Về môđun cohen macaulay suy rộng chính tắc và một số quỹ tích không cohen macaulay trên vành noether địa phương

B¸GI ODƯCV I H¯C TH I NGUY N OT O LìU PHìèNG TH O V M UN COHEN-MACAULAY SUY RáNG CH NH T C V MáT Să QUò T CH KH˘NG COHEN-MACAULAY TR N V NH NOETHER LU N ÀA PHìèNG NTI NS TO NHC TH INGUY N-N M2019 BáGI ODƯCV I H¯C TH I NGUY N OT O L×U PHìèNG TH O V M UN COHEN-MACAULAY SUY RáNG CH NH T C V MáT Să QUò T CH KHNG COHEN-MACAULAY TR N V NH NOETHER A PHìèNG Chuyản ng nh: i s v Lỵ thuyt s M s: 46 01 04 LU N NTI NS TO NH¯C NG×˝I HìNG D N KHOA HC: GS TS Lả Th Thanh Nh n TS Trƒn Nguy¶n An TH INGUY N-N M2019 Tâm t›t Cho (R; m) l v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng, M l R-mỉ un hœu h⁄n sinh câ chi•u Krull dim M = d: Q t‰ch khỉng Cohen-Macaulay ca M, kỵ hiằu nCM(M), l cĂc i ¶an nguy¶n tŁ p cıa R cho M p khỉng l Cohen-Macaulay Khi R l th÷ìng cıa mºt v nh Gorenstein àa ph÷ìng, M câ mỉ un ch‰nh t›c K M : Ta nâi M l Cohen-Macaulay ch‰nh t›c (t÷ìng øng Cohen-Macaulay suy rºng ch‰nh t›c) n‚u mỉ un ch‰nh t›c KM cıa M l Cohen-Macaulay (t÷ìng øng Cohen-Macaulay suy rng) Lun Ăn nghiản cứu v mổ un Cohen-Macaulay suy rºng ch‰nh t›c v mºt sŁ quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay: quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay nCM(M); quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay nCM(KM ); v q t‰ch khỉng Cohen-Macaulay theo chi•u > s ca M; kỵ hiằu l nCM>s(M): Trong lun Ăn, chúng tổi c trững cĐu trúc ca mổ un Cohen-Macaulay suy rºng ch‰nh t›c Chóng tỉi l m rª mŁi quan h» giœa quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay cıa mæ un ch‰nh t›c K M v quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay cıa M: Chóng tỉi cơng nghi¶n cøu t“p i ¶an nguy¶n tŁ g›n k‚t, chi•u v sŁ bºi cıa mỉ un i ỗng iu a phữỡng Artin qua chuyn phflng, t õ ữa cổng thức tnh chiu ca qu tch khổng Cohen-Macaulay theo chiu > s: Lun Ăn ữổc chia th nh ch÷ìng Ch÷ìng nh›c l⁄i mºt sŁ ki‚n thøc cì sð v• mỉ un Cohen-Macaulay, mỉ un Cohen-Macaulay suy rºng, mæ un Artin, mæ un ch‰nh t›c v mổ un khuyt Trong Chữỡng 2, chúng tổi giợi thi»u kh¡i ni»m h» tham sŁ ch‰nh t›c, ch¿ mŁi quan h» giœa h» tham sŁ ch‰nh t›c v h» tham sŁ chu'n t›c Chóng tỉi thi‚t l“p °c tr÷ng cıa mỉ un Cohen-Macaulay suy rºng ch ‰nh t›c thæng qua h» tham sŁ ch‰nh t›c v c£i tin cĂc kt quÊ trữợc Ơy v cĐu trúc ca mỉ un Cohen-Macaulay suy rºng ch‰nh t›c Trong Ch÷ìng 3, chúng tổi ữa mi liản hằ gia chiu ca quÿ t ‰ch khæng Cohen-Macaulay cıa mæ un M v chi•u cıa q t‰ch khỉng Cohen-Macaulay cıa mỉ un ch‰nh t›c K M : °c bi»t hìn, chóng tỉi ch¿ r‹ng, ngo i mŁi quan h» bao h m nCM(K M ) nCM(M) th… hai quÿ t‰ch n y hu nhữ l c lp vợi Trong Chữỡng 4, chóng tỉi l m rª sü thay Œi cıa t“p i ảan nguyản t gn kt, chiu v s bi ca mổ un i ỗng iu a phữỡng Artin qua chuy”n phflng ’ : Rp ! RbP; â P Spec(Rb) v p = P \ R: Sß dưng k‚t qu£ n y, chóng tỉi ÷a cỉng thøc t‰nh chi•u cıa q t‰ch khỉng Cohen-Macaulay theo chi•u > s: Líi cam oan Tỉi xin cam oan ¥y l cỉng tr…nh nghi¶n cøu cıa tỉi C¡c k‚t qu£ vi‚t chung vợi cĂc tĂc giÊ khĂc  ữổc sỹ nhĐt tr ca ỗng tĂc giÊ trữợc ữa v o lu“n ¡n C¡c k‚t qu£ n¶u lu“n ¡n l trung thỹc v chữa tng ữổc cổng b bĐt ký mºt cỉng tr…nh n o kh¡c T¡c gi£ L÷u Ph÷ìng Th£o Líi c£m ìn Tỉi xin b y tä lặng bit ỡn vổ hn tợi cổ giĂo knh yảu cıa tỉi GS TS L¶ Thà Thanh Nh n Cỉ  tn tnh ch bÊo, hữợng dÔn tổi t nhng ng y ƒu ti¶n t“p l m nghi¶n cøu khoa hồc Vợi tĐt cÊ nim am mả nghiản cứu khoa hồc v tƠm huyt ca ngữới thy, cổ  truyn thư cho tỉi khỉng ch¿ v• tri thøc to¡n håc m cặn v phữỡng phĂp nghiản cứu, cĂch phĂt hiằn v giÊi quyt vĐn Cổ l tĐm gữỡng sĂng cho lợp hồc trặ chúng tổi phĐn Đu noi theo v nhng nỉ lỹc vữổt qua khõ khôn t tỵi th nh cỉng Tỉi cơng xin b y tä lặng bit ỡn sƠu sc tợi thy giĂo hữợng dÔn thø hai cıa tỉi - TS Trƒn Nguy¶n An Thƒy  luổn quan tƠm, ng viản, kh ch lằ v hØ trỉ tỉi suŁt qu¡ tr…nh håc t“p, nghi¶n cøu Tỉi xin tr¥n trång c£m ìn GS TSKH Nguy„n Tỹ Cữớng Thy l ngữới u tiản giÊng dy cho tỉi nhœng ki‚n thøc v• ⁄i sŁ giao ho¡n tł nhng ng y tổi cặn l hồc viản cao hồc Cho tợi nay, tổi hồc nghiản cứu sinh, thy vÔn luổn quan tƠm, giúp ù v ng viản tổi suŁt qu¡ tr…nh håc t“p Tỉi xin tr¥n trång c£m ìn Ban gi¡m hi»u, PhỈng o t⁄o Sau ⁄i håc, Khoa To¡n Tin, Tr÷íng ⁄i håc Khoa håc - i hồc ThĂi Nguyản  to mồi iu kiằn thun lỉi cho tỉi håc t“p Tỉi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban gi¡m hi»u tr÷íng ⁄i håc S÷ ph⁄m - i hồc ThĂi Nguyản  cho tổi cỡ hi ÷ỉc i håc t“p v nghi¶n cøu °c bi»t, tỉi xin b y tä lỈng bi‚t ìn ‚n Ban chı nhiằm Khoa ToĂn, cĂc thy cổ giĂo v ỗng nghiằp TŒ H…nh håc - ⁄i sŁ, Khoa To¡n, Tr÷íng i hồc Sữ phm  quan tƠm ng viản v gióp ï nhi•u m°t thíi gian tỉi l m nghi¶n cøu sinh Tỉi xin c£m ìn chà Nguy„n Th Kiu Nga, em Trn ỉ Minh ChƠu cĂc anh chà em nhâm seminar ⁄i sŁ ⁄i håc ThĂi Nguyản  luổn ỗng h nh tổi, ng viản, khch lằ, chia sã vợi tổi hồc cơng nh÷ cuºc sŁng Tỉi xin b y tä lặng bit ỡn sƠu sc tợi nhng ngữới thƠn gia nh ca mnh, c biằt l B mà, Chỗng v hai Con trai yảu quỵ,  luổn ng viản, chia s· khâ kh«n v ln mong mäi tỉi th nh cổng õ l nguỗn ng viản rĐt lợn, giúp tổi vữổt qua khõ khôn tổi cõ th ho n th nh lu“n ¡n n y T¡c gi£ L÷u Ph÷ìng Th£o Mưc lưc Mð ƒu Ch÷ìng Ki‚n thøc chu'n bà 18 1.1 Mæ un Cohen-Macaulay v Cohen-Macaulay suy rºng 18 1.2 Mæ un Artin 21 1.3 Mæ un ch‰nh t›c v mæ un khuy‚t 25 Ch÷ìng Mỉ un Cohen-Macaulay suy rºng ch‰nh t›c 28 2.1 H» tham sŁ ch‰nh t›c 29 2.2 Mæ un Cohen-Macaulay suy rºng ch‰nh t›c 35 Ch÷ìng Quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay cıa mæ un ch‰nh t›c 46 3.1 Mºt sŁ t‰nh ch§t qua chuy”n phflng 47 3.2 Quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay cıa mæ un ch‰nh t›c 51 Chữỡng i ỗng iu a phữỡng Artin qua chuyn phflng v q t‰ch khỉng Cohen-Macaulay theo chi•u > s 58 4.1 I ¶an nguy¶n tŁ g›n k‚t cıa mỉ un Łi ỗng iu a phữỡng qua chuyn phflng 59 4.2 Chi•u v bºi qua chuy”n phflng 64 4.3 Quÿ t‰ch khỉng Cohen-Macaulay theo chi•u > s qua chuy”n phflng 70 K‚t lu“n 77 T i li»u tham kh£o 79 Mð ƒu Cho (R; m) l mºt v nh giao hoĂn Noether a phữỡng vợi m l i ảan cüc ⁄i nh§t, M l R-mỉ un hœu h⁄n sinh câ chi•u Krull dim M = d Ta ln cõ mi liản hằ gia hai bĐt bin sƠu v chiu ca M ữổc cho bi cổng thức depth M dim M N‚u depth M = dim M th… M ÷ỉc gåi l mỉ un Cohen-Macaulay Khi R l R-mæ un Cohen-Macaulay, th… ta nâi R l v nh Cohen-Macaulay Lỵp mỉ un Cohen-Macaulay v c¡c mð rºng cıa chúng  thu hút sỹ quan tƠm nghiản cứu ca nhiu nh toĂn hồc trản th giợi CĐu trúc ca nhng lợp mổ un n y  ữổc c trững qua hu ht lỵ thuyt quen bit ca i s giao hoĂn (s bi, i ỗng iu a phữỡng, a ph÷ìng hâa, ƒy ı hâa, ) C¡c mỉ un n y xuĐt hiằn nhiu lắnh vỹc khĂc ca ToĂn hồc nhữ i s ỗng iu, Lỵ thuyt bĐt bi‚n, TŒ hæp v H…nh håc ⁄i sŁ Lu“n ¡n liản quan n hai hữợng m rng lợp mổ un CohenMacaulay sau Ơy M rng thứ nhĐt l dỹa theo hi»u sŁ I(x; M) giœa º d i ‘(M=xM) v sŁ bºi e(x; M) vỵi x l h» tham sŁ ca M: Chú ỵ rng M l Cohen-Macaulay nu v ch¿ n‚u I(x; M) = vỵi mºt (ho°c vỵi måi) h» tham sŁ x Tł â, mºt gi£ thuy‚t ÷ỉc °t bði D A Buchsbaum [11] n«m 1965 nh÷ sau: I(x; M) := ‘(M=xM) e(x; M) l mºt h‹ng sŁ khỉng phư thuºc v o h» tham sŁ x cıa M C¥u tr£ líi phı ành cho gi£ thuy‚t ÷ỉc W Vogel v J Stuckrad [51] ÷a nôm 1973, v hồ  nghiản cứu lợp v nh v mổ un thọa mÂn iu kiằn ca giÊ thuyt, ÷æc gåi l v nh v mæ un Buchsbaum [42] Nôm 1978, N T Cữớng, P Schenzel v N V Trung [48]  giợi thiằu mt m rng ca lợp mỉ un Buchsbaum, â l lỵp mỉ un M thäa mÂn iu kiằn sup I(x; M) < 1, õ cn trản lĐy theo mồi hằ tham s x ca M, v hå gåi chóng l mỉ un Cohen-Macaulay suy rºng Ng y nay, kh¡i ni»m mæ un Buchsbaum v mổ un Cohen-Macaulay suy rng  tr nản rĐt quen bi‚t ⁄i sŁ giao ho¡n Ti‚p töc mð rng theo hữợng n y, ta ữổc lợp mổ un Cohen-Macaulay theo chiu > s; vợi s l s nguyản (xem [45]) Chú ỵ rng M l Cohen-Macaulay nu v ch¿ n‚u nâ l Cohen-Macaulay theo chi•u > 1: Khi R l th÷ìng cıa v nh Cohen-Macaulay, th… M l Cohen-Macaulay suy rºng n‚u v ch¿ n‚u M l Cohen-Macaulay theo chiu > 0: Hữợng m rng thứ hai ca lợp mổ un Cohen-Macaulay l dỹa v o cĐu tróc cıa mỉ un ch‰nh t›c, tr÷íng hỉp R l Ênh ỗng cĐu ca mt v nh Gorenstein a phữỡng (R0; m0) chiu n0: Vợi mỉi s nguyản i n i i i 0; °t K := Ext (M; R ): Khi â K l R-mæ un hœu h⁄n sinh M v R M ÷ỉc gåi l mæ un khuy‚t thø i cıa M: °c bi»t, vợi i = d ta kỵ hiằu d KM := KM v gåi l mæ un ch‰nh t›c cıa M: Khi KM l CohenMacaulay, ta nâi M l l Cohen-Macaulay chnh tc Chú ỵ rng nu M mổ un Cohen-Macaulay th… KM cơng l mỉ un Cohen-Macaulay V… th‚, lỵp mæ un Cohen-Macaulay ch‰nh t›c l mºt mð rºng cıa lỵp mỉ un Cohen-Macaulay Kh¡i ni»m v nh v mỉ un Cohen-Macaulay ch‰nh t›c xu§t ph¡t tł b i to¡n sau: GiÊ sò (R; m) l mt nguyản, a phữỡng Kỵ hiằu Q(R) l trữớng cĂc thữỡng ca R: CƠu họi tỹ nhiản t l tỗn ti hay khæng mºt v nh trung gian R B Q(R) cho B l R-mæ un hœu h⁄n sinh v B l v nh Cohen-Macaulay? V nh B nhữ trản (nu tỗn ti) ữổc gồi l Macaulay hõa song hu t cıa R: ¥y l b i to¡n quan trång i s giao hoĂn Nôm 2004, P Schenzel [38]  chứng minh rng mt nguyản Noether a phữỡng R câ Macaulay hâa song hœu t n‚u v ch¿ n‚u R l v nh Cohen-Macaulay ch‰nh t›c N«m 2006, L T Nh n [33]  ữa mt c trững cıa mæ un Cohen-Macaulay ch‰nh t›c thæng qua t‰nh tri»t tiảu ca d i thng ca mổ un i ỗng iu a phữỡng ứng vợi hằ tham s l f-dÂy cht giợi thiằu [15] Tip theo, 74 Zariski, xem [17, H» qu£ 4.2(iv)] Trong tr÷íng hỉp s 0, quÿ t‰ch nCM>s(M) nh…n chung khæng âng k” c£ R l ƒy ı, xem [34, M»nh • 4.3(iii)] Tuy nhiản, nCM>s(M) luổn n nh vợi php c biằt hõa Do õ ta cõ th nh nghắa chiu ca nâ dim nCM>s(M) = maxfdim R=p j p nCM>s(M)g: nh lỵ sau Ơy l kt quÊ chnh tip theo cıa Ch÷ìng v l k‚t qu£ ch‰nh cuŁi còng cıa lu“n ¡n, â chóng tỉi ch¿ mŁi quan hằ gia dim nCM>s(Mp) v dim nCM>s(MP): nh lỵ 4.3.7 Cho s l c mºt sŁ nguy¶n, R l rP = dim(RP=pRP): Khi â Cohen-Macaulay àa ph÷ìng Gi£ sò P b R thữỡng ca mt v nh Spec( b) v p = P \ R: °t b (a) nCM>s(Mp) 6= ; n‚u v ch¿ n‚u dim nCM>s(McP) rP; (b) N‚u nCM>s(Mp) 6= ;, th… dim nCM>s(McP) = dim nCM>s(Mp) + rP: Chøng minh (a) Gi£ sß r‹ng nCM>s(Mp) 6= ;: Khi â ta câ th” chån qRp nCM>s(Mp) cho dim nCM>s(Mp) = dim(Rp=qRp): Suy M q khổng l Cohen-Macaulay theo chiu > s LĐy Q Var(qR) cho = dim RQ=QRQ = 0: b Q P: Khi â rQ = dim RQ=qRQ Theo nh b b b b Q khổng l lỵ 4.3.4(b) ta câ M Cohen-Macaulay theo chi•u > s Suy P c QR nCM>s(MP): Do â b M P) dim( RP =QRP) = dim( R=Q ) dim( R=P ) c b dim nCM >s ( c b = dim(R=q) dim(R=p) + rP = dim(Rp=qRp) + rP = dim nCM>s(Mp) + rP Ngữổc li, giÊ sò dim nCM>s(McP) rP: V… rP b b rP: n¶n nCM>s(McP) 6= ; Suy tỗn ti QRbP nCM>s(McP) cho dim(RbP=QRbP) rP: Chó r‹ng McQ khỉng l Cohen-Macaulay theo chi•u > s Do õ theo B 4.3.2, ta thĐy ch câ th” x£y mºt hai tr÷íng hỉp sau: ỵ 75 Trữớng hổp 1: Tỗn ti i ảan nguyản tŁ Q1RbQ AssRbQ (McQ) cho s < dim RbQ=Q1RbQ < dim McQ; Trữớng hổp 2: Tỗn ti i ¶an nguy¶n tŁ Q1RbQ SuppRbQ (McQ) cho dim RbQ=Q1RbQ > s v McQ1 khæng l Cohen-Macaulay GiÊ sò trữớng hổp xÊy Khi õ Q1RbP AssRbP (McP) V… dim(RbP=QRbP) rP; n¶n ta câ s + rP s + dim(RbP=QRbP) < dim RbP=Q1RbP < dim McQ + dim(RbP=QRbP) dim McP: Suy McP khæng l Cohen-Macaulay theo chi•u > s + r P (theo B 4.3.2) Theo nh lỵ 4.3.4(b), ta cõ M p khỉng l Cohen-Macaulay theo chi•u > s Do â, nCM>s(Mp) 6= ;: GiÊ sò trữớng hổp xÊy Khi â Q1RbP SuppRbP (McP) cho dim RbP=Q1RbP> s + dim(RbP=QRbP) s + rP McQ1 khæng l Cohen-Macaulay Suy theo BŒ • 4.3.2, McP khỉng l Cohen-Macaulay theo chiu > s + rP Theo chứng minh trản, ta câ v nCM>s(Mp) 6= ;: (b) ÷ỉc Tł giÊ thit nCM>s(Mp) 6= ;, chứng minh tữỡng tỹ ỵ (a) ta suy dim nCM>s(McP) dim nCM>s(Mp) + rP: Ng÷ỉc li, v nCM>s(Mp) 6= ; nản theo (a), tỗn ti i ¶an nguy¶n tŁ QRbP nCM>s(McP) cho dim nCM>s(McP) = dim(RbP=QRbP) rP: V… McQ khæng l Cohen-Macaulay theo chiu > s, nản McQ khổng l CohenMacaulay t q = Q \ R: Theo nh lỵ 4.3.4(a) ta suy Mq khæng l Coheni Macaulay °t k := maxi k v Mq khỉng l Cohen- Macaulay theo chi•u > k T nh lỵ 4.3.4(b) suy rng Mc Q l 76 1: D„ d ng Cohen-Macaulay theo chi•u > k + rQ: Do â s k + rQ ki”m tra ÷æc r‹ng = dim(RP=QRP) = P dim(R=p) dim(Rp=qRp) = dim(R=q) Q dim(R=Q) + r rP + r Q dim(R=P) + r b b = V… dim nCM>s(MP) giœa q v p c dim( cho rQ: Do Mq khæng l b b P P Q c : dim nCM>s(M ) r + r rP nản tỗn ti i ảan nguy¶n tŁ p1 cıa R n‹m ) p 1Rp) = dim nCM>s( P r P v ht( =q ) = p R =p M >k Cohen-Macaulay theo chi•u c nản theo B 4.3.2 ta suy rng Mp1 khỉng l Cohen-Macaulay theo chi•u > k 1+rQ: V… s k + rQ n¶n Mp1 khỉng l Cohen-Macaulay theo chi•u > s: Suy p1Rp nCM>s(Mp): Do dim nCM>s(Mp) dim â, Rp=p1Rp = dim nCM>s(McP) rP: K‚t lun Chữỡng Trong chữỡng n y, chúng tổi  thu ữổc cĂc kt quÊ sau Ơy Ch mi li¶n h» giœa c¡c t“p i ¶an nguy¶n tŁ g›n kt ca cĂc PRbP PRbP mổ un i ỗng iu àa ph÷ìng Artin H i+rP (McP) v i HR (Mp) p p ữa cổng thức tnh chiu v s bi ca Hi+rP (McP) tữỡng ứng thổng qua chiu v sŁ bºi cıa HiR (Mp) p p Nghi¶n cøu t‰nh Cohen-Macaulay v tnh Cohen-Macaulay theo chiu > s qua ỗng cĐu phflng : Rp ! RbP ữa cổng thức liản hằ gia chiu ca cĂc qu tch khổng Cohen-Macaulay theo chiu > s qua ỗng cĐu phflng ’ : R p ! RbP 77 K TLU NCÕALU N Trong lu“n ¡n n y chóng tỉi N  thu ữổc nhng kt quÊ sau Giợi thiằu h» tham sŁ ch‰nh t›c v ch¿ mŁi quan h» giœa h» tham sŁ chu'n t›c vỵi h» tham sŁ ch‰nh t›c cıa mºt mæ un M: Thi‚t l“p °c tr÷ng cıa mỉ un Cohen-Macaulay suy rºng ch‰nh t›c qua h» tham sŁ f-d¢y ch°t v °c bi»t l c trững qua sỹ tỗn ti hằ tham s chnh tc hoĂn v ữổc ( nh lỵ 2.2.4) ữa mi liản hằ gia chiu ca qu tch khổng Cohen-Macaulay cıa mỉ un M v chi•u cıa q t‰ch khæng Cohen-Macaulay cıa mæ un ch‰nh t›c KM : °c bi»t hìn, chóng tỉi ch¿ r‹ng, ngo i mŁi quan h» bao h m nCM(KM ) nCM(M) th… hai qu tch n y hu nhữ l c lp vợi ( nh lỵ 3.2.1) L m rê mi li¶n h» giœa c¡c t“p i ¶an nguy¶n tŁ g›n k‚t, chi•u v sŁ bºi cıa c¡c mỉ un Łi ỗng iu a phữỡng Artin HpiRp (Mp) v Hi+rP (McP) PRbP ( nh lỵ 4.1.3, nh lỵ 4.2.1, nh lỵ 4.2.3) Nghi¶n cøu t‰nh Cohen-Macaulay v t‰nh Cohen-Macaulay theo chiu > s; ỗng thới ữa cổng thức liản h» v• chi•u cıa c¡c q t‰ch khỉng Cohen-Macaulay theo chiu > s qua chuyn phflng ( nh lỵ 4.3.4, nh lỵ 4.3.7) 78 Danh sĂch cĂc cổng trnh li¶n quan ‚n lu“n ¡n T N An, L T Nhan and L P Thao, "Non Cohen-Macaulay locus of canonical modules" J Algebra, 525 (2019), 435-453 L T Nhan, L P Thao and T N An, "Local cohomology modules via certain flat extension rings", J Algebra, 503 (2018), 340-355 L P Thao, "Non Cohen-Macaulay in dimension > s locus", Journal of Science and Technology - TNU, 192(16) (2018), 23-28 C¡c k‚t qu£ lu“n ¡n ¢ ÷æc b¡o c¡o v th£o lu“n t⁄i - Seminar ⁄i s v Lỵ thuyt s h ng tun ca i håc Th¡i Nguy¶n - Hºi th£o li¶n k‚t Vi»t - Nht, ThĂi Nguyản, 01/2017 - Hi ngh Quc t v i s giao hoĂn, Th nh ph Hỗ Ch Minh, 9/2017 - Hi thÊo "Mt s vĐn chồn lồc ⁄i sŁ àa ph÷ìng", H⁄ Long Qu£ng Ninh, 12/2017 - ⁄i hºi To¡n håc to n quŁc lƒn thø IX, Nha Trang - Kh¡nh HỈa, 8/2018 - Hºi nghà NCS chuyản ng nh i s v Lỵ thuyt s, Trữớng i hồc Khoa hồc - i hồc ThĂi Nguyản, 01/2019 - Hºi th£o "Mỉ un tr¶n v nh giao ho¡n v ¡p dưng", Tuƒn Ch¥u - Qu£ng Ninh, 5/2019 T i li»u tham kh£o Ti‚ng Anh [1] T N An, L T Nhan and L P Thao, "Non Cohen-Macaulay locus of canonical modules", J Algebra, 525 (2019), 435-453 [2] D D Anderson and M Winders, "Idealization of a module", J Com-mutative Algebra, (2009), 1-55 [3] Y Aoyama, "On the depth and the projective dimension of the canon-ical module", Japan J Math., (1980), 61-66 [4] Y Aoyama and S Goto, "On the endomorphism ring of the canonical module", J Math Kyoto Univ., 25 (1985), 21-30 [5] M Brodmann and L T Nhan, "On canonical Cohen-Macaulay mod-ules", J Algebra, 371 (2012), 480-491 [6] M Brodmann and L T Nhan, "A finiteness result for associated primes of certain Ext-modules", Comm Algebra, 36 (2008), 15271536 [7] M Brodmann and C Rotthaus, "A peculiar unmixed domain", Proc Amer Math Soc., (4)87 (1983), 596-600 [8] M Brodmann and R Y Sharp, Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press, 1998 [9] M Brodmann and R Y Sharp, "On the dimension and multiplicity of local cohomology modules", Nagoya Math J., 167 (2002), 217-233 [10] W Bruns and J Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge Univer-sity Press, 1993 81 [11] D A Buchsbaum, Complexes in local ring theory, In: Some aspects of ring theory, C I M.E., Rome, 1965 [12] N T Cuong, "On the least degree of polynomials bounding above the differences between lengths and multiplicities of certain systems of parameters in local rings", Nagoya Math J., 125 (1992), 105-114 [13] N T Cuong, D T Cuong and H L Truong, "On a new invariant of finitely generated modules over local rings", Journal of Algebra and Its Applications, (2010), 959-976 [14] N T Cuong, M Morales and L T Nhan, "On the length of generalized fractions", J Algebra, 265 (2003), 100-113 [15] N T Cuong, M Morales and L T Nhan, "The finiteness of certain sets of attached prime ideals and the length of generalized fractions", J Pure Appl Algebra, 189 (2004), 109-121 [16] N T Cuong and L T Nhan, "On the Noetherian dimension of Artinian modules", Vietnam J Math., 30 (2002), 121-130 [17] N T Cuong, L T Nhan and N T K Nga, "On pseudo supports and non Cohen-Macaulay locus of a finitely generated module", J Algebra, 323 (2010), 3029-3038 [18] T D Dung and L T Nhan, "A uniform bound of reducibility index of good parameter ideals for certain class of modules", J Pure Appl Algebra, To appear [19] S Goto, "On Buchsbaum ring", J Algebra, 67 (1980), 272-279 [20] S Goto and L T Nhan, "On the sequentially polynomial type of modules", J Math Soc Japan, 70 (2018), 363-383 [21] R Hartshorne, Residues and duality, Lect Notes in Math., 20, Berlin Heidelberg New York, Springer-Verllo, 1966 [22] T Kawasaki, "On arithmetic Macaulayfication of Noetherian rings", Trans AMS., 354 (2002), 123-149 [23] D Kirby, "Artinian modules and Hilbert polynomials", Quart J Math Oxford, (2)24 (1973), 47-57 82 [24] D Kirby, "Dimension and length of Artinian modules", Quart J Math Oxford, (2)41 (1990), 419-429 [25] N T H Loan, "On canonical modules of idealizations", Journal of Commutative Algebra, (2017), 107-117 [26] N T H Loan and L T Nhan, "On generalized Cohen-Macaulay canonical modules", Comm Algebra, 41 (2013), 4453-4462 [27] I G Macdonald, "Secondary representation of modules over a com-mutative ring", Symposia Mathematica, 11 (1973), 23-43 [28] I G Macdonald and R Y Sharp, "An elementary proof of the nonvanishing of certain local cohomology modules", Quart J Math Ox-ford, (2)23 (1972), 197-204 [29] H Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press, 1986 [30] M Nagata, Local rings, Interscience, New York, 1962 [31] L T Nhan, L P Thao and T N An, "Local cohomology modules via certain flat extension rings", J Algebra, 503 (2018), 340-355 [32] L T Nhan and T D M Chau, "Noetherian dimension and colocalization of Artinian modules over local rings", Algebra Colloquium, (4)21 (2014), 663-670 [33] L T Nhan, "A remark on the monomial conjecture and CohenMacaulay canonical modules", Proc Amer Math Soc., 134 (2006), 2785-2794 [34] L T Nhan, N T K Nga and P H Khanh, "Non Cohen-Macaulay locus and non generalized Cohen-Macaulay locus", Comm Algebra, 42 (2014), 4414-4425 [35] L T Nhan and P H Quy, "Attached primes of local cohomology modules under localization and completion", J Algebra, 420 (2014), 475-485 [36] R N Roberts, "Krull dimension for Artinian modules over quasi local commutative rings", Quart J Math Oxford, (2)26 (1975), 269-273 83 [37] P Schenzel, "Standard systems of parameters and their blowing-up :: rings", Journal fur die reine und angewandte Mathematik, 344 (1983) 201-220 [38] P Schenzel, "On Birational Macaulayfications and CohenMacaulay canonical modules", J Algebra, 275 (2004), 751-770 [39] R Y Sharp, "Some results on the vanishing of local cohomology mod-ules", Proc London Math Soc., 30 (1975), 177-195 [40] R Y Sharp, "On the attached prime ideals of certain Artinian local cohomology modules", Proc Eidinburgh Math Soc., 24 (1981), 9-14 [41] R Y Sharp and M A Hamieh, "Lengths of certain generalized frac-tions", J Pure Appl Algebra, 38 (1985), 323-336 [42] J Stuckrad and W Vogel, Buchsbaum rings and applications, Spinger-Verlag, 1986 [43] L P Thao, "Non Cohen-Macaulay in dimension > s locus", Journal of Science and Technology - TNU, 192(16) (2018), 23-28 [44] N V Trung, "Toward a theory of generalized Cohen-Macaulay mod-ules", Nagoya Math J., 102 (1986), 1-49 [45] N Zamani, "Cohen-Macaulay modules in dimension > s and results on local cohomology", Comm Algebra, 37 (2009), 1297-1307 Ti‚ng Ph¡p [46] A Grothendieck, Elements de geometrie algebrique, Publ Math IHES, 1965 [47] J P Serre, "Faisceaux algebriques coherents", Ann Math., 61 (1955), 197-278 Ti‚ng [48] øc N T Cuong, P Schenzel, N V Trung, "Verallgemeinerte CohenMacaulay moduln", Math Nachr., 85 (1978), 57-73 84 [49] P Schenzel, Dualisierende Komplexe in der lokalen Algebra und Buchsbaum-Ringe, Lecture notes in Mathematics, 907, SpringerVerlag, 1982 :: [50] P Schenzel, "Einige Anwendungen der lokalen dualitat und verallge-meinerte Cohen-Macaulay moduln", Math Nachr., 69 (1975), 227-242 [51] J Stuckrad and W Vogel, "Eine Verallgemeinerung der Multiplicitats theorie", J Math Kyoto Univ., 13 (1973), 513-528 ... M l Cohen- Macaulay ch‰nh t›c (t÷ìng øng Cohen- Macaulay suy rºng ch‰nh t›c) n‚u mỉ un ch‰nh t›c KM cıa M l Cohen- Macaulay (t÷ìng øng Cohen- Macaulay suy rng) Lun Ăn nghiản cứu v mổ un Cohen- Macaulay. .. Cohen- Macaulay suy rºng ch ‰nh t›c n‚u KM l Cohen- Macaulay suy rng Mửc ch ca Chữỡng 11 l nghiản cứu c§u tróc cıa mỉ un Cohen- Macaulay suy rºng ch‰nh t›c Trữợc ht ta ỵ rng M l Cohen- Macaulay suy. .. [45]) Chú ỵ rng M l Cohen- Macaulay n‚u v ch¿ n‚u nâ l Cohen- Macaulay theo chi•u > 1: Khi R l th÷ìng cıa v nh Cohen- Macaulay, th… M l Cohen- Macaulay suy rºng n‚u v ch¿ n‚u M l Cohen- Macaulay theo chiu