Một số bài toán trên bàn cờ (Luận văn thạc sĩ)

Một số bài toán trên bàn cờ (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán trên bàn cờ (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán trên bàn cờ (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán trên bàn cờ (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán trên bàn cờ (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán trên bàn cờ (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán trên bàn cờ (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán trên bàn cờ (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán trên bàn cờ (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán trên bàn cờ (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán trên bàn cờ (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán trên bàn cờ (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán trên bàn cờ (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán trên bàn cờ (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán trên bàn cờ (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán trên bàn cờ (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ HƯƠNG MAI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRÊN BÀN CỜ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ HƯƠNG MAI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRÊN BÀN CỜ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TẠ DUY PHƯỢNG Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan i Lời nói đầu 1 Một số toán bàn cờ 1.1 Bài toán tám quân hậu 1.1.1 Giới thiệu toán 1.1.2 Bài toán m quân hậu 1.2 Bài toán quân mã tuần 1.3 3 3 12 1.2.1 Tìm hiểu tốn quân mã tuần 1.2.2 Phương pháp Warnsdorff tìm lộ trình Hamilton 1.2.3 Một số phương pháp tìm chu trình Hamilton bàn cờ Đôminô Pôlyminô 1.3.1 Khái niệm pôlyminô 1.3.2 Một số tốn đơminơ triminô 1.3.3 Một số toán khác 12 13 15 25 25 25 31 Đa thức xe 33 2.1 Giới thiệu 33 2.2 Đa thức xe cho bàn cờ hai chiều 37 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Khoa Sau đại học, Trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn tới PGS.TS Tạ Duy Phượng, người Thầy hướng dẫn tơi suốt q trình tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu thực luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên trang bị cho tơi kiến thức tốn chương trình cao học Xin cám ơn gia đình, bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi hồn thành khố học cao học viết luận văn i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn đa cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Lời nói đầu Cờ vua trò chơi gắn kết sống hoạt động người từ thời cổ đại Tuy nhiên toán tốn học bàn cờ có lẽ hình thành nghiên cứu khoảng vài trăm năm trở lại Với phát triển công nghệ thông tin, tốn trò chơi lại nhận quan tâm mới, liên quan đến thuật tốn, lập trình, lời giải tối ưu, Nhiều tốn trò chơi, có tốn trò chơi bàn cờ (đơminơ, tốn tám qn hậu, tốn qn mã tuần, ) khơi nguồn sáng tạo cho nhiều nhà khoa học để từ nhiều ngành toán học (xác suất, lý thuyết đồ thị, lý thuyết trò chơi, giải trí tốn học, ) đời phát triển Mục đích luận văn tìm hiểu số tốn trò chơi cổ điển bàn cờ, toán tám quân hậu, tốn qn mã tuần, tốn đơminơ, tìm hiểu lý thuyết đa thức xe áp dụng lý thuyết vào số toán tổ hợp Trong khuôn khổ luận văn chuyên ngành tốn sơ cấp, chúng tơi giới hạn trình bày nội dung lý thuyết tương đối gần áp dụng giảng dạy tốn phổ thơng Các toán bàn cờ liên quan mật thiết đến nhiều dạng tốn khác (tốn tổ hợp, giải trí tốn học, lý thuyết đồ thị, ) Vì việc nghiên cứu toán bàn cờ góp phần nghiên cứu tốn tốn học khác Luận văn cố gắng trình bày cách có hệ thống nội dung số tốn bàn cờ tìm hiểu lịch sử phương pháp giải tốn Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương Chương 1: Một số toán bàn cờ Chương trình bày số tốn cổ điển bàn cờ: Bài toán tám quân hậu, toán mã tuần, đôminô pôlyminô Chương 2: Đa thức xe Chương trình bày số vấn đề đa thức xe (rook polynomial) áp dụng vào số toán tổ hợp Thái Nguyên, ngày 18 tháng 04 năm 2015 Bùi Thị Hương Mai Chương Một số toán bàn cờ 1.1 Bài toán tám qn hậu Mục trình bày Bài tốn tám quân hậu toán m quân hậu, dựa theo Tài liệu tham khảo [4] 1.1.1 Giới thiệu toán Năm 1848, Max Bezzel đặt toán tám quân hậu sau: Biết quân hậu bàn cờ ăn quân khác nằm với đường thẳng đứng, đường ngang đường chéo Đặt quân hậu bàn cờ × cho khơng có hai qn hậu ăn nhau, nghĩa phải đặt tám quân hậu bàn cờ cho khơng có hai qn hậu nằm hàng, cột, đường chéo Lời giải toán tám quân hậu Franz Nauck cơng bố vào năm 1850 Bài tốn tám qn hậu Franz Nauck tổng quát hóa thành tốn m qn hậu bàn cờ m × m Bài tốn có lời giải với tất số tự nhiên m khác Kể từ nhiều nhà tốn học, "Ơng hồng tốn học" Card Friedrich Gauss, nghiên cứu toán tám quân hậu toán tổng quát m quân hậu 1.1.2 Bài toán m quân hậu Bài toán m quân hậu, tổng qt hóa tốn tám qn hậu, phát biểu sau: Có thể đặt m quân hậu vào bàn cờ m × m để khơng có quân hậu ăn khơng? Bài tốn tốn thú vị dẫn đến tốn tìm tập ổn định lớn S đồ thị đối xứng G = (X, Γ) Các đỉnh đồ thị tương đương với m2 phần tử ma trận vuông m × m (Xem [4]) Coi bàn cờ ma trận m × m gồm phần tử vng (các vng), đồng phần tử ma trận (một ô vuông) cặp thứ tự (i, j), i j tương ứng vị trí hàng cột (là số hàng số cột) Đường chéo trội (major diagonal) ma trận tập gồm phần tử (i, j) để m − j + i = CON ST AN T , CON ST AN T (hằng số) số đường chéo Đường chéo thứ m gọi đường chéo Rõ ràng, điểm đường chéo có tính chất i = j Đường chéo phụ (minor diagonal) ma trận tập phần tử (i, j) để i + j − = CON ST AN T, CON ST AN T số đường chéo Thí dụ, hệ tọa độ thông thường, tức gốc tọa độ nằm bên trái cùng, đường chéo đường chéo nối bên trái với ô bên phải cùng, đường chéo trội song song với đường chéo chính, đường chéo phụ vng góc với đường chéo Như vậy, tốn m qn hậu phát biểu sau: Đặt m quân hậu vào ma trận vng m × m để a) số hàng nhất, b) số cột nhất, c) số đường chéo trội nhất, d) số đường chéo phụ Dưới trình bày Thiết kế (Construction) Định lý giải toán m quân hậu với m ≥ Thiết kế A Tạo ma trận m × m với phần tử vng m = 2n, n = 2, 3, 4, 5, i) Đặt quân hậu (ik , jk ), vào ô ik = k jk = 2k,, k = 1, 2, 3, , n ii) Đặt quân hậu (il , jl ), vào ô il = 2n + − l jl = 2n + − 2l, l = 1, 2, 3, , n Thiết kế B Tạo ma trận m × m phần tử vuông (các ô vuông) với m = 2n, n = 2, 3, 4, 5, i) Đặt quân hậu (ik , jk ), ik = k jk = + {[2(k − 1) + n − 1] modulom} , với k = 1, 2, 3, , n ii) Đặt quân hậu (il , jl ), il = 2n+1−l jl = 2n− {[2(l − 1) + n − 1] modulom} , với l = 1, 2, 3, , n Thiết kế C Thêm hàng thứ (m + 1) cột thứ (m + 1) vào ma trận vuông m × m Đặt quân hậu vào phần tử (m + 1, m + 1) Định lý 1.1.1 Nếu áp dụng Thiết kế A vào ma trận m × m, m = 2n, n số nguyên dương, n = 3λ + 1, λ = 0, 1, 2, nhận lời giải toán m quân hậu Chứng minh: Phần i) Thiết kế A đặt quân hậu vào phần tử (k, 2k), phần ii) đặt quân hậu vào phần tử (2n + − l, 2n + − 2l), ≤ (k, l) ≤ n Rõ ràng, phần i) đặt quân hậu vào phần tử n hàng với cột đánh số chẵn Phần ii) đặt quân hậu vào phần tử n hàng cuối với cột lẻ Bởi vậy, hàng cột có quân hậu Những đường chéo trội phần i) đánh số 2n − 2k + k = 2n − k, ≤ k ≤ n Rõ ràng, chúng Những đường chéo trội phần ii) đánh số 2n − (2n + − 2l) + 2n + − l = 2n + l, ≤ l ≤ n Chúng ... số toán bàn cờ tìm hiểu lịch sử phương pháp giải toán Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương Chương 1: Một số tốn bàn cờ Chương trình bày số toán cổ điển bàn cờ: ... lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan i Lời nói đầu 1 Một số toán bàn cờ 1.1 Bài toán tám quân hậu 1.1.1 Giới thiệu toán 1.1.2 Bài toán m quân hậu 1.2 Bài toán quân mã tuần 1.3 3 3 12... NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ HƯƠNG MAI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRÊN BÀN CỜ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS