Một số bài toán số học tổ hợp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Thanh Nhã MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC - TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH HÀ HUY KHOÁI HÀ NỘI, NĂM 2013 Mục lục Lời mở đầu Lời cảm ơn Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Kiến thức tổ hợp 1.1.1 Quy tắc cộng 1.1.2 Quy tắc nhân 1.1.3 Hoán vị 1.1.4 Chỉnh hợp 1.1.5 Tổ hợp 1.1.6 Nguyên lý bù trừ 1.1.7 Nguyên lý Dirichlet 1.1.8 Khai triển nhị thức Newton 1.2 Kiến thức số học 1.2.1 Tính chia hết 1.2.2 Biểu diễn số 1.2.3 Số nguyên tố 1.2.4 Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ 1.2.5 Thuật toán Euclid 1.2.6 Đồng dư 1.2.7 Đồng dư tuyến tính 1.2.8 Thặng dư 1.2.9 Một số định lý quan trọng Một số toán Số học - Tổ hợp 2.1 Tính chất số học 2.1.1 Tính chia hết 2.1.2 Biểu diễn số 2.1.3 Thuật toán Euclid số chung lớn 2.2 Bài toán chia kẹo Euler 2.3 Bất biến 2.4 Cực trị tập hợp rời rạc 2.5 Số phức - Tổ hợp toán liên quan đến ước 6 6 7 8 8 9 9 11 11 12 12 13 14 14 14 30 37 47 53 61 75 Một số tốn trị chơi Kết luận Tài liệu tham khảo 86 96 97 Lời mở đầu Tốn rời rạc đóng vai trị quan trọng tốn học có nội dung phong phú có nhiều ứng dụng đời sống thực tiễn Trong kì thi đại học, thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế, toán tổ hợp xuất nhiều thường có nội dung khó Nhìn chung, việc phân loại tốn số học, đại số, giải tích, hình học tương đối rõ ràng việc phân loại tốn tổ hợp mơ hồ Chính đa dạng nên việc giảng dạy học tập chúng vấn đề khó khăn Hơn nữa, chương trình tốn phổ thơng, tài liệu tham khảo lĩnh vực tổ hợp ít, nên luận văn nhằm góp phần kiến thức nhỏ bé để hổ trợ cho việc học tập giảng dạy, bổ sung thêm tài liệu tham khảo tổ hợp Luận văn nhằm mục tiêu giới thiệu số tốn gọi thuộc loại "số học - tổ hợp" Thực khơng có "định nghĩa" cho loại toán Nên luận văn giới hạn việc đưa số toán thường gặp kì thi học sinh giỏi, mà việc giải chúng đòi hỏi phương pháp số học tổ hợp Bố cục luận văn chia thành ba chương: Chương : Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức số học (tính chia hết, biểu diễn số, số nguyên tố, bội chung nhỏ nhất, ước chung lớn nhất, đồng dư, thặng dư, số định lý quan trọng bao gồm: định lý Wilson, định lý Fermat, định lý phần dư Trung Hoa) số kiến thức tổ hợp (quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nguyên lý bù trừ, nguyên lý Dirichlet, khai triển nhị thức Newton) Chương : Một số toán Số học - Tổ hợp Mục đích chương trình bày số toán thuộc loại "số học - tổ hợp" theo chủ đề (tính chất số học , toán chia kẹo Euler, bất biến, cực trị tập hợp rời rạc số phức), đồng thời tốn chúng tơi cố gắng phân tích để tiếp cận lời giải có bình luận Chương 3: Một số tốn trị chơi Trong chương cuối cùng, chúng tơi giới thiệu số tốn trị chơi đặc biệt ứng dụng "tỉ số vàng" lời giải tốn trị chơi Mặc dù thân cố gắng nhiều trình thực hiện, thời gian có hạn kiến thức thân cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận bảo quý thầy cô bạn Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn nghiêm khắc bảo tận tình GS TSKH Hà Huy Khối Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thầy Qua đây, tơi xin gửi tới thầy Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2011 − 2013 lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình giáo dục đào tạo Nhà trường Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, ban giám hiệu tập thể giáo viên trường THPT chuyên Lê Quý Đôn tỉnh Bình định quan tâm, tạo điều kiện động viên cổ vũ tơi để tơi hồn thành nhiệm vụ Hà nội, tháng 11 năm 2013 Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Kiến thức tổ hợp 1.1.1 Quy tắc cộng Nội dung quy tắc: Nếu có m1 cách chọn đối tượng a1 , m2 cách chọn đối tượng a2 , , mn cách chọn đối tượng an , cách chọn đối tượng (1 ≤ i ≤ n) khơng phụ thuộc vào cách chọn đối tượng aj n (1 ≤ j ≤ n, i = j) có mi cách chọn đối tượng a1 , a2 , , i=1 an Để sử dụng tốt quy tắc ta chuyển sang ngôn ngữ tập hợp sau: Xét {A1 , A2 , , An } họ tập hợp hữu hạn cuả tập A cho hai tập khơng có phần tử chung, hợp tất tập A, n A= Ai Khi đó, ta có i=1 n |A| = |A1 | + |A2 | + + |An | = |Ai | i=1 1.1.2 Quy tắc nhân Nội dung quy tắc: Cho n đối tượng a1 , a2 , , an , có m1 cách chọn đối tượng a1 với cách chọn a1 có m2 cách chọn đối tượng a2 , sau với cách chọn a1 , a2 có m3 cách chọn đối tượng a3 , cuối với cách chọn a1 , a2 , , an−1 có mn cách chọn đối tượng an Như có m1 m2 mn cách chọn đối tượng a1 , a2 , , an Tương tự quy tắc cộng, ta chuyển sang ngôn ngữ tập hợp sau: Giả sử có n tập hợp Ak (1 ≤ k ≤ n) với |Ak | = mk Khi đó, số cách chọn gồm n phần tử (a1 , a2 , , an ) với ∈ Ai (1 ≤ i ≤ n) n |A1 × A2 × × An | = m1 × m2 × × mn = mk k=1 1.1.3 Hoán vị Định nghĩa 1.1 (Hốn vị khơng lặp) Giả sử A tập hợp hữu hạn gồm n phần tử Một cách xếp n phần tử khác tập A theo thứ tự gọi hốn vị khơng lặp phần tử tập A, hay đơn giản xếp n phần tử tập A Khi đó, số hốn vị khơng lặp n phần tử kí hiệu Pn tính theo công thức Pn = n (n − 1) = n! Định nghĩa 1.2 (Hốn vị có lặp) Hốn vị phần tử xuất lần gọi hốn vị có lặp Kí hiệu P (n1 , n2 , , nk ) số hốn vị có lặp n phần tử gồm k loại, mà phần tử loại i (1 ≤ i ≤ k) xuất ni lần tính theo công thức n! P (n1 , n2 , , nk ) = n1 !n2 ! nk ! 1.1.4 Chỉnh hợp Định nghĩa 1.3 (Chỉnh hợp không lặp) Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi gồm k (0 ≤ k ≤ n) phần tử thứ tự tập A gọi chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử thuộc A Kí hiệu số chỉnh hợp khơng lặp chập k n Akn , tính cơng thức Akn = n! (n − k)! Định nghĩa 1.4 (Chỉnh hợp có lặp) Cho tập hợp X gồm n phần tử Mỗi dãy có độ dài k phần tử tập X , mà phần tử lặp lại nhiều lần theo thứ tự định gọi chỉnh hợp có lặp chập k n phần tử thuộc tập X Kí hiệu số chỉnh hợp có lặp chập k n Akn , tính cơng thức Akn = nk 1.1.5 Tổ hợp Định nghĩa 1.5 (Tổ hợp không lặp) Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k (0 ≤ k ≤ n ) phần tử tập A gọi tổ hợp không lặp chập k n phần tử thuộc A Kí hiệu số tổ hợp khơng lặp chập k n Cnk , tính cơng thức Cnk = n! k! (n − k)! Định nghĩa 1.6 (Tổ hợp có lặp) Cho tập A = {a1 , a2 , , an } Một tổ hợp có lặp chập m (m khơng thiết phải nhỏ n) n phần tử thuộc A gồm m phần tử, mà phần tử phần tử A Kí hiệu số tổ hợp có lặp chập m n Cnm , tính cơng thức m Cnm = Cn+m−1 1.1.6 Nguyên lý bù trừ Giả sử M1 , M2 , , Mn tập hợp hữu hạn Khi ta có cơng thức tổng qt sau đây: n |M1 ∪ M2 ∪ ∪ Mn | = |Mi | − i=1 |Mi ∩ Mj | 1≤i có biểu diễn dạng tích số ngun tố (khơng kể thứ tự), tức n = pα1 pα2 pαk k , αi ∈ Z+ , p1 < p2 < < pk số nguyên tố Định lý 1.4 Tập hợp số nguyên tố vô hạn 1.2.4 Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ Định nghĩa 1.8 Cho n > số nguyên không đồng thời không a1 , a2 , , an Số nguyên dương d lớn có tính chất d chia hết , i = 1, 2, , n gọi ước chung lớn n số a1 , a2 , , an Kí hiệu ƯCLN(a1 , a2 , , an ) hay (a1 , a2 , , an ) 83 2π 2π + i sin p p p−1 Ta có f (1) = m p−1 − xmi Nếu x = f (x) = Khi i i=1 − x ε = cos • Nếu m p p−1 j f ε = i=1 − εmij = 0, j = 1, , p − 1 − εij • Nếu (m, p) = p−1 j f ε = i=1 − εji − εji m = 1, j = 1, 2, , p − Tóm lại  p−1 m +p−1    p |E|= p−1 m    p m, p nguyên tố m chia hết cho p Bài toán 2.73 (IMO - 1995) Cho p số nguyên tố lẻ Tìm số tập X tập A = {1, 2, , 2p} biết X có p phần tử Tổng số phần tử X chia hết cho p Phân tích - Lời giải 2π 2π xi số tập X tập A cho |X| = p Giả sử ε = cos + i sin p p m (X) ≡ i (modp), m(X) tổng số tập X Khi p−1 x i εi = i=0 εm(B) = B⊂A,|B|=p εc1 +c2 + +cp 1≤c1 l a > k ; ta giảm đồng thời a, b đại lượng a − k = b − l đến vị trí (k, l) ∈ R Như vậy, để giải tốn ta cần tìm tập hợp vị trí thỏa mãn tính chất từ (1) đến (5) Tập hợp ta gặp toán Thật vậy, xuất phát từ điểm (0, 0) ta xây dựng dãy an , bn , n ≥ quy nạp sau: Giả sử có (a1 , b1 ) , (a2 , b2 ) , , (an , bn ) Khi ta lấy an+1 số nguyên dương nhỏ chưa xuất dãy an , bn trước đó, đồng thời lấy bn+1 = an+1 + n + Dễ dàng chứng minh rằng, tập R = {(0, 0) , (an , bn ) , (bn , an ) , n = 1, 2, } tập hợp thỏa mãn điều kiện từ (1) đến (5), tập hợp vị trí thắng Vậy tập hợp cần tìm √ √ √ √ 1+ 3+ 3+ 1+ (0, 0) , n , n , n , n ,n ∈ N 2 2 96 Kết luận Đóng góp luận văn: • Tìm hiểu trình bày lại số kiến thức số học tổ hợp • Trình bày toán tổ hợp mà lời giải yêu cầu việc sử dụng tính chất số học Hơn nữa, chúng tơi chia tốn thuộc loại theo chủ đề bao gồm: tính chất số học, tốn chia kẹo Euler, bất biến, cực trị tập hợp rời rạc số phức • Trình bày số tốn trị chơi giới thiệu số toán liên quan đến "tỉ số vàng" 97 Tài liệu tham khảo [1] Hà Huy Khoái, 2005, Số học, NXB Giáo Dục Việt Nam [2] Hà Huy Khoái, 2012, Một số toán Số học - Tổ hợp, Bồi dưỡng giáo viên [3] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng, Vũ Đình Hịa, Đặng Huy Ruận, Đặng Hùng Thắng, 2008, Chuyên đề chọn lọc "TỔ HỢP TOÁN RỜI RẠC", NXB Giáo Dục [4] ThS Nguyễn Văn Nho, 2002, Tuyển tập toán từ thi Trung Quốc, NXB Giáo Dục [5] ThS Nguyễn Văn Nho, 2004, Olympic tốn học châu Á Thái Bình Dương, NXB Giáo Dục [6] PGS.TS.Vũ Dương Thụy - ThS Nguyễn Văn Nho, 2003, 40 năm Olympic toán học quốc tế 1959-2000, NXB Giáo Dục [7] Tủ sách toán học tuổi trẻ, 2007, Các toán thi Olympic toán trung học phổ thông Việt Nam 1990-2006, NXB Giáo Dục [8] Tạp chí tốn học tuổi trẻ [9] Tài liệu từ Internet ... Chương Một số toán Số học - Tổ hợp Thông thường để tạo toán tổ hợp, hay kết hợp kết lĩnh vực khác nhau; chẳng hạn kết số học, hình học, đại số với kết lý thuyết tổ hợp Chính vậy, việc giải tốn tổ hợp. .. vực khác phải biết kết hợp chúng lại Trong luận văn này, chúng tơi xét số tốn tổ hợp có nội dung kết hợp kết số học tổ hợp Trong chương này, giới thiệu số toán "số học - tổ hợp" xếp theo chủ đề... 1.2.9 Một số định lý quan trọng Một số tốn Số học - Tổ hợp 2.1 Tính chất số học 2.1.1 Tính chia hết 2.1.2 Biểu diễn số 2.1.3 Thuật toán Euclid số