Phép nghịch đảo và ứng dụng giải một bài toán hình học.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC—————————— NGUYỄN CHÍ THANH PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 LUẬN

Trang 1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————————

NGUYỄN CHÍ THANH

PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN MINH

THÁI NGUYÊN - NĂM 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn

Trang 2

Mục lục

Lời cảm ơn 2

Mở đầu 3

Chương 1 Kiến thức cơ bản 5

1.1 Định nghĩa 5

1.2 Một số tính chất của phép nghịch đảo 6

Chương 2 Một số bài toán hình học phẳng sử dụng phép nghịch đảo 15

2.1 Bài toán chứng minh tính chất hình học 15

2.2 Bài toán quỹ tích 40

2.3 Bài toán dựng hình 52

Kết luận 63

Tài liệu tham khảo 64

Trang 3

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành trong khóa 3 đào tạo Thạc sĩ của trườngĐại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của TS NguyễnVăn Minh, Đại học Thái Nguyên Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tớithầy hướng dẫn, người đã tạo cho tôi một phương pháp nghiên cứu khoa họcđúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, côngsức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn

Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trườngĐại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên, những người đã tận tình giảng dạy

và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập Đặc biệttôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên đã cho chúng tôi được lĩnh hội kiến thức trực tiếp từ các thầygiáo đầu ngành trong lĩnh vực toán sơ cấp Việt Nam hiện nay như GS.TSKHNguyễn Văn Mậu,GS.TSKH Hà Huy Khoái,

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, gia đình và người thân đã động viên,ủng hộ tôi cả về vật chất và tinh thần để tôi có thể hoàn thành tốt khóa họccủa mình

Trang 4

Mở đầu

Trong chương trình THPT một số phép biến hình đã được đưa vào giảngdạy như phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm, đối xứng trục, phép vị tự, phépđồng dạng, tuy nhiên phép nghịch đảo không được đề cập đến Hầu như cácbài toán áp dụng phép nghịch đảo là những bài toán hay, bài toán kinh điển,các bài toán thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế Việc sử dụng phép nghịchđảo để giải quyết các bài toán hình học nhiều khi là rất cần thiết Đặc biệttrong nhiều bài toán, nếu không sử dụng phép nghịch đảo thì việc tìm một lờigiải trở nên rất khó khăn cho người học toán, hơn nữa sử dụng phép nghịchđảo sẽ giúp cho bài giải trở nên xúc tích và đẹp đẽ hơn

Phép nghịch đảo là một công cụ quan trọng trong hình học, nó xuất hiệnnhư một điều tất yếu của sự phát triển tư duy toán học - tư duy biến hình.Trong mỗi bài toán có sử dụng phép nghịch đảo để giải thì phép toán này

là một mắt xích quan trọng, một định hướng thông suốt trong quá trình tưduy Ngoài ra, phép nghịch đảo còn là một công cụ tư duy hữu ích để pháttriển các bài toán và cho ta một cách nhìn mới đối với bài toán đó Điều đókhiến cho người học toán không những phát triển được kiến thức hình họccủa mình mà còn cung cấp cho họ một cái nhìn sâu hơn về bài toán Vớinhững lý do đó chúng tôi đã chọn phép nghịch đảo để nghiên cứu

Bố cục luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm hai chương.Chương 1 Kiến thức cơ bản về phép nghịch đảo: nhằm cung cấp kiến thức

cơ bản về phép nghịch đảo, những tính chất mà chúng tôi sẽ áp dụng vàomột số bài toán ở chương 2 Tính chất quan trọng và cũng là tính chất đặctrưng của phép nghịch đảo khác hẩn với tính chất của các phép biến hìnhkhác, đó là qua phép nghịch đảo: một đường thẳng không đi qua cực nghịch

Trang 5

Chương 2 Một số bài toán hình học phẳng sử dụng phép nghịch đảo: vậndụng định nghĩa và tính chất của phép nghịch đảo vào một số bài toán chứngminh, quỹ tích, dựng hình trong hình học phẳng Qua đó làm nổi bật ưu việtcủa phép nghịch đảo khi áp dụng giải lớp những bài toán đó.

Trang 6

Chương 1

Kiến thức cơ bản

1.1 Định nghĩa

Đôi nét về định nghĩa:

Khi học ở trung học cơ sở, ta đã biết bài toán sau: "Cho đường tròn (O)

và một điểmAnằm ngoài đường tròn Vẽ tiếp tuyếnAK đến(O) (K ∈ (O)).Một cát tuyến bất kỳ từA đến (O) cắt (O) lần lượt tại hai điểmM, N Khi

đó, ta luôn có AK2 = AM.AN " Như vậy ta để ý rằng với một điểm M0

bất kỳ nằm trên đường tròn (O) thì luôn tồn tại một điểm N0 khác cũngnằm trên (O) và nằm trên AM0 sao cho AM0.AN0 = AK2

Định nghĩa: Trong mặt phẳng Euclide cho một điểm O cố định và một

số thực k khác không

Cho tương ứng mỗi điểm M khác O với một điểm M0 thuộc đường thẳng

OM sao cho OM OM0 = k Phép tương ứng đó được gọi là phép nghịch đảocực O, phương tích k (hay tỉ số k)

Ký hiệu: Phép nghịch đảo cực O phương tích k được ký hiệu là I(O,k) hay

Ik

O, ta có Ik

O(M ) = M0 hoặc Ik

O : M 7→ M0, hay một số sách đưa ra ký hiệu

f (O, k), trong luận văn này chúng tôi dùng ký hiệu IOk hoặc f (M ) = M0 sẽchỉ M0 là ảnh của M qua phép nghịch đảo cực O, phương tích k

Ta có −−→

OM −−→

OM0 = OM OM0 vì O, M, M0 thẳng hàng

Trang 7

Cho đường thẳng bổ sung d, hai điểm M1, M2 gọi là đối xứng với nhauqua d nếu chúng là ảnh của nhau qua phép đối xứng trục d (Ta quy ước:điểm vô tận đối xứng với điểm vô tận).

Cho đường tròn (O, R), hai điểm M1, M2 gọi là đối xứng với nhau qua

(O, R) nếu chúng là ảnh của nhau qua phép nghịch đảo cực O, phương tích

k = R2

Qua phép nghịch đảo này điểm O biến thành điểm vô tận và điểm vô tậnbiến thành cực O, nên O và điểm vô tận là đối xứng với nhau qua (O, R).Tính chất 1.2.2 Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp:

Qua phép nghịch đảo, nếu điểmM biến thành điểmM0thì ngược lại, điểm

M0 biến thành điểm M (hay nếu Ik

Nếu tỷ số k > 0 thì M và M0 nằm cùng một phía đối với O Khi đó tập

Trang 8

hợp những điểm bất động của phép nghịch đảo là đường tròn tâm O, bánkính√

k, đường tròn này được gọi là đường tròn nghịch đảo Khi đó các điểm

M mà thỏa mãn f (M ) = M được gọi là các điểm kép (điểm bất động) củaphép nghịch đảo f (O, k) Nếu điểm M nằm ở bên trong của đường tròn thì

M0 nằm ở bên ngoài của đường tròn nghịch đảo và ngược lại

Nếu k < 0 thì hai điểm M và M0 nằm về hai phía đối với O Khi đókhông có điểm kép, cũng không có đường tròn nghịch đảo (trong trường hợpnày đường tròn nghịch đảo của f (O, k) sẽ được gọi là đường tròn bán thực,trong đó tâm của đường tròn là thực và bán kính của đường tròn là ảo).Tính chất 1.2.4 a) Nếu phép nghịch đảo f (O, k) có phương tích k > 0

và M, M0 là ảnh của nhau qua phép nghịch đảo f (O, k), thì mọi đường trònqua hai điểm M, M0 đều trực giao với (O,√

k) (hai đường tròn (O), (O0)

được gọi là trực giao với nhau nếu hai tiếp tuyến tại một giao điểm của (O)

và (O0) cùng vuông góc với nhau) Hơn nữa mọi đường tròn (C) qua M, M0

đều biến thành chính nó qua f (O, k) với k > 0

b) Nếu (O1) và (O2) lần lượt trực giao với (O,√

Trang 9

tại hai điểm N, N0, ta có ON ON0 = k, suy ra mọi điểm N thuộc đườngtròn (C) qua phép nghịch đảo f (O, k) đều có ảnh là N0 cũng thuộc đườngtròn(C) Vậy chứng tỏ mọi đường tròn (C)qua M, M0 đều biến thành chính

nó qua phép nghịch đảo f (O, k)

Tính chất 1.2.5 Phép nghịch đảo f (O, k), k 6= 0 Thì với hai điểm A, B

không thẳng hàng với cực nghịch đảo, ta luôn cóA, B, f (A), f (B) là các điểmđồng viên (tức là cùng thuộc một đường tròn) Hơn nữa nếu đặt A0 = f (A)

và B0 = f (B) thì A0B0 = |k| AB

OA.OB.

Trang 10

OA.OB =

kOA.OB =

Tính chất 1.2.6 Ảnh của một đường thẳng qua phép nghịch đảo:

a) Qua phép nghịch đảo, một đường thẳng không đi qua cực nghịch đảobiến thành một đường tròn đi qua cực nghịch đảo

Chứng minh:

Từ cực nghịch đảo O ta hạOA vuông góc với đường thẳng ∆đã cho Gọi

B là ảnh của A qua phép nghịch đảo Ik

O và A là một điểm của ∆ (hình 1.4

Trang 11

data error !!! can't not

read

Trang 12

read

Trang 13

read

Trang 14

read

Trang 15

read

Trang 17

read

Trang 18

read

Trang 19

read

Trang 20

read

Trang 21

read

Trang 22

read

Trang 23

read

Trang 24

read

Trang 26

read

Trang 27

read

Định dạng
Số trang	27
Dung lượng	398,87 KB