Một số bài toán trên bàn cờ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ HƯƠNG MAI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRÊN BÀN CỜ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ HƯƠNG MAI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRÊN BÀN CỜ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TẠ DUY PHƯỢNG Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan i Lời nói đầu 1 Một số toán bàn cờ 1.1 Bài toán tám quân hậu 1.1.1 Giới thiệu toán 1.1.2 Bài toán m quân hậu 1.2 Bài toán quân mã tuần 1.3 3 3 12 1.2.1 Tìm hiểu toán quân mã tuần 1.2.2 Phương pháp Warnsdorff tìm lộ trình Hamilton 1.2.3 Một số phương pháp tìm chu trình Hamilton bàn cờ Đôminô Pôlyminô 1.3.1 Khái niệm pôlyminô 1.3.2 Một số toán đôminô triminô 1.3.3 Một số toán khác 12 13 15 25 25 25 31 Đa thức xe 33 2.1 Giới thiệu 33 2.2 Đa thức xe cho bàn cờ hai chiều 37 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Khoa Sau đại học, Trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn tới PGS.TS Tạ Duy Phượng, người Thầy hướng dẫn suốt trình tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu thực luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên trang bị cho tơi kiến thức tốn chương trình cao học Xin cám ơn gia đình, bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi hồn thành khố học cao học viết luận văn i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn đa cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Lời nói đầu Cờ vua trò chơi gắn kết sống hoạt động người từ thời cổ đại Tuy nhiên tốn tốn học bàn cờ có lẽ hình thành nghiên cứu khoảng vài trăm năm trở lại Với phát triển công nghệ thơng tin, tốn trị chơi lại nhận quan tâm mới, liên quan đến thuật toán, lập trình, lời giải tối ưu, Nhiều tốn trị chơi, có tốn trị chơi bàn cờ (đơminơ, tốn tám qn hậu, tốn quân mã tuần, ) khơi nguồn sáng tạo cho nhiều nhà khoa học để từ nhiều ngành toán học (xác suất, lý thuyết đồ thị, lý thuyết trị chơi, giải trí tốn học, ) đời phát triển Mục đích luận văn tìm hiểu số tốn trị chơi cổ điển bàn cờ, toán tám quân hậu, toán quân mã tuần, toán đơminơ, tìm hiểu lý thuyết đa thức xe áp dụng lý thuyết vào số tốn tổ hợp Trong khn khổ luận văn chun ngành tốn sơ cấp, chúng tơi giới hạn trình bày nội dung lý thuyết tương đối gần áp dụng giảng dạy toán phổ thơng Các tốn bàn cờ liên quan mật thiết đến nhiều dạng toán khác (toán tổ hợp, giải trí tốn học, lý thuyết đồ thị, ) Vì việc nghiên cứu tốn bàn cờ góp phần nghiên cứu tốn tốn học khác Luận văn cố gắng trình bày cách có hệ thống nội dung số tốn bàn cờ tìm hiểu lịch sử phương pháp giải tốn Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương Chương 1: Một số toán bàn cờ Chương trình bày số tốn cổ điển bàn cờ: Bài toán tám quân hậu, toán mã tuần, đôminô pôlyminô Chương 2: Đa thức xe Chương trình bày số vấn đề đa thức xe (rook polynomial) áp dụng vào số toán tổ hợp Thái Nguyên, ngày 18 tháng 04 năm 2015 Bùi Thị Hương Mai Chương Một số toán bàn cờ 1.1 Bài tốn tám qn hậu Mục trình bày Bài tốn tám quân hậu toán m quân hậu, dựa theo Tài liệu tham khảo [4] 1.1.1 Giới thiệu toán Năm 1848, Max Bezzel đặt toán tám quân hậu sau: Biết quân hậu bàn cờ ăn quân khác nằm với đường thẳng đứng, đường ngang đường chéo Đặt quân hậu bàn cờ × cho khơng có hai qn hậu ăn nhau, nghĩa phải đặt tám quân hậu bàn cờ cho khơng có hai qn hậu nằm hàng, cột, đường chéo Lời giải toán tám quân hậu Franz Nauck cơng bố vào năm 1850 Bài tốn tám quân hậu Franz Nauck tổng quát hóa thành toán m quân hậu bàn cờ m × m Bài tốn có lời giải với tất số tự nhiên m khác Kể từ nhiều nhà tốn học, "Ơng hồng toán học" Card Friedrich Gauss, nghiên cứu toán tám quân hậu toán tổng quát m quân hậu 1.1.2 Bài toán m quân hậu Bài toán m qn hậu, tổng qt hóa tốn tám qn hậu, phát biểu sau: Có thể đặt m qn hậu vào bàn cờ m × m để khơng có qn hậu ăn khơng? Bài tốn tốn thú vị dẫn đến tốn tìm tập ổn định lớn S đồ thị đối xứng G = (X, Γ) Các đỉnh đồ thị tương đương với m2 phần tử ma trận vng m × m (Xem [4]) Coi bàn cờ ma trận m × m gồm phần tử vng (các vng), đồng phần tử ma trận (một ô vuông) cặp thứ tự (i, j), i j tương ứng vị trí hàng cột (là số hàng số cột) Đường chéo trội (major diagonal) ma trận tập gồm phần tử (i, j) để m − j + i = CON ST AN T , CON ST AN T (hằng số) số đường chéo Đường chéo thứ m gọi đường chéo Rõ ràng, điểm đường chéo có tính chất i = j Đường chéo phụ (minor diagonal) ma trận tập phần tử (i, j) để i + j − = CON ST AN T, CON ST AN T số đường chéo Thí dụ, hệ tọa độ thông thường, tức gốc tọa độ nằm bên trái cùng, đường chéo đường chéo nối bên trái với ô bên phải cùng, đường chéo trội song song với đường chéo chính, cịn đường chéo phụ vng góc với đường chéo Như vậy, tốn m qn hậu phát biểu sau: Đặt m quân hậu vào ma trận vng m × m để a) số hàng nhất, b) số cột nhất, c) số đường chéo trội nhất, d) số đường chéo phụ Dưới trình bày Thiết kế (Construction) Định lý giải toán m quân hậu với m ≥ Thiết kế A Tạo ma trận m × m với phần tử vng m = 2n, n = 2, 3, 4, 5, i) Đặt quân hậu (ik , jk ), vào ô ik = k jk = 2k,, k = 1, 2, 3, , n ii) Đặt quân hậu (il , jl ), vào ô il = 2n + − l jl = 2n + − 2l, l = 1, 2, 3, , n Thiết kế B Tạo ma trận m × m phần tử vuông (các ô vuông) với m = 2n, n = 2, 3, 4, 5, i) Đặt quân hậu (ik , jk ), ik = k jk = + {[2(k − 1) + n − 1] modulom} , với k = 1, 2, 3, , n ii) Đặt quân hậu (il , jl ), il = 2n+1−l jl = 2n− {[2(l − 1) + n − 1] modulom} , với l = 1, 2, 3, , n Thiết kế C Thêm hàng thứ (m + 1) cột thứ (m + 1) vào ma trận vng m × m Đặt qn hậu vào phần tử (m + 1, m + 1) Định lý 1.1.1 Nếu áp dụng Thiết kế A vào ma trận m × m, m = 2n, n số nguyên dương, n = 3λ + 1, λ = 0, 1, 2, nhận lời giải toán m quân hậu Chứng minh: Phần i) Thiết kế A đặt quân hậu vào phần tử (k, 2k), phần ii) đặt quân hậu vào phần tử (2n + − l, 2n + − 2l), ≤ (k, l) ≤ n Rõ ràng, phần i) đặt quân hậu vào phần tử n hàng với cột đánh số chẵn Phần ii) đặt quân hậu vào phần tử n hàng cuối với cột lẻ Bởi vậy, hàng cột có quân hậu Những đường chéo trội phần i) đánh số 2n − 2k + k = 2n − k, ≤ k ≤ n Rõ ràng, chúng Những đường chéo trội phần ii) đánh số 2n − (2n + − 2l) + 2n + − l = 2n + l, ≤ l ≤ n Chúng 33 Chương Đa thức xe Trong chương này, chúng tơi trình bày Đa thức xe, viết theo tài liệu [5] 2.1 Giới thiệu Một quân xe bàn cờ vua bị ăn quân xe khác hàng cột khơng có qn vị trí chúng Chúng ta mở rộng khái niệm bàn cờ sau: Định nghĩa 2.1.1 Một bàn cờ B tập tập X × Y, X = {1, 2, , n} Y = {1, 2, , m} Như vậy,bàn cờ (theo nghĩa rộng Định nghĩa trên) tập (là hợp số rời nhau) bàn cờ chữ nhật thông thường với số chiều n × m Nói cách khác, bàn cờ theo nghĩa rộng bàn cờ chữ nhật bị xóa số Ta gọi vị trí cấm (restricted positions) Kí hiệu rk (B) số cách đặt k xe không ăn lẫn bàn cờ B Định nghĩa 2.1.2 Đa thức xe R(x, B) bàn cờ B R(x, B) = r0 (B) + r1 (B)x + r2 (B)x2 + r3 (B)x3 + + rn (B)xn + Như vậy, đa thức xe bàn cờ B đa thức có hệ số xk số cách đặt k quân xe bàn cờ B Xét tốn sau đây: Có cách đặt chữ a, b, c, d, e a khơng thể đặt 34 vào vị trí thứ nhất, b khơng thể đặt vào vị trí thứ ba thứ tư, d khơng thể đặt vào vị trí thứ thứ năm e đặt vào vị trí thứ hai thứ ba? Để giải toán này, phải xét ánh xạ từ tập {a, b, c, d, e} vào tập {1, 2, 3, 4, 5} cho hạn chế toán khơng bị xâm phạm Bài tốn mơ hình hóa mảng (array) hai chiều với hạn chế ô tô màu đen (các vị trí cấm) Như vậy, tốn đưa tìm số khả đặt quân xe bàn cờ cho chúng không ăn nhau, tức phải đặt quân xe vào vị trí khơng bị cấm Ta nói, bàn cờ B với ô tô màu đen phân rã thành hai bàn cờ rời B1 B2 hai bàn cờ B1 B2 với ô màu đen khơng có chung hợp chúng ô đen bàn cờ B Bổ đề 2.1.3 Giả sử bàn cờ B phân rã thành hai bàn cờ B1 B2 Khi rk (B) = rk (B1 )r0 (B2 ) + rk−1 (B1 )r1 (B2 ) + + r0 (B1 )r2 (B2 ) Định lý 2.1.4 Giả sử bàn cờ B với ô đen phân rã thành hai bàn cờ B1 B2 với ô màu đen Khi R(x, B) = R(x, B1 )R(x, B2 ) Chứng minh: R(x, B) = r0 (B) + r1 (B)x + r2 (B)x2 + r3 (B)x3 + + rn (B)xn + R(x, B) = r0 (B) + r1 (B)x + r2 (B)x2 + r3 (B)x3 + = + [r1 (B1 )r0 (B2 ) + r0 (B1 )r1 (B2 )] x + [r2 (B1 )r0 (B2 ) + r1 (B1 )r1 (B2 ) + r0 (B1 )r2 (B2 )] x2 + = r0 (B1 ) + r1 (B1 )x + r2 (B1 )x2 + × r0 (B2 ) + r1 (B2 )x + r2 (B2 )x2 + = R(x, B1 )R(x, B2 ) Nhắc lại bị xóa bàn cờ theo nghĩa rộng nằm bàn cờ chữ nhật B kích thước n × m vị trí cấm (restrited positions) Ta nhận thấy rằng, thay đổi số vị trí cấm mà hệ số đa thức khơng thay đổi Ta có 35 Định lý 2.1.5 Số cách xếp n đối tượng vào vị trí cấm bàn cờ B bàng n!−r1 (B)(n−1)!+r2 (B)(n−2)!+ .+(−1)k rk (B)(n−k)!+ .+(−1)n rn (B)0! (2.1) Trước tiên ta có số nhận xét phương pháp sử dụng đa thức xe để giải toán đếm liên hệ với bàn cờ Đầu tiên, biểu diễn toán bàn cờ với đen vị trí cấm, sau cố gắng xếp lại bàn cờ cách tráo đổi hàng cột để xác định xem phân rã thành bàn cờ hay khơng Nếu khơng thể phân rã, ta xác định rk (B) xác định đa thức xe R(x, B) bàn cờ Nếu bàn cờ phân rã, xác định rk (Bi ), từ xác định đa thức xe Bi Theo Định lý trên, ta nhân đa thức xe bàn cờ để đa thức xe bàn cờ lớn, tức r(x, B) Cuối cùng, để xác định số cách xếp, ta thay hệ số r(x, B) vào phương trình giải Dưới ví dụ đơn giản minh họa phương pháp nêu Ví dụ 2.1.6 Bài toán cố vấn (mentoring Problem) Trong trường đại học, cho bẩy sinh viên F1 , F2 , F3 , F4 , F5 , F6 F7 , đăng ký vào chương trình học Trưởng khoa gửi sinh viên tới thày hướng dẫn M1 , M2 , M3 , M4 , M5 , M6 M7 , cho mâu thuẫn thời khóa biểu sau giải quyết: M1 làm việc với F1 F3 ,, M4 làm việc với F3 F6 , M5 làm việc với F2 F7 , M7 làm việc với F4 Có cách để Trưởng khoa xếp người hướng dẫn cho sinh viên có người hướng dẫn khác Đầu tiên, mơ hình hóa tốn thành bào tốn bàn cờ B sau 36 Hình 2.1 Hình 2.1: Bàn cờ B Bây thay đổi số hàng cột để thấy ta phân rã bàn cờ thành bàn cờ sau Hình 2.2: Thay đổi B Thay đổi cột F2 F6 , F4 F5 , F1 F5 , F1 F6 , hàng M1 M3 dẫn tới phân rã bàn cờ thành ba bàn cờ biểu diễn Hình 2.1 Tính rk (Bi ) cho ba bàn cờ con, ta được: r1 (B1 ) = 6, r2 (B1 ) = 10, r3 (B1 ) = 4, r1 (B2 ) = 2, r1 (B3 ) = Do có đa thức xe cho B1 , B2 B3 là: R(x, B1 ) = + 6x + 10x2 + 4x3 R(x, B2 ) = + 2x R(x, B3 ) = + x 37 Tích đa thức là: R(x, B) = R(x, B1 )R(x, B2 )R(x, B3 ) = (1 + 6x + 10x2 + 4x3 )(1 + 2x)(1 + x) = (1 + 6x + 10x2 + 4x3 )(1 + 3x + 2x2 ) = + 3x + 2x2 + 6x + 18x2 + 12x3 + 10x2 + 30x3 + 20x4 + 4x3 + 12x4 + 8x5 = + 9x + 30x2 + 46x3 + 32x4 + 8x5 Tính hệ số R(x, B) Eq.(2.1), ta được: 7! − × 6! + 30 × 5! − 46 × 4! + 32 × 3! − × 2! + × 1! − × 0! = 5040 − 6480 + 3600 − 1104 + 192 − 16 = 1232 Do có 1232 cách để xếp sinh viên với người hướng dẫn họ thỏa mãn hạn chế Dưới trình bày cách sử dụng đa thức xe để giải toán phức tạp 2.2 Đa thức xe cho bàn cờ hai chiều Trong mục nghiên cứu đa thức cho bàn cờ hai chiều nhằm giải tốn đếm phức tạp với vị trí bị cấm Trước tiên ta xem xét bàn cờ khơng có hạn chế Định lý 2.2.1 Gọi Bm,n bàn cờ m×n mà khơng có cấm Kí hiệu s = min{m, n} Khi s R(x, Bm,n ) =   k=0 m k   P (n, k)xk Chứng minh: Giải sử muốn đặt k xe vào Bm,n Có m cách để chọn lựa k k hàng xe bị thay Với cách chọn k hàng, phải 38 Hình 2.3: B5,8 chọn lựa k cột hoán vị chúng để đạt bàn cờ hàng-cột chấp nhận được, giao mỗicặp hàng-cột quân xe Bm,n Do đó, số cách đặt k xe  vào Bm,n  m k  P (n, k) Do đó, tổng số quân xe đặt s, s R(x, Bm,n ) =   k=0 m k   P (n, k)xk Từ ta có Hệ 2.2.2 s R(x, Bn,n ) =   k=0 n k   P (n, k)xk Hình 2.4: B6,6 Ví dụ 2.2.3 Một trị chơi Bates Study Center Bốn sinh viên toán RIT, Amir Barghi, Jeremy Nieman, Nate Reff, Ben Zindle vào Bates Study Center để tìm bốn thẻ trị chơi khác nhau, bàn thẻ tương ứng 39 thẻ Bốn trò chơi poker, spades, euchre, Oh Shwat Nếu Amir không muốn chơi poker, Nate Jeremy không muốn chơi spades euchre, Ben không muốn chơi Oh Shwat, hỏi có cách để sinh viên chọn lựa bàn khác cho tất u cầu thoả mãn? Mơ hình hóa tốn thành tốn bàn cờ sau Hình 2.5: Bates Study Center Chú ý bàn cờ bị phân rã thành ba bàn cờ con: hai bàn cờ B1,1 bàn cờ B2,2 Do có đa thức xe cho bàn cờ B là: R(x, B) = R(x, B2,2 )[R(x, B1,1 )] = 2       2    P (2, k)xk     P (1, k)xk  = k=0 k=0 k k (1 + 4x + 2x2 )(1 + x)2 = + 6x + 11x2 + 8x3 + 2x4 Gắn hệ số R(x, B) vào phương trình (2.1) ta được: 4! − × 3! + 11 × 2! − × 1! + × 0! = 24 − 36 + 22 − + = Do đó, có cách để xếp sinh viên thẻ trờ chơi để người ngồi bàn khác thỏa mãn yêu cầu toán Xét toán đếm phức tạp liên quan đến trị chơi đơn giản 40 Ví dụ 2.2.4 Bài toán 1-Chẵn lẻ Hai người bạn, Joe Dave chơi trò chơi Chẵn Lẻ Mỗi người viết số từ đến n vào mảnh giấy, n số chẵn Nếu tổng số hai người viết lẻ Joe thắng; tổng số chẵn Dave thắng Nếu trị chơi có n hiệp, người chơi phải sử dụng số lần, hỏi có cách Joe chiến thắng hiệp với giá trị n sau a.) n = b.) n = 10 Ta sử dụng đa thức xe cho toán giá trị n Chúng ta có định lý sau Định lý 2.2.5 Giả sử n số chẵn, Cn,n bàn cờ n × n với vị trí cấm có tổng giá trị hàng cột số chẵn Khi  R(x, Cn,n ) = R(x, B n2 , n2 ) n =   k=0 n  2  P ( n , k)xk  k (2.2) Chứng minh: Chúng ta xem xét mơ hình bàn cờ với ví dụ cụ thể n = 10 đây: Hình 2.6: C10,10 Sắp xếp lại cột cho tất số cột chẵn tập hợp lại bên nửa phải bàn cờ, bàn cờ trở thành: 41 Hình 2.7: C10,10 việc chuyển Bây giờ, xếp lại hàng cho tất số hàng lẻ đưa nửa bàn cờ, kết cuối được: Hình 2.8: C10,10 phân rã Chú ý rằng, Cn,n xếp thành bàn cờ chứa hai bàn cờ giống B n2 , n2 Do đó,  R(x, Cn,n ) = R(x, B n2 , n2 ) n =   k=0 n  2  P ( n , k)xk  k 42 Bây giải toán Bắt đầu với = 1a, n = 6:    2 3 R(x, C6,6 ) =    P (3, k)xk  = k=0 k + (3 × 3)x + (3 × 6)x2 + (1 × 6)x3 = + 9x + 18x2 + 6x3 = + 18x + 117x2 + 336x3 + 432x4 + 216x5 + 36x6 Cho hệ số R(x, C6,6 ) vào Eq.(2.2) ta được: 6! − 18 × 5! + 117 × 4! − 336 × 3! + 432 × 2! − 216 × 1! + 36 × 0! = 720 − 2160 + 2808 − 2016 + 864 − 216 + 36 = 36 Do đó, Joe Dave chơi hiệp, có 36 cách Joe chiến thắng hiệp Nhưng họ chơi 10 hiệp ta có = 1b, với n = 10 : 2    5 R(x, C10,10 ) =    P (5, k)xk  = k=0 k + (5 × 5)x + (10 × 20)x2 + (10 × 60)x3 + (5 × 120)x4 + (1 × 120)x5 + 25x + 200x2 + 600x3 + 600x4 + 120x5 2 = = + 50x + 1025x2 + 11200x3 + 71200x4 + 27240x5 + 606000x6 +768000x7 + 504000x8 + 144000x9 + 14400x10 Thay hệ số R(x, C10,10 ) vào Eq.(2.2) vào ta được: 10! − 50 × 9! + 1, 025 × 8! − 11200 × 7! + 71200 × 6! −270240 × 5! + 606000 × 4! −768000 × 3! + 504000 × 2! − 144000 × 1! + 14400 × 0! = 3628800 − 18144000 + 41328000 − 56448000 + 51264000 −32428800 + 14544000 −4608000 + 1008000 − 144000 + 14400 = 14400 Do Joe Dave chơi 10 hiệp Chẵn Lẻ theo quy tắc có 14400 cách để Joe chiến thắng hiệp Chúng ta xét tốn sau Ví dụ 2.2.6 Bài toán 2-Xổ số Người ta phát xổ số hàng tuần cho n thành viên, n số chẵn Khi tham gia, thành 43 viên nhận số, vào qui tắc: thành viên thứ i tham gia nhận số i Hàng tuần, thành viên nhận số từ đến n, số sử lần, người chiến thắng xác định sau: thành viên i nhận số i n + − i cho tuần đó, thắng Trong trường hợp có nhiều người thắng, số tiền chia cho họ Xét tốn sau: có cách khơng có người thắng tuần xổ số với giá trị n chẵn cho trước, a.) n = 10 b.) n = 20 Tương tự toán 1, ta sử dụng đa thức xe cho giá trị n Ta có định lý sau: Định lý 2.2.7 Cho n số chẵn Ký hiệu Sn,n bàn cờ n × n sau: với hàng i, vị trí thứ i n + − i bị cấm Khi n R(x, Sn,n ) = (1 + 4x + 2x2 ) (2.3) Chứng minh: Xét bàn cờ Sn,n , mơ hình hóa tốn xổ số Xét ví dụ cụ thể: Hình 2.9: S12,12 Chú ý cặp hàng thứ i (n + − i) tạo thành bàn cờ con, xếp lại thành B2,2 Tổng quát có dời B2,2 n cặp, có Sn,n xếp lại thành n tập 44 Hình 2.10: S12,12 phân rã Do  n R(x, Sn,n ) = [R(x, B2,2 )] =    k=0 k   n2  P (2, k)xk  = (1 + 4x + 2x2 ) n2 Xét toán với n = 10 : R(x, S10,10 ) = (1 + 4x + 2x2 )5 = + 20x + 170x2 + 800x3 + 2280x4 + 4064x5 + 4560x6 + 3200x7 + 1360x8 + 320x9 + 32x10 Thay hệ số R(x, S10,10 ) vào Eq.(2.3), có: 10! − 20 × 9! + 170 × 8! − 800 × 7! + 2280 × 6! − 4064 × 5! + 4560 × 4! −3200 × 3! + 1360 × 2! − 320 × 1! + 32 × 0! = 3628800 − 7257600 + 6854400 − 4032000 + 1641600 − 487680 +109440 − 19200 + 2720 − 320 + 32 = 440192 Do đó, xổ số có 10 thành viên, có 440192 cách để khơng chiến thắng vào tuần 45 Với n = 20 ta có: R(x, S20,20 ) = (1 + 4x + 2x2 )10 = + 40x + 740x2 + 8400x3 + 65460x4 + 371328x5 + 1586880x6 + 5218560x7 + 13381920x8 + 26970880x9 + 42904960x10 + 53941760x11 + 53527680x12 + 41748480x13 + 25390080x14 + 11882496x15 + 4189440x16 + 1075200x17 + 189440x18 +20480x19 + 1024x20 Thay hệ số R(x, S20,20 ) vào Eq.(2.3) ta 20! − 40 × 19! + 740 × 18! − 8400 × 17! + 65460 × 16! − 371328 × 15!+ 1586880 × 14! − 5218560 × 13! + 13381920 × 12! − 26970880 × 11! +42904960 × 10! − 53941760 × 9! + 53527680 × 8! − 41748480 × 7! +25390080 × 6! − 11882496 × 5! + 4189440 × 4! − 1075200 × 3!+ 189440 × 2! − 20480 × 1! + 1024 × 0! = 2432902008176640000− 4865804016353280000 + 4737756542238720000 −2987773396006400000 + 1369605826068480000− 485576107720704000 + 138341486739456000− 32496081666048000 + 6409961091072000 − 1076591222784000 +155693518848000 − 19574385868800 + 2158236057600 −210412339200 + 18280857600 − 1425899520 + 100546560 −6451200 + 378880 − 20480 + 1024 = 312426715251262464 Do xổ số có 20 thành viên, có 312426715251262464 cách để không chiến thắng vào tuần 46 Kết luận • Luận văn trình bày số vấn đề toán bàn cờ toán tám quân hậu, toán qn mã tuần, tốn pơlyminơ • Trình bày số khái niệm đa thức xe, áp dụng đa thức xe đưa số toán tổ hợp với điều kiện phức tạp thành tốn tính tốn đơn giản Đa thức xe nhiều vấn đề thú vị nhiều ứng dụng khác chưa đề cập Luận văn 47 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hoàng Chúng, Hoàng Quý (2001), Những kết giải toán quân mã tuần, Nhà xuất Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, Thành phố Hồ Chí Minh [2] Lê Việt Nga (1978), Tiếp tục suy luận bàn cờ, Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ [3] Lê Thống Nhất (1978), Vài toán bàn cờ, Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ Tiếng Anh [4] Hoffman E J., Loessi J C., Moore R C (1969), "Contructions for the solution of the m Queen problem", Mathematics Magazine 42(2), pp 66-72 [5] Zindle B., Rook Polynomials for Chessboard of Two and Three Dimensions, http://people.rit.edu/hxssma/Ben-thesis.pdf Các trang web [6] http://www.dienantoanhoc.net [7] http://en.wikipedia.org/wiki ... Ta coi bàn cờ × lắp ghép từ bàn cờ × Dùng cắt nối γ, vạch hai bàn cờ 4×4 hai lộ trình thích hợp, để ghép nối hai bàn cờ × thành bàn cờ × với hai chu trình Ghép hai bàn cờ × lại để bàn cờ × dùng... số toán bàn cờ tìm hiểu lịch sử phương pháp giải toán Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương Chương 1: Một số tốn bàn cờ Chương trình bày số toán cổ điển bàn cờ: ... 1.4: Đối với bàn cờ lớn hơn, thí dụ, bàn cờ vua × 8, việc áp dụng phương pháp Warnsdorff khó 1.2.3 Một số phương pháp tìm chu trình Hamilton bàn cờ Cạnh biên chu trình biên bàn cờ Bàn cờ m × n (m