Phép nghịch đảo và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN Dương Thị Trang PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Hình học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Dương Thị Trang

PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Hình học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH Nguyễn Năng Tâm

Hà Nội – Năm 2016

Do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên những vấn đề mà

em trình bày trong khóa luận sẽ không tránh khỏi những thiếu sót.Emkính mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy giáo,

cô giáo, các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016

Sinh viênDương Thị Trang

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Trang

Lời cam đoan

Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của quá trình học tập, nghiên cứucủa em dưới sự chỉ bảo, dìu dắt của các thầy cô giáo, đặc biệt là sựhướng dẫn nhiệt tình của thầy Nguyễn Năng Tâm

Vì vậy, khóa luận tốt nghiệp với đề tài:”PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀỨNG DỤNG” không có sự trùng lặp với các khóa luận khác

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2015

Sinh viênDương Thị Trang

Lời Mở Đầu 1

1.1 Không gian Ơclit En 4

1.2 Các khái niệm về phép biến hình 5

1.2.1 Định nghĩa phép biến hình 5

1.2.2 Định lí 6

1.2.3 Định nghĩa 6

2 PHÉP NGHỊCH ĐẢO 7 2.1 Không gian bảo giác 7

2.1.1 Phép nghịch đảo 7

2.2 Các tính chất 8

2.2.1 Tính chất 1 8

2.2.2 Tính chất 2 8

2.2.3 Tính chất 3 8

2.2.4 Tính chất 4 9

2.2.5 Tính chất 5 10

2.3 Các định lí 10

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Trang

2.3.1 Định lí 1 10

2.3.2 Định lí 2 12

2.3.3 Định lí 3 13

2.3.4 Định lí 4 13

2.3.5 Định lí 5 14

2.3.6 Định lí 6 16

2.3.7 Định lí 7 17

2.3.8 Định lí 8 18

2.3.9 Định lí 9 19

2.3.10 Định lí 10 19

3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP NGHỊCH ĐẢO 21 3.1 Phép nghịch đảo trong bài toán chứng minh 21

3.1.1 Bài toán chứng minh 21

3.1.2 Phương pháp chung 22

3.1.3 Các ví dụ 22

3.2 Phép nghịch đảo trong bài toán dựng hình 27

3.2.1 Bài toán dựng hình 27

3.2.2 Phương pháp chung 27

3.2.3 Các ví dụ 28

3.3 Phép nghịch đảo trong bài toán quỹ tích 36

3.3.1 Bài toán quỹ tích 36

3.3.2 Phương pháp chung 36

3.3.3 Các ví dụ 36

3.4 Phép nghịch đảo trong bài toán tính toán 42

3.4.1 Bài toán tính toán 42

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Trang

LỜI MỞ ĐẦU

1.Lí do chọn đề tài

Hình học là môn học hấp dẫn thu hút nhiều học sinh yêu toán

Việc giải các bài tập, tìm ra nhiều cách giải trong đó có nhiều cách

giải hay, độc đáo sẽ phát huy tính sáng tạo, niềm say mê đối với môn

hình học Với mỗi bài tập có thể có nhiều phương pháp giải: phương

pháp tổng hợp, phương pháp vectơ, phép biến hình

Trong chương trình toán phổ thông học sinh được học các phép

biến hình: đối xứng trục, đối xứng tâm, phép quay, phép vị tự Trong

nhiều trường hợp phép biến hình là công cụ hữu hiệu để giải hợp lí và

ngắn gọn các bài toán của hình học phẳng như bài toán chứng minh,

bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình, bài toán tính toán

Phép nghịch đảo là một trong các phép biến hình không được dạy

trong chương trình phổ thông mà chỉ được đề cập cho học sinh các

lớp chuyên Do phép nghịch đảo có một số tính chất đặc biệt như khả

năng biến đường tròn thành đường thẳng và ngược lại nên nó có nhiều

ứng dụng trong việc giải một số lớp bài toán hình học Sử dụng phép

nghịch đảo có thể giúp chúng ta tìm được lời giải hay, ngắn gọn của

bài toán hình học

Yêu thích hình học, yêu thích phép biến hình đặc biệt là phép

nghịch đảo nên em đã chọn đề tài:”Phép nghịch đảo và ứng dụng” để

thực hiện khóa luận tốt nghiệp Đại học

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu.

- Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của phép nghịch đảo và ứng

dụng của nó trong việc giải bài toán quỹ tích

- Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa và bài tập tự luyện thể hiện

việc sử dụng phương pháp biến hình vào giải bài toán quỹ tích

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: phép nghịch đảo

- Phạm vi nghiên cứu: ứng dụng của phép nghịch đảo trong việc

giải các bài toán chứng minh, quỹ tích, dựng hình, bài toán tính toán

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sách giáo trình, bài giảng chuyên đề, các tài liệu tham

khảo có liên quan

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm

3 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Phép nghịch đảo

Chương 3: Một số ứng dụng của phép nghịch đảo

Trong xuốt quá trình nghiên cứu em đã nhận được sự giúp đỡ tận

tình của thầy giáo Nguyễn Năng Tâm, các thầy cô trong tổ Hình học

em đã hoàn thành khóa luận này Một lần nữa em xin bày tỏ lòng biết

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Trang

ơn sâu sắc tới các thầy, các cô

Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của các thầy

cô và các bạn sinh viên để đề tài này được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng ta trình bày một số kiến thức để chuẩn bị

cho chương sau.Những kiến thức này chủ yếu lấy từ tài liệu Hình học

afin và hình học Ơclit của Văn Như Cương-Tạ Mân và Các phép biến

hình trong mặt phẳng của Nguyễn Mộng Hy

1.1 Không gian Ơclit En

Không gian Ơclit là không gian afin liên kết với không gian vectơ

Ơclit hữu hạn chiều

Không gian Ơclit gọi là n -chiều nếu không gian vectơ Ơclit liên

- Mỗi không gian vectơ Ơclit hữu hạn chiều với cấu trúc afin chính

tắc là một không gian Ơclit , chẳng hạn như Rn

- Các không gian afin thực n-chiều đều có thể trở thành không gian

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Trang

Ơlit n-chiều bằng cách trang bị một tích vô hướng cho không gian

vectơ liên kết với không gian afin đã cho

Khoảng cách giữa hai điểm p,q thuộc En là k−→pqk.

Mục tiêu afin trong En là họ (O−, e→

1, , −→, en), O ∈ En là gốc tọa độ,(−→e

1, , −→, en) là một cơ sở của −→

En.Điểm p ∈ En có tọa độ (x1, , xn) đối với mục tiêu đó có nghĩa là

i hay còn viết [p] = (x1, , xn) Các hàm số x1, , xn trên

En đó gọi là các hàm tọa độ Khi cơ sở (−→e

Sau khi chọn một hệ tọa độ Đề các vuông góc trong En thì có thểđồng nhất En với Rn với công thức khoảng cách vừa viết

1.2 Các khái niệm về phép biến hình

1.2.1 Định nghĩa phép biến hình

Mỗi song ánh f : En → En được gọi là phép biến hình của không gian

En

Như vậy, cho một phép biến hình f : En → En là cho một quy tắc

để với bất kì điểm M ∈ En , ta tìm được một điểm M’= f (M ) hoàntoàn xác định thỏa mãn hai điều kiện sau đây:

- Nếu M, N là hai điểm phân biệt của En thì f (M ) , f (N ) là hai

điểm phân biệt của En.

- Với mỗi điểm M’∈ En bao giờ cũng có một điểm M ∈ En sao cho

f (M ) =M’

Điểm f (M ) được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình f

Ngược lại, điểm M được gọi là tạo ảnh của điểm f (M ) qua phép biến

Chương 2

PHÉP NGHỊCH ĐẢO

Chương này trình bày một số nội dung về phép nghịch đảo Những

kiến thức này chủ yếu được tham khảo từ tài liệu Các phép biến hình

trong mặt phẳng của Nguyễn Mộng Hy

2.1 Không gian bảo giác

Không gian En bổ sung phần tử ∞ ( điểm vô cực) gọi là không gianbảo giác Bn

Quy ước: Trong không gian Bn mọi đường thẳng, mặt phẳng đều

+, Nếu M ≡ O thì M0 ≡ ∞

+, Nếu M ≡ ∞ thì M0 ≡ O

+, Nếu M /∈ {O, ∞} ⇒ M0 nằm trên OM và −−→

OM −−→

OM0 = k đượcgọi là phép nghịch đảo cực O, phương tích k

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Trang

- Nếu phương tích nghịch đảo k>0 thì phép nghịch đảo có tập các

điểm bất động là siêu cầu tâm O , bán kính √

k (gọi là siêu cầu nghịch



2.2.5 Tính chất 5

Mọi siêu cầu có tính chất phương tích của cực nghịch đảo đối với nó

bằng phương tích nghịch đảo là siêu cầu kép

Thật vậy:

Xét phép nghịch đảo N k

O.Giả sử (C) là siêu cầu thỏa mãn tính chất: phương tích của cực nghịch

đảo đối với nó bằng phương tích nghịch đảo Nghĩa là PO/(C) = k Với

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Trang



O,√k



Gọi (C0) là đường tròn bất kì qua M, M’ Ta cóPO/(C 0 ) = OM OM0(1) Mặt khác: N k



[⇐] Giả sử có hai đường tròn qua M, M’ trực giao với siêu cầu nghịch

đảo là (C1) , (C2)

Khi đó O nằm trên trục đẳng phương MM’ của (C1) , (C2), PO/(C1) =

PO/(C 2 ) = OM OM0 =

√k

2

= k

Suy ra M, M’ tương ứng nhau qua phép nghịch đảo N k

O , k > 0

Do đó OM OM0 = k là điều phải chứng minh

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Trang

Do M bất kì trong không gian En ⇒N 0 ◦N = V

⇒ A0B0 = |k| AB

OA.OB.

⇒ A0B0 = OA

0.AB

OA.OA0.ABOA.OB

Phép nghịch đảo bảo tồn góc giữa hai đường cong nhưng làm ngược

hướng của hình

Chứng minh:

Để chứng minh định lí 2.3.5 ta chứng minh bổ đề sau đây:

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Trang

Bổ đề: Trong không gian Bn phép nghịch đảo N k

O biến đường cong(C) thành đường cong (C0) Nếu A, A’ là hai điểm tương ứng trên(C), (C0) và tại đó có các tiếp tuyến thì các tiếp tuyến này đối xứngnhau qua đường trung trực của AA’

Chứng minh bổ đề

Hình 6

Lấy trên (C), (C0) hai điểm tương ứng M, M’ khá gần A và A’ saocho khoảng cách OM không bị triệt tiêu khi M dần đến A Ta có A,

M, M’, A’ cùng thuộc một đường tròn (K) , khi M dần tới A thì M’

dần tới A’ và cát tuyến AM dần đến tiếp tuyến At , cát tuyến A’M’

dần đến tiếp tuyến A’t’, đường tròn (K) dần tới đường tròn (Ko).Khi M ≡ A thì At, A0t0 cũng là các tiếp tuyến của đường tròn (Ko),

do đó chúng đối xứng nhau qua đường trung trực của AA’

Chứng minh định lí

Hình 7

Giả sử có hai đường cong (C) và (D) cắt nhau ở A , qua N k

O biếnthành hai đường cong tương ứng (C0), (D0) cắt nhau tại A0 = N k

O (A).Theo bổ đề trên thì các tiếp tuyến At và A’t’ đối xứng nhau qua đường

trung trực của AA’ , các tiếp tuyến Au và A’u’ cũng đối xứng nhau

qua đường trung trực của AA’ Theo tính chất phép đối xứng trục ta

có:

(At, Au) = − (A0t0, A0u0)

Do đó phép nghịch đảo bảo toàn góc giữa hai đường cong và làm

ngược hướng của hình

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Trang

A,O,A’ thẳng hàng ⇒ A0 ∈ (α)

2.3.7 Định lí 7

Phép nghịch đảo biến siêu phẳng không đi qua cực nghịch đảo thành

siêu cầu đi qua cực nghịch đảo, biến siêu cầu đi qua cực nghịch đảo

thành siêu phẳng không đi qua cực nghịch đảo

Chứng minh:

Hình 8

Giả sử phép nghịch đảo N (O, k) trong E3 , (α) là mặt phẳngkhông đi qua O, H là hình chiếu của O lên (α) , H0 = N (H) , ∀M ∈(α) , M0 = N (M) khi đó tứ giác MHH’M’ nội tiếp Do đó \OM0H0 =

90◦ ⇒ M0 ∈ (OH0) ( mặt cầu đường kính OH’ )

Ngược lại, nếu lấy điểm Q0 ∈ (OH0) , Q = N (Q0) , tứ giác HH’Q’Qnội tiếp \OHQ = 90◦.Do đó Q ∈ (α)

Tóm lại N [(α)] = (OH0)

Do tính chất đối hợp của phép nghịch đảo nên phép nghịch đảo

biến mặt cầu đi qua cực nghịch đảo thành mặt phẳng không đi qua

cực nghịch đảo.

2.3.8 Định lí 8

Phép nghịch đảo biến siêu cầu không đi qua cực nghịch đảo thành

siêu cầu không đi qua cực nghịch đảo

Tứ giác MBM’B’ nội tiếp ⇒ cB1 = dM1 0

Tứ giác MAM’A’ nội tiếp ⇒ cA1 = dM20

Do đó cM10+ cM20 = cA1+ cB1 = 90◦ ⇒ \A0M0B0 = 90◦ ⇒ M0 ∈ (A0B0)Ngược lại, lấy P0 ∈ (A’B’) chứng minh tương tự trên ta có: P =

N (P0) ∈ (C )

Tóm lại N [(C )] = (A0B0)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Trang

2.3.9 Định lí 9

Phép nghịch đảo bảo toàn tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng thuộc

đường thẳng đi qua cực nghịch đảo

Tích của một phép vị tự và một phép nghịch đảo có cực nghịch đảo và

tâm vị tự khác nhau có thể phân tích thành tích của một phép tịnh

Lấy O’ là tâm của một phép vị tự mới V0 = V

1 k

O 0 Vì V ◦ V0 là một phéptịnh tiến T nên V ◦N = V ◦V0◦(V0)−1◦N = T ◦(V0)−1◦N = T ◦N 0

Chương 3

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA

PHÉP NGHỊCH ĐẢO.

Trong chương này trình bày một số ứng dụng của phép nghịch đảo

để giải các bài toán: chứng minh, dựng hình, quỹ tích, tính toán Các

bài tập này chủ yếu được tham khảo từ tài liệu Chuyên đề bồi dưỡng

học sinh giỏi Toán Trung Học Phổ Thông Phép biến hình trong mặt

phẳng của Đỗ Thanh Sơn

3.1 Phép nghịch đảo trong bài toán chứng minh.

3.1.1 Bài toán chứng minh

Bài toán chứng minh là bài toán cơ bản trong toán học nói chung và

trong hình học nói riêng Bài toán chứng minh chứa đựng trong hầu

hết các bài toán hình học khác nhau như bài toán dựng hình, bài toán

quỹ tích, bài toán tính toán

Bài toán chứng minh là bài toán cần chỉ ra mệnh đề A ⇒ B đúng

trong đó A là giả thiết của bài toán, B là kết luận của bài toán

3.1.2 Phương pháp chung.

Vận dụng phép nghịch đảo và bài toán chứng minh là dựa vào giả thiết

đã cho, điều phải chứng minh để chọn phép nghịch đảo thích hợp làm

cho việc chứng minh bài toán trở nên dễ dàng hơn

Để giải một số bài toán chứng minh có ứng dụng phép nghịch đảo

thông thường bao gồm các thao tác sau:

- Nghiên cứu kĩ đề tài, vẽ hình chính xác

- Xác định rõ yếu tố cần chứng minh, các yếu tố đã cho, các yếu tố

cố định và quan hệ ban đầu giữa các yếu tố đó

- Dựa vào kết quả phân tích ở trên, lựa chọn một phép nghịch đảo

vơi nghịch đảo và phương tích nghịch đảo xác định

- Xác định ảnh và mối quan hệ giữa các yếu tố hình học để có thể

chuyển bài toán về bài toán mới đơn giản hơn

- Giải bài toán mới

- Dựa vào tính chất của phép nghịch đảo để suy ra điều phải chứng

minh

3.1.3 Các ví dụ

Ví dụ 3.1.1 Trong không gian cho mặt cầu (C1) tâm O, bán kính R

và điểm A cố định nằm ngoài (C1) Mặt phẳng (α) thay đổi qua tâm

O cắt (C1) theo đường tròn (S)

a) CMR mặt cầu (C2) qua A và (S) đi qua một điểm cố định khác

A

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Trang

b) Điểm M di động trên (S) , AM cắt mặt cầu (C1) tại N CMR

N di chuyển trên một đường tròn A và mặt cầu qua A và (S0) đi quamột điểm cố định khác A

Giải

Hình 10

a) Gọi CD là đường kính bất kì của (S)

xét N1 = N O, −R2
,N1(C) = D Gọi A1 = N1(A) Vì A cốđịnh nên A1 cố định.Tứ giác ACA1D nội tiếp hay A1 ∈ (ACD) ⊂ (C2)

Do đó mặt cầu (C2) đi qua A1 cố định

b) Ta có AM AN = PA\(C1) = k ( k-không đổi)

Xét phép nghịch đảo N2 = N (A, k) , N2(M ) = M,N2((C1)) =(C1)

Gọi mặt cầu (C ) = N2((α)) mà M ∈ (S) = (α) ∩ (C1) ⇒ N ∈(C ) ∩ (C1) = (S0)

Do đó điểm N di chuyển trên đường tròn (S0) cố định ta có mặtcầu (C ) đi qua A và (S0)

Do (α) đi qua O cố định nên (C ) = N2((α)) đi qua O1 = N2(O)

cố định

Ví dụ 3.1.2 Cho mặt cầu (O) , đường kính AB Hai điểm M, M’ di

động trên mặt phẳng tiếp tuyến (α) tại A : AM AM0 = k (k - hằngsố) Giao điểm thứ hai của BM, BM’ với (O) là N, N’ Cho điểm P ∈

mặt cầu (BM M0) BP ∩ (O) = P0 CMR: mặt phẳng (N N0P0) đi quađiểm cố định

Giải

Hình 11

Xét phép nghịch đảo N1 = N (A, k) , N (M) = M0 Gọi B1 =

N1(B) Do B cố định nên B1 cố định và mặt cầu (BM M0) đi qua B1

cố định

Xét phép nghịch đảo N2 = N B, BA2

N2(α) = (O) ,N2(M ) = N,N2(M0) = N0,N2(P ) = P0

⇒ N2((BM M0)) = (N N0P0),( (N N0P0) là mặt phẳng)

Do đó mặt phẳng (N N0P0) luôn đi qua điểm B2 = N2(B1) cố định

Ví dụ 3.1.3 Cho mặt cầu (C ) giao với mặt phẳng (α) bởi đườngtròn tâm O , điểm S nằm ngoài (C ) và (α) P, Q, R là các điểm thuộc

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Trang

(O): PQ đi qua điểm I cố định nằm trong (C ),SP, SQ, SR cắt (C ) tại

P0, Q0, R0 CMR: mặt phẳng (P0Q0R0) đi qua điểm cố định

⇔ đa diện SP S1R1QR nội tiếp

Do đó, các mặt cầu (SP R1QR) đi qua S1 cố định

Ví dụ 3.1.4 Cho 2 mặt phẳng (α) , (β) vuông góc với nhau và điểm

A không nằm trên chúng.Góc vuông dxAy quay quanh A, cắt (α) tại

M, M’ , điểm B cố định thuộc (β) nhưng không thuộc (α) CMR các

mặt cầu (BM M0) đi qua điểm C cố định khác B