Nghiên cứu bài toán tìm nghiệm của phương trình laplace và phương trình poisson

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN −−− −−− ĐẶNG THỊ THU HẬU NGHIÊN CỨU BÀI TỐN TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE VÀ PHƯƠNG TRÌNH POISSON Chuyên ngành: Cử nhân Toán - Tin LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khoa học TS PHẠM QUÝ MƯỜI Đà Nẵng, 4/2014 Mục lục Bảng kí hiệu Lời cảm ơn Lời nói đầu KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Không gian Rn 1.2 Giới hạn hàm số 1.3 Hàm liên tục 1.4 Đạo hàm riêng 1.4.1 Đạo hàm riêng 1.4.2 Đạo hàm riêng cấp hai 1.4.3 Đạo hàm hàm số hợp 10 1.5 Tích phân 10 1.6 Tích chập 12 1.7 Định lý Gauss -Green 12 1.8 Phân tích hội tụ phương pháp lặp 13 1.8.1 Bước lặp Jacobi 13 1.8.2 Bước lặp Gauss- Seidel 15 PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE VÀ PHƯƠNG TRÌNH POISSON 2.1 16 PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE 17 2.1.1 Bài toán 17 2.1.2 Nghiệm 19 2.1.3 Tính chất hàm điều hịa 21 Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Đặng Thị Thu Hậu 2.2 2.3 PHƯƠNG TRÌNH POISSON 25 2.2.1 Bài toán 25 2.2.2 Nghiệm phương trình Poisson 26 2.2.3 Tính nghiệm 30 Hàm Green 31 2.3.1 2.3.2 2.4 Cách xây dựng hàm Green 31 Hàm Green cho nửa không gian 33 Bài tốn Dirichlet hình cầu Cơng thức Poisson 35 2.4.1 Các định lý hội tụ 37 NGHIỆM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE VÀ PHƯƠNG TRÌNH POISSON 39 3.1 Phương pháp sai phân hữu hạn phương trình Laplace 40 3.2 Thiết lập phương trình 41 3.3 Phương pháp trực tiếp 42 3.4 Phương pháp giải lặp 44 3.4.1 3.5 Bước lặp Jacobi 45 3.5.1 3.6 Khoảng cách vectơ 44 Lần lặp 45 Phương pháp lặp SoR 46 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Đặng Thị Thu Hậu BẢNG KÍ HIỆU R : Trường số thực Q : Trường số hữu tỷ C : Trường số phức B(0,1) : tập đóng với tâm x, bán kính r Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Đặng Thị Thu Hậu Lời cảm ơn! Bài luận văn hoàn thành hướng dẫn trực tiếp TS Phạm Quý Mười, giảng viên Trường đại học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng Trong trình làm luận văn, em nhận quan tâm giúp đỡ nhiệt tình thầy Em xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc người thầy kính u Em xin chân thành cảm ơn thầy nhiệt tình giúp đỡ em hồn thành tốt khóa luận Em xin gửi tới Ban lãnh đạo Khoa Toán, Trường ĐHSP - Đại học Đà Nẵng lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ, tạo điều kiện thuận lợi suốt thời gian học tập Em xin cảm ơn thầy cơ, gia đình bạn bè quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện động viên cỗ vũ em để em hồn thành tốt nhiệm vụ Đà Nẵng, ngày tháng năm 2014 Sinh viên Đặng Thị Thu Hậu Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Đặng Thị Thu Hậu Lời nói đầu Phương trình Laplace Phương trình Poisson hai tốn quan trọng đại diện cho lớp phương trình Eliptic, thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu nhà toán học giới, toán tĩnh điện học, lý thuyết vị, lý thuyết truyền nhiệt nhiều lĩnh vực khác vật lý Ngồi ra, cịn thấy lý thuyết hàm số biến số phức chun ngành khác giải tích Tốn học Nghiệm phương trình ứng dụng nhiều lĩnh vực Vật lý Nhiều tính chất nghiệm phương trình Laplace phương trình Poisson cho nghiệm phương trình Eliptic Vì vậy, em chọn đề tài "Nghiên cứu tốn tìm nghiệm phương trình Laplace phương trình Poisson" làm luận văn tốt nghiệp cho Mục đích đề tài nhằm nghiên cứu phương pháp tìm nghiệm tính chất nghiệm hai phương trình Ngồi phần mở đầu phần kết luận, luận văn bao gồm ba chương: Chương một: Trình bày tóm tắt định nghĩa sử dụng luận văn Chương hai: Trình bày phương pháp tìm nghiệm tính chất nghiệm phương trình Poisson phương trình Laplace Chương ba: Trình bày phương pháp sai phân hữu hạn để tìm nghiệm số phương trình Poisson phương trình Laplace với điều kiện biên khác Đà Nẵng, năm 2014 Sinh viên Đặng Thị Thu Hậu Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Đặng Thị Thu Hậu Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương trình bày số định nghĩa, khái niệm kết giải tích hàm nhiều biến dùng luận văn Một trình bày đầy đủ định nghĩa, định lý chứng minh chúng tìm thấy tài liệu [1], [3] 1.1 Không gian Rn Đặt Rn tập hợp gồm n số thực có thứ tự xi ∈ R Ta định nghĩa phép cộng phép nhân với vô hướng sau Với x, y ∈ Rn , x = (x1 , x2 , xn ); y = (y1 , y2 , yn ), x + y = (x1 + y1 , , xn + yn ), αx = (αx1 , , αxn ), α ∈ R Khi đó, Rn với hai phép tốn trở thành khơng gian vectơ R, phần tử Rn gọi vectơ, gọi điểm Định nghĩa 1.1.1 Giả sử M (x1 , x2 , , xn ), N (y1 , y2 , , yn ) hai điểm Rn Khoảng cách hai điểm ấy, kí hiệu d(M, N ) cho công thức d(M, N ) = (xi − yi ) Có thể chứng minh với ba điểm A, B, C Rn , ta có d(A, C) ≤ d(A, B) + d(B, C) Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Đặng Thị Thu Hậu Định nghĩa 1.1.2 (Tập mở) Tập D ⊂ Rn gọi tập mở nếu, ∀x ∈ D, ∃r > cho B(x, r) ⊂ D Định nghĩa 1.1.3 (Tập đóng) Tập M ⊂ Rn gọi tập đóng (trong Rn ) Rn \ M tập mở (trong Rn ) Định nghĩa 1.1.4 (Tập bị chặn) Tập E gọi tập bị chặn tồn hình cầu mở chứa Ví dụ :Cho tập hợp sau R2 , D1 = {(x, y) : a < x < b, c < y < d} tập mở D2 = {(x, y) : a < x < b, c ≤ y < d} tập không mở, khơng đóng D2 = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} tập hợp đóng 1.2 Giới hạn hàm số Định nghĩa 1.2.1 Giả sử hàm số z = f (M ) = f (x1 , x2 , , xn ) xác định lân cận V điểm M0 (x10 , x20 , , xn0 ) Ta nói, hàm số f (M ) hay có giới hạn l M (x1 , x2 , , xn ) dần đến M0 với dãy điểm Mn (x1n , x2n , , xnn ) thuộc lân cận V dần đến M0 ta có: lim f (M ) = l n→∞ Khi đó, ta viết: lim f (M ) = l M →M0 1.3 Hàm liên tục Định nghĩa 1.3.1 Hàm số z = f (M ) = f (x1 , x2 , , xn ) xác định miền D, M0 điểm thuộc D Ta nói rằng, hàm số f (M ) liên tục M0 tồn giới hạn lim f (M ) = f (M0 ) M →M0 Định nghĩa 1.3.2 Hàm số f (M ) gọi liên tục miền D liên tục điểm thuộc D Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Đặng Thị Thu Hậu 1.4 Đạo hàm riêng Để đơn giản cho việc trình bày, ta xét đạo hàm riêng hai biến Đối với hàm n biến hồn toàn tương tự 1.4.1 Đạo hàm riêng Định nghĩa 1.4.1 Cho hàm số u = f (x, y) xác đinh miền D, M0 (x0 , y0 ) điểm D Nếu cho y = y0 , hàm số biến số x → f (x, y0 ) có đạo hàm x = x0 , đạo hàm gọi đạo hàm riêng f x M0 kí hiệu fx (x0 , y0 ) hay ∂f (x0 , y0 ) hay ∂x ∂u (x0 , y0 ) ∂x Đặt ∆x f = f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ) Biểu thức gọi số gia riêng f (x, y) theo x (x0 , y0 ) Ta có ∂f ∆x f (x0 , y0 ) = lim ∆x→0 ∆x ∂x 1.4.2 Đạo hàm riêng cấp hai Định nghĩa 1.4.2 Cho hàm số hai biến số z = f (x, y) Các đạo hàm riêng fx , fy đạo hàm riêng cấp Các đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp tồn gọi đạo hàm riêng cấp hai Ta có bốn đạo hàm riêng cấp hai kí hiệu sau: ∂ ∂f ∂ 2f ( )= = fx2 (x, y) ∂x ∂x ∂x2 ∂ ∂f ∂ 2f ( )= = fxy (x, y) ∂y ∂x ∂y∂x ∂ ∂f ∂ 2f ( )= = fyx (x, y) ∂x ∂y ∂y∂x ∂ ∂f ∂ 2f ( ) = = fy2 (x, y) ∂y ∂y ∂y Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Đặng Thị Thu Hậu 10 Định lý 1.4.1 Nếu lân cận điểm M0 (x0 , y0 ) hàm số z = f (x, y) có đạo hàm riêng fxy , fyx đạo hàm liên tục M0 fxy = fyx M0 1.4.3 Đạo hàm hàm số hợp Cho D tập hợp Rn Xét hai ánh xạ ϕ : ϕ(D) → R Ánh xạ tích fo ϕ xác định bởi, fo ϕ : (x1 , x2 , , xn ∈ D ϕ → − (u1 (x1 , x2 , , xn ), , um (x1 , , xn )) ∈ ϕ(D) f → − f (u1 (x1 , , xn ), , um (x1 , , xm )) ∈ R, gọi hàm số hợp biến số x1 , , xn qua biến trung gian u1 , , um Để cho đơn giản, ta xét trường hợp n = m = Đặt F = fo ϕ, ta có φ f F : (x, y) ∈ D → − (u(x, y), v(x, y)) ∈ ϕ(D) → − f (u(x, y), v(x, y)) = F (x, y) ∂f ∂f , liên tục φ(D) Định lý 1.4.2 Nếu f có đạo hàm riêng ∂u ∂v ∂u ∂u ∂v ∂v u, v có đạo hàm riêng , , , D D tồn ∂x ∂y ∂x ∂y ∂F ∂F đạo hàm riêng , ta có: ∂x ∂y  ∂F ∂f ∂u ∂f ∂v   = +    ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x      1.5 ∂F ∂f ∂u ∂f ∂v = + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x Tích phân • Tích phân xác định phụ thuộc tham số y , b I(y) = f (x, y)dx, a Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Đặng Thị Thu Hậu 36 Trước tiên ta cần xây dựng hàm Green hình cầu nhờ phương pháp đối xứng Cụ thể, giả sử BR = BR (0) x điểm thuộc BR Ký hiệu R2 x¯ = x |x| x = 0, (2.26) điểm nghịch đảo x ∂BR Nếu x = đặt x ¯ = ∞ Ta nhận hàm Green hình cầu BR hàm    Γ(|x − y|) − Γ( |y| |x − y¯|), R G(x, y) =   Γ(|x| − Γ(R), y = y = 0, (2.27) Từ ta nhận G(x, y) = Γ |x|2 + |y|2 − 2xy − Γ ( |x||y| ) + R2 − 2xy , R x, y ∈ BR , x = y Hàm G(x, y) xác định cơng thức (2.27) có tính chất: G(x, y) = G(y, x), G(x, y) ≤ 0, ¯R x, y ∈ B (2.28) R2 − y ∂G ∂G = = |x − y|−n ≥ 0, x ∈ ∂BR (2.29) ∂ν ∂ |x| nwn R ¯R ) hàm điều hịa BR , ta có cơng Do đó, u ∈ C (BR ) ∩ C (B thức Poisson: R2 − y u(y) = nwn R ∂BR uds |x − y|n (2.30) Vế phải cơng thức (2.30) gọi tích phân Poisson hàm u Để chứng tồn nghiệm tốn Dirichlet hình cầu ta cần kết sau: Định lý 2.4.1 Giả sử B = BR (0) ϕ hàm liên tục ∂B Khi đó, hàm u xác định đẳng thức  2 ϕ(y)ds   R − x , x ∈ B, nwn R ∂BR |x − y|n u(x) =   ϕ(x), x ∈ ∂B, Luận Văn Tốt Nghiệp (2.31) SVTH: Đặng Thị Thu Hậu 37 ¯ thỏa mãn phương trình ∆u = B thuộc C (B) ∩ C(B) Chứng minh Bởi vì, hàm G điều hịa ∂G ∂ν hàm điều hòa theo x, nên hàm u(x) xác định (2.30) hàm điều hòa B Áp dụng cơng thức Poisson, ta có: K(x, y)ds = 1, (2.32) ∂B x ∈ B K nhân Poisson R2 − |x|2 , K(x, y) = nwn R |x − y|n Giả sử |ϕ| ≤ M ∂Ω x0 ∈ ∂B , δ > cho |ϕ(x) − ϕ(x0 )| < x ∈ B, y ∈ ∂B số dương tùy ý Cho |x − x0 | < Khi đó, từ (2.30) (2.31) ta có: K(x, y)(ϕ(y) − ϕ(x0 ))ds |u(x) − u(x0 )| = ∂B K(x, y) ϕ(y) − ϕ(x0 ) ds ≤ |y−x0 |≤δ K(x, y) ϕ(y) − ϕ(x0 ) ds + |y−x0 |>δ ≤ 2M (R2 − |x|2 )Rn−2 , + δ n ( ) δ |x − x0 | < Suy lấy khoảng cách |x − x0 | đủ nhỏ u(x) − u(x0 ) < Do u liên tục x0 2.4.1 Các định lý hội tụ Ta đưa số hệ từ công thức Poisson Định lý 2.4.2 Giả sử u liên tục Ω Hàm u hàm điều hòa Ω với hình cầu B = BR (y) ⊂⊂ Ω thực Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Đặng Thị Thu Hậu 38 tính chất trung bình: u(y) = nwn Rn−1 uds (2.33) ∂B Chứng minh Theo định lý 2.4.2 hình cầu B ⊂⊂ Ω, tồn hàm điều hòa h B , cho h = u ∂Ω Hiệu w = u − h hàm thỏa mãn giá trị B Khi w = B , tức u = h B Do B hình cầu thuộc Ω, nên u hàm điều hòa Ω Định lý 2.4.3 Giới hạn dãy hàm điều hòa hội tụ hàm điều hòa Chứng minh Giả sử un hàm điều hòa bị chặn miền Ω, với giá trị biên ϕn hội tụ ∂Ω tới hàm ϕ, dãy un hội tụ tới hàm điều hòa Ω nhận giá trị biên ϕ ∂Ω Định lý 2.4.4 Cho un dãy đơn điệu không giảm hàm điều hòa Ω Giả sử y ∈ Ω, dãy un (y) bị chặn Khi dãy hội tụ miền bị chặn Ω ⊂⊂ Ω tới hàm điều hòa Chứng minh Dãy un (y) hội tụ nghĩa là, với > tồn số N cho ≤ um (y) − un (y) < với m ≥ n > N Từ định lý 2.4.4 ta suy supΩ |um (y) − un (y)| < C với C số Từ un hội tụ Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Đặng Thị Thu Hậu 39 Chương NGHIỆM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE VÀ PHƯƠNG TRÌNH POISSON Hai phương trình phương trình Eliptic phương trình Laplace phương trình Poisson Trong đó, phương trình Laplace có dạng: ∆u = Uxx + Uyy = 0, (3.1) u = g Ω Phương trình Poisson có dạng ∆u = Uxx + Uyy = f (x, y) (3.2) Chúng ta sử dụng phương pháp tìm nghiệm số để giải gần hai phương trình trình bày phương pháp cho toán với điều kiện biên Dirichlet Chúng ta tập trung vào phương trình Laplace đơn giản phương trình Poisson, phương pháp thực dễ dàng Để đơn giản ta quy định miền tính tốn hình chữ nhật Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Đặng Thị Thu Hậu 40 3.1 Phương pháp sai phân hữu hạn phương trình Laplace Miền tính tốn sử dụng hình chữ nhật, với khoảng cách x y tương ứng với ∆x ∆y Các điểm lưới tạo (i, j) theo cách thông thường giá trị U điểm (i, j) kí hiệu Ui,j Mỗi đạo hàm riêng phương trình (3.1), thay xấp Hình 3.1: Miền lưới cho thấy điểm bên lưới (màu đen) điểm bên lưới (màu trắng) xỉ, đối xứng từ bảng để có: ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1 + = ∆x2 ∆y Cho b = (3.3) ∆x , ( 3.3) viết ∆y ui,j ui+1,j + ui−1,j + b2 ui,j+1 + b2 ui,j−1 = 2(1 + b2 ) (3.4) Phương trình (3.4), ui,j phụ thuộc bốn giá trị xung quanh Đơi "kí hiệu la bàn" sử dụng (3.4), trở thành uE + uW + b2 uN + b2 uS u0 = , 2(1 + b2 ) (3.5) biểu thị điểm lưới số N, S, E W biểu thị Bắc, Nam, Đông, Tây vùng lân cận tương ứng Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Đặng Thị Thu Hậu 41 3.2 Thiết lập phương trình Đây phương pháp giải cho ui,j Cả phương pháp thiết lập hệ phương trình tuyến tính sau: b2 , d = Cho c = 2(1 + b2 ) 2(1 + b2 ) Sắp xếp lại phương trình ( 3.4) ta có: ui,j = cui−1,j + dui,j−1 + dui,j+1 + cui+1,j (3.6) Phương trình (3.6) điểm lưới liên tiếp 2,2 dọc theo hàng đầu tiên, ta có: u2,2 = cu1,2 + du2,1 + du2,3 + cu3,2 (3.7) u3,2 = cu2,2 + du3,1 + du3,3 + cu4,2 uM −1,2 = cuM −2,2 + duM −1,1 + duM −1,3 + cuM,2 u2,3 = cu1,3 + du2,2 + du2,4 + cu3,3 uM −1,N −1 = cuM −2,N −1 + duM −1,N −2 + duM −1,N + cuM,N −1 Các giá trị u1,2 , u2,1 , uM,2 , u1,3 , giá trị biết Trong phương trình giá trị u biết chuyển sang bên trái giá trị u chưa biết chuyển qua bên phải Ví dụ, phương trình u1,2 u2,1 biết Phương trình trở thành cu1,2 − du2,1 = −u2,2 + du2,3 + cu3,2 Phương trình (3.7) viết dạng phương trình d = Au, (3.8) với d tạo ma trận (M − 2)(N − 2) với hàng số biết A cho ma trận (M − 2)(N − 2) hệ số biết Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Đặng Thị Thu Hậu 42 u tạo ma trận (M − 2)(N − 2) chưa biết u = ((u2,2 , u3,2 , , uM −1,2 , u2,3 , u3,3 , , uM −1,3 , , uM −1,N −1 ))T Nghiệm phương trình ( 3.8) viết u = A−1 d, (3.9) A lớn, cần phải nghiên cứu cách tính hiệu để tìm u 3.3 Phương pháp trực tiếp Một phương pháp để giải (3.8) sử dụng phép khử Gaussian Ta gọi phép khử trực tiếp Chúng ta quy ước lưới từ trái qua phải lưới phía Tức vị trí (2,2) dọc theo tồn hàng, lặp lại cho hàng cuối kết thúc vị trí (M-1,N-1) Phương pháp trực tiếp minh họa ví dụ mạng lưới nhỏ Xét lưới sau giá trị u ∆x = ∆y Các giá trị u điểm lưới Hình 3.2: Giá trị u lưới 5x4 biên (màu trắng) bên (màu đen) biên biết Ví dụ u1,1 = 6.1 Ta cần tìm giá trị u điểm Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Đặng Thị Thu Hậu 43 lưới bên Nghĩa u2,2 , u3,2 , u4,2 , u3,3 , u4,3 Từ ∆x = ∆y , phương trình (3.6) trở thành ui,j = ui−1,j + ui,j−1 + ui,j+1 + ui+1,j (3.10) Trong kí hiệu la bàn viết u0 = (uW + uS + uN + uE ) (3.11) Ta ước lượng( 3.11) điểm lưới (2,2) ta có u2,2 = u1,2 + u2,1 + u2,3 + u3,2 (7.2 + 6.8 + u2,3 + u3,2 ) = 4 (3.12) Bắt đầu hàng thứ 2, ước lượng (3.11) điểm lưới (3,2) ta có u3.2 = u2,2 + u3,1 + u3,3 + u4,2 (u2,2 + 7.7 + u3,3 + u4,2 ) = 4 (3.13) Ước lượng lưới điểm (4,2) ta có, u4.2 = u3,2 + u4,1 + u4,3 + u5,2 (u3,2 + 8.7 + u4,3 + 9.4) = 4 (3.14) Ước lượng hàng thứ (3.11) điểm (3,3) ta có u2,3 = u1,3 + u2,2 + u2,4 + u3,3 (3.4 + u2,2 + 8.9 + u3,3 ) = 4 (3.15) Ước lượng cuối (3.11) lưới điểm (4,3) ta có u3,3 = u2,3 + u3,2 + u3,4 + u4,3 (2, + u3,2 + 8.9 + u4,3 ) = 4 (3.16) Phương trình viết dạng tiêu chuẩn phương trình tiếp tuyến với ẩn số chưa biết u2,2 , u3,3 , u4,2 , u2,3 , u3,3 , u4,3 Viết lại phương trình (3.12) dạng chuẩn −14 1 = (−1)u2,2 + u3,2 + 0u4,2 + u2,2 + 0u3,3 + 0u2,2 4 Viết lại phương trình (3.13) dạng chuẩn (−7) −14 1 = ( )u2,2 + (−1)u3,2 + u4,2 + 0u2,3 + u3,3 + 0.u4,3 4 4 Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Đặng Thị Thu Hậu 44 Phương trình khác viết lại tương tự viết dạng ma trận   u     2,2 −14 −1   u3,2  0 −1       4  −7.7      1       u 4,2   =  − 4 0 ·   (3.17)       u      2,3        u3,3    u4,3 Chúng ta giải phép khử Gaussian Đối với hệ phương trình lớn phương pháp khơng có hiệu Vì vậy, nghiên cứu phương pháp lặp 3.4 Phương pháp giải lặp Phương trình viết Au = b (3.18) Một vấn đề đặt A ma trận lớn, phương pháp giải trực tiếp (3.18) khơng có hiệu Một phương pháp hiệu sử dụng phương pháp lặp lặp lại khoảng cách ước tính nhỏ số xác định trước 3.4.1 Khoảng cách vectơ Cho x = (x1 , x2 , , xn ) y = (y1 , y2 , , yn ) vectơ thuộc Rn Khoảng cách giũa x y kí hiệu d(x, y) dược định nghĩa d(x, y) = max(|xi − yi |) = x − y ∞ (3.19) Ví dụ: x = (1, 3, 5), x−y ∞ y = (4, 5, 3) = max(|1 − 4| , |3 − 5| , |5 − 3|) = Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Đặng Thị Thu Hậu 45 Trong phần sau minh họa biến thể phương pháp lặp Khi ∆x = ∆y , ui,j = 3.5 ui−1,j + ui,j−1 + ui,j+1 + ui+1,j (3.20) Bước lặp Jacobi Ta quy ước số lặp số m viết (3.20) dạng Jacobi m m um i,j−1 + ui,j+1 + ui,j−1 , (3.21) = với điểm lưới bên trong, ui,j lặp tiếp (m + 1) (3.21) um+1 i,j Đối với điểm lưới bên (i, j), u( i, j) điểm lưới (m+1) tìm thấy từ (3.21) Lặp lại hết tất điểm lưới bên Tính khoảng cách giũa vectơ um+1 um Nếu |um+1 − um | < tol, (3.22) tol xác định trước, trình lặp kết thúc nghiệm (3.18) um+1 , khơng q trình lặp tiếp tục Để bắt đầu trình lặp(tại số 0), giá trị phải gán cho giá trị bên ui,j Các giá trị suy từ giá trị biên biết 3.5.1 Lần lặp Phương trình( 3.21) với m = ta có: u1i,j = (u0i−1,j + u0i,j−1 + u0i,j+1 + u0i+1,j ) Tại điểm lưới bên ta có u12,2 u13,2 (u01,2 + u02,1 + u02,3 + u03,2 ) 7.2 + 6.8 + + = = 3.500 = 4 (u02,2 + u03,1 + u03,3 + u04,2 ) + 7.7 + + = = = 1.925 4 Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Đặng Thị Thu Hậu 46 Tương tự, ta có u11,4 = 4.525, u12,3 = 4.325, u11,3 = 2.225, u14,3 = 4.525 Chú ý, ta không sử dụng (u11,2 , u12,1 ) mà sử dụng (u01,2 , u01,2 ), ta có: u12,2 (u01,2 + u02,1 + u02,3 + u03,2 ) 7.2 + 6.8 + + = = = 3.500 4 u13,2 u14,2 (u11,2 + u13,1 + u03,3 + u04,2 ) (u11,2 + (u03,1 + (u03,3 + (u04,2 = = 4 3.5 + 7.7 + + = = 2.8 (u13,2 + u14,1 + u04,3 + u05,2 ) (u13,2 + u04,1 + u04,3 + u05,2 ) = (3.23) = 4 2.8 + 8.7 + + 9.4 = = 5.225 (3.24) Các giá trị lại ta tính tương tự 3.6 Phương pháp lặp SoR Ý tưởng phương pháp bước lặp giá trị bên phụ thuộc vào giá trị cũ cộng với giá trị khác thời điểm m um+1 = um i,j + Ri,j , i,j (3.25) R khác bước lặp ui,j gọi phần dư Ta có: m um+1 = um i,j + wRi,j , i,j (3.26) w gọi tham số dư, < w < (3.26) tương ứng với lũy biến < w < (3.26) gọi lũy biến Phương pháp áp dụng để cải thiện cho phương pháp điểm Gauss-Seidel Bước lặp Gauss-Seidel điểm∆x = ∆y cho ta công thức, um+1 i,j Luận Văn Tốt Nghiệp m+1 m m um+1 i−1,j + ui,j−1 + ui,j+1 + ui+1,j = (3.27) SVTH: Đặng Thị Thu Hậu 47 Ta viết lại: m+1 m m um+1 i−1,j + ui,j−1 − 4ui,j + ui+1,j + , (3.28) m+1 m m m um+1 i−1,j + ui,j−1 − 4ui,j + ui,j+1 + ui+1,j = (3.29) um+1 i,j = um i,j tương tự với (3.25) m Ri,j Do đó, chuyển thành um+1 i,j m+1 m+1 m m (1 − w)um i,j + w(ui−1,j + ui,j−1 + ui,j+1 + ui+1,j ) , = (3.30) gọi phương pháp SoR Phương pháp thực tương tự phương pháp trước Nếu w = phương trình (3.30)trở thành phương pháp Gaus-Seidel Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Đặng Thị Thu Hậu 48 KẾT LUẬN Sau thời gian nghiên cứu làm việc nghiêm túc, luận văn đề cập giải vấn đề sau: • Mơ tả phương trình Laplace phương trình Poisson • Trình bày nghiệm tính chất nghiệm phương trình Laplace phương trình Poisson, chứng minh định lí tính chất • Trình bày nghiệm số phương trình Laplace phương trình Poisson Mặc dù có nhiều cố gắng, nỗ lực việc tìm tịi nghiên cứu kiến thức hạn chế thời gian không cho phép nên đề tài khơng thể tránh khỏi thiếu sót nội dung lẫn hình thức Em mong nhận ý kiến đóng góp q báu từ phía thầy cô giáo bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Đặng Thị Thu Hậu 49 Tài liệu tham khảo [1] Babuska, I., Prager, E.Numerical Processes in Differential Equations Wiley, New York, 1966 [2] C Lanczos Linear Differential Operators Van Nostrand, NewYork, 1961 [3] C W Groetsch Inverse Problems in the Mathematical Sciences Vieweg, Braunschweig Wies-baden, 1993 [4] C Caratheodory, The Calculus of Variations and Partial Differential Equations of First Order, Chelsea, 1982 [5] C Chester, Techniques in Partial Differential Equations, McGrawHill, 1971 [6] David Gilbarg Neils Trudinger.Elliptic Partial Differential Equations of Second Order Reprint of the 1998 edition [7] Lawrence C Evans Partial Differential Equations [8] Mikhlin, S G and Smolitsky, K L Approximate Methods for Solution of Differential and Integral Equations American Elsevier, New York, 1967 [9] Professor D.M.Causon Professor C.G.Mingham.Introductory Finite Diference Methods For PDES [10] Strang, G and Fix, G Analysis of the Finite Element Method Prentice- Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1973 Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Đặng Thị Thu Hậu 50 [11] V.A Morozov Choice of parameter for the solution of functional equations by the regulariza-tion method Sov Math Doklady, 8:1000–1003, 1967 Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Đặng Thị Thu Hậu ... Hậu 39 Chương NGHIỆM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE VÀ PHƯƠNG TRÌNH POISSON Hai phương trình phương trình Eliptic phương trình Laplace phương trình Poisson Trong đó, phương trình Laplace có dạng:... học Nghiệm phương trình ứng dụng nhiều lĩnh vực Vật lý Nhiều tính chất nghiệm phương trình Laplace phương trình Poisson cho nghiệm phương trình Eliptic Vì vậy, em chọn đề tài "Nghiên cứu tốn tìm. .. nghiên cứu làm việc nghiêm túc, luận văn đề cập giải vấn đề sau: • Mơ tả phương trình Laplace phương trình Poisson • Trình bày nghiệm tính chất nghiệm phương trình Laplace phương trình Poisson,