Một số tính chất cơ bản của hàm dẫn xuất

Bài viết đưa ra chứng minh cho một số định lý cơ bản về hàm dẫn xuất của đại lượng ngẫu nhiên nhận các giá trị nguyên, không âm. Mời các bạn cùng tham khảo bài viết để nắm chi tiết hơn nội dung nghiên cứu.

TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ ẢN CỦA HÀM DẪN XUẤT Nguyễn Mạnh Hùng1 TÓM TẮT Bài báo đưa chứng minh cho số định lý hàm dẫn xuất đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị ngun, khơng âm Từ khóa: Hàm dẫn uất, đại lượng ngẫu nhiên nguyên, không âm ĐẶT VẤN ĐỀ Chúng ta biết: phân phối xác suất đƣợc xác định cách   hàm đặc trƣng   t   E eitX Tuy nhiên việc nghiên cứu hàm đặc trƣng nói chung phức tạp địi hỏi vận dụng lý thuyết hàm biến phức Đối với đại lƣợng ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên, không âm có cách khác đơn giản để nghiên cứu phân phối xác suất, nghiên cứu thơng qua hàm biến thực dạng đa thức chuỗi, gọi hàm dẫn xuất Trong báo chúng tơi chứng minh tính chất hàm dẫn xuất mà tài liệu [1] khơng trình bày trình bày chƣa cụ thể KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Định nghĩa 2.1 [1] Cho đại lƣợng ngẫu nhiên X nhận giá trị nguyên,  không âm với P( X  i)  pi , (i  0,1, 2, ) Hàm số f ( s)  Es X   pi si đƣợc gọi i 0 hàm dẫn xuất đại lƣợng ngẫu nhiên X Nhận xét 2.1 Nếu f (s) hdx đại lƣợng ngẫu nhiên X f (eit ) hàm đặc trƣng Ví dụ 2.1 Cho đại lƣợng ngẫu nhiên X có phân bố xác suất nhƣ sau: X P 0,1 0,15 0,25 0,2 0,1 0,2 Theo định nghĩa 1.1, hàm dẫn xuất X f (s)  Es X  0,1 0,15s  0, 25 s  0, s3  0,1 s  0, 2s5 Ví dụ 2.2 [2] Cho đại lƣợng ngẫu nhiên X có phân phối xác suất nhị thức với tham số  n, p  Theo định nghĩa 1.1, hàm dẫn xuất X n n i 0 i 0 f (s)  Es X   Cni pi q ni si   Cni  ps  q n i Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức 114 i TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Biểu thức cuối khai triển nhị thức Newton  ps  q  n Vậy hàm dẫn xuất đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức với tham số  n, p  f  s    ps  q  n Ví dụ 2.3 Cho đại lƣợng ngẫu nhiên X có phân phối xác suất Poisson với tham số   Theo định nghĩa 1.1, hàm dẫn xuất X  i e i   s  e  s 1 f ( s)  Es   s  e es  e   i! i! i 0 i 0 Vậy hàm dẫn xuất đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số i  X f s  e   là:  s 1 Định nghĩa 2.2 ([1]) Cho đại lƣợng ngẫu nhiên X nhận giá trị nguyên  không âm với P( X  i)  qi , (i  0,1, 2, ) Hàm số g ( s)   qi s i đƣợc gọi hàm dẫn i 0 xuất phụ đại lƣợng ngẫu nhiên X Ví dụ 2.4 Cho đại lƣợng ngẫu nhiên X có phân bố xác suất nhƣ sau: X X P 0,1 0,5 0,4 Q 0,9 0,4 Theo định nghĩa 1.2, hàm dẫn xuất X là: g (s)  0,9  0, 4s Ví dụ 2.5 Cho đại lƣợng ngẫu nhiên X có phân phối xác suất Poisson với tham số   Theo Định nghĩa 1.2, hàm dẫn xuất X  s 1     k e  i 1 e   g ( s)     s    1 s i   k i 1 k !  Hàm dẫn xuất phụ đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số   1 e   g s  1 s Nhận xét 2.2 a) Hàm dẫn uất f  s  ác định đoạn  1;1  s 1 b) Hàm dẫn uất phụ g  s  ác định đoạn  1;1 c) Chuỗi hàm   p s i 0 i i hội tụ đoạn ;    1;1 hàm f  s  ,  ta lấy đạo hàm vế f   s    i pi s i 1 Thay s  vào công thức ta i 0  f  1   i pi Suy EX  f  1 Vậy f   s  ác định s  EX tồn i 0 115 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Định lí 2.1 [1] Cho f  s  , g  s  hàm dẫn uất hàm dẫn uất phụ đại lượng ngẫu nhiên X Khi s  g  s   1 f  s 1 s      Chứng minh Ta có g ( s)   qi s i     pi  s i i   k i 1 i 0  Do đó: g (s)  1  p0   1  p0  p1  s  1  p0  p1  p2  s   1  s  s    p 1 s  s   p s  s     p s 2    s2       s    p  p  p   0  1  2  1 s   1 s   1 s   1 s      1  p0  p1s  p2 s   1 s     i  1   pi s    s   i 0    1 f  s 1 s Định lý đƣợc chứng minh Định lí 2.2 [1] Cho X đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị ngun khơng âm Nếu EX tồn g  s  ác định s  EX  g 1 Chứng minh Nếu EX tồn tại, dễ thấy f  s   f 1 f  s  1 1 f s  lim  lim Do EX  lim s 1 s 1 s 1 s 1 s 1 1 s Từ định lý 2.1 suy ra: EX  lim g  s   g 1 s 1 Định lý đƣợc chứng minh Định lí 2.3 [1]) Cho X đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên khơng âm Nếu DX tồn f   s  , g   s  ác định s  DX  f  1  f  1   f  1   g  1  g 1   g 1  Chứng minh Ta có DX  E  X  EX   EX  E  X EX    EX   EX   EX   116 (Xem [1])   i pi   f  1  i 0 2 (xem Định lý 2.2) TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020   i 0 i 0   i  i  1 pi   i pi   f  1   f  1  f  1   f  1  (Do DX tồn nên f  1 tồn hay f   s  xác định s  ) Tiếp theo, từ Định lý 2.1 ta có g  s   1 f  s 1 s Suy ra: f  s    g  s   s.g  s  f   s    g   s   g  s   s.g   s  f   s    g   s   g   s   s.g   s  Do f   s  xác định s  nên f  1  g  1 , g   s  xác định s  ta có: DX  f  1  f  1   f  1   g  1  g 1   g 1  Vậy DX  f  1  f  1   f  1   g  1  g 1   g 1  2 Định lý đƣợc chứng minh Định lí 2.4 [1] Cho X , Y hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị nguyên không âm với P  X  i   pi P Y  i   qi Đặt Z  X  Y hàm dẫn uất đại lượng ngẫu nhiên Z f Z  s   f X  s  fY  s  , (với f X  s  , fY  s  hai hàm dẫn uất hai đại lượng ngẫu nhiên X , Y ) Chứng minh Ta có f Z  s   f X Y  s   Es X Y  Suy f Z  s   E  s X sY  Nên f Z  s   E  s X  E  sY  (vì X , Y hai đại lƣợng ngẫu nhiên độc lập, xem [2]) Do f Z  s   f X  s  fY  s  Định lý đƣợc chứng minh Định lí 2.5 [1] Nếu X1 , X , , X n n đại lượng ngẫu nhiên độc lập nhận n giá trị nguyên không âm X   X i hàm dẫn uất đại lượng ngẫu nhiên i 1 117 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 n X f X  s    f X i  s  , (với f X i  s  hàm dẫn uất hai đại lượng ngẫu nhiên i 1 X i , i  1, n ) Định lý 2.5 mở rộng đơn giản Định lý 2.4, việc chứng minh Định lý 2.5 hoàn toàn dựa chứng minh Định lý 2.4 Vậy hàm dẫn xuất tổng đại lƣợng ngẫu nhiên độc lập tích hàm dẫn xuất đại lƣợng ngẫu nhiên thành phần Hệ 2.1 Nếu X1 , X , , X n n đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân n phối ác suất hàm dẫn uất X   X i (tổng đại lượng ngẫu nhiên đó) i 1 f X  s    f  s   , với f  s  hàm dẫn uất chung đại lượng ngẫu nhiên n X1 , X , ,X n TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] Feller W (1957), An Introduction to Variational the probability theory and its applications, V I 2nd ed John Wiley and Sons, Inc., New York; Chapman and Hall, Ltd., London Phạm Văn Kiều (2000), Xác suất thống kê, Nxb Giáo dục, Hà Nội Kagan A M., Linnik Yu V., Rao R (1972), Các toán đặc trưng thống kê toán học (Tiếng Nga), Moskva, “Nauka” SOME BASIC PROPETIES FOR GENERATING FUNCTION Nguyen Manh Hung ABSTRACT In this paper, we present proofs of some basic results for generating function of random variables receiving integer and non-negative values Keywords: Generating function, random variable receiving integer, nonnegative values * Ngày nộp bài: 15/10/2019; Ngày gửi phản biện: 25/11/2019; Ngày duyệt đăng: 28/10/2020 118 ... 2.4 Vậy hàm dẫn xuất tổng đại lƣợng ngẫu nhiên độc lập tích hàm dẫn xuất đại lƣợng ngẫu nhiên thành phần Hệ 2.1 Nếu X1 , X , , X n n đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân n phối ác suất hàm dẫn uất... phối xác suất Poisson với tham số   Theo Định nghĩa 1.2, hàm dẫn xuất X  s 1     k e  i 1 e   g ( s)     s    1 s i   k i 1 k !  Hàm dẫn xuất phụ đại lƣợng ngẫu nhiên... xác suất Poisson với tham số   Theo định nghĩa 1.1, hàm dẫn xuất X  i e i   s  e  s 1 f ( s)  Es   s  e es  e   i! i! i 0 i 0 Vậy hàm dẫn xuất đại lƣợng ngẫu nhiên