Các bài toán hình học tổ hợp

Header Page of 16 I HC THI NGUYấN TRNG I HC KHOA HC - Lấ TH BèNH CC BI TON HèNH HC T HP Chuyờn ngnh: PHNG PHP TON S CP Mó s:60.46.40 LUN VN THC S KHOA HOC TON HC Ngi hng dn khoa hc: PGS TS Phan Huy Khi THI NGUYấN, NM 2009 Footer Page of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 Li núi u Hỡnh hc t hp l mt nhỏnh khụng th thiu c ca cỏc bi toỏn t hp núi chung, nú thng xuyờn xut hin cỏc thi hc sinh gii mi cp Khỏc vi cỏc bi toỏn lnh vc Gii tớch, i s, Lng giỏc, cỏc bi toỏn ca hỡnh hc t hp thng liờn quan nhiu n cỏc i tng l cỏc hp hu hn Vỡ l ú cỏc bi toỏn ny mang c trng rừ nột ca toỏn hc ri rc (t s dng n tớnh liờn tc - mt tớnh cht c trng ca b mụn gii tớch) Lun ỏn ny cp n cỏc phng phỏp chớnh gii cỏc bi toỏn v hỡnh hc t hp Ngoi phn m u, danh mc ti liu tham kho, lun ỏn gm ba chng Chng I ỏp dng Nguyờn lớ cc hn vo gii cỏc bi toỏn hỡnh hc t hp l mt phng phỏp c dng cho nhiu lp bi toỏn khỏc, c bit nú cú ớch gii cỏc bi toỏn t hp núi chung v hn hp t hp núi riờng Nguyờn lớ ny dựng gii cỏc bi toỏn m i tng phi xột ca nú tn ti cỏc giỏ tri ln nht, giỏ tr nh nht theo mt ngha no ú v kt hp vi nhng bi toỏn khỏc c bit l phng phỏp phn chng, hp cỏc giỏ tr cn kho sỏt ch l hp hu hn hoc cú th vụ hn nhng tn ti mt phn t ln nht Chng II Nguyờn lớ Dirichlet: l mt nhng phng phỏp thụng dng v hiu qu gii cỏc bi toỏn hỡnh hc t hp Nguyờn lớ Dirichlet cũn l mt cụng c ht sc nhy bộn cú hiu qu cao dựng chng minh nhiu kt qu sõu sc ca toỏn hc Nú c bit cú nhiu ỏp dng cỏc lnh vc khỏc ca toỏn hc Dựng nguyờn lớ ny nhiu trng hp ngi ta d dng chng minh c s tn ti ca mt i tng vi tớnh cht xỏc nh Tuy rng vi nguyờn lớ ny ta chng minh c s tn ti m khụng a c phng phỏp tỡm c vt c th, nhng thc t nhiu bi toỏn ta ch cn ch s tn ti ó Chng III S dng tớnh li ca hp ỏp dng vo cỏc bi toỏn t hp, chng ny chỳng ta cp n hai kt qu hay s dng nht ú l nh lớ Kelli v tớnh giao ca cỏc hp li v s dng phộp ly bao li gii cỏc bi toỏn hỡnh hc t hp l mt nhng phng phỏp rt hu hiu Footer Page of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 Phn cũn li ca lun c trỡnh by vi phng phỏp khỏc gii cỏc bi toỏn hỡnh hc t hp Lun ny c hon thnh di s hng dn tn tỡnh v ch bo ca thy giỏo PGS.TS Phan Huy Khi Tụi xin by t lũng kớnh trng v bit n sõu sc n thy Tụi xin trõn trng cm n ban lónh o Khoa Toỏn Trng i hc Khoa hc, cỏc thy cỏc cụ ó trang b kin thc, to iu kin cho tụi thi gian hc ti trng Thỏi Nguyờn, ngy 18 thỏng nm 2009 Tỏc gi Lờ Th Bỡnh Footer Page of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 Mc lc Mc lc trang Li núi u i Mc lc ii Chng I: Nguyờn lớ cc hn Chng II: S dng nguyờn lớ Dirichlet Chng III: S dng tớnh li ca hp 19 Đ1 Cỏc bi toỏn s dng nh lớ Kelli 19 Đ2 Phng phỏp s dng phộp ly bao li 27 Chng IV: Vi phng phỏp khỏc 32 Footer Page of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 -1- Chng I: NGUYấN L CC HN Nguyờn lớ 1: Trong hp hu hn v khỏc rng cỏc s thc luụn cú th chn c s nht v s ln nht Nguyờn lớ 2: Trong mt hp khỏc rng cỏc s t nhiờn luụn luụn cú th chn c s nht S dng nguyờn lớ cc hn l mt phng phỏp c dng cho nhiu lp bi toỏn khỏc, c bit nú cú ớch gii cỏc bi toỏn t hp núi chung v hn hp t hp núi riờng Nguyờn lớ ny dựng gii cỏc bi toỏn m hp nhng i tng phi xột ca nú tn ti cỏc giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht theo mt ngha no ú Nguyờn lớ cc hn thng c s dng kt hp vi cỏc phng phỏp khỏc, c bit l phng phỏp phn chng, c dng trng hp cỏc giỏ tr cn kho sỏt ch l hp hu hn (Nguyờn lớ 1) hoc cú th vụ hn nhng tn ti mt phn t ln nht hoc nh nht (Nguyờn lớ 2) s dng nguyờn lớ cc hn gii cỏc bi toỏn hỡnh hc t hp, ngi ta thng dựng mt lc chung gii sau: - a bi toỏn ang xột v dng cú th s dng nguyờn lớ (hoc nguyờn lớ 2) chng t rng tt c cỏc giỏ tr cn kho sỏt ca bi toỏn cn cú giỏ tr ln nht (nh nht), xột bi toỏn tng ng nú nhn giỏ ln nht (nh nht) -Ch mõu thun, hoc a giỏ tr cũn ln hn (hoc nh hn) giỏ tr ln nht (nh nht) m ta ang kho sỏt Theo nguyờn lớ ca phng phỏp phn chng, ta s suy iu phi chng minh Cỏc vớ d c trỡnh by di õy s minh ho cho phng phỏp ny Vớ d 1.1: Trờn mt ng thng ỏnh du n im khỏc A1, A2, , An theo th t t trỏi qua phi (n 4) Mi im c tụ bng mt mu khỏc v c bn mu u c dựng Chng minh rng tn ti mt Footer Page of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 -2- on thng cha ỳng hai im ca hai mu v ớt nht hai im ca hai mu cũn li Gii: Xột hp sau: A = { k | k n } Tp A ( vỡ theo gi thit dựng c bn mu) v A hu hn nờn theo nguyờn lớ cc hn, tn ti ch s i nh nht m i A Theo nh ngha ca hp A, vỡ i l ch s nht thuc A, nờn mu ca im Ai s khỏc vi mu ca tt c cỏc im A1, A2, , Ai-1 Chỳ ý rng bõy gi dóy A1, A2 , , Ai li cú bn mu Xột tip sau: B = {k | k i v gia cỏc im Ak , Ak+1, , Ai cú mt bn mu} Tp B (vỡ dóy A1, A2 , , Ai cú bn mu), v B hu hn nờn theo nguyờn lớ cc hn, tn ti ch s j ln nht m j B Theo nh ngha ca hp B, v j l ch s ln nht thuc B, nờn mu ca im Aj s khỏc vi mu ca tt c cỏc im Aj+1 , , Ai Xột on [Aj Ai] Khi ú on thng ny cha ỳng hai im ca hai mu (ú l Aj v Ai ), v ớt nht hai im ca hai mu cũn li Aj+i , , Ai-1. Vớ d 1.2: Cho ABC l tam giỏc nhn Ly mt im P bt kỡ tam giỏc Chng minh rng khong cỏch ln nht cỏc khong cỏch t P ti ba im A , B, C ca tam giỏc khụng nh hn ln khong cỏch nht cỏc khong cỏch t P ti ba cnh ca tam giỏc ú Gii: Gi A1, B1, C1 tng ng l hỡnh chiu ca P xung BC, AC, AB o ã ã ã ã ã APC1 + C Ta cú: ã PB + BPA1 + A1PC + CPB1 + B1 PA = 360 Footer Page of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn (1) http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 -3- Theo nguyờn lớ cc hn, tn ti: { } ã ã ã ã ã ã max ã APC1 ,C PB,BPA1 , A1PC,CPB1 ,B1PA = BPA1 (2) T (1) v (2) d suy ra: PBA&1& 60 o T (3) ta i n cos (3) ã = PA1 PBA PB Nh vy PB 2PA1 (4) T (4) suy max {PA,PB,PC} PB PA1 {PA1 ,PB1 ,PC1} Vớ d 1.3: Chng minh rng trờn mt phng to , khụng th tỡm c nm im nguyờn l nh ca mt ng giỏc u (Mt im M(x ; y) trờn mt phng to c gi l im nguyờn nu c hai to x , y ca nú u l nhng s nguyờn) Gii: Gi thit trỏi li, tn ti mt ng giỏc u cho nm nh ca nú u l nhng im nguyờn.Ta xột hp sau: = {a | a l cnh ca ng giỏc u cú nm nh l cỏc im nguyờn} D thy, a l cnh ca ng giỏc u vi cỏc nh nguyờn nờn a2 l s nguyờn dng Tht vy, gi s A1A2 A3A4A5 l a giỏc u thuc Gi s Ai (xi ; yi), i = 1, , thỡ nu gi a l cnh ca ng giỏc u ny, ta cú: a2 = A1A22 = (x2 x1)2 + (y2 - y1)2 Do xi , yi  , i = 1,5 nờn a2 l s nguyờn dng Nh th , iu ny suy t gi thit phn chng Tp cỏc s t nhiờn, khỏc rng, nờn theo nguyờn lớ cc hn suy tn ti phn t nh nht, tc l tn ti ng giỏc u ABCDE cho a*2 l nh nht, õy a* l cnh ca ng giỏc u ny D thy ABCB' ; BCDC' ; CDED'; Footer Page of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 -4- DEAE' v AEBA' u l cỏc hỡnh bỡnh hnh vi BD CE = A' , AD CE =B' , AD BE = C' , AC BE = D' ,AC DE = E' T hỡnh bỡnh hnh EABA' suy ra: x A' = xB + xE x A y A' = y B + yE y A (1) Do A, B, C, D, E l cỏc im nguyờn nờn xA, xE, xB ; yA, yE, yB u l cỏc s nguyờn Vỡ th (1) suy xA' , yA' cng l cỏc s nguyờn Nh th A' l im nguyờn Tng t B' , C' , D' , E' cng l cỏc ''im nguyờn'' Rừ rng A'B'C'D'E' l ng giỏc u vi cỏc nh ca nú u l cỏc im nguyờn, H-1.3 tc l A'B'C'D'E' Mt khỏc, nu gi a' l cnh ca ng giỏc u, thỡ rừ l: a'< a* a'2 < a*2 (2) Bt ng thc (2) mõu thun vi tớnh nh nht ca a* Vy gi thit phn chng l sai Nh th khụng tn ti mt ng giỏc u vi cỏc nh u l im nguyờn Vớ d 1.4: Trờn mt phng cho 2005 im, khong cỏch gia cỏc im ny ụi mt khỏc Ni im no ú s cỏc im ny vi im gn nht C tip tc nh th Hi vi cỏch ni ú cú th nhn c mt ng gp khỳc khộp kớn khụng? Gii: Gi s xut phỏt t mt im A1 bt k Theo nguyờn lớ cc hn, s tt c cỏc on thng cú u mỳt A1 thỡ tn ti im gn A1 nht im ny l nht, vỡ theo gi thit khong cỏch gia cỏc im l khỏc Footer Page of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 -5- cp im khỏc Gi im ny l A2 Tip tc xột nh vy vi cỏc on thng xut phỏt t A2 Cú hai kh nng xy ra: 1.Nu A1 l im gn A2 nht Khi ú ng gp khỳc dng li ti A2 Rừ rng ta thu c ng gp khỳc vi mt khỳc A1A2 v d nhiờn nú khụng khộp kớn 2.Nu tn ti nht im A3 v A2A3 l ngn nht Khi ú ta cú ng gp khỳc A1A2A3 vi A1A2 > A2A3 H 1.4 Gi s ó cú ng gp khỳc A1A2An v theo lp lun trờn ta cú: A1A2 > A2A3 > > An-1An Chỳ ý rng im An khụng th ni c vi im Ai no ú m i n Tht vy nu trỏi li ta ni c An vi Ai ( õy i n 2) Theo nh ngha v cỏch ni im ta c: AnAi < An-1An < AiAi+1 (1) Nhng theo cỏch ni t Ai ta li cú: AiAi+1 < AnAi (2) T (1) v (2) suy vụ lớ Vy khụng H -1.5 bao gi ng khp khỳc A1A2An l khộp kớn Ta cú cõu tr li ph nh: Khụng th nhn c mt ng gp khỳc khộp kớn, nu ni theo quy tc trờn Vớ d 1.5: Cho cỏc s nguyờn m, n vi m < p , n < q cho p ì q s thc ụi mt khỏc in cỏc s ó cho vo cỏc ụ vuụng ca bng ụ vuụng kớch thc p ì q (gm p hng, q ct) cho mi s c in vo mt ụ v mi ụ c in vo mt s Ta gi mt ụ vuụng ca bng l ụ xu nu s nm ụ ú hn ớt nht m s nm cựng ct vi nú v ng thi ớt nht n Footer Page of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 10 of 16 -6- s nm cựng hng vi nú Vi mi cỏch in s núi trờn, gi s l s ụ xu ca bng s nhn c Hóy tỡm giỏ tr nh nht ca s Gii: Bng phng phỏp quy np ta s chng minh bt ng thc sau: s (p m) (q n) (1) Ta quy np theo s p + q Nu p + q = 2, tc p = q = (bng cú nht mt s) Khi ú kt lun ca bi toỏn l ỳng (hiu theo ngha õy m , n khụng cú hoc cú th hiu theo ngha khụng cú trng hp ny) Tng t p + q = Vi p + q = p = q = v m = n = Xột mt cỏch in bt kỡ bn s ụi mt khỏc a, b, c, d Khụng gim tng quỏt cú th cho l a < b < c < d (nu khụng lớ lun tng t) a b c d ễ cú s a l ụ xu (vỡ nú hn mt s nm cựng ct v mt s nm cựng hng, v ch cú ụ ú l xu m thụi) Ta cú s = Mt khỏc, trng hp ny: (p m)(q n) = (2 1)(2 1) = Kt lun ca bi toỏn ỳng trng hp ny Gi thit quy np kt lun ca bi toỏn ỳng n p + q = k ( õy p > m , q > n) , tc l trng hp ny s ụ xu ln hn hoc bng (p m)(p n) Xột bng pìq cú p + q = k + Ta gi mt ụ vuụng ca bng l xu theo hng (xu theo ct) nu s nm ụ ú hn ớt nht n s (tng ng m s) nm cựng hng (tng ng nm cựng ct) vi nú Footer Page 10 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 46 of 16 - 42 - T (6) suy bi toỏn cú cõu tr li ph nh: khụng th cú cỏch in s vo nh v cch lp phng cho tng s tỏm nh bng tng ca 12 s 12 cnh ca hỡnh lp phng Vớ d 4.10: Cho bng ụ vuụng kớch thc 2nì(2n + 1) (bng gm 2n dũng v 2n + ct) Hóy tỡm s nguyờn dng k ln nht cho ta cú th tụ mu k ụ vuụng ca bng m vi mi hai ụ vuụng no c tụ mu cng khụng cú nh chung Gii: Ta ỏnh s cỏc hng v ct theo quy c sau: Th t ca hng tớnh t trờn xung di, cũn th t ca ct tớnh t trỏi sang phi Kớ hiu (i ; j) l ụ vuụng nm giao ca hng th i v ct th j ca bng Gi s T l mt cỏch tụ mu theo yờu cu u bi Kớ hiu k(T) l s ụ c tụ mu ca cỏch T Nu ụ (i ; j) c tụ mu cỏch tụ mu T (1 i 2n 1) thỡ ụ ( i + ; j) , v cỏc ụ k vi (i ; j) cựng hng d nhiờn khụng c tụ mu Thc hin phộp bin i sau i vi T: Xúa mu tt c cỏc ụ (i ; j) m i 1(mod 2), ng thi tụ mu cỏc ụ (i + ; j) (tc l xúa mu tt c cỏc ụ nm hng l) Rừ rng sau thc hin phộp bin i y, ta cú mt phộp tụ mu mi T Phộp tụ mu ny tha cỏc iu kin sau: Hai ụ vuụng no c tụ mu bc T cng khụng cú nh chung Footer Page 46 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 47 of 16 - 43 - k(T) = k(T) 3.Tt c cỏc ụ nm hng th 1, 3, 5,, 2n u khụng cú mu Theo cỏch tụ mu thỡ s cỏc ụ c tụ mu mt hng khụng vt quỏ n + V ch cú ti a n hng cú mu, nờn: k(T) (n + 1)n.Vỡ th k(T) ( n +1)n vi mi cỏch tụ mu T Xột cỏch tụ mu sau: Tụ mu tt c cỏc ụ (2i ; 2j 1) vi i = 1, 2, , n ; j = 1, 2, , n+1 Rừ rng phộp tụ ny tha yờu cu bi S ụ c tụ l n(n + 1) H-4.9 Túm li, s k ln nht phi tỡm l n(n + 1). Vớ d 4.11: Cho mt tam giỏc u c chia thnh n2 tam giỏc u bng Mt s tam giỏc ú c ỏnh s bi cỏc s 1, 2, , m, cho cỏc tam giỏc vi cỏc s liờn tip thỡ phi cú cnh chung Chng minh rng: m n2 n +1 Gii: Chia cỏc cnh tam giỏc u thnh n phn bng T cỏc im chia k cỏc ng thng song song vi cỏc cnh ca tam giỏc Khi ú s tam giỏc u l: + + ++ (2n 1) = n2 Tụ mu tam giỏc thnh cỏc tam giỏc en, trng xen k nh hỡnh v Khi ú s cỏc ụ en l: + + ++ n = n(n + 1) , cũn s cỏc ụ trng l: + + +.+(n - 1) = Footer Page 47 of 16 n(n 1) S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 48 of 16 - 44 - Theo cỏch ỏnh s tam giỏc thỡ hai tam giỏc c ỏnh s liờn tip phi cú cnh chung ú nú phi cú mu khỏc Vỡ l ú, s cỏc tam giỏc c ỏnh s, s cỏc tam giỏc en ch cú th nhiu hn s cỏc tam giỏc trng l 1.Vy tng s cỏc tam giỏc c ỏnh s m phi tha bt ng thc: m 2n(n 1) + , hay m n2 n + Vớ d 4.12: Cho bn c vua 8ì8 ụ mi bc xột mt hng hoc mt ct, sau ú hng (hoc ct) chn ra, ta thay i mu tt c cỏc ụ hng (hoc ct) y theo quy tc: en bin thnh trng v trng bin thnh en Hi bng cỏch y, cú th n mt lỳc no ú thu c mt bn c ch cú nht mt ụ en hay khụng? Gii: Gi s trc tụ li mt hng (hoc mt ct) cú k ụ en v k ụ trng Sau tụ li hng (hoc ct) s cú k ụ trng v k ụ en Vỡ th sau mt ln tụ li s ụ en thay i l: (8 k) k = 2k , tc l thay i mt s chn ụ en Nh vy tớnh chn, l ca s cỏc ụ en khụng thay i sut t u n cui H-4.11 Lỳc u s ụ en l 32 ụ ( s chn) Vỡ th khụng lỳc no ta li nhn c bn c ch cú mt ụ en Bi toỏn cú kt qu l ph nh Footer Page 48 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 49 of 16 - 45 - Vớ d 4.13: Mt a giỏc li n cnh c chia thnh cỏc tam giỏc bng cỏc ng chộo khụng ct ca nú, ng thi ti mi nh ca nú u hi t mt s l cỏc tam giỏc Chng minh rng n chia ht cho Gii: Theo gi thit a giỏc li c chia thnh nhiu tam giỏc bi cỏc ng chộo khụng ct Tụ mu en, trng cỏc tam giỏc cho hai tam giỏc cú cnh chung thỡ cú mu khỏc Mt khỏc, vỡ ti mi nh u hi t mt s l tam giỏc, nờn tụ mu nh vy tt c cỏc cnh ca a giỏc s thuc cỏc tam giỏc cựng mu (gi s ú l cỏc tam giỏc en) H 4.12 Gi s m l s cnh ca cỏc tam giỏc trng, vỡ hai tam giỏc trng bt kỡ khụng cú cnh chung nờn d nhiờn mM Mt khỏc , mi cnh ca tam giỏc trng cng l cnh ca tam giỏc en v tt c cỏc cnh ca tam giỏc trng cng l cỏc cnh ca tam giỏc en Ngoi hai tam giỏc en bt kỡ cng khụng cú cnh chung, nờn tng s cnh ca tam giỏc en l m + n cng phi chia ht cho T m M suy n M Vớ d 4.14: Trờn mt ng thng cú n im mu xanh v n im mu Chng minh rng tng tt c cỏc khong cỏch gia cỏc cp im cựng mu hn hoc bng tng tt c cỏc khong cỏch gia cỏc cp im khỏc mu Gii: Gi s n im mu trờn trc s cú ta x1, x2,, xn; cũn n im mu xanh trờn trc s cú ta l y1, y2,,yn Gi An l tng cỏc khong cỏch ca nhng im cựng mu, cũn Bn l tng cỏc khong cỏch ca nhng im khỏc mu Ta s chng minh bng quy np Footer Page 49 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 50 of 16 - 46 - -Nu n = ú A1 = 0, cũn B1 = | xi yi | Rừ rng A1 B1 Vy kt lun ca bi toỏn ỳng n = -Gi s kt lun ca bi toỏn ỳng n = k 1, tc Ak-1 Bk-1 -Xột n = k Khụng gim tng quỏt cú th cho l: xk = max { x1,,xk} ; yk = max { y1,,yk} ( vỡ nu khụng thỡ ỏnh s li) Ta cú: k k i =1 i =1 Ak = Ak +1 + ( xk xi ) + ( yk yi ) k = Ak + ( xk yi ) + ( yk xi ) (1) i =1 k k i =1 i =1 Bk = Bk + xk yi + yk xi + xk yk (2) Theo gi thit quy np, thỡ Ak-1 Bk-1 (3) T (1), (2), (3) suy Ak Bk x1 x2 y1 y2 x3 y3 H 4.13 Vy kt lun ca bi toỏn cng ỳng n = k Theo nguyờn lớ quy np suy An Bn vi mi n nguyờn dng Vớ d 15: Cho mt bng hỡnh vuụng nìn ụ (n 2) Trong mi ụ vuụng ta vit mt s nguyờn khụng õm tựy ý tha iu kin: Nu mt ụ no ú c vit s 0, thỡ tng ca tt c cỏc s vit dũng v ct cha ụ ú khụng nh hn n Tỡm giỏ tr nh nht ca tng cỏc s c vit bng Gii: Vi mi i = 1, n , kớ hiu l tng cỏc s c vit hng th i ( k t trờn xung di) Footer Page 50 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 51 of 16 - 47 - Vi mi i = 1, n , kớ hiu bj l tng cỏc s c vit ct th j ( k t trỏi sang phi) T gi thit ca bi toỏn suy ra: Vi mi i = 1, n ; j = 1, n ta luụn cú: + bj n (1) Nh vy ta cú: n n ( ) T = + b j n3 i =1 j =1 (2) Gi s aij l s ghi ct ( i , j ) ( l ụ hng i v ct j ) thỡ aij nm tng v bj Do mi v bj u xut hin T n ln, vy giỏn tip mi s aij tham gia vo tng T 2n ln Do ú nu kớ hiu S l tng cỏc s c vit bng, thỡ: H-4.14 n n S = aij (3) i =1 j =1 T (2), (3) v nhn xột trờn suy ra: T = 2nS S n2 (4) Mt khỏc S l s nguyờn, nờn t (4) li cú: n2 + S (5) H-4.15 Bõy gi ta xột kh nng sy du bng (5) Cú hai trng hp sau: Nu n chn (n = 2k) Khi ú, xột cỏch ghi s vo bng nh sau: D thy cỏch ghi s trng hp ny tha yờu cu lỳc ny tng S cỏc s ghi bng s l S = 2k2 Mt khỏc, ta cú: Footer Page 51 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 52 of 16 - 48 - n + 4k + = = 2k + = 2k n2 + Vy ta cú trng hp ny S = 2.Nu n l (n = 2k + 1) Khi ú, xột cỏch ghi s vo bng nh sau: Rừ rng cỏch ghi s ny tha yờu cu Lỳc ny tng cỏc s ghi bng l: S = (k + 1)2 + k2 = 2k2 + 2k + n2 + H-4.16 ( 2k + 1)2 + = 2k + 2k + = 2k + 2k + Li cú: = n2 + Nh vy trng hp ny ta cng cú: S = n2 + Kt hp li suy giỏ tri nh nht ca tng S cn tỡm l S = Vớ d 4.16: Trờn mt mt phng cú th xp c by on thng cho mi on thng ct ỳng ba on thng khỏc c khụng? Gii: Lp bng nh hỡnh v Ta ỏnh du vo ụ (i , j) cng nh ụ (j , i) du ì nu on thng th i ct on thng th j, v ỏnh du nu chỳng khụng ct (1 i 7, j 7) (Riờng cỏc ụ (k , k), k = 1,7 u ỏnh s 0, vỡ coi nh on thng th k khụng ct chớnh nú) Gi s mi on thng ct ỳng ba on thng khỏc.Nh vy, mi hng H- 4.17 u cú ba du ì Vy ton bng cú 21 du ì Footer Page 52 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 53 of 16 - 49 - Mt khỏc bng trờn s cú ụ (k , k) cú du (xp theo ng chộo chớnh) Nh ó núi, nu ụ (i , j) cú du ì, thỡ ụ (j , i) (i xng vi ụ (i , j) qua ng chộo chớnh) cựng cú du ì Vy s ụ c ỏnh du ì phi l s chn Do 21 l s l, nờn ta gp mõu thun Vy gi thit mi on thng ct ỳng ba on thng khỏc l sai Bi toỏn ó cho cú cõu tr li l ph nh Khụng th xp c by on thng cho mi on thng ct ỳng ba on thng khỏc c Vớ d 4.17: Ti ba nh A, B, C ca tam giỏc ABC cú ghi tng ng ba s a, b, c khụng ng thi bng Ngi ta thc hin phộp thay i s ti ba nh tam giỏc nh sau: Nu mi bc ti ba nh cú ghi ba s l ( x ; y ; z), thỡ bc tip theo s ghi ba s (x + y 2x ; y + z 2x ; z + x 2y) Chng minh rng xut phỏt t b ba (a ; b ; c), sau mi s ln thc hin phộp ghi trờn, ta s nhn c b ba s m ớt nht mt ba s ca nú khụng nh hn 2006 Gii: a1 a c b H - 4.18 b1 H - 4.19 c1 Vi mi n = 1, 2,kớ hiu ( an ; bn ; c n) l b s ghi c sau ln thay th n Ta cú h thc sau: an + bn + cn = 0, n = 1, 2, Vi Mi n = 1, 2, t: S n = a n2 + b n2 + c n2 Ta cú: S n+1 = an2+1 + bn2+1 + cn2+1 Footer Page 53 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 54 of 16 - 50 - = ( an + bn 2cn ) + ( bn + cn 2an ) + ( cn + an 2bn ) 2 = ( an + bn + cn 3cn ) + ( bn + cn + an 3an ) + ( cn + an + bn 3bn ) 2 = ( an + bn + cn ) + ( cn2 + an2 + bn2 ) ( an + bn + cn )( cn + bn + an ) = 9S n (do an + bn + cn = 0, n =1,2, ) Nh th ta cú: S n+1 = 9S n (1) T (1) ta i n vi mi n = , 3, thỡ : Sn = 9n-1S1 (2) Do a, b, c khụng ng thi bng nhau, nờn a1, b1, c1 khụng ng thi bng Tht vy: a + b 2c = a1 = b1 = c1 = b + c 2a = a = b = c c + a 2b = Vỡ l ú S1 = a12 + b12 + c12 > Do S1 > 0, nờn t (2) suy ra: lim S n = + (3) x T (3) suy tn ti k nguyờn dng ln cho: Sk 3.(2.2006)2 (4) Vỡ Sk = ak2 + bk2 + ck2 , nờn t (4) theo nguyờn lớ Dirichlet suy ba s ak2, bk2, ck2 phi cú ớt nht mt s gi s l ak2 m: ak2 ( 2.2006 ) | ak| 2.2006 (5) Cú hai kh nng sy ra: Nu ak 2.2006, thỡ d nhiờn ak 2006,bi toỏn c gii quyt trng hp ny Nu ak -2.2006 , thỡ ak + bk + ck = 0, nờn suy ra: Footer Page 54 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 55 of 16 - 51 - bk + ck 2.2006 (6) T (6) li theo nguyờn lớ Dirichlet suy cú ớt nht mt hai s bk , ck (m cú th gi s ú l bk) cho: bk 2006 Bi toỏn c gii hon ton Vớ d 4.18: Cho mt bng hỡnh ch nht k ụ vuụng cú 2005 hng v 2007 ct Kớ hiu (m, n) l ụ vuụng nm giao ca hng th m v ct th n Tụ mu cỏc ụ vuụng ca bng theo quy tc sau: Ln th nht tụ ba ụ vuụng (r, s), (r + 1, s + 1), (r + 2, s + 2) ; vi r, s l hai s cho trc tha iu kin r 2005 v s 2007 T ln th hai, mi ln tụ ỳng ba ụ cha cú mu nm cnh cựng mt hng hoc cựng mt ct Hi bng cỏch ú cú th tụ mu c ht tt c cỏc ụ vuụng ca bng ó cho hay khụng? Gii: Chia tt cỏc ụ vuụng ca bng thnh ba loi: - Loi I: Gm tt c cỏc ụ (m, n) m ( m n) 0(mod 3) - Loi II: Gm tt c cỏc ụ (m, n) m ( m n ) 1(mod 3) -Loi III: Gm tt c cỏc ụ (m, n) m (m n) 2(mod 3) Do 2007 M nờn mi hng ta u cú s ụ mi loi l bng Vỡ th, ton bng s ụ mi loi bng Rừ rng k t ln th hai, mi ln tụ mu, ta tụ ỳng mt ụ loi I, mt ụ loi II, mt ụ loi III (vỡ ba ụ cựng mt hng hoc cựng mt ct m li ng cnh nhau) T hai nhn xột trờn suy ra, nu tụ mu c ht tt c cỏc ụ ca bng, thỡ ln tụ th nht ta phi tụ ỳng mt ụ loi I, mt ụ loi II, mt ụ loi III Tuy nhiờn do: r s = (r + 1) (s + 1) = (r + 2) (s + 2), H-4.20 nờn ba ụ tụ ln u u cựng thuc mt loi Footer Page 55 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 56 of 16 - 52 - Vỡ th bi toỏn cú cõu tr li ph nh: khụng th tụ mu c ht tt c cỏc ụ vuụng ca bng theo yờu cu Vớ d 4.19: Hóy tỡm s lng ớt nht nhng mt phng, m nú chia lp phng khụng nh hn 300 phn Gii: Chng minh bng phng phỏp quy np theo n, kt lun rng n ng thng chia mt phng khụng quỏ p(n) = n ( n + 1) + phn, v nhn ỳng p(n) mi ng thng u ụi mt ct v khụng cú ba ng no cú im chung Tng t quy np theo n , chng minh c n mt phng chia khụng gian khụng quỏ q(n) = n + 5n + phn n mt phng chia ỳng q(n) phn khụng cú hai mt phng no song song vi v khụng cú ba mt phng no cú chung mt ng thng v khụng cú bn mt phng no cú mt im chung Vỡ q(12) = 299 < 300 < 378 = q(13), chia khụng gian ớt nht 300 phn cn phi cú 12 mt phng D thy rng chia mt lp phng cng phi cn s mt phng nh vy Vớ d 4.20: Nhng ụ ca hỡnh vuụng kớch thc 7ì7 c tụ bng hai mu Chng minh rng tn ti ớt nht 21 hỡnh ch nht vi nh cựng mu v vi cỏc cnh song song vi cỏc cnh ca hỡnh vuụng Gii: Ta cho mu c tụ l trng v en Cho mt hng, ta gi s tn ti k ụ en v 7- k ụ trng Khi ú tn ti Ck2 + C72k = k k + 21 = k 7k + 21 , cp ụ cựng mu.Vy tn ti ớt nht 7.9 = 63 cp ụ cựng mu trờn cựng hng Tip theo tn ti C72 = 21 cp ct Vy tn ti 21.2 = 42 t hp ca mu v cp ct Vi t hp i = n 24, v gi s tn ti ji cp cựng mt t Footer Page 56 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 57 of 16 - 53 - hp, thỡ tn ti ớt nht ji hỡnh ch nht cho t hp ny Vỡ tng ca ji ớt 42 nht l 63, vy tn ti ớt nht ( ji 1) 63 42 = 21 T ú suy tn ti ớt i =1 nht 21 hỡnh ch nht tho yờu cu ca bi. = nB vi n l mt s nguyờn Vớ d 4.21: Cho ABC l tam giỏc nhn vi A dng Chng minh rng tam giỏc ny cú th tỏch thnh nhng tam giỏc cõn m tt c cỏc cnh bờn ca chỳng u bng Gii: Ta chng minh mnh vi gúc A nh hn 900 Ta s chng minh bng quy np theo n m tam M B n giỏc ABC cú th ct thnh n tam giỏc cõn m nhng cnh bng ca nú u bng AC A (n 1) Vi n = kt luõn l hin nhiờn C H - 4.21 Gi s kt lun ỳng cho n v ta ã =A chng minh nú cho n Chn M AB cho CMA Khi ú tam giỏc CMB cú: ( ) ã = 180o CMB ã CMB ã = 180o 180o nB = ( n 1) B MCB Do ú theo gi thit quy np, tam giỏc ny cú th tỏch thnh n tam giỏc cõn cú cỏc cnh bng v bng MC = CA Cng thờm vi tam giỏc CAM cho ta kt qu ct tam giỏc ABC Vớ d 4.22: Mt hỡnh trũn chia thnh 10 hỡnh qut Mi hỡnh qut cha mt rp Mt ln tt c cỏc rp ng thi chuyn sang hỡnh qut bờn cnh cho mt chuyn ngc chiu kim ng h v cựng lỳc ú nhng rp cũn li chuyn theo chiu thun kim ng h C lp li quỏ trỡnh chuyn rp nh vy Cú kh nng mt bc no ú tt c cỏc rp u nm mt hỡnh qut hay khụng? Footer Page 57 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 58 of 16 - 54 - Gii: ỏnh s cỏc hỡnh qut trũn t n theo chiu kim ng h Mi rp tớnh im bng s ca hỡnh qut m nú ú (thớ d, rp nm hỡnh qut th thỡ rp ú c tớnh im) Ti mi bc cng im ca c 10 rp v trớ u tiờn ca 10 rp, mi mt hỡnh qut nờn tng sú im l + + ++ = 45 Khi di chuyn theo chiu kim ng h, thỡ s ca mi rp s tng lờn 1, hoc gim i ( nu trng hp rp hỡnh qut th chuyn theo chiu kim ng h vo hỡnh qut th 0) Khi di chuyn theo chiu ngc kim ng H 4.23 h, thỡ s ca mi rp s gim i 1, hoc tng lờn ( nu trng hp rp hỡnh qut th chuyn theo chiu ngc kim ng h vo hỡnh qut th 9) Ta cú nhn xột sau: Sau mi ln di chuyn thỡ tng sú im ca cỏc rp tng hoc gim mt s chn Tht vy, ch cú th sy cỏc trng hp sau: -Hoc l cú mt rp chuyn ng ngc chiu kim ng h sang ụ bờn cnh (khụng phi t ụ sang ụ 9), k chuyn ng cựng chiu kim ụng h t ụ sang ụ 0, k chuyn ng cựng chiu kim ng h sang ụ bờn cnh (khụng phi t ụ sang ụ 0), õy k Khi ú tng s im ca 10 rp sau chuyn ng thay i mt lng l: 9k + (9 k) = 10k -Hoc l cú mt rp chuyn ng ngc chiu kim ng h sang ụ bờn cnh (khụng phi t ụ sang ụ 9), õy k Khi ú tng s im ca 10 rp sau chuyn ng thay i mt lng l: 9k + ( k ) = 10k Footer Page 58 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 59 of 16 - 55 - Vỡ 18 10k ; 10k u l s chn nờn nhn xột c chng minh Kớ hiu Sn l tng s im ca 10 rp bc n Ta cú S1 = 45, núi riờng S1 l s l Da vo nhõn xột trờn suy Sn l s l vi mi n = 1, 2, Gi s tai bc k no ú ca 10 rp u nm hỡnh qut th j Lỳc y ta cú Sk = 10j Núi riờng Sk l s chn Ta nhn c iu mõu thun vi vic Sn l s l vi mi n Vy bi toỏn cú cõu tr li l ph nh: Khụng cú lỳc no thc hin c phộp di chuyn theo yờu cu bi toỏn c 10 rp nm cựng mt hỡnh qut Nhn xột Trong bi ny cỏi bt bin l : Sn l s l vi mi n = 1,2, Vớ d 4.23: Chng minh rng 2n im bt k khỏc a giỏc li, tn ti mt phộp ct a giỏc thnh n+1 a giỏc li cho 2n im nm trờn cỏc cnh ca cỏc a giỏc ny Gii: Ta chng minh bng quy np theo n Vi n = 1, chn cỏch ct c xỏc nh bng ng thng i qua hai im ny Ta gi s mnh ỳng vi tt c cỏc a giỏc bờn cú cha 2(n 1) im Ta phi chng minh mnh vi a giỏc cú 2n im Ta c nh mt ng thng d m nú khụng giao vi a giỏc ó cho Cho A l im m nú gn d nht v chn B nhng im cũn li cho gúc to bi ng thng AB v d nh nht (nú cú th bng khụng) ng thng AB chia a giỏc thnh hai a giỏc li p1 v p2 cho p1 khụng cha im l bt k im no t 2n im, v p2 cha nú nhiu nht 2n im t cỏc im ó cho S dng gi thit quy np, suy p2 cú th chia thnh n a giỏc cha trờn cnh ca chỳng 2n im cũn li v a giỏc ny cựng vi p1 cho ta cỏch ct a giỏc cn tỡm Footer Page 59 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 60 of 16 - 56 - TI LIU THAM KHO [1] Nguyn Hu in (2005), Mt s chuyờn hỡnh hc t hp, NXB Giỏo Dc [2] V ỡnh Hũa (2006), Chuyờn bi dng hc sinh gii hỡnh hc t hp, NXB Giỏo Dc [3] Phan Huy Khi (2007), Gii tớch li v cỏc bi toỏn s cp, NXB Giỏo Dc [4] Tp san Toỏn hc tui tr cỏc nm [5] Nguyn Vn Vnh (2005), 23 chuyờn gii 1001 bi toỏn s cp, NXB Giỏo Dc Footer Page 60 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn ... 16 Lời nói đầu Hình học tổ hợp nhánh thiếu toán tổ hợp nói chung, thường xuyên xuất đề thi học sinh giỏi cấp Khác với toán lĩnh vực Giải tích, Đại số, Lượng giác, toán hình học tổ hợp thường liên... cực hạn vào giải toán hình học tổ hợp phương pháp vận dụng cho nhiều lớp toán khác, đặc biệt có ích giải toán tổ hợp nói chung hỗn hợp tổ hợp nói riêng Nguyên lí dùng để giải toán mà đối tượng... tập hợp điểm trù mật đường thẳng Nó có vai trò quan trọng lí thuyết số nói riêng toán học rời rạc nói chung (cho hình học tổ hợp) Ứng dụng to lớn nguyên lí Dirichlet để giải toán hình học tổ hợp