Các tính chất cơ bản của hàm điều hòa và phương trình laplace

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TỐN  KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÀM ĐIỀU HỊA VÀ PHƢƠNG TRÌNH LAPLACE Giáo viên hƣớng dẫn Sinh viên thực Lớp : TS Nguyễn Duy Thái Sơn : Huỳnh Thị Ni : 11CTUD1 Đà Nẵng, tháng 05 năm 2015 Khóa luận tốt nghiệp Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Thái Sơn MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Các kí hiệu 1.1.1 Kí hiệu hàm số 1.1.2.Kí hiệu đạo hàm 1.1.3.Các không gian hàm 1.1.4.Hàm vectơ 1.2.Một số vấn đề giải tích thực 1.2.1.Biên 1.2.2.Định lý Gauss-Green 10 1.2.3.Tọa độ cực, công thức đổi miền 12 CHƢƠNG 2: CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÀM ĐIỀU HỊA VÀ PHƢƠNG TRÌNH LAPLACE 15 2.1.Nghiệm 16 2.2.Cơng thức giá trị 19 2.3.Các tính chất hàm điều hịa 22 2.3.1.Nguyên lý cực đại (mạnh), tính 22 2.3.2.Tính quy 26 2.3.3.Đánh giá địa phƣơng hàm điều hòa 29 2.3.4.Định lý Liouville 32 2.3.5 Tính giải tích 33 2.3.6 Bất đẳng thức Harnack cho hàm điều hịa (khơng âm) 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 Sinh viên thực hiện: Huỳnh Thị Ni – 11CTUD1 Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Sau khoảng thời gian học tập nghiên cứu dƣới hƣớng dẫn đạo thầy Nguyễn Duy Thái Sơn, đến khóa luận tốt nghiệp “Các tính chất hàm điều hịa phƣơng trình Laplace” em đƣợc hoàn thành Cho phép em đƣợc gởi đến thầy lời cảm ơn chân thành giúp đỡ thầy em không khoảng thời gian làm khóa luận mà cịn suốt q trình học tập Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến Nhà trƣờng, Ban chủ nhiệm khoa Toán trƣờng Đại học Sƣ phạm Đà Nẵng tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho em khoảng thời gian làm khóa luận tốt nghiệp Em xin gửi lời cảm ơn đến tất thầy cô khoa Tốn tận tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm quý báu cho em trình học tập trƣờng Cuối cùng, em xin cảm ơn tất bạn bè, ngƣời thân động viên, giúp đỡ em khoảng thời gian vừa qua Sinh viên thực hiện: Huỳnh Thị Ni – 11CTUD1 Trang Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Trong tốn học, phƣơng trình Laplace phƣơng trình đạo hàm riêng đƣợc tên theo ngƣời khám phá – Pierre Simon Laplace Nghiệm phƣơng trình Laplace đóng vai trò quan trọng nhiều ngành khoa học Và nghiệm phƣơng trình Laplace hàm điều hòa Đặc biệt, lý thuyết hàm điều hòa tính chất cho ta nhiều ứng dụng, phải kể đến tính chất nhƣ giá trị trung bình, nguyên lý cực trị (giá trị cực đại cực tiểu miền đạt đƣợc biên),…Trong giải tích phức, hàm điều hịa có vai trò quan trọng việc nghiên cứu hàm chỉnh hình Việc định nghĩa xét tính chất hàm điều hịa phải thơng qua hàm nửa liên tục Với mong muốn tìm hiểu nghiên cứu tính chất hàm điều hịa phƣơng trình Laplace, nhằm đáp ứng nguyện vọng nghiên cứu thân, đồng thời nhận đƣợc gợi ý động viên giáo viên hƣớng dẫn – TS Nguyễn Duy Thái Sơn, em lựa chọn: “ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÀM ĐIỀU HỊA VÀ PHƢƠNG TRÌNH LAPLACE” làm đề tài nghiên cứu cho khóa luận Sinh viên thực hiện: Huỳnh Thị Ni – 11CTUD1 Trang Khóa luận tốt nghiệp Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Mục đích nghiên cứu: Tìm kiếm đƣợc nhiều tài liệu khác nhau, nghiên cứu kỹ, củng cố kiến thức cũ, tìm hiểu kiến thức hàm điều hịa phƣơng trình Laplace Sau trình bày lại kiến thức luận văn hy vọng khóa luận hồn thành – trở thành tài liệu tham khảo có ích cho sinh viên muốn tìm hiểu phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng nói chung hay hàm điều hịa phƣơng trình Laplace nói riêng Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu: Đối tƣợng nghiên cứu: Hàm điều hịa phƣơng trình Laplace Phạm vi nghiên cứu: Một số tính chất hàm điều hịa phƣơng trình Laplace Phƣơng pháp nghiên cứu: Sử dụng phƣơng pháp nghiên cứu tài liệu để thu thập thơng tin trình bày nội dung phục vụ cho yêu cầu đề tài Nội dung đề tài: Chương 1: Kiến thức sở Chƣơng giới thiệu ký hiệu thƣờng dùng trình bày vắn tắt kiến thức sở đƣợc sử dụng Chƣơng Chương 2: Các tính chất hàm điều hịa phương trình Laplace Chƣơng đề cập đến khái niệm tính chất hàm điều hịa phƣơng trình Laplace nhƣ nghiệm bản, cơng thức giá trị chính, … Kết luận Sinh viên thực hiện: Huỳnh Thị Ni – 11CTUD1 Trang Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Khóa luận tốt nghiệp Chƣơng KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Các kí hiệu 1.1.1 i Kí hiệu hàm số Nếu u : U  ta viết u  u( x)  u( x1 , x2 , , xn ) với x  ( x1 , x2 , , xn ) U Nếu u khả vi vơ hạn lần ta nói u trơn ii Các hàm số u v trùng nhau, kí hiệu u  v , u( x)  v( x), x U Ta viết u : v để nói u đƣợc định nghĩa v Giá hàm u kí hiệu sptu iii Với u : U  , u  ( x) : max u( x),0 , u  ( x) :  u( x),0 , u  u   u  , u  u   u  Hàm dấu u là: u(x)  u ( x)  1  sgn u ( x)    1  iv Nếu u : U  m u ( x)  hàm vectơ ta thƣờng viết u ( x)  (u1 ( x), u ( x), , u m ( x)) ; hàm u1 , u , , u m đƣợc gọi hàm thành phần: u k : U  v Nếu  mặt trơn ( n  )  chiều (1  k  m) n ta dùng  fdS  để kí hiệu tích phân f  lấy theo độ đo ( n  )  chiều Nếu C đƣờng cong n ta dùng  fdl C tích phân f C lấy theo độ dài cung Sinh viên thực hiện: Huỳnh Thị Ni – 11CTUD1 Trang Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Khóa luận tốt nghiệp vi Trung bình tích phân: Nếu U tập đo đƣợc, bị chặn f : U  fdx : U hàm khả tích ta kí hiệu:  fdx U gọi giá trị trung bình hàm f U Ở U  U n độ đo Lebesgue n – chiều U Trƣờng hợp đặc biệt: Khi U  B( x, r ) f ( y)dy  U U  f ( y)dy  r  (n)  n U f ( y )dy B ( x ,r ) Tƣơng tự, fdS  B ( x , r ) vii 1 fdS  n 1 fdS  B( x, r ) n 1 B ( x ,r ) r n (n) B (x ,r ) Hàm đặc trƣng/ hàm tập E  xE : viii n n 1 x  E  , xE ( x)   0 x  E Hàm liên tục Lipschitz Hàm u : U  đƣợc gọi liên tục Lipschitz U tồn số L  0,   cho u( x)  u( y)  L x  y (1) với x, y U Hằng số L  0,   bé cho (1) với x, y U đƣợc gọi số Lipschitz hàm u đƣợc kí hiệu là: Lip u  Vậy Lip u  : inf L  0,   | u( x)  u( y)  L x  y , x, y U  ix Tính chập hàm f , g đƣợc kí hiệu: f  g Sinh viên thực hiện: Huỳnh Thị Ni – 11CTUD1 Trang Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Khóa luận tốt nghiệp ( f  g )( x) :  f ( y) g ( x  y )dy, x  n n Kí hiệu đạo hàm 1.1.2 Cho u : U  i n  , x U u ( x  tei )  u ( x) u ( x) : lim ; t 0 xi t ei vectơ sở chuẩn tắc thứ i ii Ta viết u x thay cho i n , ei  (0, ,0,1,0, ,0) u xi iii  2u   u      (uxi ) x j  uxi x j x j xi x j  xi  iv Kí hiệu đa số: a Một vectơ   (1 ,  , ,  n )  n mà thành phần i (1  i  n) số ngun khơng âm đƣợc gọi đa số Cấp đa số  đƣợc n kí hiệu  đƣợc định nghĩa    xi i 1 b Nếu hàm u : U  có tất đạo hàm riêng đến cấp  liên tục ta kí hiệu:   u D u : 1   x1 x2 xn n  c Nếu k số ngun khơng âm, ta kí hiệu: Dk u ( x) tập hợp tất đạo hàm riêng cấp k Ta coi Dk u ( x) vectơ không gian nk Nếu u có tất đạo hàm riêng cấp k liên tục ta xem: Dk u( x)  D u ( x) |   k d Chuẩn (Euclid) Dk u ( x) Sinh viên thực hiện: Huỳnh Thị Ni – 11CTUD1 Trang Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Khóa luận tốt nghiệp D k u ( x) : D u ( x)   k e Các trƣờng hợp đặc biệt: ˗ Với k  , ta có:  u  u u Du ( x)  D1u ( x)   ( x), ( x), , ( x)   (u x1 ( x), u x2 ( x), , u xn ( x)) x2 xn  x1  đƣợc gọi gradient hàm u điểm x ˗ Với k  , ta có:   2u  ( x)   x1 D u ( x)     u  x x ( x)  n   2u ( x)  xn x1     2u  ( x)  xn nn đƣợc gọi ma trận Hessian hàm u x v n  2u  2u  2u ( x)  ( x)   ( x)   uxi xi ( x) Ta định nghĩa u ( x) : trD u ( x)  x1 x2 xn i 1 đƣợc gọi toán tử Laplace u x vi Ta dùng số dƣới gắn với kí hiệu D, D ,… để kí hiệu biến đƣợc lấy đạo hàm Chẳng hạn nhƣ: u  u( x, y) ( x  n , y m ) * Dxu( x, y)  (ux ( x, y), ux ( x, y), , ux ( x, y)) vectơ gradient hàm u theo biến x n * Dy2u ( x, y) ma trận Hessian hàm u theo biến x m   y u ( x, y)  trDy2u ( x, y )   u yi yi ( x, y) i 1 1.1.3 i C (U ) : u : U  C k (U ) : u : U  Các không gian hàm | u liên tục} | u khả vi liên tục k lần} Sinh viên thực hiện: Huỳnh Thị Ni – 11CTUD1 Trang Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Khóa luận tốt nghiệp C (U ) : u : U  | u liên tục đều} C k (U ) : u : U  | D u tồn liên tục với đa số  mà   k } Do đó: Nếu u  C k (U ) D u có thác triển liên tục lên U với đa số  mà  k  ii C  (U ) :  C k (U ) k 1  C  (U ) :  C k (U ) k 1 (Mỗi u  C  (U ) đƣợc gọi hàm trơn U ) iii Cc (U )  u  C (U ) | u có giá compact }  u  C (U ) | sptu U  Tƣơng tự: Cck (U )  u  C k (U ) | sptu Ck (U )  u  C  (U ) | spt iv Lp (U ) : u : U  U  U  | u hàm đo đƣợc Lebesgue, u LP (U )    , 1/ p u L (U )   p    u dx  U  L (U ) : u : U  u LP (U ) (1  p  ) | u hàm đo đƣợc Lebesgue, ess sup u   Ta lấy : ess sup u( x) xU LPloc (U ) : u : U  v Du LP (U ) : Du Tƣơng tự: D2u LP (U ) LP (U ) | u đo đƣợc u |V  LP (V ) với tập V : D 2u LP (U ) 1.1.4 i U } Hàm vectơ Nếu u  (u1 , u , , u m ) hàm vectơ xác định U  Sinh viên thực hiện: Huỳnh Thị Ni – 11CTUD1 n , ta quy ƣớc: Trang Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Khóa luận tốt nghiệp Hơn nữa, U liên thông tồn x1 U để g ( x1 )  u( x)  0, x U (2) Chứng minh: Thật vậy, (2) sai thì: x0 U , u( x0 )  (chú ý (1))  u ( x0 )  u (cũng (1)) U Vậy u hàm U liên thông (theo nguyên lý cực tiểu mạnh (iv))  u  U  g  U, mâu thuẫn g ( x1 )  Mâu thuẫn chứng minh (2) (điều phải chứng minh) Đinh lí 2.3.1.2: (Tính nhất) Cho U  n tập mở, bị chặn cho g  C (U ), f  C ( u  f U  u  g U Khi tốn:  n ) (2.5) Có tối đa nghiệm u  C (U )  C (U ) Chứng minh: Giả sử toán (2.5) nhận u1 , u2  C (U )  C (U ) làm nghiệm Đặt u : u1  u2 Ta có: u  C (U )  C (U ) Hơn u  u1  u2  ( f )  ( f )  U Nên u hàm điều hòa U Ngồi , U u  u1  u2  g  g  Theo nguyên lý cực đại nguyên lý cực tiểu thì: max u  max u  max    U U U  u  u  00  U U  U Sinh viên thực hiện: Huỳnh Thị Ni – 11CTUD1 Trang 25 Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Khóa luận tốt nghiệp   u  u( x)  max u  x U U U  u( x)  0, x U  u1  u2 (điều phải chứng minh) 2.3.2 Tính quy Định lý 2.3.2.1: (Về độ trơn hàm điều hòa) Nếu u  C (U ) hàm thỏa mãn cơng thức giá trị tập mở U  n , tức là: u ( x)  u( y)dS  B ( x , r ) (2.4) u( y)dy B( x, r ) với x U với r  (0, ) mà B( x, r )  U , u  C  (U ) Đặc biệt, u  C (U ) hàm điều hịa U (theo định lý 2.2.1) u thỏa mãn cơng thức giá trị U nên u  C  (U ) Chứng minh:  21 e x 1 x  Đặt :  ( x) :    x n x i 1 i 1 (x  n ) 1 Ta chứng minh đƣợc   C  ( n  ) ,   C0 ( n ) với spt   B(0,1) Bằng cách đặt: C :   ( x)dx, C  (0, )  ( x) : R n ta thu đƣợc hàm   C0 ( n x  ( ), x  n C  n , ) có spt   B(0,  ) Hơn nữa, với   : Sinh viên thực hiện: Huỳnh Thị Ni – 11CTUD1 Trang 26 Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Khóa luận tốt nghiệp   ( x)dx  n Đổi biến số y : Ta suy x   dy  n C n x   (  )dx n dx   ( x)dx  C   ( y)dy  n n Các hàm  (  0) đƣợc gọi nhân trung bình hóa Đặt u ( x) :   ( x  y)u( y)dy   u( x  y) ( y)dy n n Với x U , U : x U | d ( x, u)    Ghi chú: u   * u đƣợc gọi trơn hóa hàm u Với u  L1loc (U ) ta có u  C  (U ) Giả sử u  C (U ) hàm thỏa mãn công thức giá trị Xét trơn hóa u   u (  0) Ta chứng minh u ( x)  u( x) x U Thật vậy, lấy tùy ý x U dùng công thức tọa độ cực ta có: u  ( x)    ( x  y )u ( y )dy (theo định nghĩa u  ) Rn    ( x  y)u ( y)dy (vì spt   B(0,1) nên y  B( x,  )  ( x  y)  B ( x , ) )   (   ( x  y )u ( y )dS ( y ))dr (công thức tọa độ cực) B ( x , r )   x y   u ( y )dS ( y )dr n C    B ( x , r )   Nhƣng  ( x)   ( x ) phụ thuộc vào x Sinh viên thực hiện: Huỳnh Thị Ni – 11CTUD1 Trang 27 Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Khóa luận tốt nghiệp  x y  x y           r      phụ thuộc vào r  y B( x, r )    r      u ( x)    n    u ( y )dS ( y )  dr  C  B ( x ,r )   Nên: Sử dụng cơng thức giá trị ta tiếp tục có: r     u ( x)    n   n (n)r n 1 u ( x)  C  u( y)dSy)dr (2.4) B ( x , r ) r ( )   n n (n)r n 1u ( x)dr C    u ( x)n (n) r  ( )r n 1dr n  C  Mặt khác, nhƣ biết (*)   ( y)dy     ( y)dy  n B (0, ) Nên lại dùng công thức tọa độ cực, ta có:  1    ( y ) dS ( y ) dr      B (0, r )   B (0, )  ( y )dy           y r     dS ( y ) dr     dS ( y ) dr      n n      C    C     B (0, r )  B (0, r )   r r            1 dS ( y ) dr   (n (n)r n 1 )dr n  n    C  B (0,r ) C 0   Sinh viên thực hiện: Huỳnh Thị Ni – 11CTUD1 Trang 28 Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Khóa luận tốt nghiệp   n (n)  r  n 1    r dr C n 0    (**) u  ( x)  u ( x) So sánh (*) (**), ta có: x U Mà u  C  (U ) nên u  C  (U ) Cuối cùng,   đƣợc tùy ý nên kết luận: u  C  (U ) 2.3.3 Đánh giá địa phƣơng hàm điều hòa Định lý 2.3.3.1: (Đánh giá đạo hàm) Cho u  C (U ) hàm điều hòa tập mở U  Khi đó: D u ( x0 )  Ck u r nk n (2.6) L1 ( B ( x0 , r )) với x0 U , r  (0, ) cho B( x0 , r )  U với đa số   (1 ,  , ,  n ) n có cấp  :   i  k , đó: i 1 C0 : (2n 1 nk )k k  Ck :  ( n)  ( n) * (2.7) Chứng minh: Ta quy nạp theo k (k  )  Trƣờng hợp k  : Sử dụng cơng thức giá trị ta có:  u ( x0 )  u ( x)dx  B ( x0 , r )   ( n) r n  B ( xo , r )  ( n) r n  u ( x)dx B ( x0 , r ) u ( x) dx  C0 u rn L1 ( B ( xo , r )) Nên (2.6) trƣờng hợp k  Trƣờng hợp k  : Xét đa số   (0, ,0,1,0, ,0), D u  ux hàm i điều hòa U , theo định lý 2.3.2.1 u  C (U ) nên (ux )  (u) x  U  i Sinh viên thực hiện: Huỳnh Thị Ni – 11CTUD1 i Trang 29 Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Khóa luận tốt nghiệp Suy u x thỏa công thức giá trị i  u xi ( x)dx   u xi ( x0 )  2n u  ( n) r n uxi ( x0 )  r  ( n)   2 r B ( x0 , ) r L ( B ( x0 , )) 2n  u  ( n) r n n  2n u xi ( x)dx   ( n) r n  dS r B ( x0 , )  u ( x) i dS r B ( x0 , ) (vì  i    1) r B ( x0 , ) r r n (n)   L ( B ( x0 , ) 2 r n 1  2n u r r L ( B ( x0 , ) r Mặt khác, với x  B( x0 , ) , ta có B( x, )  B( x, r )  U nên sử dụng trƣờng hợp k  (2.6) ta có: u r L ( B ( x0 , ))  C0 u r n ( ) L1 ( B ( x0 , r ))  2n u  ( n) r n L1 ( B ( x0 , r )) Kết hợp bất đẳng thức vừa thu đƣợc, ta có: uxi ( x0 )  2n 2n  u r  ( n) r n L1 ( B ( x0 , r ))  2n1  n  u  (n) r n1 L1 ( B ( x0 , r ))  (2.6) k  Cho k  sử dụng (2.6) đƣợc chứng minh cho đạo hàm riêng có cấp khơng vƣợt k  Xét tùy ý đa số  có cấp   k    tồn i  ,1  i  n tồn đa số  có cấp   k  để D u  ( D u ) xi Cũng nhƣ trên, u  C  (U ) ( D u)  D (u)  nên D u điều hòa U Vậy D u( x0 )  B ( x0 , D u( x)dx r ) k Sinh viên thực hiện: Huỳnh Thị Ni – 11CTUD1 Trang 30 Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Khóa luận tốt nghiệp  D u ( x0 )  r    n  ( n)   k ( D  u ( x)) xi dx  r B ( x0 , ) k kn  D u ( x0 )  D n  n r  r   L  B ( x0 , )  k   kn r   n (n)   n  ( n) r k kn  ( n) r n    D  u ( x)  i dS r B ( x0 , ) k dS (  i    ) r B ( x0 , ) k n 1  D u r   L  B ( x0 , )  k   r k Vì   k  với x  B( x0 , ) ta có:  k 1  B  x, r   B( x0 , r )  U k   Nên sử dụng giả thiết quy nạp, ta có: D u r   L  B ( x0 , )  k    Ck 1  k 1  r    k  u n  k 1 L1 ( B ( x0 , r )) Kết hợp bất đẳng thức trên, ta có: D u ( x0 )  kn k n k 1 Ck 1 u r (k  1)n  k 1 r n  k 1 L1 ( B ( x0 , r )) k n k n (2n1 n(k  1))k 1  nk u r  ( n) (k  1)n k 1 (2n 1 nk ) k  ( n)  u r nk n L1 ( B ( x0 , r )  Ck u r nk L1 ( B ( x0 ,r )) L1 ( B ( x0 , r ) n k    n (vì    1    ) k 1 k 1     Vậy (2.6) cho đa số  có   k Nguyên lý quy nạp cho ta điều phải chứng minh Sinh viên thực hiện: Huỳnh Thị Ni – 11CTUD1 Trang 31 Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Khóa luận tốt nghiệp 2.3.4 Định lý Liouville Định lý 2.3.4.1: (Liouville) Nếu u hàm điều hòa bị chặn khắp n u hàm *Chứng minh: đa số  có cấp   (tức   (0, , 0,1, 0, , 0) ), Lấy tùy ý x0  n Ta có: D u ( x0 )  C1 u r n 1 L1 ( B ( x0 , r )) với r  (1) Mặt khác, u bị chặn nên: C : u  L ( Rn )    u( x)  C x  B( x0 , r ) B ( x0 , r )  u  u ( x)dx  C L1 ( B ( x0 , r )) dx  C (n)r n B ( x0 , r )  C (n)r n Thay vào (1), ta có: D u ( x0 )  C 2n 1 n  (n) C 2n 1 n   ( n) r r Cho r   ta nhận đƣợc D u( x0 )  Vậy đạo hàm riêng cấp u triệt tiêu (trên khắp n ) Suy u hàm Đinh lý 2.3.4.2: (Công thức biểu diễn) Cho f  CC2 ( n ) với n  Mọi nghiệm giới nội phương trình Poisson u  f khắp n có dạng: u ( x)   ( x  y) f ( y)dy  C n với C số tùy ý,  nghiệm phương trình Laplace *Chứng minh: Sinh viên thực hiện: Huỳnh Thị Ni – 11CTUD1 Trang 32 Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Khóa luận tốt nghiệp Vì n  nên lim ( x)  x  Vì vậy,  giới nội, nói cách khác C1 :  Hơn f  Cc2 ( Tƣ đó, C2 : f (1) Đặt u( x) : n L ( L ( n )   ) nên tồn  r   để spt f  B(0, r ) n )    ( x  y) f ( y)dy  ( * f )( y) (x  n ) n Thì theo định lý nghiệm phƣơng trình Poisson ta có: u  f khắp Tiếp theo ta chứng minh u giới nội Thật vậy, (1)  u ( x)  C1  f ( y) dy  C1  f ( y) dy  C1C2  dy  C1C2 (n)r n   n B (0, r ) n B (0, r ) Suy u giới nội Gọi u nghiệm giới nội phƣơng trình Poisson khắp Và đặt: w : u  u  w  u  u  ( f )  ( f )  Suy w hàm điều hòa khắp n Hơn nữa, u u giới nội nên w giới nội Vậy, theo định lý Lioville w hàm Từ đó, u( x)  u( x)  w( x)  u( x)  C   ( x  y) f ( y)  C (x  n ) n Trong đó, C số 2.3.5 Tính giải tích Định lý 2.3.5.1: (Tính giải tích hàm điều hịa) Cho u hàm điều hịa miền U  n Khi đó, u hàm giải tích (chỉnh hình) U Chứng minh: Theo định lý 2.3.2.1 độ trơn, ta biết: u  C  (U ) Vì x  B( x0 , r ), B( x, r )  B( x0 , 2r ) Lấy tùy ý x0 U chọn  r  d ( x0 , U ) U nên áp dụng định lý 2.3.3.1, với x  B( x0 , r ) với đa số  , ta có: D u ( x)  C r n    D u L ( B ( x0 , r )) u  L ( B ( x , r ))  C r (2n 1 n  )  ( n) r n   n  u L1 ( B ( x ,2 r ))  u L1 ( B ( x0 ,2 r )) Sinh viên thực hiện: Huỳnh Thị Ni – 11CTUD1 (1) Trang 33 Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Khóa luận tốt nghiệp Đặt: u M : L1 ( B ( x0 ,2 r )) n  ( x) r Từ (1) ta có: D u L ( B ( x0 , r ))  2n 1 n   M  r      (2) Mặt khác, với đa số  , ta có:  e   k 0      k! ! k    !e    2n1 en  Du  M  ! L ( B ( x0 ,r ))  r  Thay vào (2) ta đƣợc:  (3) Mà theo định lý đa thức 1.2.2.1 thì: n k  (1    1) k  k  n  Suy ra: k! !   !    !  n ! ! Thay vào (3) ta đƣợc:   D u L ( B ( x0 , r )) Xét x U mà x  x0    2n1 en    2n1 en2  M n  !  M    !  r   r  (4) r xét khai triển Talor (quanh điểm x0 ): en3 n    k 0 N 1 Phần dƣ RN ( x)  u ( x)    k 0   k k D u ( x0 ) ( x  x0 ) ! D u ( x0 ) ( x  x0 ) viết đƣợc dƣới dạng: ! Sinh viên thực hiện: Huỳnh Thị Ni – 11CTUD1 Trang 34 Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Khóa luận tốt nghiệp RN ( x)    N D u ( x0  t ( x  x0 )) ( x  x0 ) ! với N  *  t 1 (5) Dựa vào (4) ta có: D u ( x0  t ( x  x0 ) ! nên (5) kéo theo, x  x0   2n1 en2  RN ( x)   M    N  r   2n1 en2  M   r   r , en3 n2   x  x0    2n1 en2   r   M (6)   n2   M   r en (2 n )    N   N   Tiếp theo, gọi A tập tất đa số có cấp   N Ta tìm cách đánh giá số phần tử A N!  1  A  A !  A Theo định lý đa thức ta có: n N  (1    1) N   nN M A M  N  N   Vậy (6)  RN ( x)  M N N (2n) (2n) Vậy chuỗi Talor u ( x) hội tụ u ( x) x  x0  r nhƣ chọn en3 n Nên u hàm chỉnh hình 2.3.6 Bất đẳng thức Harnack cho hàm điều hịa (khơng âm) Định lý 2.3.6.1: (Bất đẳng thức Harnack) Cho u hàm điều hịa khơng âm tập mở U  n Khi với tập mở liên thông V U , tồn số C  phụ thuộc vào V (không phụ thuộc vào sup u  C inf u hàm số u ) cho: V (1) Ghi chú: Bất đẳng thức (1) tƣơng đƣơng với: Sinh viên thực hiện: Huỳnh Thị Ni – 11CTUD1 Trang 35 Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Khóa luận tốt nghiệp x V , y V , u ( y )  u ( x)  Cu ( y ) C (2) Thật vậy, có (1) với x, y V ta có: u( x)  sup u  C inf u  Cu ( y) V V Thay đổi vai trò x y , ta có: u ( y)  Cu ( x)  u ( y )  u ( x) C Bất đẳng thức (1) nói u hàm điều hịa khơng âm U V U liên thơng u khơng thể q lớn điểm x V nhƣng lại bé điểm y V Hàm u lớn (tƣơng ứng bé) điểm lớn (tƣơng ứng bé đều) điểm Điều giải thích tên gọi hàm “điều hịa” Chứng minh định lý 2.3.6.1: Đặt d  d (V , U )  lấy  r  d r   Họ  B ( x, )  tạo thành phủ mở tập compact V nên ta trích  xV  đƣợc phủ hữu hạn: Ƒ   B ( xi , )  r  N i 1 (Ƒ gồm N hình cầu) Với x, y V , V liên thơng nên tồn đƣơng cong (có thể đƣờng gấp khúc) C nối x y mà C  V Bằng cách dọc theo C từ x qua y ta tìm đƣợc dãy hình cầu B1 , B2 , , BM (1  M  N ) họ Ƒ mà x  B1 , y  BM , Bi 1  Bi   với số  i  M Đặt x0 : x , lấy x1  B1  B2 tùy ý, x2  B2  B3 tùy ý,…, Cuối xM : y Ta đƣợc dãy ( xi )iM0 gồm M+1 điểm mà: xi 1  xi  r với số i (1  i  M ) *Bổ đề: Nếu z, t V mà z  t  r u(t )  2n u( z ) Sinh viên thực hiện: Huỳnh Thị Ni – 11CTUD1 Trang 36 Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Khóa luận tốt nghiệp Chứng minh: Vì hàm u điều hịa nên thỏa mãn cơng thức giá trị Hơn B( z, 2r )  U , B(t , r )  U nên  u( z)  u (s)ds  B ( z ,2 r ) u (t )   B (t ,r ) u ( s)ds   (n)(2r )n  ( n) r n   u (s)ds B ( z ,2 r ) u ( s)ds B (t ,r )  B( z, 2r )  B(t , r ) u0  Mà  Nên u( z)   (n)2n r n    u ( s)ds    u ( s)ds    B (t ,r )  B ( z ,2 r )\ B ( t , r )  (n)2n r n  u ( s)ds  B (t ,r ) u (t ) 2n Suy u(t )  2n u( z ) (đpcm) Trở lại chứng minh định lý 2.3.6.1 Theo ta có dãy ( xi )iM0  V mà x0  x, xM  y, xi 1  xi  r Áp dụng bổ đề ta có: u( x)  u( x0 )  2n u( x1 )  22n u( x2 )   2Mn u( xM )  2Mn u( y) Suy u( x)  2Nn u( y) M  n với C : 2Nn phụ thuộc vào V , không phụ thuộc vào u , ta chứng minh đƣợc: u( x)  Cu( y) với x, y V Vậy (2) (1) đƣợc chứng minh Sinh viên thực hiện: Huỳnh Thị Ni – 11CTUD1 Trang 37 Khóa luận tốt nghiệp Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Thái Sơn KẾT LUẬN Đề tài “ Các tính chất hàm điều hịa phƣơng trình Laplace” giải đƣợc vấn đề sau: + Hệ thống lại kiến thức sở hàm điều hòa phƣơng trình Laplace + Trình bày định lý quan trọng liên quan đến tính chất hàm điều hịa phƣơng trình Laplace Ngồi ra, chúng em cố gắng làm chi tiết hóa chứng minh mà sách “Partial Differential Equation” Lawrence C.Evans hƣớng dẫn ngắn gọn Trên nội dung đề tài Em cố gắng hoàn thành luận văn cách tốt Tuy nhiên, thời gian hạn hẹp hạn chế thân nên luận văn khó tránh khỏi đƣợc thiếu sót Em mong nhận đƣợc ý kiến nhận xét, đánh giá từ quý thầy cô bạn để luận văn đƣợc hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên thực hiện: Huỳnh Thị Ni – 11CTUD1 Trang 38 Khóa luận tốt nghiệp Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Thái Sơn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Đức Vân, Lý thuyết phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004 [2] Nguyễn Thừa Hợp, Phƣơng trình đạo riêng, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2001 [3] Nguyễn Mạnh Hùng, Phƣơng trình Đạo hàm riêng Tập 1, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2003 [4] Nguyễn Hồng, Bài giảng Lý thuyết phƣơng trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp 1, Đaị học Huế, 2006 [5] Lawrence C.Evans, Partial Differential Equation, AMS Press, 1998 [6] Nguyễn Đình Trí, Tốn học cao cấp Tập 3, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2009 Sinh viên thực hiện: Huỳnh Thị Ni – 11CTUD1 Trang 39 ... 12 CHƢƠNG 2: CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÀM ĐIỀU HỊA VÀ PHƢƠNG TRÌNH LAPLACE 15 2.1.Nghiệm 16 2.2.Công thức giá trị 19 2.3 .Các tính chất hàm điều hòa ... thƣờng dùng trình bày vắn tắt kiến thức sở đƣợc sử dụng Chƣơng Chương 2: Các tính chất hàm điều hịa phương trình Laplace Chƣơng đề cập đến khái niệm tính chất hàm điều hịa phƣơng trình Laplace nhƣ... “ Các tính chất hàm điều hịa phƣơng trình Laplace? ?? giải đƣợc vấn đề sau: + Hệ thống lại kiến thức sở hàm điều hịa phƣơng trình Laplace + Trình bày định lý quan trọng liên quan đến tính chất hàm