Mô hình tài chính Slide bài giảng Tối ưu phí tuyến

Trong phương pháp “The hill–climbing” mà Solver áp dụng cho bài toán tìm giá trị cực đại, một điểm dừng đầu tiên sẽ được chọn, sau đó hướng thử tăng dần được thực hiện bằng cách phỏng chừng các mức thay đổi ban đầu dọc theo đường giá trị tối ưu (Optimal Value – OV) tăng dần, tới điểm cao nhất có thể đạt được của đường này. Phương pháp này sẽ kết thúc khi các mức thay đổi phỏng chừng theo tất cả các hướng (đạo hàm riêng cấp 1) tiến dần về 0 (điều kiện thứ nhất được thỏa mãn). Những điểm này khi đó sẽ luôn là “điểm cực trị địa phương” hoặc điểm “tối ưu địa phương”. Những điểm tối ưu khác được tiếp tục tìm kiếm bằng cách khởi động lại chương trình tối ưu hóa, bắt đầu tại một điểm khởi sự khác cho giá trị ban đầu các biến số của mô hình.

TỐI ƯU HÓA PHI TUYẾN

CHƯƠNG 3

3.1 GiỚI THIỆU MÔ HÌNH PHI TUYẾN

• Trên thực tế có nhiều vấn đề trong kinh tế và trong

các hoạt động kinh doanh có những mối liên hệ với nhau không phải là mối quan hệ tuyến tính mà là phi tuyến

• Sự tồn tại các mối quan hệ không theo tỷ lệ ( doanh

số đạt được không theo tỷ lệ với giá bán vì giá bán

có thể tăng và doanh số có thể giảm.

• Sự tồn tại các mối quan hệ không mang tính cộng

bổ sung (rủi ro của danh mục sẽ khác với bình quân gia quyền của 2 chứng khoán trong danh mục này.

• Sự hiệu quả và không hiệu quả theo quy mô (khi

sản lượng tiêu thụ vượt quá một mức giới hạn nào

đó thì tổng định phí và biến phí đơn vị sẽ thay đổi)

3.1 GiỚI THIỆU MÔ HÌNH PHI TUYẾN

• Bất cứ giá trị nào của x mà tại đó đạo hàm riêng = 0 gọi là

điểm dừng.

• Tại giá trị tối ưu địa phương (tối thiểu hoặc tối đa) tất cả các đạo hàm riêng phải = 0 Điểm tối ưu cực đại hoặc cực tiểu luôn là điểm dừng.

• Việc thiết lập các đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0 trong một hàm n biến sẽ tạo ra n hệ phương trình Ngoại trừ trường hợp hệ phương trình là tuyến tính, thì đối với trường hợp hàm phi tuyến (ví dụ hàm số gốc là hàm bậc 3) không dễ dàng tìm lời giải và sẽ không khả thi khi giải bằng tay.

• Điều kiện đủ thứ 2 khá phức tạp, yêu cầu phải tính toán các định thức của các ma trận đạo hàm riêng cấp 2 Trên thực tế, ngay cả trong trường hợp hàm f chỉ có một hay hai biến số nhưng quá phức tạp thì dường như chúng ta

3.2 TỐI ƯU HÓA PHI TUYẾN QUA ĐỒ THỊ

3.2 TỐI ƯU HÓA PHI TUYẾN QUA ĐỒ THỊ

3.2 TỐI ƯU HÓA PHI TUYẾN QUA ĐỒ THỊ

• Giải pháp tối ưu của mô hình phi tuyến không phải luôn luôn tại góc như của mô hình tuyến tính

3.2 TỐI ƯU HÓA PHI TUYẾN QUA ĐỒ THỊ

3.2 TỐI ƯU HÓA PHI TUYẾN QUA ĐỒ THỊ

• Trong phương pháp “The hill–climbing” mà Solver áp

dụng cho bài toán tìm giá trị cực đại, một điểm dừng đầu tiên sẽ được chọn, sau đó hướng thử tăng dần được thực hiện bằng cách phỏng chừng các mức thay đổi ban đầu dọc theo đường giá trị tối ưu (Optimal Value – OV) tăng dần, tới điểm cao nhất có thể đạt được của đường này

• Phương pháp này sẽ kết thúc khi các mức thay đổi

phỏng chừng theo tất cả các hướng (đạo hàm riêng cấp 1) tiến dần về 0 (điều kiện thứ nhất được thỏa mãn) Những điểm này khi đó sẽ luôn là “điểm cực trị địa phương” hoặc điểm “tối ưu địa phương” Những điểm tối ưu khác được tiếp tục tìm kiếm bằng cách khởi động lại chương trình tối ưu hóa, bắt đầu tại một điểm khởi

sự khác cho giá trị ban đầu các biến số của mô hình

3.2 TỐI ƯU HÓA PHI TUYẾN QUA ĐỒ THỊ

• Việc nới lỏng điều kiện ràng buộc không làm tổn hại và có thể giúp gia tăng giá trị mục tiêu tối ưu.

• Việc thắt chặt điều kiện ràng buộc không giúp ích

và có thể gây tổn hại giá trị mục tiêu tối ưu.

3.2 TỐI ƯU HÓA PHI TUYẾN QUA ĐỒ THỊ

• Giá trị tối ưu địa phương (cực trị địa phương) so với

giá trị tối ưu toàn cục (cực trị toàn cục)

• Trong mô hình LP cực trị địa phương cũng là cực trị

toàn cục

• Trong mô hình NLP có thể vừa có cực trị địa phương

và vừa có cựa trị toàn cục

• Giá trị cực đại toàn cục là điểm cực đại theo ràng

buộc toàn cục bởi vì giá trị của hàm mục tiêu tại điểm này là lớn nhất so với tất cả các điểm khả thi khác

• Trong mô hình NLP để tìm ra cực trị toàn cục từ các

cực trị địa phương cần phải bổ sung các điều kiện các điều kiện lồi và điều kiện lõm Những điều kiện này phải được thỏa mãn để đảm bảo rằng giá trị tối ưu hóa địa phương cũng sẽ là giá trị tối ưu hóa toàn cục

3.2 TỐI ƯU HÓA PHI TUYẾN QUA ĐỒ THỊ

3.3 SỬ DỤNG SOLVER CHO MÔ HÌNH PHI TUYẾN

• Trong mô hình LP, Solver sử dụng phương pháp di chuyển từ góc này sang góc khác trong các vùng khả thi

• Trong mô hình NLP, Solver sử dụng phương pháp “leo dốc” dựa trên tiến trình tìm kiếm độ dốc được giảm thiểu chung và phương pháp này còn được gọi là GRG

• Các bước của tiến trình này được thực hiện như sau:

• Sử dụng các giá trị ban đầu của các biến số quyết định tính toán một hướng đi được sao cho cải thiện nhanh nhất giá trị của hàm mục tiêu

• Solver lại thử một hướng tính toán mới từ một điểm khởi

sự mới, tiến trình trên được lặp lại cho đến khi giá trị OV không còn được cải thiện tốt hơn trên bất kỳ một hướng mới nào thì tiến trình tìm kiếm giá trị tối ưu kết thúc

3.4 MÔ HÌNH QUẢN LÝ HÀNG TỒN KHO EOQ

• Kiến thức nền tài chính

• Các chi phí liên quan đến tồn kho Tại cùng một thời điểm khi một doanh nghiệp được hưởng những lợi ích từ việc sử dụng hàng tồn kho thì các chi phí có liên quan cũng phát sinh tương ứng, bao gồm:

• Chi phí đặt hàng (Ordering costs)

• Chi phí tồn trữ (Carrying costs)

• Chi phí thiệt hại do kho không có hàng (Stockout costs)

3.4 MÔ HÌNH QUẢN LÝ HÀNG TỒN KHO EOQ

• Kiến thức nền tài chính

• Chi phí đặt hàng

Chi phí đặt hàng bao gồm các chi phí giao dịch, chi phí vận chuyển và chi phí giao nhận hàng Chi phí đặt hàng được tính bằng đơn vị tiền tệ cho mỗi lần đặt hàng

• Chi phí tồn trữ

Chi phí tồn trữ bao gồm tất cả các chi phí lưu giữ hàng trong kho Chi phí tồn trữ được tính bằng đơn vị tiền tệ trên mỗi đơn vị hàng lưu kho hoặc được tính bằng tỷ lệ phần trăm trên giá trị hàng lưu kho trong một thời kỳ

• Chi phí thiệt hại khi không có hàng (hàng tồn kho hết)

Chi phí thiệt hại do hàng tồn kho hết (Stockout costs) xảy

ra bất cứ khi nào doanh nghiệp không có khả năng giao hàng bởi vì nhu cầu hàng lớn hơn số lượng hàng sẵn có trong kho.

3.4 MÔ HÌNH QUẢN LÝ HÀNG TỒN KHO EOQ

2

Q 2

O Q

= +

C

x 2 Q

3.4 MÔ HÌNH QUẢN LÝ HÀNG TỒN KHO EOQ

O

x Q S

O

x Q

S C

x 2 Q

TC = +

3.4 MÔ HÌNH QUẢN LÝ HÀNG TỒN KHO EOQ

3.4 MÔ HÌNH QUẢN LÝ HÀNG TỒN KHO EOQ

• Ví dụ:

• Công ty bán sỉ Steco có nhu cầu hàng hóa mỗi tháng duy trì ở mức ổn định là vào khoảng 5.000 sản phẩm (60.000 sản phẩm/năm).

• Giả định chi phí cho một lần đặt hàng của công ty Steco là 25$

• Chi phí lưu giữ tính trên mỗi sản phẩm tồn kho bao gồm chi phí cơ hội của vốn là 20% trên giá mua vào và chi phí tồn trữ là 4% trên giá mua vào mỗi sản phẩm Vậy chi phí lưu giữ cho mỗi đơn vị hàng tồn kho là 24% x 8,00$ = 1,92$.

3.6 MÔ HÌNH QUẢN LÝ HÀNG TỒN KHO EOQ

• Bài toán tối ưu hóa của công ty Steco

• Hàm mục tiêu:

• Biến số ra quyết định Q

• Ràng buộc:

Q >= 1

Min x

Q x

2

$ 25

000

60 TC

YÊU CẦU

• Chuyển mô hình tối ưu hóa trên vào bảng tính

• Dùng Solver giải quyết và so sánh kết quả của Công thức tồn kho tối ưu:

• Thực hành với mô hình EOQ chiết khấu theo số lượng đặt hàng

C 2SO

Q* =

3.5 ỨNG DỤNG MÔ HÌNH PHI TUYẾN

Mô hình danh mục (portfolio)

• Khung tình huống:

• Các nhà quản lý danh mục đầu tư luôn tìm kiếm rủi ro thấp và

tỷ suất sinh lợi cao nên cố gắng tốt đa hóa tỷ suất sinh lợi (ứng với rủi ro cho phép) hoặc tối thiểu hóa rủi ro (với giới hạn về rủi ro).

• Nhà đầu tư cần xác định tỷ trọng tối ưu vào các loại chứng

khoán trong danh mục.

• Tập hợp các quyết định khả thi phải thỏa mãn các ràng buộc.

Tổng tỷ trọng đầu tư = 1 (giới hạn chính sách đầu tư hết)

Tỷ trọng mỗi loại phải cao hơn hoặc thấp hơn 1 con số cho phép (giới hạn chính sách đa dạng hóa)

Tỷ trọng phải >=0 (giới hạn chính sách không bán khống).

Tổng vốn đầu tư nhỏ hơn nguồn vốn có sẵn (giới hạn tự nhiên)

3.5 MÔ HÌNH PORTFOLIO

Bài toán tối ưu hóa

• Hàm mục tiêu:

TSSL danh mục -> Max Hoặc RR danh mục -> Min

• Biến số ra quyết định:

Tỷ trọng đầu tư vào các chứng khoán (x i )

• Ràng buộc:

- Ràng buộc về vốn đầu tư.

- Ràng buộc về đầu tư hết.

- Giới hạn về trần rủi ro hoặc sàn TSSL.

- Ràng buộc về bán khống và đa dạng hóa.

3.5 MÔ HÌNH PORTFOLIO

• Kiến thức nền tài chính

x i là tỷ trọng đầu tư vào cổ phiếu i

• σ i2 = phương sai của chứng khoán thứ i

• σ 12 = hiệp phương sai giữa tỷ suất sinh lợi cổ phiếu 1 và 2

• r i = tỷ suất sinh lợi mong đợi hàng năm của cổ phiếu i

• b = tỷ suất sinh lợi tối thiểu mong đợi hàng năm

từ tổng số tiền đầu tư vào danh mục

• S i = mức đầu tư tối đa vào cổ phiếu thứ i ; i = 1,2

x 1 + x 2 = 1 (tất cả số tiền phải được đầu tư hết)

x 1 r 1 + x 2 r 2 ≥ b (tỷ suất sinh lợi mong đợi tối thiểu của danh mục)

x 1 ≤ S 1 (mức đầu tư tối đa vào cổ phiếu 1)

x 2 ≤ S 2 (mức đầu tư tối đa vào cổ phiếu 2)

x 1 , x 2 ≥ 0 (không có bán khống cổ phiếu)

YÊU CẦU

• Chuyển bài toán tối ưu hóa trên vào bảng tính

• Sử dụng Solver giải quyết

• So sánh với kết quả đồ họa trong sách

• Thực hành với danh mục gồm 3 chứng khoán.

• BÀI TẬP LỚN:

• Sử dụng số liệu thực tế để lập và giải quyết mô hình Portfolio trong thực tế (Số lượng chứng khoán trong danh mục là 5)

MÔ HÌNH PORTFOLIO

CHƯƠNG 8

8.1 TỔNG QUAN

Khung tình huống

• Hàm mục tiêu:

TSSL danh mục -> Max Hoặc RR danh mục -> Min

• Biến số ra quyết định:

Tỷ trọng đầu tư vào các chứng khoán (x i )

• Ràng buộc:

- Ràng buộc về vốn đầu tư.

- Ràng buộc về đầu tư hết.

- Giới hạn về trần rủi ro hoặc sàn TSSL.

8.2 CÁC KÝ HIỆU

• E(r i ) là tỷ suất sinh lợi mong đợi của tài sản i

• Var(r i ) phương sai của tỷ suất sinh lợi tài sản i

• Cov(r i ;r j ) là hiệp phương sai của giữa tài sản i và tài sản j Cov(r i ;r j ) là σ ij

• Var(r i ) là σ ii

8.3 MÔ HÌNH 2 CHỨNG KHOÁN

• Từ số liệu giá đóng cửa vào cuối mỗi tháng (tuần,

ngày) của mỗi cổ phiếu, chúng ta tính toán tỷ

suất sinh lợi hàng tháng (tuần, ngày) của mỗi cổ

ln

t A

At At

P

P r



8.3 MÔ HÌNH 2 CHỨNG KHOÁN

• Giả định rằng các dữ liệu tỷ suất sinh lợi trong

12 tháng qua thể hiện phân phối tỷ suất sinh lợi của cổ phiếu này trong những tháng (tuần, ngày) sắp tới

• Tính TSSL mong đợi như sau:

• Tính phương sai của TSSL:

• Tính hiệp phương sai giữa 2 chứng khoán A,B

∑

=

1 j

j

r N

1 r

Var

1

2

) (

1

)]

( [

* )]

( [

1 )

,

t

A At

B

N

r r

8.3 MÔ HÌNH 2 CHỨNG KHOÁN

• Sử dụng các hàm Average( ), Varp( ), và Stdevp( ) và COVAR() trong Excel để tính TSSL mong đợi, Phương sai, độ lệch chuẩn và hiệp phương sai.

• Tính toán hệ số tương quan giữa chứng khoán:

• Hoặc dùng hàm Correl () trong Excel

• Hệ số tương quan luôn luôn nằm giữa +1và –1 hay –1≤

ρAB≤+1

• Nếu hệ số tương quan là +1, khi đó tỷ suất sinh lợi

giữa 2 chứng khoán có tương quan xác định hoàn toàn.

B A

B A AB

)r,r(

Cov

σσ

=ρ

8.3 MÔ HÌNH 2 CHỨNG KHOÁN

• Giá trị trung bình tỷ suất sinh lợi của danh mục là

bình quân gia quyền với trọng số là tỷ lệ vốn đầu tư

vào mỗi cổ phiếu thành phần

• Gọi xA là tỷ trọng vốn đầu tư vào cổ phiếu A, ta có:

• E(rp) = xAE(rA) + (1–xA)E(rB)

• Phương sai danh mục không phải là bình quân gia quyền của các phương sai (vì có mối tương quan trong biến động TSSL của các cổ phiếu)

• Var(r p ) = xA2 Var(rA) + (1– xA) 2 Var(rB) + 2 xA(1–

x A )Cov(r A ,r B )

• σp2 = xA2 σA2 + (1– xA)2 σB2 + 2 xA(1–xA)ρABσAB

8.3 MÔ HÌNH 2 CHỨNG KHOÁN

• Đường hiệu quả danh mục:

8.3 MÔ HÌNH 2 CHỨNG KHOÁN

• CÂU HỎI:

• Giả định thị trường chỉ có 2 loại chứng khoán A và

B, đường hiệu quả danh mục trên có phải là đướng biên hiệu quả của thị trường không?

• YÊU CẦU:

• ĐỌC PHỤ LỤC 2 SÁCH MÔ HÌNH TÀI CHÍNH

8.4 MÔ HÌNH NHIỀU CHỨNG KHOÁN

• Trong trường hợp tổng quát với N chứng khoán (hay

N tài sản), giả định rằng tỷ lệ vốn đầu tư vào chứng khoán i trong danh mục là xi, như vậy ta có ma trận cột X các tỷ trọng vốn đầu tư vào danh mục như sau:

• Chúng ta có thể viết X T như là ma trận đảo của ma

x

x x x X

8.4 MÔ HÌNH NHIỀU CHỨNG KHOÁN

• Bây giờ ta viết E(r) như là ma trận cột của tỷ suất sinh lợi các chứng khoán

• E(r) T như là ma trận hàng của tỷ suất sinh lợi các chứng khoán:

• E(r) T = [E(r 1 ), E(r 2 ), E(r 3 ), ….E(r n )]

) r ( E

) r ( E

) r ( E

) r ( E

N

3 2 1

8.4 MÔ HÌNH NHIỀU CHỨNG KHOÁN

• Tỷ suất sinh lợi mong đợi của danh mục dưới dạng công thức ma trận như sau:

• Hoặc có thể dùng hàm SUMPRODUCT () của 2 vector hàng hoặc 2 vector cột.

X )

r ( E )

r ( E X

) r ( E x )

r (

1 i

i i

−

8.4 MÔ HÌNH NHIỀU CHỨNG KHOÁN

• Phương sai danh mục:

• Gọi ma trận có σ ij trong hàng thứ i và cột thứ j là

ma trận phương sai – hiệp phương sai:

• Phương sai của danh mục là Var(r p ) = X T SX

































σ σ

σ σ

σ σ

σ σ

σ σ

σ σ

σ σ

σ σ

=

NN 3

N 2

N 1

N

N 3 33

32 31

N 2 23

22 21

N 1 13

12 11

S

8.4 MÔ HÌNH NHIỀU CHỨNG KHOÁN

• Hiệp phương sai của 2 danh mục:

• Nếu chúng ta gọi ma trận X = [x 1 , x 2 , x 3 ,… ,x N ] là

tỷ trọng vốn đầu tư vào danh mục 1

• Ma trận Y = [y 1 , y 2 , y 3 ,… ,y N ] là tỷ trọng vốn đầu

tư vào danh mục 2,

• Hiệp phương sai của 2 danh mục là Cov(1,2) = X

S Y T

• YÊU CẦU:

• Xây dựng đường biên hiệu quả của 1 thị trường gồm 5 chứng khoán (sử dụng số liệu thực tiễn).

8.5 TÍNH TOÁN MA TRẬN HIỆP PHƯƠNG SAI

• Cách 1:

• Dựa trên công thức thống kê và các hàm của Excel, chúng ta có thể tính ma trận phương sai – hiệp phương sai:

• A là ma trận chênh lệch tỷ suất sinh lợi các chứng khoán

M

N N

N N

r r

r r

r r

r r

r r

r r

21

12

11

11

8.5 TÍNH TOÁN MA TRẬN HIỆP PHƯƠNG SAI

N 2

N N

1 N

1 M

1 1

12 1

11

r r

r r

r r

r r

r r

r r

[ ] A M A S

T

ij = σ

=

8.5 TÍNH TOÁN MA TRẬN HIỆP PHƯƠNG SAI

• Sử dụng hàm COVAR kết hợp với hàm Offset

• Hàm Covar(array1;array2…): dùng để tính hiệp phương sai của 2 mảng dữ liệu (2 chuỗi TSSL quan sát)

• Hàm Offset(initial cells, rows, columns) sẽ tham chiếu khối các ô tương đồng về hình dáng với các

ô gốc ban đầu nhưng thay đổi vị trí sang các hàng

và cột khác

8.5 TÍNH TOÁN MA TRẬN HIỆP PHƯƠNG SAI

• Mô hình chỉ số đơn

• Giả định của mô hình là tỷ suất sinh lợi của mỗi một tài sản có thể được hồi quy tuyến tính từ các chỉ số của thị trường:

• Từ đó, chúng ta có 2 lập luận: lập luận thứ nhất giống mô hình CAPM và lập luận thứ 2 dùng để tính ma trận phương sai – hiệp phương sai:

i x

i i

)

R ~ ( E )

R ~ (