Bài tập các quy luật phân phối

Bài tập các quy luật phân phối

BÀI TẬP

CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI (có bổ sung một số bài)

ông chồng chưa hề làm việc nhà Một phóng viên tranh thủ lúc chờ lên tàu điện ngầm của hành khách, đã phỏng vấn một

số “quý ông” Anh ta dự định phỏng vấn tối đa 5 người,

nhưng nếu gặp được “quý ông” đã từng làm việc nhà thì thôi không phỏng vấn nữa.

Gọi X là số “quý ông” được phỏng vấn

Hãy lập bảng phân phối xác suất của X.

Theo một điều tra cho biết tỷ lệ sinh viên học không đúng ngành nghề mà họ yêu thích là 34% Tại một trường đại học chọn ngẫu nhiên 300 sinh viên

Gọi X là số sinh viên không theo đúng ngành nghề mà mình yêu thích trong mẫu trên.

a) Tìm quy luật phân phối xác suất của X.

b) Theo anh chị tin chắc nhất có bao nhiêu sinh

viên không theo đúng ngành nghề mà mình

yêu thích theo mẫu trên.

c) tính xác suất trong mẫu trên có từ 90 – 110 sinh

viên không theo đúng ngành nghề mình yêu

thích.

90 ( )

110 (

) 110 90

(

) 32 67

; 102 (

~ )

) 1 (

) ( 1

) 1 (

)

) 34 0

; 300 (

~ )

.

npq

np npq

np X

P

npq np

N X

c

p n

X MOD p

n b

B X

a

x x

−Φ

−

−Φ

Một người cân nhắc việc mua nhà bây giờ hay gởi tiền vào tiết kiệm với lãi suất 12% một năm, để chờ một năm sau sẽ mua Biết biến động của giá nhà là một ĐLNN X(%) có phân phối chuẩn với trung bình là 8% và độ lệch chuẩn là 10%.

Tính khả năng rủi ro của người này nếu gởi tiền vào tiết kiệm

và chờ một năm mới mua nhà.

HD:

) 12 (

) 100

; 8 (

~

>

X P

N X

công ty B, hoạt động trong hai lĩnh vực độc lập nhau.

Biết cổ phiếu của hai công ty có phân phối chuẩn:

CP A : X(%) ~N(11; 16 )

CP B : Y(%) ~N(10.4 ; 6.76 )

a) Nếu người đó muốn đạt được lãi suất tối thiểu là

10% thì nên đầu tư vào cổ phiếu của công ty

nào ?

b) Nếu muốn đạt tổng lãi suất kỳ vọng lớn nhất thì

nên đầu tư vào hai loại cổ phiếu trên theo tỷ lệ

nào?

c) Nếu người đó muốn hạn chế rủi ro thấp nhất thì

nên đầu tư vào hai loại cổ phiếu trên theo tỷ lệ

nào?

) 10

(

≥

≥

Y P

X P

1 0

min ]

) 1

( [

)

1 0

max;

] ) 1

( [

≤

≤

→

− +

α α

α

α α

α

Y X

Var

c

Y X

E

b

Nhà ăn của trường phục vụ cơm trưa cho sinh viên theo hai ca.

-Đã có giải thích trong bài giảng.

Một công ty du lịch tổ chức tuần trăng mật cho 100 cặp vợ

chồng mới cưới tại Đà Lạt, nhà hàng của khách sạn nơi các

cặp vợ chồng trên ở phục vụ điểm tâm sáng cho các cặp trên theo hai ca:

ca 1: từ 7.30 - 8.00

ca 2: từ 8.10 - 8.40

các cặp vợ chồng có thể chọn một trong hai ca để dùng điểm tâm, mỗi cặp vợ chồng luôn đi cùng nhau để dùng điểm tâm Nhà hàng cần ít nhất bao nhiêu chỗ ngồi để luôn đáp ứng đủ chỗ ngồi cho các cặp vợ chồng đến dùng điểm tâm với xác suất không bé hơn 99%.

-Lập luận tương tự bài số 5.

chuẩn là 0,2mm Sản phẩm được xem là đạt tiêu chuẩn nếu độ dài của sản phẩm sai lệch so với độ dài trung bình không quá 0,3mm.

a) Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm

Tính xác suất được sản phẩm đạt tiêu chuẩn

b) Trong quá trình kiểm tra chất lượng sản phẩm,có thể

bị nhầm lẫn:

-sản phẩm đạt tiêu chuẩn nhưng bị loại, được gọi

là sai lầm loại 1, xác suất mắc sai lầm loại 1 là 1%.

-sản phẩm không đạt tiêu chuẩn nhưng được nhận,

được gọi là sai lầm loại 2, xác suất mắc sai lầm

loại 2 là 2%.

Tính xác suất bị nhầm lẫn trong một lần kiểm tra.

c) Tính xác suất khi kiểm tra 100 sản phẩm có ít nhất 2

lần bị nhầm lẫn.

A: b/c một sản phẩm đạt tiêu chuẩn

F: b/c bị nhầm lẫn trong một lần kiểm tra.

Y: số lần bị nhầm lẫn khi kiểm tra 100 sản phẩm

) 1 (

1 ) 2 (

) 134 , 1 (

~ )

01134

0

; 100 (

~ )

01134 ,

0 02 , 0 1336 ,

0 01 , 0 8664 ,

0

)

| ( ) ( )

| ( ) ( )

( )

8664 ,

0 4332 ,

0 2 ) 5 , 1 ( 2

) 2 , 0

3 , 0

| (|

) 3 , 0

| (|

) ( )

P

P Y

B Y

c

A F P A P A

F P A P F

P b

X P X

P A

P a

x x

σ µ µ

xuất có phân phối chuẩn X~N(100 ; 1),

sản phẩm được xem là đạt tiêu chuẩn nếu trọng lượng sản phẩm sai lệch so với trọng lượng trung bình không quá 2g

a) Tìm tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn của dây

chuyền tự động trên.

b) Tìm tỷ lệ phế phẩm của dây chuyền trên.

c) Trong quá trình kiểm tra chất lượng sản phẩm

có thể mắc phải hai sai lầm:

.Sp đạt tiêu chuẩn nhưng bị loại: sai lầm 1

.Sp không đạt tiêu chuẩn nhưng được nhận: sai lầm 2

Xác suất mắc sai lầm 1 là 1%, mắc sai lầm 2 là 2%.

Tính xác suất bị nhầm lẩn khi kiểm tra một sản phẩm.

d) Theo anh chị khi kiểm tra 10 ngàn sản phẩm thì

khả năng lớn nhất là có bao nhiêu lần bị nhầm lẩn

HD:

Lập luận tương tự bài số 7

X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân phối xác suất như sau:

a) Tìm quy luật phân phối xác suất của Z=X+Y

b) Lập bảng phân phối xác suất đồng thời của (X, Y).

{ } { }

{ 6} { 2 ; 4} ( 6 ) ( 2 ) ( 4 ) 0 , 32

56 , 0 )

3 (

) 2 (

) 4 (

) 1 (

) 5 (

3

; 2 4

; 1 5

12 , 0 )

3 (

) 1 (

) 4 (

3

; 1 4

P Z

P Y

X Z

Y P X

P Y

P X

P Z

P

Y X

Y X

Z

Y P X

P Z

P Y

X Z

Y X

Z

a) Lập bảng phân phối xác suất đồng thời của (X,Y).

b) Tìm E(X), Var(X), E(Y), Var(Y).

c) S là tổng thu nhập của mỗi cặp vợ chồng,

tính E(S) và Var(S).

d) Thu nhập sau thuế của các cặp vợ chồng được

xác định bằng biểu thức : W= 0,6 Y + 0,8 X

Tính E(W) và Var(W).

Lãi suất X(%) của cổ phiếu A và Y(%) của cổ phiếu B có bảng phân phối xác suất đồng thời như sau:

a) Nếu đầu tư toàn bộ vào cổ phiếu A thì lãi suất kỳ vọng

và độ lệch chuẩn là bao nhiêu?

b) Nếu đầu tư vào cả hai loại cổ phiếu thì nên đầu tư theo

tỷ lệ nào để tổng lãi suất kỳ vọng lớn nhất.

c) Nếu muốn mức độ rủi ro thấp nhất thì nên đầu tư vào

hai loại cổ phiếu trên theo tỷ lệ nào?

Lập bảng phân phối xác suất biên (thành phần)

của X, Y.

tính kỳ vọng, phương sai của X, Y

tính E(XY),COV(X,Y): hiệp phương sai của X, Y.

min )

, ( )

1 ( 2 )

( )

1 ( ) (

] ) 1

( [

)

max ]

) 1

( [

)

1 0

2

=

−+

→

−+

≤

≤

Y X Cov Y

Var X

Var

Y X

Var c

Y X

E b

αα

αα

αα

αα

α

Xác suất đậu môn toán cao cấp là 90%.

Nếu đậu môn toán cao cấp thì xác suất đậu môn XSTK là 80% Nếu rớt môn toán cao cấp thì xác suất đậu môn XSTK là 40% Tính xác suất

a) sinh viên này đậu cả hai môn.

b) sinh viên này đậu môn XSTK.

c) sinh viên này đậu ít nhất một môn.

Ai: b/c sinh viên này đậu môn thứ i,i=1,2.

94 , 0 72 , 0 76 , 0 9 , 0 ) (

) ( )

( )

( )

76 , 0 ) 4 , 0 ( 1 , 0 ) 8 , 0 ( 9 , 0 )

| ( ) ( )

| ( ) (

) (

) (

) (

) ( )

72 , 0 ) 8 , 0 ( 9 , 0 )

| ( ) ( )

( )

2 1 2

1 2

1

1 2 1

1 2 1

2 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2 1

2 1

=

− +

=

− +

= +

= +

= +

=

= +

= +

P A

P A

A P

b

A A P A P A

A P A P

A A P A

A P A

A A

A P A

P

b

A A P A P A

A P

a

Pháp,10 sv học tiếng Anh và tiếng Pháp.

a) gặp một sv của lớp, tính xác suất sinh viên này

học ít nhất một ngoại ngữ trên

b) gặp ngẫu nhiên một sv của lớp, tính xác suất sv

này chỉ học tiếng Anh.

c) chọn ngẫu nhiên 5 sv của lớp, tính xác suất có ít

nhất 3 sinh viên chỉ học tiếng Anh.

Xét cả 2 trường hợp chọn không hoàn lại và

có hoàn lại (chọn lặp).

A: b/c sinh viên học tiếng Anh.

F: b/c sinh viên học tiếng Pháp.

X: số sv chỉ học tiếng Anh trong 5 sinh viên được chọn NX:

Số sv chỉ học tiếng Anh: 70-10=60

) 3 (

) 6 0

; 5 (

~ :

2

) 3 (

) 5

; 60

; 100 (

~ :

1 )

) (

) ( )

( )

) (

) ( )

( )

( )

=

∪

X P

B X

TH

X P

H X

TH c

AF P

A P F

A P b

AF P

F P A

P F

A P a

Xác suất thi đậu ở mỗi lần thi là 60%.

Gọi X là số lần dự thi của người này.

a) tìm quy luật phân phối xác suất của X.

b) tính xác suất người này thi ít nhất 3 lần.

Ai: b/c anh ta đậu ở lần thứ i, i=1,2,3,…

) 2 (

1 )

3 (

)

6 , 0 ) 4 , 0 ( )

( )

(

6 , 0 ) 4 , 0 ( ) (

) 3 (

6 , 0 4 , 0 )

( )

2 (

6 , 0 )

( )

1 (

)

1 1

2 1

2 3

2 1

2 1 1

P b

A A

A A P n

X P

A A A P X

P

A A P X

P

A P X

P a

n n

n

Ai:b/c người này thi đậu ở lần thứ i,i=1,2,3,…

16 , 0 )

24 0 6 , 0 ( 1 ) 2 (

1 ) 3 (

)

) 6 , 0 ( 4 , 0 )

(

) 6 , 0 ( 4 , 0 )

3 (

) 6 , 0 ( 4 , 0 )

( ) ( )

( )

2 (

6 , 0 )

( )

1 (

)

1

2

2 1

2 1 1

= +

P b

n X

P

X P

A P A P A

A P X

P

A P X

P a

n

Bj:b/c sv B ném bóng trúng rổ ở lần thứ j,j=1,2,3,

352 , 0 ) 12 , 0 ( ) 7 , 0 ( ) 3 , 0 ( ) 4 , 0 ( ) 6 , 0 ( ) 3 , 0 ( ) 4 , 0 (

)

( )

(

352 , 0 6 , 0 3 , 0 4 , 0 7 , 0 4 , 0 ) (

) 1 (

6 , 0 ) ( )

0 (

) 88 , 0 ( ) 12 , 0 ( ) 7 , 0 ( ) 3 , 0 ( ) 4 , 0 ( ) 6 , 0 ( ) 3 , 0 ( ) 4 , 0 (

)

( )

(

) 88 , 0 )(

12 , 0 ( 7 , 0 4 , 0 3 , 0 4 , 0 6 , 0 3 , 0 4 , 0 ) (

) 2 (

88 , 0 7 , 0 4 , 0 6 , 0 ) (

) 1 (

1 1

1 2

1 2

1 1

2 1 2

1

2 1 1 1

1 1

1 1

1 1

1 2

1 2

1 1

2 1 1 2

1

2 2 1 1 2

1 1

1 1 1

−

−

− +

= +

=

= +

=

=

= +

= +

=

=

n n

n n

n

n n n

n n n

n n

n n

n

n n n

n n n

B B B B A A A A

B B B A A

A P n

Y

P

A B A B

A P Y

P

A P Y

P

B B B

B A A

A A

B B

B A A A P n

X

P

B A B A A

B A P X

P

B A A

P X

P

Tại một địa phương tỷ lệ sinh con trai là 0,55.

Môt gia đình có 4 người con.

Tính xác suất gia đình này:

a) có 2 người con gái.

b) Ít nhất 2 người con gái.

c) anh chị tin chắc gia đình này có bao nhiêu con gái

linh kiện loại I, 3000 linh kiện loại II, 5000 linh kiện loại III.

Xác suất để một linh kiện loại I bị hỏng là 0,03%.

Xác suất để một linh kiện loại II bị hỏng là 0,02%.

Xác suất để một linh kiện loại III bị hỏng là 0,016%.

Thiết bị ngừng hoạt động nếu có ít nhất 3 linh kiện bất kỳ bị hỏng.

Tính xác suất thiết bị ngừng hoạt động.

Cho biết các thiết bị hoạt động tốt hay bị hỏng là hoàn toàn độc lập với nhau.

Xi: số linh kiện loại i bị hỏng, i=1,2,3.

N: b/c thiết bị ngừng hoạt động

) 3 (

) (

) 2 (

~ :

) 8 , 0 (

~ )

00016

0

; 5000 (

~

) 6 , 0 (

~ )

0002

0

; 3000 (

~

) 6 , 0 (

~ )

0003

0

; 2000 (

~

3 2

1 3

2 1

3 3

3

2 2

2

1 1

1

≥

=

= +

+ +

P

P X

X X

Y suyra

P X

B X

np P

X B

X

np P

X B

X

xx xx xx

λ λ

λ λ λ λ

trong đó có một đáp án đúng,

-trả lời đúng một câu hỏi được 1 điểm,

-trả lời sai một câu hỏi bị trừ 0,5 điểm

Thí sinh đậu nếu đạt được ít nhất 2,5 điểm.

Xác suất để một thí sinh trung bình trả lời đúng một câu hỏi

là 60%.

Tính xác suất một thí sinh trung bình đậu

) 5 , 2 (

) (

5 5

, 2 5

5 , 1 5

, 2

5 5

, 1 )

5 , 0 )(

10 ( 1

=

X P Y

P A

P

X X

Y

X X

X Y