Một số tính chất cơ bản của đạo hàm Newton hàm một biến

Bài viết Một số tính chất cơ bản của đạo hàm Newton hàm một biến trình bày các tính chất cơ bản của đạo hàm Newton. Nhóm tác giả chỉ ra rằng, đạo hàm Newton có một số tính chất tương tự như đạo hàm cổ điển như đạo hàm Newton của một tổng, hiệu, tích, thương.

Dương Xuân Hiệp, Phạm Quý Mười, Phan Đức Tuấn 94 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐẠO HÀM NEWTON HÀM MỘT BIẾN SOME BASIC PROPERTIES OF NEWTON DERIVATIVES OF ONE VARIABLE FUNCTIONS Dương Xuân Hiệp, Phạm Quý Mười, Phan Đức Tuấn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng; dxhiep1994@gmail.com, pqmuoi@ued.edu.vn, pdtuan@ued.udn.vn Tóm tắt - Phương pháp Newton nửa trơn quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học giới Phương pháp có tốc độ hội tụ nhanh (bậc hai) áp dụng cho phương trình khơng trơn Cơ sở phương pháp dựa khái niệm đạo hàm Newton, mở rộng khái niệm đạo hàm cổ điển Trong báo này, nhóm tác giả xét tính khả vi Newton số hàm thường gặp hàm | x |, hàm max{0, f ( x)} tổng quát hàm max{ f ( x), g ( x)} Đây hàm số thường xuất nhiều ứng dụng khác Tính khả vi Newton hàm max{ f ( x), g ( x)} kết quan trọng báo Sau đó, nhóm tác giả trình bày tính chất đạo hàm Newton Nhóm tác giả rằng, đạo hàm Newton có số tính chất tương tự đạo hàm cổ điển đạo hàm Newton tổng, hiệu, tích, thương Abstract - The Semi-smooth Newton method is being widely considered by a number of researchers in the world This method converges very fast (second-order convergence) and also can be applied to non-smooth equations It bases on the notion of “Newton derivative”, an extend notion of the Fréchet derivative In this paper, we study Newton differential of common functions including | x | function, max{0, f ( x)} function or general function like max{ f ( x), g ( x)} that are presented in many applications The Newton differential of max{ f ( x), g ( x)} function is the significant result of this paper In addition, The authors state propositions on basic properties of Newton derivative They indicate that Newton derivative contains similar propositions with Fréchet ones such as Newton derivatives of the sum, subtraction, multiplication and division Từ khóa - đạo hàm Newton; khả vi Newton; đạo hàm Newton tổng, hiệu, tích, thương; khả vi Newton hàm max{0, f ( x)}; khả vi Newton hàm max{ f ( x), g ( x)} Key words - Newton Derivative; Newton differential; Newton derivatives of sum, subtraction, multiplication, division; Newton derivative of max{0, f ( x)}; Newton derivative of max{ f ( x), g ( x)} Đặt vấn đề Khi mơ hình toán vấn đề khoa học kỹ thuật, y học, vật lý, thường dẫn đến việc tìm nghiệm phương trình hệ phương trình, có xuất hàm số khơng khả vi, chẳng hạn hàm dấu sgn( x), hàm trị tuyệt đối | x |, hàm 0, x , hàm ánh xạ F : U  ( D, ) cho max 0, x , hàm hợp của chúng [1-4] Những Khi F gọi đạo hàm Newton f x phương trình hệ phương trình gọi phương trình khơng trơn Gần đây, nhà nghiên cứu đề xuất số phương pháp để giải phương trình khơng trơn, đó, phương pháp Newton nửa trơn nghiên cứu ứng dụng phổ biến nhiều ứng dụng khác [5-9] Phương pháp dựa khái niệm "đạo hàm Newton", khái niệm mở rộng đạo hàm cổ điển Với vai trò tầm quan trọng khái niệm đạo hàm Newton giải thuật cho phương trình khơng trơn, báo này, nhóm tác giả nghiên cứu tính khả vi Newton số hàm bản, thường xuất phương trình khơng trơn [3, 5, 6, 7, 9] nghiên cứu số tính chất hàm khả vi Newton Để cho người đọc dễ nắm bắt khái niệm đạo hàm Newton tính chất đạo hàm Newton, nhóm tác giả xét cho lớp hàm biến Tuy nhiên kết báo dễ dàng mở rộng cho hàm nhiều biến Định nghĩa 2.2 Cho U tập mở D  Ánh xạ f : D  gọi khả vi Newton U tồn ánh xạ F : U  ( D, ) cho với x U , Đạo hàm Newton Định nghĩa 2.1 Cho D tập khác rỗng Ánh xạ f : D  gọi khả vi Newton x  D tồn lân cận mở U  D x tồn | f ( x  h)  f ( x )  F ( x  h) h |  0, |h| ( D, ) tập phiếm hàm tuyến tính liên tục từ D vào lim h 0 lim h 0 | f ( x  h)  f ( x )  F ( x  h) h |  |h| Khi đó, hàm số f gọi hàm Newton nửa trơn U F gọi đạo hàm Newton f U Chú ý 2.1 Nếu hàm số f có đạo hàm cổ điển f  liên tục tập mở U f hàm nửa trơn U đạo hàm Newton f f  Thật vậy, với x U , ta có: | f ( x  h)  f ( x)  f ( x  h)h | |h| | f ( x  h)  f ( x)  f ( x)h |   | f ( x)  f ( x  h) | h  |h| 0 Vậy f hàm nửa trơn U có đạo hàm Newton F  f  Đạo hàm Newton hàm số thường gặp Trong phần này, nhóm tác giả nghiên cứu tính khả vi ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 9(118).2017 - Quyển Newton số hàm bản, thường xuất tốn tối ưu khơng trơn Kết phần kết báo tính khả vi Newton hàm max{ f ( x), g ( x)} Mệnh đề 3.1 Hàm số f ( x) | x | có đạo hàm Newton phiếm hàm F ( x)(·) xác định  1 nÕu x  0,  F ( x )    nÕu x  0, 1 nÕu x  0,  với   đạo hàm Newton f nÕu x  0, 0 | F ( x )h |  F ( x )  sup  |  | nÕu x  0, |h| h0 1 nÕu x   Suy F ( x ) phiếm hàm tuyến tính bị chặn Tương tự Mệnh đề 3.1, xét trường hợp x  0, x  x  0, ta chứng minh lim h 0 Newton hàm số f ( x)  max 0, x f  C1 ( ) thỏa mãn f ( x)  hữu hạn điểm x1  x2    xn Khi đó, hàm số g có đạo hàm Newton đạo hàm Newton g ( x) phiếm hàm tuyến tính G( x)(·) xác định  f ( x ) nÕu x  P,  G ( x )   i nÕu x  xi  O, 0 nÕu x  N,  nÕu x  0, | F( x )h | 1 F( x )  sup  |h| h 0 |  | nÕu x  Suy F ( x)(·) phiếm hàm tuyến tính bị chặn Với x  h đủ nhỏ, ta có x  h  | f (0  h)  f (0)  F (0  h)h | 0,  f ( x ) nÕu x  P, | G ( x )h |  G ( x )  sup   i nÕu x  xi  O, |h| h 0 0 nÕu x  N  với h  h  Do | f (0  h)  f (0)  F (0  h) h |  h 0 |h| lim Suy G( x)(·) phiếm hàm tuyến tính bị chặn Với x  0, tương tự trường hợp x  ta thu được: | f ( x  h)  f ( x )  F ( x  h) h | lim  h 0 |h| Vậy phiếm hàm tuyến tính liên tục F ( x)(·) đạo hàm Newton hàm số f ( x) | x | Mệnh đề 3.2 Hàm số f ( x)  max 0, x có đạo hàm với   phiếm hàm tuyến tính F ( x)(·) xác định đạo hàm Newton f (i  1,2, , n) Chứng minh Thật vậy, ta có phiếm hàm G( x)(·) xác định (0.2) phiếm hàm tuyến tính với x  Hơn Với x  0, ta có: nÕu x  0, nÕu x  0, nÕu x  0, (0.2) P  {x | f ( x)  0}, O  {x | f ( x)  0}, N  {x | f ( x)  0}  i  | f ( x  h)  f ( x )  F ( x  h) h | lim  h 0 |h| 0  F ( x )   1  Mệnh đề 3.3 Cho hàm số g ( x)  max 0, f ( x) với h nÕu x  0,  F  x  h    h nÕu x  0,  h nÕu x  0,  Newton | f ( x  h)  f ( x )  F ( x  h) h |  |h| Vậy phiếm hàm tuyến tính liên tục F ( x ) đạo hàm Chứng minh Thật vậy, ta có: phiếm hàm tuyến tính với x  95 (0.1) + Với x  P với h đủ nhỏ, ta có x  h  P (do P tập mở) | g ( x  h)  g ( x )  G ( x  h) h | |h| | f ( x  h)  f ( x)  f ( x  h)h |  |h| | f ( x  h)  f ( x)  f ( x)h |  |h| | f ( x)h  f ( x  h)h |  |h| Vì f  C1 ( ) nên Chứng minh Thật vậy, phiếm hàm F ( x)(·) xác định (0.1)là phiếm hàm tuyến tính với x  Hơn lim h 0 lim h 0 | f ( x  h)  f ( x)  f ( x)h |  0, |h| | f ( x)h  f ( x  h)h |  lim | f ( x)  f ( x  h) | h 0 |h| Dương Xuân Hiệp, Phạm Quý Mười, Phan Đức Tuấn 96 | g ( x  h)  g ( x )  G ( x  h) h |  h 0 |h| Do lim + Với x  N với h đủ nhỏ, ta có x  h  N (do N tập mở) | g ( x  h)  g ( x )  G ( x  h) h | lim  lim  h 0 h 0 |h| + Với x  xi , i  1, 2, , n với h  đủ bé, ta có: | g( xi  h)  g( xi )  G ( xi  h)h | h 0 |h| | f ( xi  h)  f ( xi )  f ( xi  h)h |  nÕu xi  h  P,  lim   h 0  |h|  nÕu xi  h  N  lim Do lim h 0 | g ( xi  h)  g ( xi )  G ( xi  h)h |  |h| Tương tự trên, ta có: | g ( xi  h)  g ( xi )  G ( xi  h)h | h 0 |h| | f ( xi  h)  f ( xi )  f ( xi  h)h |  lim  h 0 |h| lim Suy lim h 0 | g ( x1  h)  g ( x1 )  G( x1  h)h |  |h| Vậy phiếm hàm tuyến tính G ( x)(·) đạo hàm Newton hàm số g ( x)  max 0, f ( x) Trong Mệnh đề 3.3, hàm số g ( x)  max{0, f ( x)} chứng minh khả vi Newton hàm f có hữu hạn khơng điểm Trong phần xét trường hợp tổng quát hơn, mà hàm số f có hữu hạn vơ hạn không điểm Để đưa đạo hàm Newton cho hàm số g trường hợp tổng quát này, ta cần kết bổ đề sau: Bổ đề 3.1 Cho hàm số D  P O  f xác định x0  P  O Nếu với dãy {xn }  P,{ yn }  O với xn  x0 , yn  x0 ta có lim f ( xn )  a lim f ( yn )  a, n n lim f ( x)  a x  x0 Chứng minh Ta xét dãy {xn } với xn  x0 tùy ý đặt I1  {n | xn  P}  {n1 , n2 ,} I  {n | xn  O}  {k1 , k2 ,} lim f ( xn )  a n + Trường hợp 2: I1 vô hạn, I hữu hạn Tương tự, ta lim f ( xn )  a n + Trường hợp 3: Cả I1 , I vơ hạn Khi đó, • Với   tùy ý, ta có: lim f ( xni )  a  i1* :| f ( xni )  a |  , i  i1* i  lim f ( xk j )  a  j1* :| f ( xk j )  a |  , j  j1* j  Chọn n*  max{ni* , k j* } Khi đó, I1  I  nên với n  n* , tồn i  i1* tồn j  j1* n  ni n  k j Do đó, hai trường hợp ta có: | f ( xn )  a || f ( xni )  a |  Vậy lim f ( x)  a x  x0 Sử dụng bổ đề này, chứng minh kết sau: Mệnh đề 3.4 Cho hàm số g ( x)  max{0, f ( x)} với f  C1 ( ) Khi đó, phiếm hàm tuyến tính G( x)(·) xác định  f ( x) , x  P G ( x)   , x Q 0 với P  {x | f ( x)  0} Q  {x | f ( x)  0} đạo hàm Newton g Chứng minh Chúng ta dễ dàng kiểm tra với x  hàm G ( x)(·) với phiếm  f ( x)h , x  P G ( x)h   , x  Q 0 tốn tử tuyến tính bị chặn Đặt O  {x | f ( x)  0}, P  {x | f ( x)  0}, Q  {x | f ( x)  0} , ta có P  Q  Với x  P với h  đủ bé, ta có x  h  P (do P tập mở) Do | g ( x  h)  g ( x )  G ( x  h)h | | f ( x  h)  f ( x )  f ( x  h)h |  |h| |h| | f ( x  h)  f ( x)  f ( x)h | | f ( x) h  f ( x  h) h |   |h| |h| Vì f  C1 ( ) nên lim | f ( x  h)  f ( x)  f ( x)h | 0 |h| Suy {xni }  P,{xk j }  O Ta xét trường hợp sau: h 0 + Trường hợp 1: I1 hữu hạn I vô hạn Khi đó, tồn n cho n  n , xn  O Từ giả thiết bổ đề, ta có: | f ( x)h  f ( x  h)h |  lim | f ( x)  f ( x  h) | h 0 h 0 |h| * * lim ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 9(118).2017 - Quyển | g ( x  h)  g ( x )  G ( x  h) h |  h 0 |h| Do lim Với x  Q x  P x điểm R P  Q Do đó, với h đủ bé x  h  O x  h  P , suy lim h 0 | g ( x  h)  g ( x )  G ( x  h) h |  lim  h 0 |h| Với x  P  Q x  O Với dãy {xn }  P mà xn  x  hn với hn  với dãy { yn }  Q mà yn  x  kn với kn  , ta có lim hn 0 | g ( xn )  g ( x)  G ( xn )hn |  0, | hn | | g ( yn )  g ( x )  G ( y n ) k n |  kn 0 | kn | lim Theo Bổ đề 3.1, ta có | g ( x  h)  g ( x )  G ( x  h) h | lim  h 0 |h| Vậy phiếm hàm tuyến tính G ( x)(·) đạo hàm Newton hàm số g ( x) Định lý 3.1 Cho hàm số h( x)  max{ f ( x), g ( x)} với f , g  C1 ( ) f ( x)  g ( x) hữu hạn điểm rời rạc x1  x2    xn Khi đó, đạo hàm Newton hàm số h( x ) phiếm hàm tuyến tính H ( x)(·) xác định  f ( x) , x  P  H ( x)   g ( x) , x  N  , x  xi  O  i Ở P  {x | f ( x)  g ( x)}, N  {x | f ( x)  g ( x)}, O  {x | f ( x)  g ( x)} Chứng minh tương tự Mệnh đề 3.3 Định lý 3.2 Cho hàm số h( x)  max{ f ( x), g ( x)} với f , g  C1 ( ) Khi đó, đạo hàm Newton hàm số h( x ) phiếm hàm tuyến tính H xác định  f ( x) , x  P H ( x)    g ( x) , x  Q P  {x | f ( x)  g ( x)}, Q  {x | f ( x)  g ( x)} Chứng minh tương tự Mệnh đề 3.4 Một số tính chất đạo hàm Newton Trong phần này, nhóm tác giả trình bày số kết liên quan đến tính khả vi Newton tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp hai hàm khả vi Newton rằng, tổng, hiệu, tích, thương hai hàm khả vi Newton hàm khả vi Newton Đối với hàm hợp, để có kết tương tự khả vi cổ điển cần điều kiện mạnh hơn, tức 97 hợp hàm khả vi Newton hàm khả vi cổ điển Chi tiết kết trình bày thơng qua định lý Định lý 4.1 Cho f g xác định D  , hàm nửa trơn tập mở U  D với đạo hàm Newton tương ứng F G Khi hàm số f  g f  g hàm nửa trơn U có đạo hàm Newton F  G F  G Chứng minh Vì F G Newton đạo hàm f g U nên với x  U , ta có: | f ( x  h)  f ( x )  F ( x  h)h | 0 h 0 |h| lim | g ( x  h)  g ( x )  G ( x  h) h |  h 0 |h| lim Do với x  U , ta có: | ( f  g )( x  h)  ( f  g )( x)  ( F  G )( x  h)h | |h| | f ( x  h)  f ( x )  F ( x  h) h |  lim h 0 |h| | g ( x  h)  g ( x )  G ( x  h) h |  lim  h 0 |h|  lim h 0 Vậy hàm số f  g hàm nửa trơn U có đạo hàm Newton F  G Chứng minh tương tự cho hàm f  g Định lý 4.2 Cho hàm số f xác định D  hàm nửa trơn U  D với đạo hàm Newton F Khi đó, với   , hàm số  f hàm nửa trơn U có đạo hàm Newton  F Chứng minh Vì F đạo hàm Newton f U nên với x  U , ta có: lim h 0 | f ( x  h)  f ( x )  F ( x  h) h |  |h| Do lim h 0 | ( f )( x  h)  ( f )( x)  ( F )( x  h)h |  0,   |h| Vậy hàm số  f hàm nửa trơn U có đạo hàm Newton  F Định lý 4.3 Cho f g xác định D  , g liên tục D g ( x)  (x  D) , hàm nửa trơn tập mở U  D với đạo hàm Newton tương f ứng F G Khi đó, hàm số h  f g k  g hàm nửa trơn U có đạo hàm Newton H  F g  f G K  F g  f G g2 Dương Xuân Hiệp, Phạm Quý Mười, Phan Đức Tuấn 98 Chứng minh Vì F G đạo hàm Newton f g U nên với x  U , ta có: | f ( x  h)  f ( x )  F ( x  h) h | lim 0 h 0 |h|  f ( x  h)  f ( x)  F ( x  h)h  o(h), | g ( x  h )  g ( x )  G ( x  h) h | lim 0 h 0 |h|  g ( x  h)  g ( x)  G ( x  h)h  o(h) Suy lim h 0 B  [ g  x  h   G  x  h  h  o  h   G  x  h     g  x  h F  x  h   f  x  h  G  x  h  h  o  h   H  x  h h  o h | h( x  h)  h( x )  H ( x  h ) h |  |h| Vậy H  F g  f G đạo hàm Newton hàm số h  f g U Tương tự ta chứng minh tính khả vi Newton cho k Ta có: f ( x  h) f ( x )  g ( x  h) g ( x ) ( g ( x  h) g ( x )  g ( x  h) g ( x ) ) [(F ( x  h) g ( x)  f ( x)G( x  h))h  o(h)] {[F ( x  h)( g ( x  h)  F ( x  h)h  o(h)) ] ( f ( x  h)  F ( x  h)h  o(h))G ( x  h) h  o(h)  } [ g ( x  h) F ( x  h)  f ( x  h).G ( x  h) g ( x  h) g ( x ) { } ( F ( x  h)  G ( x  h))o(h)]h  o(h)  ( g ( x  h) F ( x  h)  f ( x  h).G ( x  h))h g ( x  h) g ( x ) { } ( F ( x  h)  G ( x  h))o(h )  o(h)  ( F ( x  h) g ( x  h)  f ( x  h) G ( x  h))h  o(h) g ( x  h) g ( x ) [ ] | k ( x  h)  k ( x )  A |  0, h 0 |h| Do đó: lim hay lim h 0 h | k ( x  h)  k ( x )  K ( x  h) h |  |h| F g  f G g2 đạo hàm Newton hàm f g Kết luận Kết chủ yếu báo đưa điều kiện đủ cho tính khả vi Newton hàm max{ f ( x), g ( x)} số trường hợp đặc biệt Bài báo phát biểu chứng minh tính chất khả vi Newton tổng, hiệu, tích thương hai hàm khả vi Newton Đây kết cần thiết nghiên cứu đạo hàm Newton, Phương pháp Newton nửa trơn ứng dụng phương pháp vào giải toán cụ thể TÀI LIỆU THAM KHẢO  f ( x  h) g ( x )  f ( x ) g ( x  h ) g ( x  h) g ( x )  g ( x) với số k    f  x  h   F  x  h  h  o  h   G  x  h ]h  o  h  | k ( x  h)  k ( x )  B |  0, |h| F ( x  h) g ( x  h)  f ( x  h)G( x  h) Vậy K    g  x  F  x  h   f  x  G  x  h  h  o  h  k ( x  h)  k ( x )  Để ý g liên tục D nên liên tục U h0 h  x  h  h  x  f  x  h g  x  h  f  x  g  x  h 0 F ( x  h) g ( x  h)  f ( x  h)G( x  h) h g ( x  h) g ( x) lim g ( x  h)  g ( x) Thế biểu thức f ( x  h) g ( x  h) khai triển, ta có: Do lim với A  [1] Frank H Clarke, Optimization and Nonsmooth Analysis, The Society for Industrial and Appplied Mathematics, Philadelphia, 1990 [2] Ivar Ekeland and Roger Témam, Convex Analysis and Variational Problems, The Society for Industrial and Appplied Mathematics, Philadelphia,1999 [3] Liqun Qi and Defeng Sun, “A survey of some nonsmooth equations and smoothing Newton methods”, Progress in optimization, 30, 1999, pp 121-146 [4] R Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, 1970 [5] Pham Quy Muoi, Dinh Nho Hao, Peter Maass, and Michael Pidcock, “Semismooth Newton and Quasi-Newton methods in weighted l – regularization”, Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, 21(5), 2013, pp 665-693 [6] Pham Quy Muoi, Dinh Nho Hao, Peter Maass, and Michael Pidcock, “Descent gradient methods for nonsmooth minimization problems in ill-posed problems”, Journal of Computational and Applied Mathematics, 298, 2016, pp 105-122 [7] Xiaojun Chen, Zuhair Nashed, and Liqun Qi, “Smoothing methods and Semismooth methods for nondifferentiable operator equations”, SIAM Journal Numerical Analysis, 38(5), 2000, pp 1200-1216 [8] M HinterMuller, K Ito, and K Kunish, “The primal-dual active set strategy as a semismooth Newton method”, SIAM Journal on Optimization, 13(3), 2003, pp 865-888 [9] M HinterMuller, Semismooth Newton Method and Applications, Oberwolfach-Seminar on Mathematics of PDE-Constrained Optimization, November 2010 (BBT nhận bài: 12/6/2017, hoàn tất thủ tục phản biện: 24/8/2017) ... Vậy hàm số f  g hàm nửa trơn U có đạo hàm Newton F  G Chứng minh tương tự cho hàm f  g Định lý 4.2 Cho hàm số f xác định D  hàm nửa trơn U  D với đạo hàm Newton F Khi đó, với   , hàm số. .. g xác định D  , hàm nửa trơn tập mở U  D với đạo hàm Newton tương ứng F G Khi hàm số f  g f  g hàm nửa trơn U có đạo hàm Newton F  G F  G Chứng minh Vì F G Newton đạo hàm f g U nên với... tự Mệnh đề 3.4 Một số tính chất đạo hàm Newton Trong phần này, nhóm tác giả trình bày số kết liên quan đến tính khả vi Newton tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp hai hàm khả vi Newton rằng, tổng,