CÁC đặc TRƯNG của đại LƯỢNG NGẪU NHIÊN và VECTƠ NGẪU NHIÊN (điện tử xác SUẤT THỐNG kê SLIDE)

Chương Các đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên véctơ ngẫu nhiên §1 Kỳ vọng Định nghĩa Ρ Χ = xi ) = pi ⇒ Ε ( Χ ) = ∑ xi pi Định nghĩa 1.1: Giả sử ( i Định nghĩa 1.2: Giả sử X liên tục có hàm mật độ làf X ( x ) ⇒ Ε ( Χ) = +∞ ∫ x f ( x ) dx X −∞ Ý nghĩa: Kỳ vọng E(X) giá trị trung bình X Tính chất: (1) E(C) = C,(2) E(CX) = C.E(X) ,C số (3) E(X+Y) = E(X) + E(Y) (4) X, Y độc lập suy E(XY) = E(X).E(Y) Khoa Khoa Học Máy Tính §2: PHƯƠNG SAI 1.Định nghĩa 2.1:Phương sai đại lượng ngẫu nhiên X là:  D ( Χ) = Ε ( Χ − Ε ( Χ) )    Định lý 2.1 : ( ) ( D(Χ) = Ε Χ − Ε ( Χ ) ) ( ) vớ i Ε Χ = ∑ xi2.pi , nế u X rờ i raïc ; +∞ ( ) ∫ Ε Χ2 = −∞ i x2 fΧ ( x) dx , neá u X liê n tục Tính chất: (1) D(C) = ; (2) D(CX) = C D( Χ) (3) X,Y độc lập suy D(X+Y) = D(X)+D(Y) (4) D(C+ X) = D(X), với C số Độ lệch: σ ( Χ) = D ( Χ) Khoa Khoa Học Máy Tính §3.Các đặc trưng khác đại lượng ngẫu nhiên 1.Mod X (giá trị X ứng với xác suất lớn nhất) Định nghĩa 3.1: Giả sử X rời rạc Ρ ( Χ = xi ) = pi ⇒ M od Χ = xi neá u pi = M ax pi 0 Định nghĩa 3.2: Giả sử X liên tục có hàm fX có ( x) , ta ⇒ Mod Χ = x0 neá u f X ( x0 ) = Max f X ( x) Med X(medium – trung vị X) Med Χ = m ⇔ Ρ ( Χ < m ) ≤ 1/ 2, Ρ ( X > m ) ≤ 1/ Định nghĩa 3.3: MedX = m ⇔ F ( m ) = f x dx = Định lý 3.1: Nếu X liên tục X ∫−∞ X ( ) m Khoa Khoa Học Máy Tính 3.Moment Định nghĩa 3.4: Moment cấp k cuả đại lượng ngẩu nhiên X số a : k  Ε ( X − a)    a = 0: moment gốc a = E(X): moment trung tâm Hệ số nhọn hệ số bất đối xứng(xem SGK) cos x, x ∈ [ 0, π / 2] Ví dụ 3.1: Χ ~ fX ( x) =  0, x ∉ [ 0, π / 2] Ε( Χ) = +∞ ∫ x f ( x ) dx = ∫ X −∞ Khoa Khoa Học Máy Tính π /2 π x.cos xdx = − π  D ( X ) = ∫ x cos xdx −  − 1÷ = π − 10 44 43   π /2 ( ) Ε X2 Mod X =0 Med X = m ⇔∫ m −∞ m f X ( x ) dx = ∫ cos xdx = 1/ ⇔ sin m = / ⇔ m = π / Ví dụ 3.2 :Cho X có bảng phân phối xác suất sau X P m − p qp q Khoa Khoa Học Máy Tính m−2 p q m m −1 m + m p q p q k k −2 p ∞ E ( X ) = ∑ kp.q k −1 k =1 = p ( 1− q) = p 1 D ( X ) = ∑ k pq − ÷ k =1  p 43 +∞ k −1 ( Ε Χ2 ) 1 1+ q 1+ q q = p − ÷ = − = (1 − q ) p p p  p Mod X =  p ( + q + + q m − ) ≤ /  Med X =m ⇔  m−2 m −1 p + q + + q + q ) ≥ 1/   ( Khoa Khoa Học Máy Tính  1− q  m−1 p ≤ 1/ q ≥  1− q m −1   1 − q ≤ 1/  ⇔ ⇔ ⇔   m m 1 − q ≥ 1/  p − q ≥ 1/ q m ≤   − q ⇔ m ln q ≤ − ln , ( m − 1) ln q ≥ − ln m −1 − ln − ln ⇔ ≤m≤ +1 ln q ln q Khoa Khoa Học Máy Tính .Ví dụ 3.3 : Cho X có bảng phân phối xác suất sau: X P 0, 0,3 0,3 Ε ( Χ ) = 2.0, + 5.0,3 + 7.0,3 = 4, D ( Χ ) = 21 0.4 + 0,3 + 0,3 − 4, ( ) 4 44 4 43 2 2 ( ) Ε Χ2 σ ( Χ ) = D( X ) = 2,107 Mod X = ; Med X = Khoa Khoa Học Máy Tính Cách dùng máy tính bỏ túi ES • Mở tần số(1 lần): Shift Mode • Nhập: Mode Stat 1-var xi ni 0,4 0,3 0,3 AC: báo kết thúc nhập liệu Cách đọc kết quả: Shift Stat Var Khoa Khoa Học Máy Tính Stat On(Off) x =→ Ε ( Χ ) = 4, xσ n =→ σ ( Χ ) = 2,107 Cách dùng máy tính bỏ túi MS: Vào Mode chọn SD Xóa liệu cũ: SHIFT CLR SCL = Cách nhập số liệu : 2; 0,4 M+ 5; 0,3 M+ 7; 0,3 M+ Cách đọc kết quả: SHIFT S – VAR Khoa Khoa Học Máy Tính  x =→ Ε ( Χ ) = 4,   xσ n =→ σ ( Χ ) = 2,107 10 Ví dụ 3.4: Tung lúc xúc xắc cân đối,đồng chất Gọi X tởng số điểm nhận Hãy tính E(X), D(X) Giải: Gọi Xi số điểm xúc xắc thứ i Χ = Χ1 + Χ + + Χ Ε ( Χ ) = Ε ( Χ1 ) + + Ε ( Χ ) = 5Ε ( Χ1 ) Xi độc lập ⇒ D ( Χ ) = D ( Χ1 ) + D ( Χ ) + + D ( Χ ) = 5D ( Χ1 ) X1 PX ⇒ Ε ( Χ1 ) = , 1 6 Khoa Khoa Học Máy Tính 35 D ( Χ1 ) = 12 11 §4: Kỳ vọng hàm Y = ϕ ( Χ ) 1.Trường hợp rời rạc: Ρ ( Χ = xi ) = pi ⇒ E (Y ) = ∑ ϕ ( xi ) pi 2.Trường hợp liên tục: i Χ : fX ( x) ⇒ Ε ( Y ) = ∫ −∞ Ví dụ 4.1: Cho +∞ Χ : fX ( ϕ ( x ) f X ( x ) dx   π  cos x , x ∈ 0,    2   x) =  0 , x ∉  0, π        Tìm kỳ vọng phương sai Y= sinX Khoa Khoa Học Máy Tính 12 Ε( Y ) = ∫ π /2 Ε( Y ) =∫ sin x sin x cos xdx = π /2 D( Y ) = Ε( Y Khoa Khoa Học Máy Tính π /2 sin x sin x cos xdx = 2 ) −( E(Y ) ) = π /2 = 1 = − = 12 13 §5: Kỳ vọng hàm Ζ = ϕ ( Χ,Y ) ( ) 1.Trường hợp rời rạc: Ρ Χ = xi , Y = y j = pij Ví dụ 5.1: ⇒ Ε ( Ζ ) = ∑ ϕ ( xi , y j ) pij Ε ( ΧY ) = ∑ xi y j pij i, j i, j 2.Trường hợp liên tục: (X,Y) liên tục có hàm mật độ f(x,y) ⇒ Ε ( Ζ ) = ∫∫ ϕ ( x, y ) f ( x, y ) dxdy 14 43 Ví dụ 5.2: R Z 44 7Ω 48  8xy, neá u ≤ x ≤ y ≤ 1, (hình 5.1) f ( x, y) =  0 , neá u trá i lại Khoa Khoa Học Máy Tính 14 HÌNH 5.1 ↑ y Ω → Khoa Khoa Học Máy Tính X 15 Ε ( Χ) = ∫∫ x f ( x, y ) dxdy = ∫ R Ε( Y ) = ∫∫ y f ( x, y ) dxdy = ∫ R Ε( Y ) = Ε( X ) = 1 ∫∫ y2 f y dy ∫ x.8 xydx y dy ∫ y.8 xydx ( x, y ) dxdy R2 x ∫∫ f Ε ( X Y ) = ( x, y ) dxdy ∫∫ xy f ( x, y ) dxdy R2 Khoa Khoa Học Máy Tính 16 §6: Các đặc trưng vectơ ngẫu nhiên 1.Kỳ vọng: E(X,Y) = (E(X),E(Y)) Hiệp phương sai (covarian): Định nghĩa 6.1: cov(X,Y) = E[(X - E(X)).(Y – E(Y))] Định lý 6.1: cov(X,Y) = E(XY) – E(X).E(Y) Tính chất: (1) X,Y độc lập cov(X,Y) = (2) cov(X,X) = D(X) n m n  m  (3) cov  ∑ Χ i , ∑ Y j ÷ = ∑∑ cov ( Χ i , Y j ) j =1  i =1  i =1 j =1 m m  m  (4) cov  ∑ Χ i , ∑ Χ k ÷ = ∑ D ( Χ i ) + ∑ cov ( Χ i , X k ) k =1 i≠k  i =1  i =1 Khoa Khoa Học Máy Tính 17 Hệ số tương quan Định nghĩa 6.2: RXY cov ( Χ, Y ) = σ ( Χ ) σ ( Y ) Tính chất: (1) X,Y độc lập ⇒ RΧY = (2) RXY ≤ 1, ∀Χ, Y (3) RXY = ⇔ ∃a, b, c : a Χ + bY = c Ý nghĩa: Hệ sớ RXY đặc trưng cho sự ràng ḅc tún tính giữa X Y: RXY gần1, thì X,Y gần có quan hệ tuyến tính  cov ( Χ, Χ ) ,cov ( Χ, Y )  Ma trận tương quan: D ( Χ, Y ) =   cov ( Y , Χ ) ,cov ( Y , Y ) ÷÷   Khoa Khoa Học Máy Tính 18 • Ví dụ 6.1:Cho biến ngẫu nhiên Χ1 , Χ , , Χ m ; Y1 , Y2 , , Yn có phương sai đều cov ( Χi , Χ j ) = p1 ;cov ( Yi , Y j ) = p2 ;cov ( Χi , Y j ) = p3 Tìm hệ số tương quan biến ngẫu nhiên: U = ( Χ1 + Χ + + Χ m ) V = ( Y1 + Y2 + + Yn ) Giải: n  m  m n cov ( U , V ) = cov  ∑ Χ i , ∑ Yi ÷ = ∑ ∑ cov ( Χi , Y j ) = m.n p3 j =1  i =1  i =1 j =1 m  m  m D ( U ) = cov  ∑ Χ i , ∑ X k ÷ = ∑ D ( Χ i ) + ∑ cov ( Χ i , Χ k ) = m + m(m − 1) p1 k =1 i≠k  i =1  i =1 D ( V ) = n + n(n − 1) p2 RUV = cov ( U ,V ) σ ( U ) σ ( V ) = Khoa Khoa Học Máy Tính m.n p3 m + m ( m − 1) p1 n + n ( n − 1) p2 19 Cách dùng máy tính bỏ túi a)Loại ES: MODE STAT a+bx xi yj pij AC Cách đọc kết quả: SHIFT STAT VAR SHIFT STAT VAR SHIFT STAT VAR SHIFT STAT VAR SHIFT STAT REG SHIFT STAT SUM Khoa Khoa Học Máy Tính x =→ Ε ( X ) xσ n =→ σ ( X ) y =→ Ε ( Y ) yσ n =→ σ ( Y ) r =→ RXY ∑ xy =→ Ε ( XY ) 20 b) Loại MS: MODE REG LIN Cách xóa liệu cũ : SHIFT CLR SCL = Cách nhập liệu : Cách đọc kết quả: SHIFT S-VAR SHIFT S-VAR SHIFT S-VAR SHIFT S-VAR SHIFT S-VAR SHIFT S-SUM Khoa Khoa Học Máy Tính M+ xi , y j ; pij x =→ Ε ( X xσ n =→ σ ) (X) > y =→ Ε ( Y ) > yσ n =→ σ ( Y ) >>r =→ RXY >∑ xy =→ Ε ( XY ) 21 Ví dụ 6.2: Giả sử X,Y có bảng phân phối xác suất sau: Y 0,1 0,2 0,3 0,4 X Khoa Khoa Học Máy Tính 22 .Bảng tương đương với bảng sau: pij xi yj Khoa Khoa Học Máy Tính 0,1 0,2 0,3 0,4 23 Nhập bảng số liệu vào máy tính,ta có: x =→ Ε ( X ) = 1, xσ n =→ σ ( X ) = 0,9165 y =→ Ε ( Y ) = 4, yσ n =→ σ ( Y ) = 0,9798 r =→ RXY = −0, 0891 ∑ xy =→ Ε ( XY ) = 5,8 Khoa Khoa Học Máy Tính 24 ... với C số Độ lệch: σ ( Χ) = D ( Χ) Khoa Khoa Học Máy Tính §3 .Các đặc trưng khác đại lượng ngẫu nhiên 1.Mod X (giá trị X ứng với xác suất lớn nhất) Định nghĩa 3.1: Giả sử X rời rạc Ρ ( Χ = xi )... f Ε ( X Y ) = ( x, y ) dxdy ∫∫ xy f ( x, y ) dxdy R2 Khoa Khoa Học Máy Tính 16 §6: Các đặc trưng vectơ ngẫu nhiên 1.Kỳ vọng: E(X,Y) = (E(X),E(Y)) Hiệp phương sai (covarian): Định nghĩa 6.1: cov(X,Y)... Χ ) = 4, xσ n =→ σ ( Χ ) = 2,107 Cách dùng máy tính bỏ túi MS: Vào Mode chọn SD Xóa liệu cũ: SHIFT CLR SCL = Cách nhập số liệu : 2; 0,4 M+ 5; 0,3 M+ 7; 0,3 M+ Cách đọc kết quả: SHIFT S – VAR Khoa