Về các bài toán số học tổ hợp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thị Hồng Huế VỀ CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC - TỔ HỢP Chuyên Ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ:60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Hà Huy Khoái Thái Nguyên - 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Cơng trình hồn thành Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Hà Huy Khoái Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Ngun Ngày tháng năm 2013 Có thể tìm hiểu Thư Viện Đại Học Thái Ngun Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mục lục Mở đầu Chương Tỷ số vàng 1.1 Sơ lược tỷ số vàng 1.2 Các toán 4 Chương Các dãy nhị phân 2.1 Đặt vấn đề 2.2 Các toán 14 14 14 Chương 3.1 Bài 3.2 Bài 3.3 Bài 3.4 Bài 3.5 Bài 3.6 Bài 18 18 19 20 21 23 23 Tính chia tốn 3.1.1 tốn 3.1.2 tốn 3.1.3 tốn 3.1.4 toán 3.1.5 toán 3.1.6 hết Chương Trò chơi 4.1 Sơ lược Lý thuyết trò chơi 4.1.1 Khái niêm Lý thuyết trò chơi 4.1.2 Biểu diễn trò chơi 4.2 Các tốn số học - tổ hợp có liên quan trò chơi Kết luận Số hóa trung tâm học liệu đến 25 25 25 25 27 34 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Các toán số học tổ hợp từ lâu đóng vai trị quan trọng việc rèn luyện tư toán học kỹ giải toán Bài toán số học tổ hợp có số đặc điểm quan trọng mang tính khác biệt sau: + Có thể giảng dạy bậc, lớp khác + Khơng có khn mẫu định cho việc giải (Khơng giống việc giải phương trình, khảo sát hàm số, tính tích phân ) Do địi hỏi sáng tạo từ phía học sinh + Thường phải phát biểu lời văn, đòi hỏi học sinh phải có kỹ đọc hiểu rút tích thơng tin, biết cách biểu đạt ngơn ngữ tốn học Bài tốn số học tổ hợp thường mang tính thực tế thẩm mỹ cao khiến học sinh yêu thích, ghi nhớ Tuy nhiên nói "các tốn thuộc loại Số học - Tổ hợp" thực khơng có " định nghĩa" cho loại tốn Vì giới hạn việc đưa số ví dụ loại toán thường gặp kỳ thi học sinh giỏi cấp Cuốn luận văn trình bày gồm bốn chương: Chương 1: Tỷ số vàng Chương 2: Các dãy nhị phân Chương3: Tính chia hết Chương4: Trị chơi Trong trình bày lời giải, chúng tơi cố gắng mơ tả q trình hình thành nên lời giải đưa lời giải ngắn gọn Luận văn hoàn thành với hướng dẫn bảo tận tình Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ GS.TSKH Hà Huy Khối - Viện Tốn Học Hà Nội Từ đáy lịng mình, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên bảo hướng dẫn thầy Em xin trân trọng cảm ơn tới Thầy Cô Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên, phòng Đào Tạo Trường Đại Học Khoa Học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Toán K5c Trường Đại Học Khoa Học động viên giúp đỡ q trình học tập làm luận văn Tơi xin cảm ơn tới Sở Giáo dục - Đào tạo Tỉnh Bắc Ninh, Ban Giám Hiệu, đồng nghiệp Trường THPT Lý Thường Kiệt - Thành phố Bắc Ninh tạo điều kiện cho tơi học tập hồn thành kế hoạch học tập Thái Nguyên, ngày tháng năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Hồng Huế Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Tỷ số vàng 1.1 Sơ lược tỷ số vàng Tỷ số vàng φ tỷ số mà chia đoạn thẳng thành hai phần a b cho tỷ số hai đoạn thẳng (a + b) đoạn lớn a tỷ số đoạn lớn a đoạn nhỏ b Tức là: a+b a = a b Ta qui độ dài a + b đơn vị Gọi độ dài đoạn lớn x, đoạn bé − x Ta được: √ x −1 + φ= = ⇔ x2 + x − = ⇔ x = x 1−x √ 1 1+ √ = φ= = ≈ 1, 6180339887 x −1 + * Hình chữ nhật vàng: Là hình chữ nhật có tỷ số chiều dài chiều rộng φ * Đường xoắn ốc lơgarít tiếp xúc với cạnh chuỗi hình chữ nhật vàng gọi Đường xoắn ốc vàng Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ - Tỷ lệ vàng áp dụng nghệ thuật mang đến cho người cảm giác đẹp hài hịa dễ chịu cách khó giải thích Do đó, nó giảng mơn học nghệ thuật, kiến trúc, mỹ thuật, trang trí, hội họa, điêu khắc, nhiếp ảnh vv quy luật tương hợp kỳ lạ với óc thẩm mỹ người Trong tự nhiên: hình ảnh đường xoắn ốc vàng xếp nhị hoa hoa hướng dương tạo cảm giác đẹp mắt Trong kiến trúc Tỷ lệ vàng áp dụng kích thước kiến trúc cơng trình tiếng đền Parthenon Hi lạp, kim tự tháp Giza “Hình chữ nhật vàng” thiết kế đền thờ Parthenon Hy Lạp: Tại Toronto, Canada tòa tháp cao giới, thiết kế theo tỉ lệ vàng Tỉ số tổng chiều cao tháp so với độ cao đài quan sát là: 553, 33m : 342m = 1, 618 = φ Trong nghệ thuật: Với thiếu nữ bên hoa huệ Tô Ngọc Vân, ta vạch đường Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ cong tự nhiên theo thể cô gái qua điểm: nhụy hoa bên phải, đài nụ cong xuống, đầu ngón tay phải điểm cuối trung tâm bố cục có ý nghĩa tranh: nhụy bơng hoa Đó đường xoắn ốc vàng Chính bố cục xoắn ốc vàng tạo nên hiệu thẩm mỹ tác phẩm Mona Lisa Tỷ số vàng áp dụng thành công nhiều tác phẩm hội họa Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Số hóa trung tâm học lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Xuất nhiếp ảnh, tỷ số vàng- số chi phối thiết kế tự nhiên nói chung sinh thể nói riêng, tạo vẻ đẹp hài hòa Tỷ lệ vàng khuỗn mẫu vào sách giảng dạy ngày nay, việc người ta áp dụng nhiếp ảnh mơt điều dễ hiểu Và hình học thật ngạc nhiên "tỷ số vàng" xuất Ví dụ tỷ số cạnh ngũ giác với đường chéo ngũ giác Nếu vẽ vào tất đường chéo ngũ giác đường chéo cắt đường chéo cắt đường chéo khác theo "tỷ số vàng"như hình vẽ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 21 Ta chứng minh dự đốn trên, nghĩa với k≥ khơng thể phân hoạch tập số tự nhiên thành k tập hợp thỏa mãn Rõ ràng k ≥ mà tồn phân hoạch thỏa mãn, phân hoạch tồn với k=4: cần lấy phân hoạch A1 , A2 , A3 , A4 ∪ A5 ∪ Ak ta phân hoạch gồm tập hợp thỏa mãn Như cần chứng minh tồn phân hoạch gồm tập hợp thỏa mãn Giả sử tồn phân hoạch vậy:A1 , A2 , A3 , A4 Như ta thấy ví dụ k=2,3, tập hợp : Ai phải chứa số số tự nhiên Xét 10 số nhỏ mà tập hợp Ai phải biểu diễn được: 15,16, ,24 Mỗi số 10 số tổng hai số thuộc tập hợp B = {1, 2, 3, , 23} Như vậy, tập hợp Ai cần chứa số thuộc B Do tập Ai rời mà B có 23 phần tử nên phải tồn tập Aj chứa số thuộc B, giả sử số {x1 , x2 , x3 , x4 , x5 } Năm số biểu diễn 10 số số từ 15 đến 24 , tức 10 số 10 tổng {xk + xl , k = l; ≤ k} Từ suy ra: 15 + 16 + + 24 = 4(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ), số xi tham gia cặp số Đẳng thức cho ta mâu thuẫn tổng vế trái 195, vế phải chia hết cho 4.Vậy ta có điều phải chứng minh 3.4 Bài toán 3.1.4 Với số nguyên dương m, ký hiệu C(m) số nguyên dương k lớn để tồn tập hợp S gồm m số nguyên dương cho số nguyên từ đến k thuộc S, tổng hai số thuộc S (không thiết khác nhau) Ví dụ: C(3)=8; S={1, 3, 4} Chứng minh bất đẳng thức sau: m(m + 6) m(m + 3) ≤ C(m) ≤ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 22 Lời giải: Điều kiện toán gợi cho ta thấy cần phải tính số phần tử tập hợp S ∪ (S + S), : S + S = {x + y|x, y ∈ S} Nếu với tập hợp A, ký hiệu |A| số phần tử nó, ta có bất đẳng thức hiển nhiên sau: |S ∪ (S + S)| ≤ |S| + |S + S| Mỗi phần tử S+S nhận cách lấy tổng cặp số ( khác nhau) S, suy bất đẳng thức sau: |S + S| ≤ |S| + C|S| = |S| (|S| + 1) Trong hai bất đẳng thức cần chứng minh, bất đẳng thức bên phải tương đối dễ thấy Số C(m) số nguyên dương k lớn sho tồn tập hợp S gồm m số nguyên dương thỏa mãn {1, 2, k} ⊂ S ∪ (S + S) Từ chứng minh ta có k ≤ |S ∪ (S + S)| ≤ |S| (|S| + 3) Từ suy ra: m(m + 3) Ta chứng minh bất đẳng thức bên trái Trước tiên, tập hợp S cần tìm chứa số tự nhiên liên tiếp 1,2, , t; t4 số nhóm lẻ (n ≡ 4mod8) người trước thắng Nếu số nhóm chẵn (n ≡ 0mod8), ta lại gắn que diêm thành nhóm que, Như vậy, người trước có chiến lược thắng n lũy thừa (n = 2k ) Trên tốn trị chơi, mà lời giải dựa vào việc xét modulo [2k ] Trong phần lại mục này, xem xét tốn trị chơi tổng qt Sở dĩ đưa ví dụ lời giải hội tụ đầy đủ vấn đề thường gặp tốn trị chơi: tập hợp có chiến lược thắng, đồ thị, số học Hơn nữa, lại lần tìm thấy tham gia "Tỷ số vàng" Bài toán 4.2.2 Cho hai đống đá, đống có a hịn đá , đống có b hịn đá Hai người chơi, người đến lượt lấy số tùy ý hịn đá từ hai đống, lấy từ đống số đá Người lấy đá cuối người chiến thắng Tìm tất cặp (a, b) cho người sau có chiến lược thắng.(Ví dụ : (1,2) cặp có tính chất đó) Lời giải: Điều kiện tốn gợi cho ta thấy cần phải tính số phần tử tập hợp S ∪ (S + S), : S + S = {x + y|x, y ∈ S} Soá hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 29 Nếu với tập hợp A, ký hiệu |A| số phần tử nó, ta có bất đẳng thức hiển nhiên sau: |S ∪ (S + S)| ≤ |S| + |S + S| Mỗi phần tử S+S nhận cách lấy tổng cặp số ( khác nhau) S, suy bất đẳng thức sau: |S + S| ≤ |S| + C|S| = |S| (|S| + 1) Trong hai bất đẳng thức cần chứng minh, bất đẳng thức bên phải tương đối dễ thấy Số C(m) số nguyên dương k lớn sho tồn tập hợp S gồm m số nguyên dương thỏa mãn {1, 2, k} ⊂ S ∪ (S + S) Từ chứng minh ta có k ≤ |S ∪ (S + S)| ≤ |S| (|S| + 3) Từ suy ra: m(m + 3) Ta chứng minh bất đẳng thức bên trái Trước tiên, tập hợp S cần tìm chứa số tự nhiên liên tiếp 1,2, , t; t