Một số bài toán tối ưu tổ hợp trên đồ thị

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐOÀN NGỌC LÀNH MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU TỔ HỢP TRÊN ĐỒ THỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐOÀN NGỌC LÀNH MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU TỔ HỢP TRÊN ĐỒ THỊ Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ MẠNH XUÂN Thái Nguyên - 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Tối ưu tổ hợp 1.1 Thuật toán độ phức tạp thuật toán 1.1.1 Thuật toán 1.1.2 Độ phức tạp thuật toán 1.1.3 Đánh giá thời gian tốt nhất, tồi thuật toán 1.2 Tối ưu tổ hợp 1.2.1 Bài toán tối ưu tổ hợp 1.2.2 Một số toán cụ thể 1.2.3 Bài toán lớp P lớp N P trung bình Một số toán tối ưu tổ hợp đồ thị 2.1 Một số khái niệm 2.1.1 Đồ thị vô hướng 2.1.2 Đồ thị có hướng 2.1.3 Đường đi, chu trình Đồ thị liên thông 2.2 Thuật toán tìm kiếm đồ thị 2.2.1 Thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu đồ thị 2.2.2 Tìm kiếm theo chiều rộng đồ thị 2.3 Bài toán đường ngắn 2.3.1 Đường ngắn xuất phát từ đỉnh đến đỉnh lại_Thuật toán Dijkstra 2.3.2 Đường ngắn tất cặp đỉnh_Thuật toán Floyd 2.4 Bài toán luồng cực đại mạng ứng dụng 2.4.1 Mạng Luồng mạng Bài toán luồng cực đại Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 10 13 13 14 16 18 18 18 19 20 22 22 25 29 31 37 41 41 2.4.2 2.4.3 2.4.4 2.4.5 Lát cắt Đường tăng luồng Định lí Ford - Fulkerson Thuật toán tìm luồng cực đại mạng Một số toán luồng tổng quát Một số ứng dụng tổ hợp từ toán luồng 43 46 54 57 Kết luận 64 Tài liệu tham khảo 65 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Lý thuyết đồ thị lĩnh vực nghiên cứu có ý nghĩa thực tiễn cao lâu Tuy nhiên, việc tính toán đồ thị thường cần khối lượng tính toán không gian nhớ lớn, gần với phát triển mạnh mẽ kỹ thuật máy tính điện tử, toán tối ưu đồ thị ngày quan tâm đạt nhiều kết khả quan Đáng ý, việc chứng minh giả thuyết bốn màu xem minh chứng rõ nét việc chứng minh toán nhờ máy tính điện tử Mặc dù có ý nghĩa thực tiễn cao lý thuyết đồ thị đưa vào chương trình giảng dạy nói chung sơ sài Đề tài đặt vấn đề nghiên cứu vấn đề thuật toán, độ phức tạp thuật toán, m ột số toán tối ưu cụ thể đồ thị trình bày thuật toán kết tính toán với toán cụ thể Nội dung Luận văn gồm chương Chương trình bày khái quát thuật toán, độ phức tạp thuật toán, nêu số toán có độ phức tạp đa thức không đa thức Chương trình bày số thuật toán giải lớp toán: duyệt đồ thị, toán tìm đường ngắn nhất, toán luồng cực đại minh họa ví dụ cụ thể Dù cố gắng, chắn nội dung trình bày luận văn không tránh khỏi thiếu sót định, em mong nhận góp ý thầy cô giáo bạn Luận văn hoàn thành bảo hướng dẫn tận tình TS Vũ Mạnh Xuân Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tôi xin cảm ơn Sở Nội vụ, Sở Giáo dục Đào tạo Tuyên Quang, trường THPT Xuân Vân, Tổ Toán trường THPT Xuân Vân giúp đỡ tạo điều kiện cho hoàn thành khóa học Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Em xin gửi tới thầy cô khoa Toán, phòng đào tạo sau đại học Trường Đại học Khoa Học, Đại học Thái Nguyên Thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2010 - 2012, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình giáo dục, đào tạo Nhà trường Thái Nguyên, ngày 15 tháng năm 2012 Người thực Đoàn Ngọc Lành Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Tối ưu tổ hợp Chương trình bày lớp toán tối ưu tổ hợp, thuật toán mô tả thuật toán ngôn ngữ tựa Passcal, đánh giá độ phức tạp thuật toán Nêu số toán cụ thể thuộc lớp toán tối ưu tổ hợp, từ đưa khái niệm toán lớp P lớp NP 1.1 1.1.1 Thuật toán độ phức tạp thuật toán Thuật toán Khái niệm thuật toán thuật ngữ “Algorithm” (thuật toán) tên nhà toán học Arập: Aba Ja’fa Mohamedibn Musaal Khowarizmi, người viết sách chữ số Hindu - sở kí hiệu số thập phân đại Ban đầu từ algorism dùng để quy tắc thực phép tính số học với số viết hệ thập phân Sau đó, Algorism chuyển thành Algorithm vào kỷ XIX Với quan tâm ngày tăng máy tính, khái niệm thuật toán định nghĩa cách hình thức xác thông qua máy Turing Tuy nhiên Luận văn khái niệm thuật toán hiểu trực quan sau Định nghĩa 1.1.1 Thuật toán để giải toán (P) thủ tục xác định, chia thành phép toán bản, biến đổi dãy dấu hiệu diễn tả liệu, không quan trọng chỗ thuộc chất toán (P) thành dãy dấu hiệu đặc trưng cho kết (P) Thuật toán có đặc trưng sau: • Đầu vào (Input): Một thuật toán nhận giá trị đầu vào từ tập hợp rõ (tập xác định) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn • Đầu (Output): Từ tập có giá trị đầu vào, thuật toán tạo giá trị đầu tương ứng Các giá trị đầu nghiệm (lời giải) toán • Tính xác (Precision): Các bước thuật toán phải mô tả xác Ở bước, thao tác phải rõ ràng, không gây nên nhập nhằng, lộn xộn, tùy tiện, đa định nghĩa Nói rõ hơn, điều kiện hai xử lý thực bước thuật toán phải cho kết • Tính hữu hạn hay tính dừng (Finiteness): Sau số hữu hạn bước thuật toán phải cho kết với đầu vào • Tính đơn trị (Uniqueness): Các kết trung gian bước thực thuật toán xác định cách đơn trị, phụ thuộc đầu vào kết bước trước Với hai liệu giống cho trước làm input, thuật toán đơn định thi hành mã lệnh giống cho kết giống nhau, thuật toán ngẫu nhiên thực theo mã lệnh khác cho kết khác • Tính tổng quát (Generality): Thuật toán giải toán lớp toán xét Với thuật toán có đầu vào liệu khác miền xác định vận dụng thuật toán • Tính hiệu (The effectiveness): Hiệu thời gian: Thuật toán phải thực thời gian cho phép, điều khác với lời giải toán (chỉ cần chứng minh kết thúc sau hữu hạn bước) Tính hiệu nhớ: Kích thước thuật toán phải đủ nhỏ để phù hợp với khả lưu trữ Mô tả thuật toán: Có nhiều cách trình bày thuật toán, dùng ngôn ngữ tự nhiên, ngôn ngữ lưu đồ (sơ đồ khối), ngôn ngữ lập trình, ngôn ngữ trình Trong đề tài thuật toán trình bày ngôn ngữ tựa Pascal, cho phép vừa mô tả thuật toán ngôn ngữ thông thường, vừa sử dụng cấu trúc lệnh tương tự ngôn ngữ lập trình Pascal Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1.1.2 Mô tả thuật toán tìm phần tử lớn dãy hữu hạn số nguyên a) Dùng ngôn ngữ tự nhiên để mô tả bước cần thực Đặt giá trị cực đại tạm thời số nguyên dãy (Cực đại tạm thời số nguyên lớn kiểm tra giai đoạn thủ tục.) So sánh số nguyên tiếp sau với giá trị cực đại tạm thời, lớn giá trị cực đại tạm thời đặt cực đại tạm thời số nguyên Lặp lại bước trước số nguyên dãy Dừng không số nguyên dãy Cực đại tạm thời điểm số nguyên lớn dãy b) Thuật toán mô tả tựa Passcal Input: Dãy gồm n số nguyên a1 , a2 , , an Output: Max số lớn dãy Procedure Max(a1 , a2 , , an : integer); Begin Max:= a1 ; for i:= to n (* Nếu lớn Max gán lại Max *) if M ax < then M ax := ; End; Thuật toán trước hết gán số hạng a1 dãy cho biến M ax Vòng lặp for dùng để kiểm tra số hạng dãy Nếu số hạng lớn giá trị thời M ax gán làm giá trị M ax 1.1.2 Độ phức tạp thuật toán Để đánh giá khả ứng dụng chương trình ta cần phân tích tính hiệu thuật toán Phân tích thuật toán trình tìm đánh giá thời gian tính dung lượng nhớ cần thiết để thực thuật toán Để đo tính hiệu thuật toán cho, ta thiết lập mối quan hệ thời gian tiến hành thuật toán, diễn tả số phép toán với kích thước toán xét, diễn tả số dấu hiệu cần thiết để mã hóa liệu toán Có ba câu hỏi đặt đánh giá thuật toán: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1) Những phép toán nói đến phép toán nào? 2) Bộ mã hóa liệu cho phép ta đo kích thước toán? 3) Những hàm liên kết kích thước với số phép toán mà giúp ta nói thuật toán hiệu quả? Có thể cho việc trả lời câu hỏi thứ ba cho phép ta trả lời hai câu hỏi đầu Thước đo hiệu thuật toán thời gian mà máy tính sử dụng để giải toán theo thuật toán xét, giá trị đầu vào có kích thước xác định Một thước đo thứ hai dung lượng nhớ đòi hỏi để thực thuật toán giá trị đầu vào có kích thước xác định Các vấn đề liên quan đến độ phức tạp tính toán thuật toán Định nghĩa 1.1.3 Độ phức tạp tính toán thuật toán lượng thời gian nhớ cần thiết để thực thuật toán (ta gọi thời gian tính thuật toán) Vì việc xem xét độ phức tạp không gian gắn liền với cấu trúc liệu đặc biệt dùng để thực thuật toán nên ta tập trung xem xét độ phức tạp thời gian tính thuật toán Chúng ta quan tâm đến: • Thời gian tính tốt thuật toán với đầu vào kích thức n, thời gian tối thiểu cần thiết để thực thuật toán • Thời gian tính tồi thuật toán với đầu vào kích thước n, thời gian nhiều cần thiết để thực thuật toán • Thời gian tính trung bình thuật toán, thời gian trung bình cần thiết để thực thuật toán, tập hữu hạn đầu vào kích thước n Để tính toán thời gian tính thuật toán ta đếm số câu lệnh mà phải thực hiện, số trường hợp cụ thể đếm số phép tính số học, so sánh, gán, mà thuật toán đòi hỏi thực Đây tiêu chuẩn khách quan để đánh giá tính hiệu thuật toán Ví dụ 1.1.4 Kiểm tra số nguyên dương n có phải nguyên tố không? Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... Một số toán tối ưu tổ hợp đồ thị 2.1 Một số khái niệm 2.1.1 Đồ thị vô hướng 2.1.2 Đồ thị có hướng 2.1.3 Đường đi, chu trình Đồ thị. .. NGỌC LÀNH MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU TỔ HỢP TRÊN ĐỒ THỊ Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ MẠNH XUÂN Thái Nguyên - 2012 Số hóa Trung... nhất, tồi thuật toán 1.2 Tối ưu tổ hợp 1.2.1 Bài toán tối ưu tổ hợp 1.2.2 Một số toán cụ thể 1.2.3 Bài toán lớp P lớp N P