Tài liệu MỘT SỐ THÔNG SỐ CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 1_Chương 1 ppt

CHƯƠNG I MỘT SỐ THÔNG SỐ CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 1. CÁC THÔNG SỐ THỰC NGHIỆM 1.1. Đại lượng ngẫu nhiên Trong thực tế đời sống, hay trong kỹ thuật, thường xuyên chúng ta phải gặp những yếu tố ngẫu nhiên sự biến động giá cả, sự thay đổi nhiệt độ .chúng là những đại lượng nhận nhiều giá trị khác nhau với những điều kiện thí nghiện không đổi với một xác suất nào đó. Đại lượng ngẫu nhiên (X) là tập hợp tất cả các đại lượng mà gía trị của nó mang lại một cách ngẫu nhiên. Tức là sự xuất hiện là không biết trước. Ví dụ như khi ta tung con xúc sắc, sự xuất hiện của một mặt là ngẫu nhiên. Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là rời rạc khi nó nhận hữu hạn hoặc vô hạn các giá trị đếm được khác nhau Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là liên tục nếu nó nhận giá trị bất kỳ trong một khoảng của trục số. Khi xây dựng mô tả toán học, những đại lượng mà người nghiên cứu quan tâm đó là những đại lượng ngẫu nhiên. 1.2.Sai số đo Trong thực nghiệm, những giá trị nhận được là giá trị gần đúng của các đại lượng thực Nếu biểu diễn giá trị thực của một vật là a. Kết quả quan sát được là x. Độ lệch giữa a và x là Dx. Dx = x-a gọi là sai số đo. 1.2.1. Sai số thô. Là sai số phạm phải do phá vỡ những điều kiện căn bản của phép đo, dẫn đến các lần đo có kết quả khác nhau nhièu. Sai số này dễ phát hiện và khử được. Cách khử sai số thô: Khi phát hiện ra sai số thô, trước hết ta phải kiểm tra các điều kiện cơ bản có bị vi phạm không, sau đó sử dụng một phương pháp đánh giá, để loại bỏ hay giữ lại những kết quả không bình thường. 1.2.2. Sai số hệ thống Là sai số không làm thay đổi trong một loạt phép đo, mà thay đổi thay đổi theo một qui luật nhất định Có nhiều nguyên nhân gây ra sai số này: Không điều chỉnh chính xác dụng cụ đo, hoặc một đại lượng luôn thay đổi theo một qui luật nào đó như nhiệt độ. Các sai số này có thể phát hiện, đo đạc tìm được nguyên nhân và hiệu chỉnh được. Thông thường người ta đặt một hệ số hiệu chỉnh ứng với mỗi nguyên nhân. 1.2.3. Sai số ngẫu nhiên Là sai số còn lại sau khi đã khử sai số thô và sai số hệ thống. Sai số ngẫu nhiên do nhiều yếu tố gây ra, tác dụng rất nhỏ, không thể tách riêng ra, vì thế không loại trừ được. Đối với loại sai số này, người ta có thể tìm ra qui luật, xác định được các ảnh hưởng của chúng đến kết quả thực nghiệm. Việc xác định ảnh hưởng này dựa vào các hiểu biết về qui luật phân phối các đại lượng ngẫu nhiên. 1.3. Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên, chứa đựng những thông tin chính về biến ngẫu nhiên. Nhưng trong thực tế, nhiều trường hợp, không thể hoặc không đòi hỏi phải xác định hàm phân phối. Lúc này người ta sử dụng các thông số quan trọng đặc trưng cho đại lượng ngẫu nhiên như: Kỳ vọng, số mod, phương sai .đặc trưng cho sự phân tán của của đại lượng ngẫu nhiên. 1.3.1. Kỳ vọng Cho X là biến ngẫu nhiên, kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên X là một số thực được ký hiệu E(X) và xác định như sau: Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc và giá trị xi có thể nhận các xác suất pi (i = 1,2, .) thç: E(X) = (1.1) ∑ = n i ii xp 1 Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất làf(x) thì: E(X) = (1.2) ∫ ∞ ∞− dxxxf )( Vậy kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên X là số đặc trưng cho giá trị trung bình tính theo xác suất của tất cả giá trị của X • Kỳ vọng mẫu thực nnghiệm Khi nghiên cứu bằng thực nghiệm, giá trị thực (a) và sai số chuẩn (s) của đại lượng ngẫu nhiên người ta chưa biết. Để ước lượng các sai số của các số liệu thực nghiệm người ta phải dùng giá trị trung bình của đại lượng x i (kỳ vọng mẫu thực nghiện) và sai số thực của thực nghiệm. Kỳ vọng mẫu thực nghiệm được xác định bằng giá trị trung bình của các số liệu quan sát của mỗi phép đo. m X 1 = (1.3) ∑ = m i i x 1 Trong đó: x i là số đo của đại lượng x ở lần đo thứ i. m là số lần đo • Mod của biến ngẫu nhiên Mod của biến ngẫu nhiên rời rạc X là điiểm x o sao cho P(X = x 0 ) = max P (X = xi) . i = 1,2, .,. Tức là tại đó xác suất xi là lớn nhất. 1.3.2. Phương sai điều chỉnh mẫu thực nghiệm Phương sai là đặc trưng quan trong để phản ánh độ phân tán giá trị biến ngẫu nhiên xung quanh kỳ vọng và được ký hiệu S 2 • Phương sai mẫu thực nghiệm Giả sử x 1 , x 2 , .x m là mẫu thực nghiệm của X, khi đó số thực ký hiệu S 2 gọi là phương sai mẫu thực nghiệm của X, được xác định như sau: 2 1 2 )( 1 xx m S m i i −= ∑ = (1. 3) Trong đó: S 2 là phương sai mẫu m là số lần đo hay số lần quan sát được x i là đo của đại lượng x ở lần đo thứ i x là trung bình mẫu thực nghiệm • Phương sai điều chỉnh mẫu thực nghiệm Giả sử S 2 là phương sai mẫu thực nghiệm khi đó số thực S 2 1 được gọi là phương sai mẫu hiệu chỉnh của X được xác định như sau: 22 1 S f S i = (1. 4) f = m -1 là bậc tự do (độ tự do) đặc trưng cho mẫu thí nghiệm, về giá trị f nhỏ thua mẫu thí nghiệm một đơn vị. Phương sai điều chỉnh cho ước lượng không chệch. 1.3.3. Độ lệch chuẩn (Stamdard Diviation -SD) Từ công thức tính phương sai ta thấy, đơn vị đo của phương sai bằng bình phương đơn vị đo của biến ngẫu nhiên. Do đó để xác định độ phân tán của biến ngẫu nhiên có cùng đơn vị với nó, người ta xét một tham số đặc trưng khác với phương sai đó là độ lệch chuẩn (SD) và xác định như sau. Giả sử S 2 và S 1 2 là phương sai và phương sai điều chỉnh mẫu ngẫu nhiên của X, khi đó S và S 1 được gọi là độ lệch tiêu chuẩn và độ lệch tiêu tiêu chuẩn điều chỉnh mẫu thực nghiệm của X và xác điịnh như sau: S = 2 S (1.5) S 1 = 1 S (1.6) 1.3.4. Sai số chuẩn (Standard Error - SE) Mỗi một mẫu thực nghiệm với sự phân bố chuẩn sẽ có độ lệch chuẩn điều chỉnh riêng của nó và gọi là độ lệch chuẩn trung bình mẫu. Nó sẽ được gọi là sai số chuẩn (SE) khi nó được biểu diễn tỷ lệ của chính nó với căn bậc hai của dung lượng mẫu. N S SE 1 == σ (1. 7) Trong đó: S1 là độ lệch chuẩn điều chỉnh mẫu thực nghiệm. N là dung lượng mẫu thực nghiệm. Sai số chuẩn (SE) là một thông số thống kê quan trọng để đánh giá mức độ phân tán của mẫu và chính nó biểu thị sai số của số trung bình. Sai số ở đây không phải là sai phạm hay sai sót do người lập hay thu thập số liệu, mà sai số do sự chênh lệch cơ học có hệ thống của số liệu mà phương thức chọn mẫu là một trong những nguyên nhân chính gây nên. Mục đích tính SE là xác định mức độ phân tán của giá trị trung bình mầu và giới hạn tin cậy của mẫu thực nghiệm. 1.3.3. Ý nghĩa của phương sai, độ lệch chuẩn, sai số chuẩn Kỳ vọng mẫu (trung bình mẫu) là đại lượng đại diện các giá trị của mẫu thực nghiệm . Nó không phản ánh được tính đồng đều hay mức độ chênh lệch giữa các giá trị của mẫu thực nghiệm. Ngược lại phương sai, độ lệch chuẩn, sai số chuẩn giúp cho ta nhận biết được mức độ đồng đều của giá trị thực nghiệm. Nếu phương sai, độ lệch chuẩn, sai số chuẩn nhỏ các giá trị thực nghiệm tương đối đồng đều và tập trung xung quanh giá trị trung bình. 1.4. Độ chính xác và độ tin cậy của phép đo Khi đánh giá kết qủa thực nghiệm, điều quan trọng không chỉ ở độ chính xác mà còn ở độ tin cậy của các số đo. Giả sử một phép đo với sai số sau ⏐ XX − ⏐= Δx = ε Độ tin cậy γ là xác suất để kết quả các lần đo rơi vào khoảng tin cậy tæïc laì γεε =+<<− )( xxxP Âäü tin cáûy thæåìng cho træåïc 0,95; 0,99; 0,999 . 2. PHÂN TÍCH THỐNG KÊ GIÁ TRỊ THỰC NGHIỆM 2.1. Phương sai tái hiện Để xác định độ chính xác của phương pháp được sử dụng, người nghiên cứu phải làm thí nghiệm lặp. Do làm nhiều thí nghiệm dẫn đến những sai số mà người ta không thể kiểm tra được Vậy chúng ta phải xác định phương sai tái hiện để xác định sai số tái hiện. 2.1.1. Phng sai tỏi hin ca mt thớ nghim Gi s mt thớ nghim c lp i lp lai m ln vi giỏ tr tng ng thu c l y 1 , y 2 . y m . Phng sai tỏi hin ca mt mu thc nghim c ký hiu v xỏc nh nh sau: = 2 th S 2 1 )( 1 yy f m i i = (1. 8) hay 2 1 2 )( 1 1 = = m i ith yy m S (1. 9) Trong õoù: f = m -1 laỡ õọỹ tổỷ do õcỷ trổng cho khaớ nng bióỳn õọứi maỡ khọng laỡm thay õọứi hóỷ. m laỡ sọỳ lỏửn lỷp. 2.2.2. Phng sai tỏi hin ca mt cuc thớ nghim Gi s mt nghiờn cu, ngi ta phi tin hnh N thớ nghim khỏc nhau 1 2 . u . N Mi th nghim cú m ln lp. m 1 m 2 . m u . m N Vi t do tng ng l f 1 f 2 . f u . f N Phng sai tỏi ca mi thớ nghim l S 1 S 2 . S u . S N Phng sai tỏi hin ca mt cuc thớ nghim c tớnh nh sau Nu NNuu th ffff SfSfSfSf S 21 222 22 2 11 2 ++++ +++++ = (1.10) Nu s ln lp ca cỏc thớ nghim l nh nhau: m 1 = m 2 = . m k = .m N = m thỡ bc t do ca tng thớ nghim cng bng nhau tc l: f 1 = f 2 = . f u = .f N = f= m-1 fN SSsSf S Nu th . ) ( 222 2 2 1 2 +++++ = (1.11) = = N u uth S N S 1 22 1 (1.12) Trong đó: 2 1 2 )( 1 1 u m i uiu yy m S − − = ∑ = (1.13) Thay (1.12) vào (1.13) ta có: ∑∑ == − − = m i uui N u th yy mN S 1 2 1 2 )( )1( 1 (1.14) u = 1,2,3, .,N : i = 1,2, .,m Công thức (1.14) để tính phương sai tái hiện của một cuộc thí nghiệm, thường được sử dụng cho phương án thí nghiệm song song. Phương sai phân phối trung bình cho từng thí nghiệm 22 1 )( thth S m yS = (1.15) Thí dụ 1: Tính phương sai tái hiện của một cuộc thí nghiệm tương ứng với những số liệu thực nghiệm thu được ở bảng 1.1. Baíng1.1. Kãút quaí thæûc nghiãûm Kãút quaí S.T.N (u) Säú láön làûp (m) 1u y 2u y 3u y u y 1 2 3 4 5 6 7 8 3 3 3 3 3 3 3 3 73 58 54 84 100 98 77 105 69 58 59 94 106 90 85 95 68 64 52 92 109 97 78 100 70 60 55 90 105 95 80 100 Từ bảng số liệu trên ta thấy i = 1,2,3 ; u =1,2, .8 ; m = 3 ; N = 8 Để tính phương sai tái hiện của một cuộc ta lập bảng 1.2 Bảng 1.2. u 2 )( uui yy − (1) 2 2 )( uu yy − (2) 2 3 )( uu yy − (3) (1+2+3) 2 u S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 1 36 25 9 9 25 1 4 16 16 1 25 25 25 4 16 9 4 16 4 4 0 14 24 26 56 42 38 38 50 7 12 13 28 21 19 19 25 Áp dụng công thức (1.12) = ∑ = = 8 1 22 u uth SS 8 144 = 18 Phương sai phân phối trung bình cho một thí nghiệm. 6 3 181 )( 22 === thth S m yS 2.2. Phương sai dư Độ dư: Hiệu giữa giá trị thực nghiệm thu được và giá trị tính được theo phương trình hồi qui của các thông số tối ưu gọi là độ dư. Phương sai tìm được trên cơ sở tổng bình phương các độ dư gọi là phương sai dư được ký hiệu và xác định như sau. 2 1 2 ) ~ ( 1 u N u u dæ dæ yy f S −= ∑ = (.16) Trong đó: f dư = N-L độ tự do dư N là số thí nghiệm L số hệ số có nghĩa trong phương trình häöi qui u y ~ giá trị được tính theo phương trình hồi qui ứng với điều kiện thí nghiệm thứ u. u y là giá trị trung bình thực nghiệm tại thí nghiệm thứ u. 2.3. Kiểm định thống kê Trong thí nghiệm hóa học, sau khi xác định thông số thống kê cơ bản của từng nhân tố như: trung bình mẫu (x), phương sai mẫu (S 2 ), độ lệch chuẩn (S). sai số chuẩn ( σ ) .Người ta cần phải thực hiện một phương pháp kiểm định các giả thiết thống kê nhất định nhằm khảng định ảnh hưởng của từng nhân tố cũng như việc xem xét các giả thiết đưa ra có được chấp nhận hay không và chấp nhận ở mức độ nào. Hơn nữa, hầu hết các thông số thống kê quan trọng của mẫu đều phụ thuộc vào trung bình mẫu và độ lệch chuẩn mẫu. Nếu trung bìnb mẫu, độ lệch chuẩn mẫu chính xác thì các thông số thống kê thu được từ bộ số liệu thực nghiệm mới có ý nghĩa và số liệu thực nghiệm đó mới tuân theo phân phối chuẩn. 2.3.1. Kiểm tra sự đồng nhất của các phương sai • Tại sao phải kiểm tra sự đồng nhất của các phương sai? Kiểm tra sự đồng nhất của các phương sai là kiểm tra độ hội tụ của các các giá trị thực nghiệm. Phương pháp kiểm tra này chỉ được áp dụng trong phương án thí nghiệm song song. Tức là trong phương án này mỗi một thí trong ma trận thực nghiệm được tiến hành làm lặp từ 2 lần trở lên Để kiểm tra người ta sử dụng chuẩn Cochoren (G), tức là so sánh chuẩn Cochoren thực nghiệm (G tn ) và chuẩn Cochoren tra bảng (G b ) trong điều kiện bậc tự do và mức dộ tin cậy xác định. Cấu trúc bảng phân bố Cochoren (phụ lục) được trích dẫn và trình bày đơn giản bảng 1.3. Bảng 1.3. Các điểm phân vị của phân phối chuẩn cochoren với P = 0,05 Säú T.N.(N) Âäü tæû do (f = m - 1) 1 2 3 2 3 ‘‘ ‘‘ ∞ 0,998 5 0,966 9 ‘‘ ‘‘ 0,000 0,975 0 0,870 9 ‘‘ ‘‘ 0,000 0,939 2 0,797 7 ‘‘ ‘‘ 0,000 Trong đó: N là số thí nghiệm trong một cuộc thí nghiệm f là độ tự do ứng với thí nghiệm có phương sai tái hiện lớn nhất. m là số lần lặp của thí nghiệm có phương sai lớn nhất. G b được tìm thấy ở bảng 1.3 với mức ý nghĩa đã chọn là điểm vuông góc giữa hàng biểu thị số thí nghiệm N và cột biểu thị bậc tự do f • Các bước tiến hành kiểm tra - Tính G tn theo công thức sau ∑ = = N u u u tn S S G 1 2 2 max (1.17) u = 1,2,3, .,N N số thí nghiệm trong một cuộc thí nghiệm - Tra bảng G b với mức ý nghĩa P đã chọn, số thí nghiệm N và độ tự do f của thí nghiệm có phương sai tái hiện lớn nhất. - So sánh G tn và G b Giả thiết được chấp nhận nếu G tn < G b , tức là phương sai đông nhất, hay các số liệu thực nghiệm được đo với cùng một sai số. Số liệu thực nghiệm được sử dụng để xác định hệ số b trong PTHQ. Giả thiết không được chấp nhận nếu G tn > G b , tức là phương sai không đồng nhất số liệu thực nghiệm không được chấp nhận để ước lượng tiếp theo. Ví dụ 2 Từ số liệu của thí dụ 1 (N = 8 ; m = 3) ta xét xem các phương sai có đông nhất hay không. Từ bảng 1.2 ta thấy, thí nghiệm thứ 4 có phương sai tái hiện lớn nhất. S 2 max = 28 144 8 1 2 = ∑ ku u S G tn = 1943,0 144 28 = G b ( 0,05; 8 ; 2) = 0,5157 Ta có G tn ,< G b vậy phương sai đông nhất, số liệu thực nghiệm ở bảng 1.1 được sử dụng để ước lượng hệ số b trong PTHQ. [...]... với một mức ý nghĩa nào đó • Cấu trúc bảng phân phối chuần F Cấu trúc bảng phân bố chuẩn F (phần phụ lục) được trích dẫn và trình bày một cách đơn giản biểu diễn ở (bảng 1. 5) với mức ý nghĩa p = 0,05 Bảng 1. 5 các phân vị của phân phối chuẩn F(f1 , f2) với P = 0,05 Säú báûc tæû do f2 Säú báûc tæû do f1 ∞ 1 2 16 4,4 19 9,5 254,3 18 ,5 19 ,2 19 ,5 10 ,3 9,3 8,5 ‘‘ ‘‘ ‘‘ ‘‘ ‘‘ ‘‘ ∞ 3,8 3,0 1, 0 Trong đó: f1 bậc...2.3 .1 Kiểm tra ý nghĩa của các hệ số trong phương trình hồi qui • Tại sao phải kiểm tra ý nghĩa của các hệ số (b) trong (PTHQ)? Các hệ số (b) trong (PTHQ) được xác định bằng bộ số liệu thực nghiệm của một cuộc thí nghiệm, vì vậy nó có những sai số nhất định Mỗi hệ số bj trong PTHQ nói lên sự ảnh hưởng của yếu tố thứ j đến quá trình thực nghiệm Mục đích của kiểm tra này là xem các hệ số bj trong... được trích dẫn và trình bày một cách đơn giản biểu diễn ở (bảng 1. 4) với 2 mức ý nghĩa Bảng 1. 4.Tích dẫn bảng phân bố chuẩn t Säú báûc tæû do (f) 1 2 ‘‘ ‘‘ ∞ Mæïc yï nghéa (P) 0,05 0, 01 12, 71 4,3 ‘‘ ‘‘ 1, 96 63,66 9,93 ‘‘ ‘‘ 2,58 Trong đó: P là khả năng chấp nhận giả thiết hay còn gọi là mức ý nghĩa 1- P độ tin cây của phương pháp kiểm tra f là độ tự do hay bậc tự do, f = m -1 Để tra cứu t trong bảng phân... sai phù hợp hay phương sai dư (tử số) 1 2 3 ‘‘ ‘‘ f2 bậc tự do ứng với phương sai tái hiện (mẫu số) c ủa biểu thức (1. 19) Để tra cứu F trong bảng phân phối F trước tiên ta phải xác định mức ý nghĩa P (mức độ tin cậy) Tùy thuộc vào tính chất của từng loại thí nghiêm, phưong pháp kiểm tra mà ta chọn mức ý nghĩa p là bao nhiêu, thông thường ta chọn p = 0,05 Trên bảng 1. 5 Fb được tìm thấy tại điểm vuông... hàng biểu thị bậc tự do f1 và cột biểu thị bậc tự do f2 • Các bước tiến hành kiểm tra - Tính Ftn theo công thức S2 tt Ftn = 2 Sth (1. 19) Trong đó:S2tt là phương sai tương thích (phương sai phù hợp và cũng là phương sai dư), được tính theo công thức (1. 16) S2th là phương sai tái hiện được tính theo công thức (1. 9) với phương án thí nghiệm tại tâm hoặc tính theo công thức (1. 15) ứng với phương án thí... phương của hệ số bj - Tra bảng tb (P,f) phụ lục ứng với mức ý nghĩa P chọn trước và f là bậc tự do ứng với phương sai tái hiện của từng phương án mà người nghiên cứu đã chọn - So sánh tj và tb Nếu tj > tb hệ số bj có ý nghĩa và được giữ lại trong PTHQ Nếu tj < tb hệ số bj không có ý nghĩa và loại khỏi PTHQ mà không ảnh hưởng đến hệ số khác nếu phương án thực trực giao (xem chương 2và 3) 2.3 .1 Kiểm... chất của từng loại thí nghiêm, phưong pháp kiểm tra mà ta chọn mức ý nghĩa p là bao nhiêu, thông thường ta chọn p = 0,05 Trên bảng 1. 4 tb được tìm thấy tại điểm vuông góc có hàng biểu thị f và cột biểu thị mức ý nghĩa P nào đó đã được xác định • Các bước tiến hành kiểm tra - Tênh chuáøn ttn theo cäng thæïc ttn = tj = bj Sbj (1. 18) Trong đó: bj là hệ số ứng với yếu tố thứ j trong PTHQ, j = 0 ,1, 2 ... 3) 2.3 .1 Kiểm tra sự tương thích của PTHQ với thực nghiệm • Tại sao phải khiểm trasự tương thích của PTHQ với thực nghiệm? Dạng PTHQ là do người nghiên cứu tự chọn và các hệ số trong phương trình hồi qui được xác định dựa trên các số liệu thực nghiệm Vì vậy cần phải xem xét mô tả toán học đó có phù hợp với thực nghiệm hay không, chúng ta phải kiểm tra sự tương thích của PTHQ với thực nghiệm Để kiểm... xem các hệ số bj trong PTHQ có khác không với một độ tin cậy nào đấy hay không Nếu hệ số b khác 0 ít, tức là yếu tố đó ít ảnh hướng đên quá trình cuối cùng, ta có thể loại bỏ chúng ra khỏi phương trình hồi qui Để kiểm tra ý nghĩa của các hệ số trong phương trình hồi qui ta phâỉ sử dụng chuẩn Student (t) Phương pháp kiểm tra t là để so sánh t tính được của thực nghiệm (ttn) với t tra ở bảng phân bố... thức (1. 16) S2th là phương sai tái hiện được tính theo công thức (1. 9) với phương án thí nghiệm tại tâm hoặc tính theo công thức (1. 15) ứng với phương án thí nghiệm song song - Fb tra bảng fb do f1 , f2 (P,f1 ,f2) phụ lục tức là ứng với mức ý nghĩa P đã chọn và bậc tự - Tiêu chuẩn kiểm định (so sánh Ftn và Fb ) Nếu Ftn < Fb thì PTHQ vừa lập phù hợp với thực nghiệm tức là phương trình đã mô tả đúng quá . CHƯƠNG I MỘT SỐ THÔNG SỐ CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 1. CÁC THÔNG SỐ THỰC NGHIỆM 1. 1. Đại lượng ngẫu nhiên Trong thực tế đời sống, hay trong. ∑ = (1. 13) Thay (1. 12) vào (1. 13) ta có: ∑∑ == − − = m i uui N u th yy mN S 1 2 1 2 )( )1( 1 (1. 14) u = 1, 2,3, .,N : i = 1, 2, .,m Công thức (1. 14) để