Một số bài toán về điều kiện dãy nguyên tố trên vành Noether, địa phương

Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 Tính bão hòa nguyên tố 4 1.1 Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Tính bo hòa nguyên tố của môđun Artin . . . . . . . . . 5 1.3 Chiều Noether và tính bo hòa nguyên tố . . . . . . . . . 9 1.4 Tính bo hòa nguyên tố của H d m (M) . . . . . . . . . . 11 2 Tính catenary phổ dụng và tính không trộn lẫn 15 2.1 Đặc trng tính bo hoà nguyên tố của H i m (M) . . . . . . 16 2.2 Tính catenary phổ dụng và tính không trộn lẫn . . . . . . 23 3 Quỹ tích không Cohen-Macaulay 27 3.1 Một số tính chất của giả giá . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2 Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay qua giả giá . . . 30 3.3 Quỹ tích không Cohen-Macaulay và điều kiện Serre . . . 35 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1 2 Mở đầu Các bài toán về điều kiện dy nguyên tố đ đợc quan tâm từ những năm 1930. Bài toán đầu tiên là xét tính catenary của các vành giao hoán. Nhắc lại rằng một vành gọi là catenary nếu giữa hai iđêan nguyên tố lồng nhau bất kì luôn tồn tại một dy nguyên tố bo hòa và mọi dy nguyên tố bo hòa nh thế đều có chung độ dài. Lớp vành catenary đầu tiên đợc khám phá bởi W. Krull từ năm 1937, ông chỉ ra rằng mọi đại số hữu hạn sinh trên một trờng là catenary. Những công trình tiếp theo của W. Krull, M. Nagata, I. S. Cohen, D. Ferand và M. Raynaud, L. J. Ratliff, R. Heitmann, M. Brodmann về tính catenary đ làm giàu đẹp lí thuyết này, nó cho thấy sự liên quan chặt chẽ với nhiều lĩnh vực khác của Đại số Giao hoán nh vành định chuẩn, môđun Cohen-Macaulay tối đại, vành Rees, vành phân bậc liên kết, các phơng pháp đồng điều, các mở rộng vành siêu việt Phát triển lí thuyết vành catenary là lí thuyết vành catenary phổ dụng, vành tựa không trộn lẫn và vành không trộn lẫn. Các lí thuyết này đóng vai trò đặc biệt quan trọng trong Đại số giao hoán, nhất là trong lí thuyết vành giao hoán. Cho đến nay, việc nghiên cứu tính catenary, tính catenary phổ dụng, tính tựa không trộn lẫn, tính không trộn lẫn và những bài toán liên quan cho các vành vẫn rất đợc quan tâm bởi nhiều nhà toán học trên thế giới. Đặc biệt, gần đây Nguyễn Tự Cờng, Nguyễn Thị Dung và Lê Thanh Nhàn [CDN] đ thông qua nghiên cứu môđun Artin đối đồng điều địa phơng cấp cao nhất với giá cực đại để đặc trng tính catenary cho các vành Noether và giá không trộn lẫn của các môđun hữu hạn sinh. Mục đích của đề tài này là phát triển các kết quả trên của Nguyễn Tự Cờng, Nguyễn Thị Dung và Lê Thanh Nhàn [CDN] cho những bài toán 3 về điều kiện dy nguyên tố khác nh xét tính catenary phổ dụng, tính tựa không trộn lẫn, tính không trộn lẫn của các vành Noether địa phơng, đồng thời xét một số bài toán liên quan nh công thức bội liên kết cho môđun đối đồng điều địa phơng, tính đóng của các tập giả giá và tính đóng của quỹ tích không Cohen-Macaulay. Công cụ nghiên cứu của đề tài là dùng những tính chất đặc thù của tất cả các môđun đối đồng điều địa phơng với giá cực đại. Đề tài gồm 3 chơng. Chơng I nói về tính chất bo hòa nguyên tố của môđun Artin, đặc biệt là môđun đối đồng điều địa phơng với giá cực đại nhằm phục vụ cho việc trình bày các kết quả cho 2 chơng sau. Chơng 2 đặc trng tính bo hòa nguyên tố cho các môđun đối đồng điều địa phơng, từ đó xét tính catenary, catenary phổ dụng, tính không trộn lẫn của các vành Noether địa phơng. Nh một ứng dụng, trong Chơng 2 còn trình bày công thức bội liên kết cho các môđun đối đồng điều địa phơng. Chơng 3 nghiên cứu tính đóng của quỹ tích không Cohen-Macaulay thông qua các tập giả giá, qua các điều kiện Serre và tính không trộn lẫn của vành. Chơng 1 Tính bão hòa nguyên tố Trong suốt chơng này, cho (R, m) là một vành Noether địa phơng với iđêan tối đại duy nhất m, cho A là R-môđun Artin và M là R-môđun hữu hạn sinh. Với mỗi iđêan I của R ta kí hiệu V (I) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa I. 1.1 Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin Trớc hết ta nhắc lại một số kết quả về lý thuyết biểu diễn thứ cấp cho các môđun Artin đợc giới thiệu bởi I. G. Macdonad [Mac]. Lí thuyết này đợc xem nh là đối ngẫu với lí thuyết phân tích nguyên sơ cho môđun Noether: Nhắc lại rằng, một R-môđun L đợc gọi là thứ cấp nếu phép nhân bởi r trên L là toàn cấu hoặc lũy linh với mọi r R. Trong trờng hợp này, tập các phần tử r R sao cho phép nhân bởi r trên L là lũy linh lập thành một iđêan nguyên tố p của R và ta gọi L là p-thứ cấp. Macdonald [Mac] đ chỉ ra rằng mỗi môđun Artin A đều có một biểu diễn thứ cấp A = A 1 + . . . + A n trong đó A i là p i thứ cấp với mọi i = 1, . . . , n. Trong trờng hợp các A i là không thừa (tức là A = j=i A j với mọi i = 1, . . . , n) và các iđêan nguyên tố p i là phân biệt thì biểu diễn thứ cấp này đợc gọi là tối thiểu. Khi đó tập {p 1 , . . . , p n } không phụ 4 5 thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A và đợc kí hiệu bởi Att R A. Tập Att R A đợc gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của A. 1.1.1. Bổ đề. [Mac]. Tập các phần tử tối thiểu của Att R A chính là tập các iđêan nguyên tố tối thiểu chứa Ann R A. Đặc biệt, Rad(Ann R A) = pAtt R A p. Ta cũng biết rằng mỗi Rmôđun Artin A có cấu trúc tự nhiên là Rmôđun, và với cấu trúc này mỗi tập con của A là Rmôđun con nếu và chỉ nếu nó là Rmôđun con. Điều này cho thấy các dàn môđun con của A xét nh Rmôđun và Rmôđun là nh nhau. Do đó A là Rmôđun Artin. Quan hệ giữa các tập Att R A và Att R A đợc cho bởi công thức sau đây. 1.1.2. Bổ đề. (xem [Sh]). Att R A = { p R : p Att R A}. 1.2 Tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin Trớc hết ta xét một tính chất cơ sở của các môđun hữu hạn sinh M nh sau: Giả sử p là iđêan nguyên tố của R chứa Ann R M. Khi đó p Supp M và do đó M p = 0. Theo Bổ đề Nakayama ta suy ra (M/pM) p = M p /pM p = 0. Vì thế p Supp(M/pM), tức là p Ann R (M/pM). Vì vậy ta luôn có Ann R (M/pM) = p với mọi iđêan nguyên tố p Ann R M. Rất tự nhiên, theo suy nghĩ đối ngẫu, N. T. Cuong và L. T. Nhan [CN] đ xét tính chất sau đối với các môđun Artin A: Ann R (0 : A p) = p với mọi iđêan nguyên tố p Ann R A. () 6 Tuy nhiên tính chất (*) lại không đúng cho các môđun Artin A (xem Ví dụ 1.2.3). Vì thế ta có định nghĩa sau đây. 1.2.1. Định nghĩa. Môđun A đợc gọi là có tính chất bo hòa nguyên tố nếu nó thỏa mn tính chất (*). 1.2.2. Chú ý. Giả sử R là đầy đủ theo tôpô madic. Khi đó đối ngẫu Matlis D(A) của A là R-môđun hữu hạn sinh. Chú ý rằng Ann R A = Ann R D(A). Vì thế áp dụng tính chất linh hoá tử cho môđun D(A) ta có Ann R (0 : A p) = Ann R (D(0 : A p)) = Ann R (D(A)/pD(A)) = p với mọi iđêan nguyên tố p Ann R A = Ann R D(A). Do vậy mọi môđun Artin trên vành địa phơng đầy đủ đều bo hoà nguyên tố. Với mỗi số nguyên i, môđun đối đồng điều địa phơng thứ i với giá cực đại H i m (M) của M luôn là R-môđun Artin (xem [BS]). 1.2.3. Ví dụ. [CN, Ví dụ 4.4]. Tồn tại một môđun Artin trên vành Noether địa phơng không bo hoà nguyên tố. Chứng minh. Gọi (R, m) là miền Noether địa phơng chiều 2 đợc xây dựng bới D. Ferrand và M. Raynaud [FR] thoả mn tính chất tồn tại một iđêan nguyên tố nhúng q Ass R với dim R/ q = 1. Khi đó H 1 m (R) là môđun Artin và ta có đẳng cấu các Rmôđun H 1 m (R) = H 1 m ( R). Theo [Sh1, Hệ quả 4.9]) ta suy ra q Att R H 1 m ( R) . Theo Bổ đề 1.1.2 ta suy ra q R Att R H 1 m (R) . Chú ý rằng Ass R = { p R : p Ass R} (xem [Mat, Định lí 12]). Vì thế ta có q R Ass R. Do R là miền nguyên nên Ass R = {0}. Do đó 0 = q R Att R (H 1 m (R)). Vì thế Ann R H 1 m (R) = pAtt R (H 1 m (R)) p q R = 0. 7 Chọn A = H 1 m (R). Khi đó A là Rmôđun Artin. Lấy tuỳ ý một iđêan nguyên tố p của R sao cho p = 0 và p = m. Ta đ chứng minh ở trên rằng Ann R A = 0. Do đó p Ann R A. Lấy 0 = x p. Xét dy khớp 0 R x R R/xR 0. Dy này cảm sinh dy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phơng 0 H 0 m (R/xR) H 1 m (R) x H 1 m (R). Suy ra H 0 m (R/xR) = 0 : H 1 m (R) x = 0 : A x. Vì H 0 m (R/xR) là Rmôđun có độ dài hữu hạn nên 0 : A x có độ dài hữu hạn. Do x p nên 0 : A p 0 : A x và do đó 0 : A p có độ dài hữu hạn. Vì thế Ann R 0 : A p là iđêan mnguyên sơ, điều này chứng tỏ Ann(0 : A p) = p. Vậy A không bo hoà nguyên tố. Ta luôn có Supp M = { p R : p Supp M}. Vì M là hữu hạn sinh nên Supp M = V (Ann R M). Tơng tự, vì M là R-môđun hữu hạn sinh nên Supp M = V (Ann R M). Do đó ta có V (Ann R M) = { p R : p V (Ann R ( M)}. Hơn nữa, nh đ nhắc ở tiết trên, mỗi Rmôđun Artin A đều có cấu trúc tự nhiên là Rmôđun Artin. Vì thế, rất tự nhiên chúng ta hỏi rằng liệu đẳng thức V (Ann R A) = { p R : p V (Ann R A} là xảy ra cho môđun Artin A. Dới đây chúng ta chỉ rằng đẳng thức này xảy ra khi và chỉ khi A bo hoà nguyên tố. 1.2.4. Mệnh đề. Các điều kiện sau là tơng đơng: (i) A bo hoà nguyên tố. (ii) V (Ann R A) = { p R : p V (Ann R A)}. 8 Chứng minh. (i)(ii). Cho p V (Ann R A). Khi đó tồn tại một iđêan nguyên tố tối thiểu q chứa Ann R A sao cho p q. Chú ý rằng q Att R A. Ta có Att R A = { p R : p Att R A}. Vì thế q R Att R A. Suy ra q R V (Ann R A) và vì thế ta suy ra p R V (Ann R A). Do đó V (Ann R A) { p R : p V (Ann R A)}. Ngợc lại, cho p V (Ann R A). Theo giả thiết (i), A bo hoà nguyên tố. Vì thế Ann R (0 : A p) = p. Rõ ràng mọi iđêan nguyên tố chứa Ann R (0 : A p) đều phải chứa p, do đó p là iđêan nguyên tố bé nhất chứa Ann R (0 : A p). Theo Bổ đề 1.1.1 ta suy ra p Att R (0 : A p). Lại vì Att R (0 : A p) = { p R : p Att R (0 : A p)} nên tồn tại iđêan nguyên tố p Att R (0 : A p) sao cho p R = p. Vì p Att R (0 : A p) nên p Ann R (0 : A p). Vì thế p V (Ann R A) và p R = p, tức là V (Ann A) { p R : p V (Ann R A)}. (ii)(i). Cho p V (Ann A). Theo giả thiết (ii), tồn tại iđêan nguyên tố p V (Ann R A) sao cho p R = p. Vì mọi môđun Artin A trên vành đầy đủ R đều bo hoà nguyên tố nên ta có Ann R (0 : A p) = p. Lại do p R p nên ta có p Ann R (0 : A p) = Ann R (0 : A p R) Ann R (0 : A p) R = p R = p. Suy ra Ann(0 : A p) = p. 9 1.3 Chiều Noether và tính bão hòa nguyên tố Trong tiết này chúng ta xét mối quan hệ giữa tính bo hòa nguyên tố của môđun Artin với chiều Noether của nó, đồng thời trình bày một số tính chất về hệ tham số cho môđun Artin sẽ đợc dùng trong chứng minh các kết quả của Chơng 2. Nhắc lại rằng khái niệm chiều Krull cho môđun Artin đợc giới thiệu bởi R. N. Roberts [Ro] năm 1975, sau đó đợc D. Kirby [K2] năm 1990 đổi tên thành chiều Noether để tránh nhầm lẫn với khái niệm chiều Krull đ quen biết cho các môđun hữu hạn sinh. Trong suốt luận văn này, chúng tôi dùng thuật ngữ chiều Noether của Kirby [K2]. 1.3.1. Định nghĩa. Chiều Noether của A, kí hiệu bởi N-dim R A, đợc định nghĩa bằng quy nạp nh sau: Khi A = 0, ta đặt N-dim R A = 1. Cho d 0 là một số nguyên không âm. Ta đặt N-dim R A = d nếu N-dim R A < d là sai và với mỗi dy tăng các môđun con A 0 A 1 . . . của A, tồn tại một số tự nhiên n 0 sao cho N-dim R (A n /A n+1 ) < d với mọi n > n 0 . Từ định nghĩa của chiều Noether ta thấy ngay rằng N-dim R A = 0 nếu và chỉ nếu A = 0 và (A) < . Hơn nữa, nếu 0 A A A 0 là một dy khớp các Rmôđun Artin thì N-dim R A = max{N-dim R A , N-dim R A }. R. N. Roberts [Ro] và D. Kirby [K,K1] đ chỉ ra nhiều tính chất đẹp của môđun Artin tơng tự nh các tính chất về chiều Krull cho các môđun hữu hạn sinh trên vành địa phơng, đặc biệt là kết quả duới đây cho ta 03 điều kiện tơng đơng về chiều Noether cho các môđun Artin 10 1.3.2. Mệnh đề. Nếu q là iđêan sao cho (0 : A q) < thì có một đa thức Q(n) với hệ số hữu tỷ sao cho R (0 : A q n+1 ) = Q(n) khi n 0 và N-dim R A = deg( R (0 : A q n+1 )) = inf{t 0 : x 1 , . . . , x t m : R (0 : A (x 1 , . . . , x t )R) < }. Mệnh đề 1.3.2 cho phép ta định nghĩa khái niệm hệ tham số cho môđun Artin. 1.3.3. Định nghĩa. Một hệ (x 1 , . . . , x d ) gồm d = N-dim A phần tử của m đợc gọi là hệ tham số của A nếu (0 : A (x 1 , . . . , x d )R) < . Một hệ (x 1 , . . . , x i ) với i d, các phần tử của m đợc gọi là phần hệ tham số của A nếu ta có thể bổ sung thêm các phần tử x i+1 , . . . , x d của m sao cho (x 1 , . . . , x d ) là hệ tham số của A. Một phần tử x m đợc gọi là phần tử tham số của A nếu có thể bổ sung thêm N-dim R A 1 phần tử trong m để đợc một hệ tham số của A. Từ Mệnh đề 1.3.2 ta suy ra kết quả sau đây. 1.3.4. Hệ quả. Nếu d = N-dim R A > 0 thì N-dim R (0 : A x) N-dim R A 1, x m và đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu x là phần tử tham số của A. Tơng tự, với i d ta có N-dim R (0 : A (x 1 , . . . , x i ) N-dim R A i, x 1 , . . . , x i m đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu x 1 , . . . , x i là phần hệ tham số của A. Kí hiệu dim R A = dim(R/ Ann R A). Khi đó N-dim R A = 0 nếu và chỉ nếu dim R A = 0, nếu và chỉ nếu A có độ dài khác 0 và hữu hạn, nếu và chỉ nếu R/ Ann R A là vành Artin. Trờng hợp tổng quát ta chỉ có [...]... Noether địa phơng (R, m) chiều 3 sao cho R l miền nguyên v R/pR có một iđêan nguyên tố nhúng với một iđêan nguyên tố p Spec R đây l phản ví dụ cho câu hỏi trên của Nagata Với miền nguyên n y, ta có thể chỉ ra 2 rằng Hm (R) không b o ho nguyên tố Vì thế điều ngợc lại của Định lí 2.2.1 không đúng 25 Kết quả sau cho ta một tiêu chuẩn về tính không trộn lẫn của v nh R/p với một số iđêan nguyên tố p Supp... dim(R/p)=d Một kết quả quan trọng trong [CDN] nói rằng môđun đối đồng điều địa phơng cấp cao nhất l b o ho nguyên tố nếu v chỉ nếu giá không trộn lẫn UsuppR M l catenary Chú ý rằng ngay cả khi v nh l catenary thì các mô đun đối đồng điều địa phơng bậc nhỏ hơn d vẫn có thể không b o ho nguyên tố Điều n y l động cơ dẫn ta nghĩ đến việc nghiên cứu tính b o ho nguyên tố cho các mô đun đối đồng điều bậc thấp... i nguyên tố cho Hm (M ), từ đó mở rộng công thức bội liên kết ở trên cho i trờng hợp: mọi môđun đối đồng điều địa phơng Hm (M ) đều b o ho nguyên tố 2.1.1 Định lý Cho số nguyên i 0 Các điều kiện sau l tơng đơng: i (i) Hm(M ) l b o ho nguyên tố i (ii) Var AnnR (Hm (M )) = Psuppi M R Nếu các điều kiện (i), (ii) đều thoả m n thì psdi M = psdi M = i N-dimR (Hm(M )) v tập hợp {p Psuppi M : dim(R/p) = psdi... nếu dim(R/p) = d với mọi iđêan nguyên tố p Ass M, v M l tựa không trộn lẫn nếu M l đẳng chiều Trong tiết n y, chúng ta xem xét tính b o ho nguyên tố của tất cả các i môđun đối đồng điều địa phơng Hm (M) với bậc i < d, từ đó chúng ta nhạn đợc một số kết quả về tính catenary phổ dụng v tính không trộn lẫn của các v nh địa phơng i 2.2.1 Định lý Giả sử Hm (M ) b o ho nguyên tố với mọi i < d Khi đó R/p l... l nghiên cứu tính b o ho nguyên tố cho đồng loạt các môđun đối đồng điều địa phơng i Hm (M) với i = 0, 1, , d 1 Kết quả thu đợc l tính catenary phổ dụng của v nh thơng R/ AnnR M v tính không trộn lẫn của một số v nh địa phơng R/p với p SuppR M i 2.1 Đặc trng tính bão ho nguyên tố của Hm (M) Trong tiết n y, cho M l R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d Cho i 0 l một số nguyên Theo Brodmann v Sharp... catenary của v nh R/ AnnR M , điều kiện Serre trên M v tính không trộn lẫn của một số miền nguyên R/p với p SuppR (M ) Các kết quả thu đợc chỉ ra rằng thậm chí v n cơ sở có thể xấu, thậm chí các tập giả giá có thể không đóng, nhng việc nghiên cứu các tập giả giá vẫn cho ta nhiều thông tin hữu ích về M v v nh cơ sở R 3.1 Một số tính chất của giả giá Cho i 0 l một số nguyên Nhắc lại rằng giả giá thứ... 2.1.1, nếu Hm (M ) b o ho nguyên tố thì Psuppi M l đóng Điều ngợc lại chỉ đúng khi i = d theo hệ quả trên, nhng nó không đúng với i bất kì Chẳng hạn, cho R l miền nguyên chiều 2 xây dựng bởi Ferrand v Raynaud [FR] sao cho dim(R/q) = 1 với một iđêan nguyên tố liên kết q Ass R Khi đó Psupp0 R = , Psupp1 R = {m}, 1 Psupp2 R = Spec R, tất cả đều đóng, nhng Hm(R) không b o ho nguyên tố 23 2.2 Tính catenary... sử Hm (M ) b o ho nguyên tố Cho p idim(R/p) Psuppi M Khi đó HpRp R idim(R/p) tố qRp AttRp HpRp (Mp ) = 0 Vì thế tồn tại một iđêan nguyên (Mp ) với một iđêan nguyên tố q p i Theo [BS, 11.3.8] ta suy ra q AttR (Hm (M)) Vì thế ta có p q i i AnnR (Hm(M )) Suy ra Psuppi M Var AnnR (Hm (M )) R i i Cho p Var AnnR (Hm (M )) Khi đó AnnR 0 :Hm (M ) p = p vì i i Hm (M) b o ho nguyên tố Suy ra min Var... Cohen-Macaulay thì Psuppi M = R Var(ai (M )) với mọi số nguyên i Từ Bổ đề 3.3.1 cùng với các kết quả đ chứng minh trong 2 tiết trớc ta có các tính chất sau đây, trong số đó một số tính chất đ đợc chứng minh cho trờng hợp v nh cơ sở l thuơng của một v nh Gorenstein địa phơng (xem [Sh, Mệnh đề 3.8], [Sch1, Hệ quả 3,6], [C, Định lí 1.2] 36 3.3.2 Hệ quả Cho i 0 l một số nguyên Giả sử R/ AnnR M l catenary phổ dụng... tính chất b o hòa nguyên tố l đủ để đẳng thức về chiều ở trên xảy ra 1.3.5 Mệnh đề [CN] (i) N-dimR A dim(R/ Ann A) (ii) Nếu A b o hòa nguyên tố thì N-dimR A = dimR A Nhắc lại rằng A có cấu trúc tự nhiên nh l Rmôđun Artin v các d n môđun con của A xét nh Rmôđun v xét nh Rmôđun l nh nhau Vì thế từ định nghĩa chiều Noether ta có N-dimR A = N-dimR A Vì mọi Rmôđun Artin A đều b o ho nguyên tố nên theo Mệnh . bài toán về điều kiện dy nguyên tố đ đợc quan tâm từ những năm 1930. Bài toán đầu tiên là xét tính catenary của các vành giao hoán. Nhắc lại rằng một vành gọi là catenary nếu giữa hai iđêan nguyên. Ann R (D(A)/pD(A)) = p với mọi iđêan nguyên tố p Ann R A = Ann R D(A). Do vậy mọi môđun Artin trên vành địa phơng đầy đủ đều bo hoà nguyên tố. Với mỗi số nguyên i, môđun đối đồng điều địa phơng thứ i với giá cực. bo hoà nguyên tố. 2.1.1. Định lý. Cho số nguyên i 0. Các điều kiện sau là tơng đơng: (i) H i m (M) là bo hoà nguyên tố. (ii) Var Ann R (H i m (M)) = Psupp i R M. Nếu các điều kiện (i), (ii)