xác định theo công thức (vi) có tính chất VINAMATH.COM 4 VINAMATH.COM 2 ( ) ( ) | | ( )(1 ) x a p h x ph x a q x q ϕ 󽜮 󽜮 󽜾 󽜬 Hay 2 2 2 ( ) ( ) | | ( ) ( ) x a h x ph x a q x h xϕ 󽜮 󽜮 󽜾 󽜾 2 ( ) ( ) qh x h x q p 󽜾 󽜬 (vii) Từ (iii) và (vii) ta thu được 2 ( ) ( )g x h x󽜾 . Do đó ( ) ( ) 1 qh x b f x q p α β 󽜾 󽜬 󽜬 󽜮 󽜮 . Trong đó h(x) được xác định theo (vi) Kết luận: Gọi p, q là các nghiệm của phương trình 2 0t tα β󽜮 󽜮 󽜾 . Khi đó Nếu 0 < q ≠ 1 thì ( ) ( ) 1 qh x b f x q p α β 󽜾 󽜬 󽜬 󽜮 󽜮 trong đó 1 ( ) ( ) x a h x q xϕ󽜾 với φ 1 (x) là hàm tùy ý sao cho φ 1 (x + a) = φ 1 (x), 󰤁 x 󰤉 R Nếu q < 0 thì f(x) = ( ) 1 qh x b q p a β 󽜬 󽜬 󽜮 󽜮 trong đó h(x) = │q│ x ϕ φ 2 (x), với φ 2 (x) là hàm tùy ý sao cho φ 2 (x-φ)-φ 2 (x), 󰤁 x 󰤉 R. Bài toán 5. Cho h(x) là 1 hàm tuần hoàn trên R chu kì (a > 0). Xác định các hàm f(x) thỏa mãn điều kiện f(x + a ) – f(x) = h(x), 󰤁 x 󰤉 R. (5) Giải. Sử dụng các đẳng thức h(x) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , x a x x a h x a xh x h x x R a a a 󽜬 󽜮 󽜬 󽜬 󽜾 󽜮 󽜣 󽟏 ta có thể viết (5) dưới dạng f(x+a) – f(x) = ( ) ( ) ( )x a h x a xh x a a 󽜬 󽜬 󽜮 , (i) VINAMATH.COM 5 VINAMATH.COM hay g(x + a) = g(x), g(x) = f(x) - ( )xh x a . (i) Kết luận : f(x) = g(x) + ( )xh x a , trong đó g(x) là hàm tùy ý sao cho g(x + a) = g(x), x R󽜣 󽟏 Bài toán 6. Cho h(x) là một hàm phần tuần hoàn trên R chu kỳ a (a > 0). Xác định tất cả các hàm f(x) thỏa mãn điều kiện F(x + a) – f(x) = h(x), x R󽜣 󽟏 (6) Giả i. Sử dụng tính phản tuần hoàn của h(x), ta có các đẳng thức h(x + a) = - h (x), h(x) = ( ) ( ) 2 2 h x h x a󽜬 󽜮 = ( ) ( ) , 2 2 h x a h x x R 󽜮 󽜬 󽜮 󽜮 󽜣 󽟏 Vậy có thể viết (6) dưới dạng f(x + a) – f(x) = ( ) ( ) , 2 2 h x a h x x R 󽜮 󽜬 󽜮 󽜮 󽜣 󽟏 hay g(x + a) = g(x), trong đó g(x) = ( ) ( ) 2 h x f x 󽜬 (i) Kết luận: ( ) ( ) ( ) , 2 h x f x g x󽜾 󽜮 với g(x) là hàm tùy ý sao cho g(x + a) = g(x). Bài toán 7. Cho b ≠ -1 và h(x) là một hàm tuần hoàn trên R chu kỳ a, a > 0. Xác định tất cả các hàm f(x) thỏa mãn điều kiện F(x + a) = bf(x) = h(x), x R󽜣 󽟏 (7) Giả i. Sử dụng tính tuần hoàn của h(x), ta co các đẳng thức ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) , 1 1 h x a h x h x a h x h x b x R b b 󽜬 󽜾 󽜬 󽜾 󽜬 󽜣 󽟏 󽜬 󽜬 Do đó có thể viết (7) dưới dạng ( ) ( ) ( ) bf(x) , 1 1 h x a h x f x a b b b 󽜬 󽜬 󽜬 󽜾 󽜬 󽜬 󽜬 Hay g(x + a) = - bg(x), trong đó (i) VINAMATH.COM 6 VINAMATH.COM ( ) ( ) ( ) 1 h x g x f x b 󽜾 󽜮 󽜬 Do b ≠ -1 nên – b ≠ 1. Theo bài toán 1, phương trình (i) có nghiệm (x a) f(x) h(x)f 󽜬 󽜬 󽜾 g(x) = │ b │ x a q(x), Trong đó q(x) là hàm tùy ý sao cho: ( ) f(x) h(x).f x a󽜬 󽜬 󽜾 ( ) ( ) ( ) ( ), q x a q x q x a q x 󽜬 󽜾 󽟪 󽟫 󽜬 󽜾 󽜮 󽟬 Kết luận: ( ) ( ) 1 h x f x b 󽜾 󽜬 󽜬 │b│ x a q(x), Trong đó q(x) là hàm tùy ý sao cho: ( ) ( ) ( ) ( ), q x a q x q x a q x 󽜬 󽜾 󽟪 󽟫 󽜬 󽜾 󽜮 󽟬 Bài toán 8. Cho b ≠ -1 và h(x) là một hàm phản tuần hoàn trên R chu kỳ a, a > 0. Xác định tất cả các hàm f(x) thỏa mãn điều kiện ( ) bf(x) h(x); x R.f x a󽜬 󽜬 󽜾 󽜣 󽟏 (8) Giải: Trường hợp b = 1. Khi đó (8) có dạng ( ) ( ) ( ).f x a f x h x󽜬 󽜬 󽜾 (i) Sử dụng tính phản tuần hoàn của h(x), ta có các đẳng thức ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , x R. h x a h x xh x a x a h x h x a a xh x a x a h x a a 󽜬 󽜾 󽜮 󽜮 󽜬 󽜮 󽜾 󽜮 󽜮 󽜬 󽜮 󽜮 󽜾 󽜬 󽜣 󽟏 Do đó có thể viết (i) dưới dạng ( ) ( ) ( ) ( ) f(x) xh x a x a h x f x a a a 󽜮 󽜬 󽜮 󽜮 󽜬 󽜬 󽜾 󽜬 Hay g (x + a) = - g(x), trong đó g(x) = f(x) + ( ) ( )x a h x a 󽜮 Vậy ( ) ( ) ( ) (x) , ( ) ( ), . x a h x f x g a g x a g x x R 󽜮 󽜾 󽜮 󽜬 󽜾 󽜮 󽜣 󽟏 Xét trường hợp b ≠ 1. VINAMATH.COM 7 VINAMATH.COM Sử dụng tính phản tuần hoàn của h(x), ta có đẳng thức ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 1 h x a h x h x bh x h x b b h x a bh x b b 󽜬 󽜾 󽜮 󽜮 󽜾 󽜬 󽜮 󽜮 󽜬 󽜾 󽜬 󽜮 󽜮 Do đó có thể viết (8) dưới dạng ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 1 h x a bh x f x a bf x b b 󽜬 󽜬 󽜾 󽜾 󽜬 󽜮 󽜮 Hay ( ) ( )g x a bg x󽜬 󽜾 󽜮 , trong đó (ii) (x) ( ) ( ) 1 bh g x f x b 󽜾 󽜮 󽜮 . Vậy ( ) ( ) ( ) 1 bh x f x g x b 󽜾 󽜬 󽜮 , trong đó ( ) ( ),g x a bg x x R󽜬 󽜾 󽜮 󽜣 󽟏 . Do b ≠ -1 nên –b ≠ 1. Theo Bài toán 1, phương trình (ii) có nghiệm ( )g x 󽜾 │b│ x a q(x), Trong đó ( ) ( ), 0 ( ) ( ), 0 q x a q x khib q x a q x khib 󽜬 󽜾 󽜽 󽟪 󽟫 󽜬 󽜾 󽜮 󽜿 󽟬 Kết luận Với b = 1 thì : ( ) ( ) ( ) ( ) x a h x f x g x a 󽜮 󽜾 󽜮 , với g(x) là hàm tùy ý sao cho ( ) ( ), x R.g x a g x󽜬 󽜾󽜮 󽜣 󽟏 Vậy b ≠ 1 thì: ( ) ( ) ( ) , 1 h x f x g x b 󽜾 󽜬 󽜮 ( )g x 󽜾 │b│ x a q(x), Trong đó q(x) là hàm tùy ý sao cho ( ) ( ), 0 ( ) ( ), 0 q x a q x khib q x a q x khib 󽜬 󽜾 󽜽 󽟪 󽟫 󽜬 󽜾 󽜮 󽜿 󽟬 Bài toán 9. Cho a 󽟏 R\{0} và tam thức bậc hai P(x) = αx 2 + βx + γ. Xác định tất cả các hàm f(x) thỏa mản điều kiện VINAMATH.COM 8 VINAMATH.COM ( ) ( ) ( ), .f x a f x P x x R󽜬 󽜮 󽜾 󽜣 󽟏 (9) Giải. Viết (9) dưới dạng ( ) ( ) ( ),f at a f at P at t R󽜬 󽜮 󽜾 󽜣 󽟏 Hay ( 1) ( ) ( )g t g t Q t󽜬 󽜮 󽜾 , trong đó g(t) = f(at), Q(t) = P(at) = αa 2 t 2 + βat + γ (i) Để ý rằng 2 2 2 3 2 3 2 1 ( 1) , 1 ( 1) ( 1)] [x , 2 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 3 2 6 3 2 6 x x x x x x x x x x x x x 󽞻 󽜬 󽜮 󽜾 󽜬 󽜮 󽜬 󽜮 󽜮 󽟪 󽟺 󽟪 󽟺 󽜾 󽜬 󽜮 󽜬 󽜬 󽜬 󽜮 󽜮 󽜬 󽟫 󽟻 󽟫 󽟻 󽟬 󽟼 󽟬 󽟼 󽞪 󽞭 󽞫 󽞮 󽞬 󽞯 Vậy có thể viết Q(t) = F(t + 1) – F(t), với 2 3 2 2 1 1 1 1 ( ) [ ] . 3 2 6 2 F x a x x x a x x xα β γ 󽟪 󽟺 󽜾 󽜮 󽜬 󽜬 󽜮 󽜬 󽟫 󽟻 󽟬 󽟼 (ii) So sánh (i) và (ii) ta có thể chọn g(t) = F(t) + h(t), Trong đó h(t) là hàm bất kỳ thỏa mãn h(t + a) = h(t). Kết luận: ( ) x x f x F h a a 󽟧 󽟷 󽟧 󽟷 󽜾 󽜬 󽟨 󽟸 󽟨 󽟸 󽟩 󽟹 󽟩 󽟹 Trong đó h(x) là hàm bất kỳ thỏa mãn ( 1) ( ),h x h x x R󽜬 󽜾 󽜣 󽟏 , và 2 3 2 2 1 1 1 1 ( ) [ ] . 3 2 6 2 F x a x x x a x x xα β γ 󽟪 󽟺 󽜾 󽜮 󽜬 󽜬 󽜮 󽜬 󽟫 󽟻 󽟬 󽟼 Bài toán 10. Xác định tất cả các hàm f(x) tboar mãn điều kiện ( 1) ( ) 2 , . x f x f x x R 󽜮 󽜬 󽜮 󽜾 󽜣 󽟏 (10) Giải. Để ý rằng 1 1 ( 1) 1 2 2 2 2 ( 2 ). x x x x x󽜮 󽜮 󽜮 󽜮 󽜬 󽜮 󽜾 󽜮 󽜬 󽜾 󽜮 󽜮 󽜮 Vậy có thể viết (10) dưới dạng 1 ( 1) 1 ( 1) 2 ( ) 2 , . x x f x f x x R 󽜮 󽜬 󽜮 󽜬 󽜾 󽜾 󽜬 󽜣 󽟏 Kết luận: 1 ( ) ( ) 2 , x f x g x 󽜮 󽜾 󽜮 Trong đó g(x) là hàm tùy ý thỏa mãn VINAMATH.COM 9 VINAMATH.COM ( 1) ( ), .g x g x x R󽜬 󽜾 󽜣 󽟏 Bài toán 11. Tìm tất cả các hàm f(x) xác định, liên tục trên R thỏa mãn điều kiện (4 ) (9 ) 2 (6 ), .f x f x f x x R󽜬 󽜾 󽜣 󽟏 (11) Giải. Nhận xét rằng 2 3 (11) 2 ( ), 3 2 f x f x f x x R 󽟧 󽟷 󽟧 󽟷 󽟜 󽜬 󽜾 󽜣 󽟏 󽟨 󽟸 󽟨 󽟸 󽟩 󽟹 󽟩 󽟹 Hay 2 3 ( ) ( ) , . 3 2 f x f x f x f x x R 󽟧 󽟷 󽟧 󽟷 󽜮 󽜾 󽜮 󽜣 󽟏 󽟨 󽟸 󽟨 󽟸 󽟩 󽟹 󽟩 󽟹 (i) Khi đó có thể viết (i) dưới dạng sau 2 ( ) 3 g x g x 󽟧 󽟷 󽜾 󽟨 󽟸 󽟩 󽟹 , trong đó 3 ( ) ( ) . 2 g x f x f x 󽟧 󽟷 󽜾 󽜮 󽟨 󽟸 󽟩 󽟹 Do f(x) liên tục trên R nên g(x) cũng liên tục trên R . Ta có g (0) = f(0) – f(0) = 0. Mặt khác, với mọi số tự nhiên n , ta có 2 ( ) . 3 n g x g x 󽟧 󽟷 󽟧 󽟷 󽜾 󽟨 󽟸 󽟨 󽟸 󽟨 󽟸 󽟩 󽟹 󽟩 󽟹 Do đó 2 ( ) lim (0) 0, x R. 3 n n g x x g 󽞯󽞦 󽟧 󽟷 󽟧 󽟷 󽜾 󽜾 󽜾 󽜣 󽟏 󽟨 󽟸 󽟨 󽟸 󽟨 󽟸 󽟩 󽟹 󽟩 󽟹 Từ đó suy ra 2 ( ) ( ), 3 f x f x󽜾 hay 2 ( ) ( ). 3 f x f x󽜾 Ta có 2 ( ) ( ) ; , . 3 n f x f x n N x R 󽟧 󽟷 󽜾 󽜣 󽟏 󽜣 󽟏 󽟨 󽟸 󽟩 󽟹 Từ đó suy ra 2 ( ) lim ( ) (0). 3 n n f x f x f 󽞯󽞦 󽟧 󽟷 󽜾 󽜾 󽟨 󽟸 󽟩 󽟹 Do đó ( ) ,f x c c R󽞻 󽟏 tùy ý. Bài toán 12. Cho các hàm số p(x) và q(x) xác định trên R. Tìm tất cả các hám số f(x) sao cho ( ) (2 ) ( ) ( ), .p x f x f x q x x R󽜮 󽜬 󽜾 󽜣 󽟏 (12) Giải. VINAMATH.COM 10 [...]... a, b, c, d R Xác định các hàm f(x) thỏa mãn điều kiện f(ax + b) = cf(x) + d, x R 6/ Chứng minh rằng nếu hàm liên tục f : R → R thỏa mãn hệ thức f(f(f(x))) ≡ x, x R Thì f(x) ≡ x, x R II/ HÀM SỐ XÁC ĐỊNH BỞI CÁC BIẾN ĐỔI PHÂN TUYẾN TÍNH Cho hàm số ω ( x) ax b ,c cx d 0, ab bc 0 Trong II/ này , ta sẽ nghiên cứu các phương trình dạng f(ω(x)) = pf(x) + q Bài toán 1 Tìm tất cả các hàm số f : R → R sao cho... VINAMATH.COM 17 VINAMATH.COM với h(t) là hàm tùy ý thỏa mãn: h(αt) = h(t), t { 1 , 1, 0} α Bài toán 6 Cho hàm số ω ( x) 2x 5 x 2 Tìm tất cả các hàm số f : R\{2} → R sao cho f(ω(x)) + f(x) = 3, x ≠ 2 (6) Giải Nhận xét rằng phương trình ω(x) = x không có nghiệm thực và ω(ω(x)) ≡ x ta chứng minh mọi hàm dạng f ( x) 1 3 [g (ω ( x)) g ( x)] 2 2 (i) với g(x) tùy ý xác định trên R \ {2}, đều là nghiệm của (6) Thật... đó h(x) là hàm số tùy ý xác định trên R Kết luận: Điều kiện cần để phương trinh (7) có nghiệm là q(-x) = q(x) = q 0, Khi đó ta có trong đó g(x) = + φ(x) = , =q , ≠ , với h(x) là hàm số tùy ý xác định trên R và ≠ 0, với φ(x) là hàm chẵn tùy ý trên R\ VINAMATH.COM 27 VINAMATH.COM Bài toán 8 Tìm tất cả các hàm số f(x) xác định trên R thỏa mãn điều kiện f(x) – f(-x) + f f = h(x), với h(x) là hàm số cho... các nghiệm của phương trình 1 – p(2 – x)p(x) = 0 BÀI TẬP 1/ Xác định các hàm f(x) thỏa mãn điều kiện f(x)f(x + 1) = 1, x R 2/ Xác định các hàm f(x) thỏa mãn điều kiện f(x)f(1 – x) = x(1 – x), x R 3/ Cho h(x) là hàm tuần hoàn trên R chu kỳ a (a > 0) Xác định các hàm f(x) thỏa mãn điều kiện f(x + a) = h(x)f(x), x R 4/ Cho h(x) là hàm phản tuần hoàn trên R chu kỳ a (a > 0) Xác định các hàm f(x) thỏa mãn... cần để phương trình (9) có nghiệm là g (ω ( x )) q( x) , x R \ {-1, 0} Khi đó mọi nghiệm của (7) có dạng 1 1 q ( x) [2h( x) h(ω2 ( x)) h(ω ( x))] , 3 3 f ( x) với h(x) là hàm tùy ý xác định trên R \ {-1, 0} Bài toán 10 Cho các hàm số p(x) và q(x) các định trên R và 1 x ω ( x) Tìm tất cả các hàm số f : R \ {0} → R sao cho p ( x ) f (ω ( x )) f ( x ) q ( x ) , x ≠ 0 (10) Giải Nhận xét rằng phương trình. .. khix {1; 2}, x 1 ), khix {1; 2}, g( x 2 g (t ) 3 t 1h(t ) , với h(t) là hàm tùy ý tỏa mãn t h( )h(t ), t {2,1, 0} 2 ax b , c 0, ab bc 0 sao cho phương trình cx d ω(x) = x có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Tìm tất cả các hàm số d d f : R \{ } R sao cho f (ω ( x)) 2 f ( x) 3 , x ≠ (5) c c Bài toán 5 Cho hàm số ω ( x) Giải Theo giả thiết thì phương trình ω(x) = x có hai nghiệm phân biệt x = x1 và x = x2 Đặt... các hàm f(x) xác định và liên tục trên R \ {0} thỏa mãn điều kiện f(x)f(ω (x)) f(ω(ω (x))) = 1, x \ {0, 1} IV/ PHƯƠNG TRÌNH TRONG LỚP CÁC HÀM TUẦN HOÀN Trong IV/ này, sẽ khảo sát lớp phương trình hàm trong lớp các hàm số tuần hoàn cộng tính và nhân tính Bài toán 1 Cho các s \ {0} Tìm tất cả các hàm f : R → R thỏa các điều kiện (1) Giải Thay x bởi x + b trong (1) và sử dụng hệ thức f(x + 2b) = f(x), suy... ) , khit 0 2 1 1 h( ) h(t) , t > 0 với h(t) là hàm tùy ý xác định trên R+ 2 t Bài toán 7 Tìm tất cả các hàm số f(x) xác định trên R thỏa mãn điều kiện VINAMATH.COM 26 VINAMATH.COM f ( x) 1 f( ) x f ( x) f( với q(x) là hàm số cho trước 1 ) x q ( x), x R \{0} (7) Giải Lần lượt thay x bởi (-x), (7) có nghiệm là q( x) 1 1 và ( ) vào (7), ta được điều kiện cần để phương trình x x q( x) 1 q( ) x q( 1 ), x... 2 h(t ), trong đó hàm h(t) tùy ý thỏa mãn 1 h(t ) h(t ), t 0 d x0 c Từ (i) và (ii) ta có Kết luận : 1, khix f ( x) g( x0 , 1 x x0 ) 1, khix R \{x 0 , d } c Trong đó g (t ) t t0 2 h(t ), t 0, Với h(t) là hàm tùy ý thỏa mãn 1 h(t d c x0 ) h(t ), t 0 Bài toán 4 Cho hàm số 2 ω ( x) 3 x Tìm tất cả các hàm số f : R \{3} → R sao cho f (ω (x)) 2 f(x) 3, x 3 (4) Giải Nhận xét rằng phương trình ω(x) = x có hai... x)) , x≠0 (i) Nhận thấy rằng (10) và (i) là hệ hai phương trình tuyến tính đối với hai ẩn là f(ω(x)) và f(x) Nếu [1 – p(ω(x))p(x)] ≠ 0 , x ≠ 0 thì q ( x) q (ω ( x)) p ( x) 1 p ( x) p (ω ( x)) q (ω ( x)) p (ω ( x)) q ( x) f (ω ( x)) , x≠0 1 p ( x) p (ω ( x)) f ( x) (ii) (iii) Các công thức (ii) và (iii) xác định cùng một hàm số f(x) thỏa mãn phương trình (10) Nếu là x0 0 sao cho [1 p (ω ( x0 )) p ( . VINAMATH.COM Bài 3 PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỐI SỐ I/ HÀM SỐ XÁC ĐỊNH BỞI CÁC BIẾN ĐỔI TỊNH TIẾN VÀ ĐỒNG DẠNG Trong I/ này, sẽ khảo sát lớp phương trình hàm sinh bởi các phép biến đổi hình học cơ. )h x với 0,c