Về môđun cohen macaulay suy rộng

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH VÕ THỊ HUYỀN TRANG VỀ MÔĐUN COHEN-MACAULAY SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH VÕ THỊ HUYỀN TRANG VỀ MÔĐUN COHEN-MACAULAY SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 Người hướng dẫn khoa học TS ĐÀO THỊ THANH HÀ Nghệ An – 2014 LỜI NÓI ĐẦU Khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng đưa Nguyễn Tự Cường, Ngô Việt Trung P Schenzel (1978) Gốc rễ vấn đề D A Buchsbaum, đoán hiệu I  q; M  :  M / qM   e  q; M  đại lượng không đổi với iđêan tham số q M, e(q;M) số bội M q Điều nói chung không Tuy nhiên J Stuckrad W Vogel nhận thấy mơđun thỏa mãn điều có nhiều tính chất thú vị tương tự tính chất mơđun Cohen-Macaulay đặt tên môđun Buchsbaum ([7]) Dẫn đến [3] nghiên cứu mơđun M với tính chất I(M) := sup I(q;M)< q chạy suốt iđêan tham số M, mơđun CohenMacaulay suy rộng Lý thuyết môđun Buchsbaum phát triển nhanh đóng góp S Goto, P Schenzel, J Stuckrad, W Vogel Bên cạnh người ta thấy hầu hết tính chất hệ tham số môđun Buchsbaum với hệ tham số môđun Cohen-Macaulay suy rộng chứa lũy thừa bậc cao iđêan cực đại Chẳng hạn, M mơđun Cohen-Macaulay suy rộng, tồn số ngun dương n cho I(q; M) = I(M) với iđêan tham số q chứa mn M Mục đích [6] chứng minh hệ tham số chuẩn tắc có thơng tin quan trọng cấu trúc môđun Cohen-Macaulay suy rộng Luận văn nghiên cứu trình bày lại cách chi tiết vấn đề môđun Cohen Macaulay suy rộng tài liệu [6] Ngô Việt Trung Luận văn trình bày hai chương: Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, nhắc lại số khái niệm sở kết cần thiết sử dụng luận văn phân tích ngun sơ mơđun, chiều Krull mơđun, độ dài môđun, hệ tham số, số bội, dãy lọc qui (f-dãy), … Chương MƠĐUN COHEN-MACAULAY SUY RỘNG Trong chương chúng tơi trình bày vấn đề bản, hệ tham số chuẩn tắc iđêan chuẩn tắc cấu trúc môđun Cohen-Macaulay suy rộng Luận văn hoàn thành tháng 09 năm 2014 Trường Đại học Đồng Tháp hướng dẫn TS Đào Thị Thanh Hà Nhân dịp xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến cơ, người tận tình hướng dẫn tơi q trình học tập nghiên cứu Tôi xin chân thành cám ơn quý thầy cô giáo môn, thầy cô giáo khoa toán, khoa đào tạo Sau đại học – Trường Đại học Vinh, nhiệt tình giảng dạy, góp ý kiến tạo điều kiện cho tơi trình học tập thực luận văn Cuối xin chân thành cảm ơn gia đình, tập thể lớp Đại số Lý thuyết số khóa 20 Trường Đại học Vinh, bạn bè động viên giúp đỡ tơi q trình học tập hồn thành luận văn Trong trình làm luận văn việc xử lý văn chắn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Rất mong nhận góp ý thầy bạn để luận văn hoàn thiện xin chân thành cảm ơn Nghệ An, tháng 09 năm 2014 Tác giả MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Độ dài môđun 1.2 Chiều Krull 1.3 Hệ tham số Số bội 1.4 Dãy qui Dãy lọc qui 1.5 Iđêan nguyên tố liên kết 1.6 Môđun đối đồng địa phương 1.7 Môđun Cohen-Macaulay Chương MÔĐUN COHEN-MACAULAY SUY RỘNG 11 13 2.1 Những vấn đề môđun Cohen-Macaulay suy rộng 13 2.2 Hệ tham số chuẩn tắc 18 2.3 Iđêan chuẩn tắc 26 KẾT LUẬN 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong suốt luận văn, ln kí hiệu vành giao hốn, địa phương Noether với iđêan cực đại m M R-môđun hữu hạn sinh 1.1 Độ dài môđun 1.1.1 Định nghĩa Một R-môđun M khác môđun không gọi môđun đơn M có hai mơđun mơđun khơng 1.1.2 Định nghĩa Một dãy hợp thành R-môđun M dãy giảm gồm số hữu hạn môđun M  M  M1   M n  0 cho M i1 Mi môđun đơn, với i  1, 2, , n Khi số n gọi độ dài dãy hợp thành 1.1.3 Ví dụ (a) Một khơng gian véctơ có dãy hợp thành có chiều hữu hạn (b) Một khơng gian véctơ có dãy hợp thành với độ dài d có chiều d (c) Vành số nguyên -mơđun khơng có dãy hợp thành 1.1.4 Định lý Nếu R-mơđun M có dãy hợp thành với độ dài n, tất dãy hợp thành M có độ dài n Hơn nữa, dãy tăng giảm thực môđun M có độ dài khơng vượt q độ dài dãy hợp thành, mở rộng thành dãy hợp thành M Từ Định lý 1.1.4 ta có định nghĩa sau 1.1.5 Định nghĩa Độ dài dãy hợp thành tùy ý R-môđun M gọi độ dài môđun M kí hiệu R  M  đơn giản  M  Nếu R-mơđun M khơng có dãy hợp thành ta qui ước độ dài R  M    gọi mơđun có độ dài vơ hạn 1.1.6 Ví dụ (a) Độ dài khơng gian véctơ số chiều khơng gian véctơ (b)    (c)     (d)  /6   /6 có dãy hợp thành 02  dãy hợp thành 03  1.2 Chiều Krull 1.2.1 Định nghĩa Một dãy giảm iđêan nguyên tố vành R po  p1   pn gọi xích nguyên tố có độ dài n Cho p  Spec  R  , cận tất độ dài xích nguyên tố với p0  p gọi độ cao p, kí hiệu ht  p  Nghĩa ht  p   sup {độ dài xích nguyên tố với p0  p } Cho I iđêan R độ cao iđêan I định nghĩa sau ht  I   inf ht  p  / p  Spec  R  , p  I  Cận tất độ dài xích nguyên tố R gọi chiều Krull vành R, kí hiệu dim R hay dimK R Cho M R-Mơđun Khi dim R Ann M gọi chiều Krull mơđun M, R kí hiệu dim M hay dimK M Trong AnnR M  a  R / aM  0  a  R / ax=0,x  M iđêan R AnnR M gọi linh hóa tử mơđun M Từ ta có dim M  dim R 1.2.2 Ví dụ (a) Với K trường chiều Krull K K có hai iđêan (0) K, (0) iđêan nguyên tố K Vậy chiều Krull K dim K  (Nhớ xem K K-khơng gian véctơ dim K=1) (b) dim  (vì iđêan nguyên tố vành số nguyên với p số nguyên tố Hơn iđêan p xích nguyên tố p với p nguyên tố iđêan cực đại Từ có độ dài lớn có dạng  0  p  dim (c) Xét vành đa thức biến k  x, y, z  Ta có: dim k  x, y, z   ) x  z   1.3 Hệ tham số, số bội 1.3.1 Định nghĩa Cho  R, m  vành địa phương Noether, M R-môđun với dim M  d H ệ phần tử  x1 , , xd  m gọi hệ tham số M độ dài (M /( x1 , , xd )M )   iđêan q   x1 , , xd  R gọi iđêan tham số 1.3.2 Chú ý Hệ tham số môđun M tồn 1.3.3 Mệnh đề Cho  R, m  vành địa phương Noether x1 , , xd hệ tham số mơđun M Khi dim M x , , x M  d  i, 1  i  d  i 1.3.4 Ví dụ  x1 , , xd  hệ tham số vành chuỗi lũy thừa hình thức K  x1 , , xn  1.3.5 Định nghĩa Cho q iđêan tham số mơđun M Khi ta gọi   H q,M  n    M n   q M n hàm Hilbert-Samuel Khi n hàm trở thành đa thức, kí hiệu Pq ,M  n  Đa thức gọi đa thức Hilbert-Samuel 1.3.6 Nhận xét Ta có deg Pq,M  n   dim M  d Hơn d  n  d  n  1 d Pq , M  n   e0  q, M     e1  q, M       1 ed  q, M  (*)  d   d 1  e0  q, M  , e1  q, M  , , ed  q, M  số nguyên e0  q, M   Gọi a0 hệ số cao đa thức Pq,M  n  e0  q, M   a0 d ! 1.3.7 Định nghĩa (i) Số tự nhiên e0  q, M  khai triển (*) Pq,M  n  gọi số bội M iđêan tham số q (ii) Đặc biệt q  m ta kí hiệu số bội e  q, M   e0  q, M   e  M  gọi số bội môđun M 1.3.8 Ví dụ Số bội vành đa thức R  k  x1 , , xn  10 1.4 Dãy qui Dãy lọc qui 1.4.1 Định nghĩa Cho M R-môđun (i) Phần tử x  R , x  gọi ước M tồn phần tử mM ,m  cho xm  (ii) Phần tử x  R gọi M-chính qui M  xM x khơng ước M (iii) Một dãy  x1 , , xt  phần tử R gọi dãy qui M hay M-dãy M x , , x M   t 1.4.2 Định nghĩa Cho I  R iđêan Nếu x1 , , xt  I dãy qui dãy x1 , , xt  gọi dãy M-chính qui cực đại không tồn yI để  x1 , , xt , y dãy M-chính qui t gọi độ dài dãy Cho R vành địa phương I  R iđêan Khi độ dài hai dãy M-chính qui cực đại nằm iđêan I ln Vì ta có định nghĩa sau: 1.4.3 Định nghĩa Cho  R, m  vành địa phương Noether Khi độ dài dãy qui cực đại m kí hiệu depth  m, M  hay depth  M  gọi độ sâu môđun M 1.4.4 Chú ý Cho M R-môđun Ta ln có depth M  dim M 1.4.5 Định nghĩa Cho x  x1 , , xd  hệ tham số môđun M x gọi dãy lọc qui hay f-dãy  x1 , , xi 1  M :M xi   n 1  x1 , , xi 1  M :M mn   x1 , , xi 1  M :M mn0 , n0  0, i  1, ,d 19 2.1.11 Bổ đề Giả sử M môđun C-M suy rộng với d  Giả sử a phần hệ tham số M Khi M1 : M / aM môđun Cohen-Macaulay suy rộng với (i) ( H mi (M1 ))  ( H mi (M ))  ( H mi 1 (M )) với i  0, , d  (ii) I (M1 )  I (M ) Hơn nữa, dấu " =" đẳng thức (i) (ii) xảy aH mi (M )  0,  i = 0, ,d - Chứng minh Từ dãy đối đồng điều địa phương dãy khớp a  M / OM : a   M  M1  ta dễ dàng kết luận ( H mi (M1 ))  ( H mi (M ))  ( H mi 1 (M / OM : a)) với i  0, , d  Chú ý OM : a  H M0 (M ) (theo Bổ đề 2.1.4 (iv)) từ dãy  OM : a  M  M / OM : a  ta có H mi (M / OM : a)  H mi (M ) với i  Do (i) hiển nhiên Bây áp dụng Bổ đề 2.1.9 ta có d 2 d  d 2 d      i i i 1 I (M1 )    ( H ( M ))   m     ( H m ( M ))  ( H m ( M ))  i i i 0  i 0    d 1 d    i    ( H m ( M ))  I ( M ) i i 0   Dấu " = " xảy chi dãy  H mi (M )  H mi (M1 )  H mi 1 (M / OM : a)  20 khớp với i  0, , d  Trường hợp xảy H m0i (M / OM : a)  i i hay aH m0 (M )  , aH m (M / OM : a)  aH m (M )  với i  1, , d  □ 21 2.2 Hệ tham số chuẩn tắc 2.2.1 Định nghĩa a1 , , ad gọi hệ tham số chuẩn tắc M I (a12 , , ad2 ; M )  I (q; M ) Đây định nghĩa tiêu chuẩn hệ tham số chuẩn tắc có khác với phần giới thiệu báo đưa khái niệm tương tự với kết sau: 2.2.2 Định lý a1 , , ad hệ tham số chuẩn tắc M M môđun C-M suy rộng với I (M )  I (q; M ) Nói hơn, Định lý 2.2.2 tiêu chuẩn cho môđun Cohen-Macaulay suy rộng Để chứng minh Định lý 2.2.2 ta cần đến kết sau: 2.2.3 Bổ đề Giả sử a1 , , ad hệ tham số tùy ý M Khi đó: I (a1n1 , , adnd ; M )  I (a1m1 , , admd ; M ) với số nguyên dương n1  m1 , , nd  md Chứng minh Theo qui nạp, ta giả thiết ni  mi với i  d Khi ((a1n1 , , adnd11 )M : adnd /(a1n1 , , adnd11 )M )  ((a1n1 , , adnd11 )M : admd /(a1n1 , , adnd11 )M ), e(a1n1 , , adnd ;(a1n1 , , aini11 )M : aini / (a1n1 , , aini11 )M )  nd e(a1n1 , , add11, ad ;(a1n1 , , aini11 ) M : aini /(a1n1 , , aini11 ) M )  md e(a1n1 , , adnd11 , ad ;(a1n1 , , aini11 ) M : aini / (a1n1 , , aini11 ) M )  e(a1n1 , , adnd11 , admd ;(a1n1 , , aini11 ) M : aini /(a1n1 , , aini11 ) M ) với i  1, , d  Do đó, từ Chú ý 2.1.7 (1) ta có 22 I (a1n1 , , adnd ; M )  I (a1n1 , , adnd11 , admd ; M ) □ Bây ta chứng minh Định lý 2.2.2 () Từ Bổ đề 2.1.4 (iii) Bổ đề 2.1.9 ta cần chứng tỏ I (a1n1 , , adnd ; M )  I (q; M ) với số nguyên dương n1 , , nd Đầu tiên, sử dụng Bổ đề 2.2.3 định nghĩa hệ tham số chuẩn tắc ta có đẳng thức với n1 , , nd  1, 2 Nếu tồn số nguyên dương n1 , , nd cho I (a1n1 , , adnd ; M )  I (q; M ), ta có max n1 , , nd   Khơng tính tổng quát ta giả sử nd  max n1 , , nd   Khi theo qui nạp giả thiết thêm I (a1n1 , , adnd11 , ad ; M )  I (a1n1 , , adnd11 , adnd 1 ; M )  I (q; M ) Do dựa vào phần chứng minh Bổ đề 2.2.3 ta kết luận ((a1n1 , , adnd11 )M : ad /(a1n1 , , adnd11 )M )  ((a1n1 , , adnd11 )M : adnd 1 / (a1n1 , , adnd11 )M ), (*) e(a1n1 , , adnd11 , a d ;(a1n1 , , aini11 ) M : aini / (a1n1 , , aini11 ) M )  với i  1, , d  Từ đẳng thức (*) ta có: (a1n1 , , adnd11 )M : ad  (a1n1 , , adnd11 )M : adnd 1  (a1n1 , , adnd11 ) M : adnd , 23 áp dụng Chú ý 2.1.7 (1) I (a1n1 , , adnd ; M )  I (a1n1 , , adnd11 , ad ; M )  I (q; M ) (mâu thuẫn) 2 () Từ I (a1 , , ad ; M )  I (M )  I (q; M ) , áp dụng Bổ đề 2.2.3 ta có I (a12 , , ad2 ; M )  I (q; M ) □ Để trình rút gọn ta cần đến hệ sau Định lý 2.2.2 2.2.4 Hệ a1 , , ad hệ tham số chuẩn tắc M a1 , , ad hệ tham số chuẩn tắc M qM  H m0 (M )  Chứng minh Từ H m0 (M ) có độ dài hữu hạn, ta có e  q; M   e(q; M ) Vì I (q; M )  (M / qM  H m0 (M ))  e(q; M )  (M / qM )  (qM  H m0 (M ) / qM )  e(q; M )  I (q; M )  ( H m0 (M ) / qM  H m0 (M ))  I (q; M )  ( H m0 (M ))  (qM  H m0 (M )) Bây giờ, sử dụng mối quan hệ I (M )  I (M )  ( H m0 (M )) Bổ đề 2.1.10 (ii), ta dễ dàng có điều cần chứng minh  2.2.5 Hệ Giả sử M môđun Cohen-Macaulay suy rộng với d  Khi a1 , , ad hệ tham số chuẩn tắc M a2 , , ad hệ tham số chuẩn tắc M / a1M I (M / a1M )  I (M ) Chứng minh Từ Bổ đề 2.1.6 (ii) Bổ đề 2.1.11 ta có I (a2 , , ad ; M / a1M )  (qd 1M ; ad / M )  I (q; M ) Do từ Bổ đề 2.1.11 (ii) dễ dàng suy điều phải chứng minh  24 Bây ta chứng minh hệ tham số chuẩn tắc đặc trưng theo đối đồng điều địa phương 2.2.6 Định lý a1 , , ad hệ tham số chuẩn tắc M chi qH mi (M / q j M )  với số nguyên không âm i , j cho i  j  d Chứng minh Khơng tính tổng qt ta giả sử M môđun CohenMacaulay suy rộng Với d  , ta có: I (a1; M )  (OM : a1 ) I (a12 ; M )  (OM : a12 ) từ Bổ đề 2.1.6 (ii) Do a1 hệ tham số chuẩn tắc M OM : a1  OM : a12 , tương đương   n 1 n 1 OM : a1   OM : a1n  OM : mn  H m0 ( M ) Như ta chứng minh trường hợp d  Với d >1, đặt M1  a1 / M Nếu a1 , , ad hệ tham số chuẩn tắc M, a1 , , ad hệ tham số chuẩn tắc M theo Hệ 2.4 ta có I (M1 )  I (M ) Theo qui nạp ta có qH mi (M / q j M )  , với j  1, i  j  d Hơn từ Bổ đề 2.1.11 ta lại có a1H mi (M )  0, i= 0, , d 1 Do hốn vị a1 , , ad ta có qH mi (M )  với i  0, , d  Ngược lại 25 qH mi (M / q j M )  với i  j  d , theo qui nạp a2 , , ad hệ tham số chuẩn tắc M theo Bổ đề 2.1.11 ta có I (M1 )  I (M ) Do đó, từ Hệ 2.2.5 ta có a1 , , ad hệ tham số chuẩn tắc M M Brodmann gọi dãy b1 , , br phần tử m M-dãy m-chuẩn tắc b1 , , br M-dãy lọc qui (b1 , , br ) H mi (M / (b1 , , b j )M )  với số nguyên không âm i , j cho i  j  max n;  H  M    , t  n t m Do đó, từ Định lý 2.2.6 hệ tham số chuẩn tắc dãy m-chuẩn tắc Đó lý gọi "chuẩn tắc" Từ Định lý 2.2.6 ta có số hệ sau 2.2.7 Hệ Giả sử a1 , , ad hệ tham số chuẩn tắc M Khi (i) a1 , , ad d-dãy M, có nghĩa là: qi 1M : a j  qi 1M : ai2 , với i  1, , d j  i (ii) a1 , , ad M-dãy ngồi tuyệt đối, có nghĩa là: (q n1 , qi 1 )M :   qM  (q n , qi 1 )M , với n  , i  1, , d (iii)  qi 1M : a i   q(ai , , ad )n M  qi 1 (ai , , ad )n M , với n  , i  1, , d (iv) qi 1M : ain  qi 1M : qm , với n, m > 0, i  1, , d (v) (qn1 , qi 1 )M :  q n M   qi 1M :  , với n > 0, i  1, , d 26 Chứng minh Từ [8, Định lý 1.1 Hệ 1.2 (ii)], điều kiện (i) tới (iv) tương đương với qi 1 M :   qi 1 M : mn với i  1, , d n 1 kéo theo (v) Từ Bổ đề 2.1.4 (iv) đủ chứng tỏ qi 1M :   qi 1M : mn , n 1 dẫn đến kết sau H m0 (M / qi 1M )  Đặc biệt, hệ tham số chuẩn tắc có đặc trưng theo d-dãy sau 2.2.8 Mệnh đề a1 , , ad hệ tham số chuẩn tắc M chi từ hoán vị a1n , , adn d-dãy M với n1 , , nd {1, 2} d Chứng minh    Từ Định lý 2.2.6 Bổ đề 2.2.3 ta có I (M )  I (q; M )  I (a1n1 , , adnd ; M )  I (M ) Do a1n , , adn hệ tham số chuẩn tắc, từ theo Hệ 2.2.7 (i) d1 d dãy M   Từ [8, Định lý 1.1 (vii)] Chú ý 2.1.7 (2), a1n , , adn hệ tham số rút gọn d M Do sử dụng [8, Định lý 1.1 (vi)] ta có I (a1n1 , , adnd ; M )  ((a1n1 , , adnd11 ) M : adnd /(a1n1 , , adnd11 ) M ) = ((a1n , , adn1 )M : ad /(a1n , , adn1 )M ) d 1 = I (a1n , , adn1 , ad ; M ) d 1 d 1 27 Bây hoán vị a1 , , ad , ta dễ dàng chứng minh I (a12 , , ad2 ; M )  I (q; M ) 2.2.9 Chú ý Có nhiều tiêu chuẩn để a1 , , ad trở thành d-dãy M [8, Định lý 1.1] Một số tiêu chuẩn đơn giản sau: (1)  qi 1M :   qM  qi 1M với i  1, , d (2) qi 1M : ai2  qi 1M : q với i  1, , d (3) qi 1M :   qi 1M : mn với i  1, , d n 1 Ta chứng minh kết sau, với Định lý 2.2.2 số bất biến a1 , , ad liên quan tới M đạt giá trị cực đại a1 , , ad hệ tham số chuẩn tắc M 2.2.10 Hệ Giả sử M môđun Cohen-Macaulay suy rộng Khi  j  t ( H ( M / q j ; M ))     ( H m ( M )) t i  t  1 i j i m với số nguyên không âm i , j cho i  j  d Dấu " = " bất đẳng thức xảy với hoán vị a1 , , ad a1 , , ad hệ tham số chuẩn tắc M Chứng minh Với j = 0: hiển nhiên Với j > 0, từ Bổ đề 2.1.8 (i) ta có bất đẳng thức sau ( H mi (M / q j M ))  ( H mi (M / q j 1M ))  ( H mi 1 (M / q j 1M )) Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức ta có mệnh đề thứ 28 Hơn nữa, từ Bổ đề 2.1.8 với j  d i  0, , d  j 1 dấu " = "ở bất đẳng thức xảy với j  d cố định với i  0, , d  j  a j H mi (M / q j 1M )  □ 2.2.11 Mệnh đề Giả sử M môđun C-M suy rộng Giả sử 𝔞 i ( M ) kí hiệu linh d 1 hóa tử H (M ), i  0, , d  đặt 𝔞 M   ( M ) i m  d 1    i  Khi hệ tham số M i 0 chứa 𝔞 M chuẩn tắc Chứng minh Giả sử a1 , , ad hệ tham số M chứa 𝔞 M Từ Định lý 2.2.6 ta chứng tỏ a1 , , ad hệ tham số chuẩn tắc M, điều kiện đủ để chứng tỏ (M / q j M )  𝔞 M với số nguyên không âm i, j cho i  j  d Với j = 0: hiển nhiên Với j > 0, ta có: (M / q j M )  (M / q j 1M )ai 1 (M / a j 1M ) từ chứng minh Bổ đề 2.1.8 (i), sử dụng liên tiếp hệ thức này, ta có i j ( M / q j M )   at ( M ) t i  j   j   i  j   i  j   d  1         t  i  i  j t  i  j t   t   t   j     t i  𝔞M , 29 2.3 Iđêan chuẩn tắc Trong suốt phần này, M môđun Cohen-Macaulay suy rộng 𝔞 iđêan A với (M / 𝔞 M    2.3.1 Định nghĩa 𝔞 gọi iđêan M-chuẩn tắc với hệ tham số M chứa 𝔞 chuẩn tắc Khái niệm mở rộng khái niệm [2], iđêan chuẩn tắc có nghĩa iđêan sinh hệ tham số chuẩn tắc Hệ 2.3.5 Sự tồn iđêan chuẩn tắc bảo đảm Bổ đề 2.1.6 chi tiết từ Mệnh đề 2.2.11 Đặc biệt, M trở thành môđun Buchbaum đồng nghĩa với m M-chuẩn tắc Đầu tiên, ta thấy iđêan chuẩn tắc đặc trưng theo nghĩa d-dãy dãy yếu Và sau giới thiệu [8] sau 2.3.2 Định nghĩa Một dãy phần tử b1 , ,br A gọi M-dãy 𝔞-yếu  b1, , bi1  M : bi  b1, , bi1  M : 𝔞, i  1, , r Dãy m-yếu biết dãy yếu đóng vai trị quan trọng lý thuyết môđun Buchsbaum [5] 2.3.3 Mệnh đề Các điều kiện sau tương đương (i) 𝔞 M chuẩn tắc (ii) Mỗi hệ tham số M chứa 𝔞 M-dãy 𝔞-yếu; (iii) Mỗi hệ tham số M chứa 𝔞 d-dãy M Chứng minh (i)  (ii) Giả sử a1 , , ad hệ tham số tùy ý M chứa 𝔞 Giả sử S tập sinh 𝔞 cho tập d phần tử S  a1 , , ad  tạo thành hệ tham số M, tồn tập hợp S 30 dễ dàng chứng minh [4, Bổ đề 2] [7, Bổ đề 3] Khi từ Hệ 2.2.7 (iv) qi 1M :   qi 1M : a  qi 1M : 𝔞 với i  1, , d qi 1M : mn  n 1 aS (ii)  (iii) dựa vào [8, Mệnh đề 2.2] (iii)  (i) dựa vào Mệnh đề 2.2.8 Trong thực tế, đặc trưng sau iđêan chuẩn tắc tiện lợi Mệnh đề 2.3.5 phụ thuộc hệ hữu hạn phần tử Để làm cho mệnh đề đơn giản, ta gọi tập sinh hữu hạn S M-cơ sở 𝔞 tập d phần tử S hệ tham số M, xem [4, Bổ đề 2] [7, Bổ đề 3] tồn M-cơ sở 𝔞 2.3.4 Mệnh đề 𝔞 M-chuẩn tắc điều kiện sau tất tập d phần tử a1 , , ad  M-cơ sở 𝔞: (i) a1 , , ad hệ tham số chuẩn tắc M (ii) a1n , , adn M-dãy 𝔞-yếu với n1 , , nd {1, 2} d (iii) a1n , , adn d-dãy M với n1 , , nd {1, 2} d Chứng minh Từ 𝔞 M-chuẩn tắc theo Mệnh đề 2.3.3 ta có (ii) (ii)  (iii) hệ [8, Mệnh đề 2.2] (iii)  (i) dựa vào Mệnh đề 2.2.8 Bây giả sử (i) thỏa mãn Khi chứng tỏ với hệ tham số b1 , , bd M chứa 𝔞 chuẩn tắc Nếu d = 1, sử dụng Hệ 2.2.7 (iv) ta có 31 OM : b1  OM : 𝔞  aS 0M : a   n 1 0M : mn  0M : b1 Do OM : b1  H m0 (M ) Suy b1 hệ tham số chuẩn tắc M dựa vào Định lý 2.2.6 Nếu d >1, ta tìm thấy tập sinh S ' 𝔞 cho a1 , , ad 1 , b b1 , , bd 1 , b hệ tham số M với b  S ' a1 , , ad 1  S từ phương pháp [7, Bổ đề 3] Sử dụng Hệ 2.2.7 (iv), ta có qd 1M : b  qd 1M : 𝔞  qd 1M : a  aS  qd 1M : mn  qd 1M : b n 1 qd 1M : b   qd 1M : mn  qd 1M : ad n 1 Do từ Bổ đề 2.1.6 (ii) Định lý 2.2.2 I (a1 , , ad 1 , b; M )  (qd 1M ; b / qd 1M )  (qd 1M : ad / qd 1M )  I (q; M )  I (M ), nghĩa a1 , , ad 1 , b hệ tham số chuẩn tắc M Dựa vào Hệ 2.2.5 ta có a1 , , ad 1 hệ tham số chuẩn tắc M/bM I (M / bM )  I (M ) Bây giờ, theo qui nạp ta giả thiết 𝔞 M/bM-chuẩn tắc Khi I (b1 , , bd 1 , b; M )  I (M / bM )  I (M ), đồng nghĩa b1 , , bd 1 , b hệ tham số chuẩn tắc M Từ phần tử b sinh 𝔞, ta chứng minh tương tự trên, I (b1 , , bd 1 , b; M )  I (M ) □ 2.3.5 Hệ Mỗi iđêan A sinh hệ tham số chuẩn tắc M M-chuẩn tắc 32 KẾT LUẬN Luận văn trình bày lại kết sau: Một số tính chất mơđun Cohen-Macaulay suy rộng Các tính chất hệ tham số chuẩn tắc cấu trúc môđun CohenMacaulay suy rộng Những đặc trưng iđêan chuẩn tắc cấu trúc môđun CohenMacaulay suy rộng 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh [1] M Auslander, D A Buchsbaum (1958), Codimension and multicity, Ann Of Math., 68, 625-657 [2] M Brodmann (1980), Kohomologische Eigenschaften von Aufblasungen an lokal vollstandigen Durchschnitten, Habi.-Schrift, Miinster [3] N T Cuong, P Schenzel and N V Trung (1978), Verallgemeinerte CohenMacaula-Moduln, Math Nachr, 85, 57-73 [4] J Stuckrad (1980), Uber die Kohomologische charakterisierung von BuchsbaumModuln, Math Nachr, 95, 265-272 [5] J Stuckrad (1978), Toward a theory of Buchsbaum singularities, Amer J Math., 100, 727-746 [6] N V Trung (1986), Toward a theory of generalized Cohen-Macaulay modules, Nagoya Math J., Vol.102, 1-49 [7] N V Trung (1980), Some criteria for Buchsbaum modules, Monatsh Math., 90, 331-337 [8] N V Trung (1983), Absolutely superficial sequence, Math Proc Cambridge Phil Soc.,93, 35-47 ... Chương MÔĐUN COHEN- MACAULAY SUY RỘNG 2.1 Những vấn đề môđun Cohen- Macaulay suy rộng 2.1.1 Định nghĩa M gọi môđun Cohen- Macaulay suy rộng I M    2.1.2 Mệnh đề M môđun Cohen- Macaulay suy rộng. .. y, z  -môđun môđun Cohen- Macaulay suy rộng (b) Mọi môđun Cohen- Macaulay môđun Cohen- Macaulay suy rộng Chứng minh Theo Mệnh đề 1.7.3 Định nghĩa 2.1.1 Mơđun Cohen- Macaulay suy rộng đặc trưng nhiều... mơđun Cohen- Macaulay suy rộng kết sau: 2.1.8 Bổ đề [3, (3.8)] Giả sử A vành thương vành Cohen- Macaulay Khi M f -mơđun M môđun Cohen- Macaulay suy rộng Sau số tính chất môđun Cohen- Macaulay suy rộng: