Slide Bài giảng các quy luật phân phối xác suất rời rạc

•Phân phối nhị thức •Phân phối siêu bội •Phân phối Poisson •Xấp xỉ pp siêu bội bằng pp nhị thức •Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson •Dãy n phépthửBernoulli làdãyn phépthửthỏamãn3 điềukiện: 1.Cácphépthửcủadãyđộclậpvớinhau 2.Trongmỗiphépthửchỉcó2 biếncốA hoặc

Bài 3

CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI

XÁC SUẤT CỦA BNN RỜI RẠC

Mục tiêu

Cung cấp các quy luật phân phối xác suất đặc biệt của BNN rời rạc để khi học xong chương này sinh viên có thể:

1 Giải bài toán phân phối xác suất nhị thức

2 Giải bài toán phân phối xác suất siêu bội.

3 Giải bài toán phân phối xác suất Poisson.

4 Giải các bài toán phân phối xấp xỉ giữa siêu bội, nhị thức

và Poisson.

Nội dung

Công thức Bernoulli

• Dãy n phép thử Bernoulli là dãy n phép thử thỏa mãn 3 điều kiện:

1 Các phép thử của dãy độc lập với nhau

• Bài toán đưa đến công thức Bernoulli

Tìm xác suất xuất hiện x lần biến cố A trong dãy n phép thửBernoulli, kí hiệu Pn(x)

Công thức: Pn(x)= 𝐶𝑛𝑥 px qn-x

Ví dụ Công thức Bernoulli

Một máy sản xuất lần lượt từng sản phẩm Xác suất sản xuất ramột phế phẩm của máy là 0.01

a Cho máy sản xuất 10 sản phẩm, tính xác suất có 2 phế phẩm

b Máy cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để xác suất có ít

nhất 1 chính phẩm trên 0.99

Giải ví dụ

Máy sản xuất ra n sản phẩm tương ứng là dãy n phép thử

Bernoulli với xác suất xuất hiện phế phẩm P(A)=0.01

X- biến cố phế phẩm xuất hiện x lần trong dãy n phép thử

Bài tập

Một người bắn vào một tấm bia với khả năng bắn trúng biacủa mỗi viên đạn là 0,6 Người đó phải bắn ít nhất bao nhiêuviên để xác suất “có ít nhất 1 viên trúng bia” lớn hơn 0,99?

Phân phối nhị thức

Bài toán dẫn đến phân phối nhị thức

• Tiến hành 1 dãy n phép thử T độc lập

• Gọi X là số lần xuất hiện biến cố A trong dãy n phép thử

• X là BNN rời rạc có bảng phân phối xác suất

P(X=x) 𝐶𝑛0𝑝0𝑞𝑛 𝐶𝑛1𝑝1𝑞𝑛−1 𝐶𝑛𝑥𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥 𝐶𝑛𝑛𝑝𝑛𝑞0

Ví dụ

Trong phép thử tung 1 đồng xu công bằng 3 lần

a) Tính xác suất sẽ xuất hiện 2 lần mặt sấp.

b) Tính xác suất xuất hiện không quá 1 mặt sấp

c) Tính xác suất xuất hiện ít nhất 1 mặt sấp.

Ví dụ

( ) n x x n x ; 0,1, 2, 3

P X  x  C p q  x 

2 2 3

Ví dụ

Tại một địa phương tỷ lệ bầu cử cho ứng cử viên B là 65%

Thăm dò 100 cử tri Tính xác suất:

a Có 10 cử tri bầu cho ứng cử viên B

b Có nhiều nhất 12 cử tri bầu cho ứng cử viên B

c Theo bạn có bao nhiêu cử tri bầu cho ứng cử viên B

Ví dụ

Xác suất của 1 khách hàng đồng ý mua bảo hiểm của

công ty bảo hiểm A khi được nhân viên chào mời là 20%.

a Tính xác suất trong 15 người được chào mời có ít nhất

2 người mua.

b Bạn tin chắc nhất có bao nhiêu người mua trong 15

người được chào mời

Phân phối siêu bội

Ví dụ: Một hộp chứa 6 sản phẩm loại 1 và 4 sản phẩm loại 2 Chọn ngẫu nhiên 4 sản phẩm (không hoàn lại), tìm xác suất cóđúng 3 sản phẩm loại 1

• Để có đúng 3 sản phẩm loại 1, ta có biến cố chọn ngẫu

C( ; )



Phân phối siêu bội

Bài toán dẫn đến phân phối siêu bội:

• BNN X có giá trị theo mô hình như thế được gọi là có

phân phối siêu bội

Phân phối siêu bội

• Định nghĩa:

X có phân phối siêu bội với tham số N, M và n, kí hiệu

X~H(N, M, n) nếu

• Tham số đặc trưng:

Kỳ vọng của X: EX=  = np với p=M/N

Phương sai của X: VX= 𝜎2 = 𝑛𝑝𝑞 𝑁−𝑛

𝑁−1 với q = 1 – p

Độ lệch chuẩn của X: 𝜎 = 𝑉𝑋 = 𝑛𝑝𝑞 𝑁−𝑛

C(M;x)C(N M;n x) P(X x)

C(N;n)

X(Ω) = {0, 1, …, n}

Ví dụ

Có 60 người nộp đơn thi vào trường Đại học Kinh Tế Tài Chính, trong đó 40 người từ miền Đông Chọn ngẫu nhiên 20 đơn,

tìm xác suất có:

a) Đúng 10 đơn từ miền Đông

b) Không quá 2 đơn từ miền Đông

Giải

Gọi X là số đơn từ Miền Đông

Chọn ngẫu nhiên 20 đơn nên

coi như lấy không hoàn lại

=> X~ H(60,40,20)

a) 𝑃 𝑋 = 10 = 𝐶4010𝐶2010

𝐶6020 ≈ 0.0374b) P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

Ví dụ

Một công ty kiểm toán có 100 nhân viên, trong đó có 30 nhân viên có bằng kiểm toán quốc tế

Chọn ngẫu nhiên 5 nhân viên Tính xác suất:

a) Có 3 nhân viên có bằng kiểm toán quốc tế

b) Nhiều nhất 2 nhân viên có bằng kiểm toán quốc tế

Ví dụ

Đoàn thanh niên trường A tổ chức cắm trại cho đoàn viên của trường nhân ngày 26 -3, tham dự có: 20 sinh viên K1, 40 sinh viên K2 và 100 sinh viên K3

Bầu 1 ban điều hành gồm 8 người Tính xác suất trong ban

Phân phối Poisson

Bài toán dẫn đến phân phối Poisson

• Gọi X là số lần xuất hiện của biến cố A trong khoảng thời gian t tại những thời điểm bất kì

• 𝜆 là số lần trung bình biến cố A xuất hiện trong thời

gian t

• X là BNN rời rạc, X~P(𝜆)

Chú ý:

Số lần xuất hiện của A trong khoảng thời gian t tỉ lệ với độ

dài của khoảng đó và không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện trong khoảng thời gian kế tiếp

Phân phối Poisson

! , 𝑥𝜖𝑋(Ω)

Phân phối Poisson

Nhận xét:

Số cuộc gọi đến tổng đài trong 1 phút

Số tai nạn giao thông xảy ra tại một giao lộ trong 1 tuần

Số lỗi trong 1 trang sách

Số khách hàng đến giao dịch trong 1 ngân hàng trong

Ví dụ

Tại một công ty liên doanh, theo số liệu các năm vừa qua

trung bình một năm có 2 vụ đình công

Tính xác suất trong năm nay 2014

a) Không có vụ đình công nào

b) Có ít nhất 3 vụ đình công

Giải

Số vụ đình công trung bình trong 1 năm λ= 2

Gọi X là số vụ đình công trong năm nay, X~P(2)

a) P(X= 0)= 0.135

b) P(X≥ 3) = 1 - P(X< 3)

= 1- [P(X= 0)+ P(X= 1)= P(X= 2)]

= 0.323

Ví dụ

Giáo trình xác suất thống kê trung bình 1 trang có 2 lỗi về in ấn.Lật ngẫu nhiên 1 trang trong giáo trình Tính xác suất

a Trang này không có lỗi nào

b Trang này có Ít nhất 3 lỗi

Bài toán xấp xỉ

Ví dụ xấp xỉ từ PP siêu bội qua nhị thức

Giả sử một nhà máy sản xuất bóng đèn có 3% sản phẩm bị hỏng Tính xác suất trong một mẫu ngẫu nhiên gồm 100 bónga) Không có bóng nào bị hỏng

𝑷(𝑿 = 𝟎) = 3

0𝑒−30! ≈ 0.0498Excel 𝑃 𝑋 = 0 = POISSON DIST 0,3,0 = 0.0498

b) Có không quá 2 bóng bị hỏng

𝑃 𝑋 ≤ 2 = POISSON DIST 2,3,1 =0.224

Bài tập

Một lô hàng linh kiện điện tử có 10 ngàn sản phẩm, trong đó có

200 phế phẩm

Một cửa hàng nhận về 100 sản phẩm.

Tính xác suất trong 100 sản phẩm nhận về có ít nhất 3 phế phẩm.

Bài tập

Một đề thi trắc nghiệm có 60 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có một phương án đúng.

Một thí sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên một trong 4

phương án để trả lời cho mỗi câu hỏi.

Thí sinh đậu nếu trả lời đúng ít nhất 30 câu.

Tính xác suất thí sinh này đậu.

Một máy sx tự động sản xuất ra sản phẩm với tỷ lệ phế phẩm là0,1%.

Công suất máy sản xuất được 2500 sản phẩm trong 1 ngày

Giả sử việc sản xuất 2500 sản phẩm trong 1 ngày được xem như

2500 phép thử độc lập

a) Tính số phế phẩm trung bình máy sx ra trong 1 ngày

b) Tính xác suất để máy sx ra không quá 3 phế phẩm trong 1

ngày?

c) Tính số phế phẩm tin chắc nhất máy sx trong 1 ngày

Ví dụ xấp xỉ từ PP nhị thức qua Poisson

Bài tập

) (

~

) (

P X

) (

~ 1  2

Y P X

Bài tập

Một cầu thủ đá thành công quả 11m với xác suất 60%, cầu thủ này thực hiện :

i) đá 4 quả thành công 2 quả

ii) đá 6 quả thành công 3 quả

Theo bạn công việc nào dễ thực hiện hơn, tại sao?

Tổng kết

Dấu hiệu nhận biết bài toán

• Phân phối nhị thức: lấy có hoàn lại và xác suất không đổi qua các phép thử

• Phân phối siêu bội: lấy không hoàn lại

• Phân phối Poisson: X nhận vô hạn giá trị và chỉ biết giá trị 𝜆trong 1 khoảng thời gian hay không gian nào đó

• Xấp xỉ từ PP siêu bội qua PP nhị thức: N khá lớn, n rất nhỏ so với N

• Xấp xỉ từ PP nhị thức qua PP Poisson: n khá lớn, p khá bé