Một số bài toán trên bàn cờ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ HƯƠNG MAI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRÊN BÀN CỜ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ HƯƠNG MAI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRÊN BÀN CỜ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. TẠ DUY PHƯỢNG Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan i Lời nói đầu 1 1 Một số bài toán trên bàn cờ 3 1.1 Bài toán tám quân hậu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Bài toán m quân hậu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Bài toán quân mã đi tuần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Tìm hiểu về bài toán quân mã đi tuần . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Phương pháp Warnsdorff tìm lộ trình Hamilton . . . . . . . . 13 1.2.3 Một số phương pháp tìm chu trình Hamilton trong bàn cờ . . . 15 1.3 Đôminô và Pôlyminô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.1 Khái niệm pôlyminô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.2 Một số bài toán về đôminô và triminô . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.3 Một số bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 Đa thức xe 33 2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Đa thức xe cho bàn cờ hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 i Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại Khoa Sau đại học, Trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Tạ Duy Phượng. Nhân dịp này, tôi xin gửi lời cảm ơn tới PGS.TS. Tạ Duy Phượng, người Thầy đã hướng dẫn tôi trong suốt quá trình tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu và thực hiện luận văn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên đã trang bị cho tôi những kiến thức toán trong chương trình cao học. Xin được cám ơn gia đình, bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khoá học cao học và viết luận văn. i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đa được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. 1 Lời nói đầu Cờ vua là một trò chơi gắn kết cuộc sống và hoạt động của con người từ thời cổ đại. Tuy nhiên các bài toán toán học trên bàn cờ có lẽ mới chỉ được hình thành và nghiên cứu khoảng vài trăm năm trở lại đây. Với sự phát triển của công nghệ thông tin, các bài toán trò chơi lại nhận được sự quan tâm mới, liên quan đến thuật toán, lập tr ình, lời giải tối ưu, Nhiều bài toán trò chơi, trong đó có các bài toán trò chơi trên bàn cờ (đôminô, bài toán tám quân hậu, bài toán quân mã đi tuần,. . . ) đã khơi nguồn sáng tạo cho nhiều nhà khoa học để từ đó nhiều ngành toán học mới (xác suất, lý thuyết đồ thị, lý thuyết trò chơi, giải trí toán học,. . .) ra đời và phát triển. Mục đích của luận văn là tìm hiểu một số bài toán trò chơi cổ điển trên bàn cờ, như bài toán tám quân hậu, bài toán quân mã đi tuần, bài toán đôminô, và tìm hiểu lý thuyết đa thức xe và áp dụng của lý thuyết này vào một số bài toán tổ hợp. Trong khuôn khổ của một luận văn chuyên ngành toán sơ cấp, chúng tôi giới hạn trình bày nội dung lý thuyết tương đối gần và có thể áp dụng được trong giảng dạy toán ở phổ thông. Các bài toán trên bàn cờ liên quan mật thiết đến nhiều dạng toán khác (toán tổ hợp, giải trí toán học, lý thuyết đồ thị,. . . ). Vì vậy việc nghiên cứu các bài toán trên bàn cờ cũng góp phần nghiên cứu các bài toán toán học khác. Luận văn cố gắng trình bày một cách có hệ thống những nội dung cơ bản của một số bài toán trên bàn cờ cũng như tìm hiểu về lịch sử và các phương pháp cơ bản giải các bài toán đó. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương. Chương 1: Một số bài toán trên bàn cờ Chương này trình bày một số bài toán cổ điển trên bàn cờ: Bài toán tám quân hậu, bài 2 toán con mã đi tuần, đôminô và pôlyminô. Chương 2: Đa thức xe Chương 2 trình bày một số vấn đề về đa thức xe (rook polynomial) và áp dụng vào một số bài toán tổ hợp. Thái Nguyên, ngày 18 tháng 04 năm 2015 Bùi Thị Hương Mai 3 Chương 1 Một số bài toán trên bàn cờ 1.1 Bài toán tám quân hậu Mục này trình bày Bài toán tám quân hậu và bài toán m quân hậu, dựa theo Tài liệu tham khảo [4]. 1.1.1 Giới thiệu bài toán Năm 1848, Max Bezzel đã đặt bài toán tám quân hậu như sau: Biết rằng quân hậu trên bàn cờ có thể ăn quân khác cùng nằm với nó trên các đường thẳng đứng, đường ngang hoặc đường chéo. Đặt 8 quân hậu trên bàn cờ 8 × 8 sao cho không có hai quân hậu nào ăn nhau, nghĩa là phải đặt tám quân hậu trên bàn cờ sao cho không có hai quân hậu nằm trên cùng một hàng, một cột, hoặc một đường chéo. Lời giải đầu tiên của bài toán tám quân hậu đã được Franz Nauck công bố vào năm 1850. Bài toán tám quân hậu cũng được Franz Nauck tổng quát hóa thành bài toán m quân hậu trên một bàn cờ m × m. Bài toán này có lời giải với tất cả các số tự nhiên m khác 2 và 3. Kể từ đó nhiều nhà toán học, cả "Ông hoàng toán học" Card Friedrich Gauss, đã nghiên cứu bài toán tám quân hậu và bài toán tổng quát m quân hậu. 1.1.2 Bài toán m quân hậu Bài toán m quân hậu, tổng quát hóa của bài toán tám quân hậu, được phát biểu như sau: Có thể đặt m quân hậu vào bàn cờ m × m ô để không có quân hậu nào có thể ăn 4 được nhau không? Bài toán này là một bài toán thú vị vì nó dẫn đến bài toán tìm tập ổn định trong lớn nhất S của một đồ thị đối xứng G = (X, Γ) . Các đỉnh của đồ thị tương đương với m 2 phần tử của ma trận vuông m × m. (Xem [4]). Coi một bàn cờ như một ma trận m × m gồm các phần tử vuông (các ô vuông), chúng ta có thể đồng nhất một phần tử của ma trận (một ô vuông) như là một cặp sắp thứ tự (i, j), trong đó i và j tương ứng là vị trí hàng và cột (là số hàng và số cột). Đường chéo trội (major diagonal) của ma trận là tập gồm các phần tử (i, j) để m − j + i = CONST ANT , CONST ANT (hằng số) là số của đường chéo. Đường chéo thứ m được gọi là đường chéo chính. Rõ ràng, các điểm trên đường chéo chính có tính chất i = j. Đường chéo phụ (minor diagonal) của ma trận là tập các phần tử (i, j) để i + j − 1 = CONST ANT, ở đó CONSTANT là số của đường chéo. Thí dụ, trong hệ tọa độ thông thường, tức là gốc tọa độ nằm ở ô bên trái dưới cùng, thì đường chéo chính chính là đường chéo nối ô bên trái dưới cùng với ô bên phải trên cùng, các đường chéo trội song song với đường chéo chính, còn các đường chéo phụ vuông góc với đường chéo chính. Như vậy, bài toán m quân hậu có thể được phát biểu như sau: Đặt m quân hậu vào một ma trận vuông m × m để a) số hàng là duy nhất, b) số cột là duy nhất, c) số đường chéo trội là duy nhất, d) số đường chéo phụ là duy nhất. Dưới đây trình bày các Thiết kế (Constr uction) và các Định lý giải bài toán m quân hậu với m ≥ 4. Thiết kế A. Tạo ma trận m × m với các phần tử vuông m = 2n, trong đó n = 2, 3, 4, 5, 5 i) Đặt các quân hậu (i k , j k ), vào các ô i k = k và j k = 2k,, k = 1, 2, 3, , n. ii) Đặt các quân hậu (i l , j l ), vào các ô i l = 2n + 1 − l và j l = 2n + 1 − 2l, l = 1, 2, 3, , n. Thiết kế B. Tạo ma trận m × m của các phần tử vuông (các ô vuông) với m = 2n, trong đó n = 2, 3, 4, 5, i) Đặt quân hậu (i k , j k ), trong đó i k = k và j k = 1 + {[2(k − 1) + n − 1] modulom} , với k = 1, 2, 3, , n. ii) Đặt quân hậu (i l , j l ), trong đó i l = 2n+1−l và j l = 2n− {[2(l − 1) + n − 1] modulom} , với l = 1, 2, 3, , n. Thiết kế C. Thêm hàng thứ (m + 1) và cột thứ (m + 1) vào ma trận vuông m × m. Đặt một quân hậu vào phần tử (m + 1, m + 1). Định lý 1.1.1. Nếu áp dụng Thiết kế A vào ma trận m × m, m = 2n, trong đó n là một số nguyên dương, n = 3λ + 1, λ = 0, 1, 2, thì nhận được một lời giải bài toán m quân hậu. Chứng minh: Phần i) của Thiết kế A đặt các quân hậu vào các phần tử (k, 2k), trong khi đó phần ii) đặt các quân hậu vào các phần tử (2n + 1 − l, 2n + 1 − 2l), 1 ≤ (k, l) ≤ n. Rõ ràng, phần i) đặt mỗi quân hậu vào các phần tử của n hàng đầu tiên với cột được đánh số chẵn. Phần ii) đặt mỗi quân hậu vào các phần tử n hàng cuối với cột lẻ. Bởi vậy, mỗi hàng và cột có một và chỉ một quân hậu. Những đường chéo trội trong phần i) được đánh số 2n − 2k + k = 2n − k, 1 ≤ k ≤ n. Rõ ràng, chúng là duy nhất. Những đường chéo trội trong phần ii) được đánh số 2n − (2n + 1 − 2l) + 2n + 1 − l = 2n + l, 1 ≤ l ≤ n. Chúng cũng là duy nhất. [...]... Ta coi bàn cờ 8 × 8 được lắp ghép từ các bàn cờ 4 × 4 Dùng cắt nối γ, vạch ra trên hai bàn cờ 4×4 hai lộ trình thích hợp, để ghép nối hai bàn cờ 4 × 4 thành một bàn cờ 4 × 8 với hai chu trình Ghép hai bàn cờ 4 × 8 lại để được bàn cờ 8 × 8 dùng cắt nối γ thích hợp để có được một lộ trình Hamilton trong mỗi bàn cờ 4 × 8 đó sao cho có thể nối hai lộ trình đó thành một chu trình Hamilton trong bàn cờ 8×8... tìm chu trình Hamilton trong bàn cờ 8 × 8 như sau: a) Vạch trong bàn cờ một số chu trình sao cho hoặc một số lộ trình, qua tất cả hầu hết các đỉnh của bàn cờ (bằng các vạch các chu trình biên của bàn cờ hoặc coi bàn cờ 25 được lắp ghép từ các bàn cờ nhỏ hơn, vạch các chu trình biên của bàn cờ nhỏ này, dùng cắt nối γ.) Nếu có được một chu trình qua tất cả các đỉnh của bàn cờ thì qua bước c, nếu không... (mỗi bàn cờ 8 × 4 là một nửa của bàn cờ 8 × 8) 3) Dùng cắt nối α đối với cặp hai chu trình (mỗi cặp gồm một chu trình thuộc nửa bàn cờ này, một nửa chu trình thuộc nửa bàn cờ kia) để được hai chu trình trên toàn bàn cờ 4) Dùng cắt nối α đối với hai chu trình ở bước 3 để được hai chu trình Hamilton trên bàn cờ 8 × 8 Theo phương pháp này có thể xây dựng được như thuật toán tìm chu trình Hamilton trong bàn. .. Golanh, J H Anderson, O B Kelly, Nhiều tạp chí toán học đã công bố cũng như giới thiệu về những bài toán này Nhiều bài toán pôlyminô cũng đã được lập trình và giải trên máy tính điện tử 1.3.2 Một số bài toán về đôminô và triminô Bài toán 1: Chứng minh rằng bàn cờ 100 × 4 là bàn cờ không thể phủ chắc chắn bởi các đôminô Giải: 26 Hình 1.16 Trước hết bàn cờ m × n được gọi là phủ chắc chắn bởi các đôminô... 1.19 Mỗi quân đôminô phủ đúng một ô đen và một ô trắng liền kề, như thế sau khi đặt một quân đôminô thì sẽ mất đi một ô đen và một ô trắng Vì vậy sau mỗi lần đặt một quân đôminô thì mất đi một ô đen và một ô trắng Hay hiệu số giữa số ô đen và ô trắng luôn là một đại lượng bất biến (luôn bằng 2.) Vì vậy không thể phủ kín bàn cờ bở các quân đôminô được Bài toán 6: Một bàn cờ vua có thể chia thành 12 hình... của bàn cờ Một cạnh ab được gọi là cạnh biên của bàn nếu nó có đầu mút a nằm trên đường biên và nếu a nằm trên dòng (cột) 1 thì b nằm trên dòng (cột) 2, nếu a nằm trên dòng m (cột n) thì b nằm trên dòng m − 1 (cột n − 1.) 17 Hình 1.6: Hình 1.7: Một chu trình gồm toàn các cạnh biên được gọi là một chu trình biên của bàn cờ Trên Hình 1.6, ad và ab là các cạnh biên, bc không là cạnh biên của bàn cờ 3... 24 rồi 25 Do đó ta có một lộ trình Hamilton xuất phát từ ô 25 và kết thúc ở ô 23 như trên Hình 1.3 Hình 1.3: 15 Hình 1.4: Đối với bàn cờ lớn hơn, thí dụ, bàn cờ vua 8 × 8, việc áp dụng phương pháp Warnsdorff khó hơn 1.2.3 Một số phương pháp tìm chu trình Hamilton trong bàn cờ Cạnh biên và chu trình biên của bàn cờ Bàn cờ m × n ô (m ≤ n) với đường đi của quân mã có thể coi như một graph (đồ thị) có... toán α Dùng cắt nối α ta có phương trình chu trình Hamilton trong bàn cờ 8 × 8 như sau: Ta coi mỗi bàn cờ 8 × 8 là từ hai bàn cờ 8 × 4 ghép lại 1) Vạch tất cả các chu trình biên của bàn cờ 8 × 4 Ta có bàn cờ 8 × 4 có 4 chu trình biên thì ta dùng cắt nối α đối với hai cặp chu trình biên, để còn lại hai chu trình rồi chuyển qua bước 2 2) Tịnh tiến bàn cờ 8 × 4 với hai chu trình ở bước 1 để được bàn cờ. .. đôminô Bài toán 2: Một bàn cờ vua (tức là bàn cờ 8 × 8) bị khoét mất hai ô cùng màu thì có thể chia phần còn lại thành 31 quân đôminô không? Giải: Nhìn bàn cờ vua ta thấy ngay lời giải Thật vậy giả sử chia được phần còn lại thành 31 quân đôminô thì mỗi quân đôminô sẽ có một ô đen và một ô trắng Điều này vô lý vì sau khi bỏ đi 2 ô cùng màu thì trên phần còn lại số ô đen và số ô trắng không thể bằng nhau Một. .. thế nào Ta có bài toán sau Bài toán 3: Một bàn cờ vua bị khoét hai ô khác màu thì có thể chia được phần còn lại bởi 31 quân đôminô không? Giải: Đề giải bài toán này ta dùng cách sau: Cắt bàn cờ theo những đường kẻ đậm Ta sẽ được một băng kín mà đi theo băng này thì các ô đen trắng xen kẽ nhau Nếu bàn cờ khoét đi hai ô đen trắng ta có hai khả năng Khả năng 1: Hai ô bỏ đi là liền kề ở trên bảng và khi . bài toán đó. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương. Chương 1: Một số bài toán trên bàn cờ Chương này trình bày một số bài toán cổ điển trên bàn cờ: Bài toán. hiểu một số bài toán trò chơi cổ điển trên bàn cờ, như bài toán tám quân hậu, bài toán quân mã đi tuần, bài toán đôminô, và tìm hiểu lý thuyết đa thức xe và áp dụng của lý thuyết này vào một số bài. HƯƠNG MAI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRÊN BÀN CỜ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ HƯƠNG MAI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRÊN BÀN CỜ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên