Phép nghịch đảo và ứng dụng giải một bài toán hình học.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC —————————— NGUYỄN CHÍ THANH PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN MINH THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Chương Kiến thức 1.1 Định nghĩa 1.2 Một số tính chất phép nghịch đảo Chương Một số toán hình học phẳng sử dụng phép nghịch đảo 15 2.1 Bài toán chứng minh tính chất hình học 15 2.2 Bài toán quỹ tích 40 2.3 Bài toán dựng hình 52 Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 64 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành khóa đào tạo Thạc sĩ trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Minh, Đại học Thái Nguyên Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người tạo cho phương pháp nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên, người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên vượt qua khó khăn học tập Đặc biệt xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên cho lĩnh hội kiến thức trực tiếp từ thầy giáo đầu ngành lĩnh vực toán sơ cấp Việt Nam GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu,GS.TSKH Hà Huy Khoái, Cuối cùng, xin cảm ơn bạn bè, gia đình người thân động viên, ủng hộ vật chất tinh thần để hoàn thành tốt khóa học Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Trong chương trình THPT số phép biến hình đưa vào giảng dạy phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm, đối xứng trục, phép vị tự, phép đồng dạng, nhiên phép nghịch đảo không đề cập đến Hầu toán áp dụng phép nghịch đảo toán hay, toán kinh điển, toán thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế Việc sử dụng phép nghịch đảo để giải toán hình học nhiều cần thiết Đặc biệt nhiều toán, không sử dụng phép nghịch đảo việc tìm lời giải trở nên khó khăn cho người học toán, sử dụng phép nghịch đảo giúp cho giải trở nên xúc tích đẹp đẽ Phép nghịch đảo công cụ quan trọng hình học, xuất điều tất yếu phát triển tư toán học - tư biến hình Trong toán có sử dụng phép nghịch đảo để giải phép toán mắt xích quan trọng, định hướng thông suốt trình tư Ngoài ra, phép nghịch đảo công cụ tư hữu ích để phát triển toán cho ta cách nhìn toán Điều khiến cho người học toán phát triển kiến thức hình học mà cung cấp cho họ nhìn sâu toán Với lý chọn phép nghịch đảo để nghiên cứu Bố cục luận văn phần mở đầu kết luận, luận văn gồm hai chương Chương Kiến thức phép nghịch đảo: nhằm cung cấp kiến thức phép nghịch đảo, tính chất mà áp dụng vào số toán chương Tính chất quan trọng tính chất đặc trưng phép nghịch đảo khác hẩn với tính chất phép biến hình khác, qua phép nghịch đảo: đường thẳng không qua cực nghịch Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn đảo biến thành đường tròn qua cực nghịch đảo (tính chất 1.2.6-a), đường tròn qua cực nghịch đảo biến thành đường thẳng không qua cực nghịch đảo vuông góc với đường thẳng nối cực nghịch đảo với tâm đường đường tròn cho (tính chất 1.2.7-a), đường tròn không qua cực nghịch đảo biến thành đường tròn không qua cực nghịch đảo (tính chất 1.2.7-b) Chương Một số toán hình học phẳng sử dụng phép nghịch đảo: vận dụng định nghĩa tính chất phép nghịch đảo vào số toán chứng minh, quỹ tích, dựng hình hình học phẳng Qua làm bật ưu việt phép nghịch đảo áp dụng giải lớp toán Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Kiến thức 1.1 Định nghĩa Đôi nét định nghĩa: Khi học trung học sở, ta biết toán sau: "Cho đường tròn (O) điểm A nằm đường tròn Vẽ tiếp tuyến AK đến (O) (K ∈ (O)) Một cát tuyến từ A đến (O) cắt (O) hai điểm M, N Khi đó, ta có AK = AM.AN " Như ta để ý với điểm M0 nằm đường tròn (O) tồn điểm N0 khác nằm (O) nằm AM0 cho AM0 AN0 = AK2 Định nghĩa: Trong mặt phẳng Euclide cho điểm O cố định số thực k khác không Cho tương ứng điểm M khác O với điểm M thuộc đường thẳng OM cho OM OM = k Phép tương ứng gọi phép nghịch đảo cực O, phương tích k (hay tỉ số k ) Ký hiệu: Phép nghịch đảo cực O phương tích k ký hiệu I(O,k) hay IOk , ta có IOk (M ) = M IOk : M → M , hay số sách đưa ký hiệu f (O, k), luận văn dùng ký hiệu IOk f (M ) = M M ảnh M qua phép nghịch đảo cực O, phương tích k −−→ −−→ Ta có OM OM = OM OM O, M, M thẳng hàng Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2 Một số tính chất phép nghịch đảo Tính chất 1.2.1 Cực nghịch đảo O điểm tương ứng qua phép nghịch đảo Vì phép nghịch đảo phép biến hình mặt phẳng Euclide Nếu bổ sung vào mặt phẳng Euclide điểm gọi "điểm vô tận" quy ước xem điểm ảnh đồng thời tạo ảnh điểm O qua phép nghịch đảo f (O, k) Mặt phẳng bổ sung điểm vô tận gọi mặt phẳng mở rộng Phép nghịch đảo mặt phẳng mở rộng song ánh, tức phép biến hình Khi M tiến lại gần O cực nghịch đảo ảnh f (M ) tiến xa O, tức M → O f (M ) → ∞ Gọi đường thẳng hợp với điểm vô tận đường thẳng bổ sung đường tròn mặt phẳng gọi tập hợp đường tròn nghĩa rộng Cho đường thẳng bổ sung d, hai điểm M1 , M2 gọi đối xứng với qua d chúng ảnh qua phép đối xứng trục d (Ta quy ước: điểm vô tận đối xứng với điểm vô tận) Cho đường tròn (O, R), hai điểm M1 , M2 gọi đối xứng với qua (O, R) chúng ảnh qua phép nghịch đảo cực O, phương tích k = R2 Qua phép nghịch đảo điểm O biến thành điểm vô tận điểm vô tận biến thành cực O, nên O điểm vô tận đối xứng với qua (O, R) Tính chất 1.2.2 Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp: Qua phép nghịch đảo, điểm M biến thành điểm M ngược lại, điểm M biến thành điểm M (hay IOk (M ) = M ta có IOk (M ) = M , OM OM = k = OM OM ) Như IOk ◦ IOk (M ) = M hay (IOk )2 phép đồng Tính chất 1.2.3 Đường tròn nghịch đảo: Xét phép nghịch đảo IOk : M → M Nếu tỷ số k > M M nằm phía O Khi tập Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn hợp điểm bất động phép nghịch đảo đường tròn tâm O, bán √ k , đường tròn gọi đường tròn nghịch đảo Khi điểm M mà thỏa mãn f (M ) = M gọi điểm kép (điểm bất động) phép nghịch đảo f (O, k) Nếu điểm M nằm bên đường tròn M nằm bên đường tròn nghịch đảo ngược lại Nếu k < hai điểm M M nằm hai phía O Khi kính điểm kép, đường tròn nghịch đảo (trong trường hợp đường tròn nghịch đảo f (O, k) gọi đường tròn bán thực, tâm đường tròn thực bán kính đường tròn ảo) Tính chất 1.2.4 a) Nếu phép nghịch đảo f (O, k) có phương tích k > M, M ảnh qua phép nghịch đảo f (O, k), đường tròn qua hai điểm M, M trực giao với (O, √ k) (hai đường tròn (O), (O ) gọi trực giao với hai tiếp tuyến giao điểm (O) (O ) vuông góc với nhau) Hơn đường tròn (C) qua M, M biến thành qua f (O, k) với k > √ b) Nếu (O1 ) (O2 ) trực giao với (O, k), k > (O1 ), (O2 ) cắt hai điểm hai điểm ảnh qua phép nghịch đảo f (O, k) Chứng minh: a) Gọi (O ) đường tròn qua hai điểm M, M I = (O) ∩ (O ) Hình 1.1: Giả sử OI cắt đường tròn O điểm thứ hai I khác I , ta có OM OM = Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn OI.OI Mặt khác từ giả thiết: OM OM = OI.OI = k = OI Do I ≡ I , hay OI tiếp tuyến đường tròn (O ) ⇔ OI⊥O I , chứng tỏ đường tròn (O ) trực giao với đường tròn (O) Vậy ta có với đường tròn qua hai √ điểm M, M trực giao với đường tròn (O, k) Hơn với đường tròn (C) qua hai điểm M, M , theo chứng minh ta có (C) trực giao với (O) Từ O ta kẻ đường thẳng cắt (C) hai điểm N, N , ta có ON ON = k , suy điểm N thuộc đường tròn (C) qua phép nghịch đảo f (O, k) có ảnh N thuộc đường tròn (C) Vậy chứng tỏ đường tròn (C) qua M, M biến thành qua phép nghịch đảo f (O, k) b) Gọi (O1 ) ∩ (O2 ) = {M, M } Giả sử OM ∩ (O2 ) = M1 , ta có OM OM1 = k O, M, M1 thẳng hàng (1) Hình 1.2: Mặt khác giả sử OM ∩ (O1 ) = M2 , ta có OM OM2 = k O, M, M2 thẳng hàng (2) Từ (1) (2) suy M2 ≡ M1 ≡ M , hay chứng tỏ M, M ảnh qua phép nghịch đảo f (O, k) Tính chất 1.2.5 Phép nghịch đảo f (O, k), k = Thì với hai điểm A, B không thẳng hàng với cực nghịch đảo, ta có A, B, f (A), f (B) điểm đồng viên (tức thuộc đường tròn) Hơn đặt A = f (A) B = f (B) A B = |k| Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN AB OA.OB http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh: Giả sử O, A, B không thẳng hàng k > 0, điểm A , B tương ứng nằm tia OA, OB OA.OA = OB.OB = k OA OB suy = ⇒ ∆OAB OB OA ∆OB A ⇒ A, B, A , B thuộc đường tròn, OA OA OA OA.OA k |k| AB = = = = = AB OB OB.OA OA.OB OA.OB OA.OB |k| AB (∗) ⇔ AB = OA.OB ⇒ Hình 1.3: Biểu thức (∗) với O, A, B thẳng hàng k < Chú ý: Khẳng định f (O, k) : AB → A B sai! Tính chất ảnh đường thẳng hay đường tròn qua phép nghịch đảo nhắc đến sau Tính chất 1.2.6 Ảnh đường thẳng qua phép nghịch đảo: a) Qua phép nghịch đảo, đường thẳng không qua cực nghịch đảo biến thành đường tròn qua cực nghịch đảo Chứng minh: Từ cực nghịch đảo O ta hạ OA vuông góc với đường thẳng ∆ cho Gọi B ảnh A qua phép nghịch đảo IOk A điểm ∆ (hình 1.4 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... THPT số phép biến hình đưa vào giảng dạy phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm, đối xứng trục, phép vị tự, phép đồng dạng, nhiên phép nghịch đảo không đề cập đến Hầu toán áp dụng phép nghịch đảo toán. .. qua cực nghịch đảo (tính chất 1.2.7-b) Chương Một số toán hình học phẳng sử dụng phép nghịch đảo: vận dụng định nghĩa tính chất phép nghịch đảo vào số toán chứng minh, quỹ tích, dựng hình hình học.. . hay, toán kinh điển, toán thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế Việc sử dụng phép nghịch đảo để giải toán hình học nhiều cần thiết Đặc biệt nhiều toán, không sử dụng phép nghịch đảo việc tìm lời giải