CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI xác SUẤT cơ bản (điện tử xác SUẤT THỐNG kê SLIDE)

Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất §1 Các quy luật phân phối rời rạc Phân phối rời rạc: Phân phối khơng – A(p): Định nghĩa 1.1: X có phân phối A(p) X x1 x2 xk P k k � k X P q p Định lý 1.1: X có phân phối A(p) E(X) = p, D(X) = p.q Phân phối nhị thức B(n,p): k k nk  :  n , p �    k  C p     n q , k  1, n Định nghĩa 1.2: Định lý1.2:  :   n, p  �   X   np, D     npq, � � Mod  k0  � hoa� c k  n  p �n  1 p�   � � � Khoa Khoa Học Máy Tính Phân phối siêu bội Bài toán: Cho hộp có N bi có M bi trắng cịn lại đen Lấy ngẫu nhiên từ hộp n bi (khơng hồn lại), n khơng lớn M N-M Hãy lập bảng phân phối xác suất X số bi trắng lấy k n k Giải: CM C N M    k  , k  0, n n CN Định nghĩa 1.3: Phân phối nói gọi phân phối siêu bội H(N,M,n)  : H ( N , M , n) �      np, Định lý 1.3: Giả sử N n M D     npq ,p N 1 N Ghi nhớ: lấy bi có hồn lại: phân phối nhị thức lấy bi khơng hồn lại: phân phối siêu bội Khoa Khoa Học Máy Tính Ví dụ 1.1: Trong hộp bi có trắng, đen, vàng Lấy ngẫu nhiên bi khơng hồn lại gặp bi vàng dừng.Tính xác suất để lấy bi trắng, bi đen Giải:Lấy bi cuối vàng nên: C C P  C15 10 Ví dụ 1.2 : Trong hộp bi có trắng, đen, vàng Lấy ngẫu nhiên bi khơng hồn lại gặp đủ bi vàng dừng.Tính xác suất để lấy bi trắng, bi đen C6 C52 C42 P  C15 Khoa Khoa Học Máy Tính Ví dụ 1.3: Trong hộp bi có trắng, đen, vàng Lấy ngẫu nhiên bi có hồn lại gặp bi vàng dừng.Tính xác suất để lấy bi trắng, bi đen Giải:Lấy bi cuối vàng nên: �6 � �5 � P  C � � � � 15 � � 15 � 15 � Ví dụ 1.4 : Trong hộp bi có trắng, đen, vàng Lấy ngẫu nhiên bi có hồn lại gặp đủ bi vàng dừng.Tính xác suất để lấy bi trắng, bi đen 2 �6 � �5 � �4 � P  C � �.C4 � � � � 15 � � 15 � � 15 � 15 � Khoa Khoa Học Máy Tính Phân phối Poisson P(a),a>0: k Định nghĩa 1.4: a a  :   a  �     k   e , k  0,1, k! Định lý 1.4: X có phân phối P(a) E(X) = D(X) = a Ví dụ 1.1: Giả sử X có phân phối P(8) Khi ấy: P(X=6) = 0,122138 (cột 8, hàng bảng phân phối Poisson)   �X �12   0,936204 (cột 8, hàng 12 bảng giá trị hàm �…)   �X �12     �X �12     � �5  Khoa Khoa Học Máy Tính Chú ý: Nếu gọi X số người ngẫu nhiên sử dụng dịch vụ cơng cộng X tn theo quy luật phân phối Poisson P(a) với a số người trung bình sử dụng dịch vụ Ví dụ 1.2: Quan sát 20 phút có 10 người vào trạm bưu điện Tính xác suất 10 phút có người vào trạm Giải: Gọi X số người ngẫu nhiên vào trạm 10 phút X có phân phối P(a), a = Khi ấy:     4  e 4! 5 Khoa Khoa Học Máy Tính §2: Các quy luật phân phối liên tục   a,  Phân phối chuẩn Định nghĩa 2.1:  :   a,    ,  � f  x  e  2  x  a  2 Định lý 2.1: X có phân phối   a,   E(X) = a, D(X) =  Định nghĩa 2.2: Đại lượng ngẫu nhiên U có phân phối chuẩn tắc (hay chuẩn hóa) N(0,1) nếu: f  u  Khoa Khoa Học Máy Tính u2 / e 2 (hàm mật độ Gauss) Định lý 2.2: U có phân phối N(0,1) u  t /2 P(u )   (u )  FU  u   0,5  � e dt  0,5    u  2 u t  với   u   tích phân Laplace (hàm lẻ) e dt � 2 Định lý 2.3: Giả sử U có phân phối N(0,1) Khi ta có:  1   u1  U  u2     u2     u1  ;     U     2    Định lý 2.4:  :  a,  � U  X  a :   0,1  Khoa Khoa Học Máy Tính   f (u )  u e 2 u2    u  � e 2 t2  -hàm mật độ Gauss(hàm chẵn-HÌNH 3.1) dt - tích phân Laplace (hàm lẻ-HÌNH 3.2)   u   0.5, u  tra xuôi:   1, 96   0, 4750( tra hàng 1,9; cột bảng phân Laplace) .tra ngược:   ?   0, 45 � hàng 1,6; cột cột nên 1, 64  1, 65 �? Khoa Khoa Học Máy Tính $4.Tích phân Laplace (tt) : Tra xi bằng máy tính: ES : MODE STAT AC SH STAT DISTR Q MS: MODE …SD SH DISTR Q   1, 96   Q(1.96)  0, 4750   1, 96   Q (1.96)  0, 4750 Q(u ) |  (u ) | u t2    u   P (u )  � e dt  0,5    u  � 2 Khoa Khoa Học Máy Tính 10 Tương tự: � u /2 U   � uu e du 2 � u /2  u e 2 � � �  3.�u �   U   5  U   5.3.1; u /2 e du  3.  U   3.1; 2 U 2n    2n 1 !! Khoa Khoa Học Máy Tính 14 Phân phối liên tục: (Xem SGK) Định nghĩa 4.1: đại lượng ngẫu nhiên X gọi có phân phối đoạn [a , b] ,kí hiệu X~U [a , b] ,nếu fX  �1 , x � a, b  � ba x  � � 0, x � a, b  � � FX Định lý 2.6 : Nếu X~U [a , b],thì  0, x  a � � xa � x  � , a �x �b ba � 1, b  x � � ab (b  a)2 E (X )  , D( X )  12 Khoa Khoa Học Máy Tính 15 Định nghĩa 2.3:(X,Y) có phân phối miền D � , ne� u (x, y) �D � f (x, y)  �S (D) � , ne� u (x, y) �D � ,v� � i S(D) la� die� n t� ch mie� nD Khoa Khoa Học Máy Tính 16 E ( ) Phân phối mũ : Định nghĩa 2.3: Đại lượng ngẫu nhiên X gọi có phân phối mũ hàm mật độ X là: Định lý 2.7 : �  e  x ne� u x �0; f (x)  �SGK) Phân phối bình phương:(Xem ne� ux 0, Phân phối Student:(Xem SGK)�  >0 X : E ( ) � E (X )   (X )   Khoa Khoa Học Máy Tính 17 §3 Các định lý giới hạn ( luật số lớn) Định lý Chebyshev: • Định lý 3.1(Bất đẳng thức Chebyshep): Cho X đại lượng ngẫu nhiên.Khi ta có: D( X ) P (| X  E ( X )| � ) �  • Định lý 3.2 (Chebyshep): Cho dãy 1 ,  , ,  n , đơi độc lập có C  : D( X k ) �C, k.Khi ta có: �1 lim P � �n n�� � n �X k1 k  n � E (X k )   � 1 � � k1 � n Định lý Bernoulli: • Định lý 3.3 (Bernoulli): Nếu m số lần thành công dãy n phép thử Bernoulli với xác suất thành cơng p thì: Khoa Khoa Học Máy Tính 18 �m � lim P �  p   � n�� �n � Các định lý giới hạn trung tâm Định lý 3.4(Lyapounov): Giả sử 1 ,  , ,  n đôi độc n lập E X k  E( X k ) � lim k 1 0 3/ n �� n � � D   k� � � k 1 � � Khi ta có: n n  i  �E   i  � n n i 1 n �30   U  i 1 �N  0,1 n đủ lớn n D  xi  � n i 1 Khoa Khoa Học Máy Tính 19 Hệ 3.1:Giả sử thêm vào ta có E ( X i )  a, D( X i )   , i  1, n n ( �X i  a ) n n i 1 �U  �N (0,1)  Hệ 3.2: m  p) n U n �N (0,1) p(1  p ) Khoa Khoa Học Máy Tính ( n đủ lớn n đủ lớn 20 Ví dụ 3.1:Biến ngẫu nhiên X trung bình cộng n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối: 1 ,  ,  n với phương sai: D   i    i  1, 2, n  Xác định n cho với xác suất không bé 0,9973 : a) Hiệu cuả X-E(X) không vượt 0,01 b) Trị tuyệt đối X-E(X) không vượt 0,005 Bài giải: n   � i , E (  i )  a � E  X   a; n i 1 D  i     �   Khoa Khoa Học Máy Tính 21 a )    E    �0, 01 �0, 9973 � �   a n   0, 01 n � � U  � �0, 9973 � � �  � � � 0, 01 n � � �  0, �0, 9973 � � � � � � 0, 01 n � � � �0, 4973    2, 785  � � � � � ۳ 0, 01 n Khoa Khoa Học Máy Tính 2, 785 ۳ n � 2, 785 � � � 0, 01 � � � � 22 b) (   E     0, 005) �0, 9973 | X  E ( X ) | n 0, 005 n � P (| U |    ) �0, 9973  � 0, 005 n � � 2. � �0, 9973 � � � � � � 0, 005 n � 0, 9973 � � �    3 � � � � � 0, 005 n Khoa Khoa Học Máy Tính n �3 � � � � � 0, 005 � � 23 $4.Các công thức tính gần Cơng thức gần siêu bội nhị thức Định lý 4.1: Khi n