Phép nghịch đảo và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Dương Thị Trang PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Dương Thị Trang PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Hình học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH Nguyễn Năng Tâm Hà Nội – Năm 2016 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Trang Lời cảm ơn Khóa luận tốt nghiệp em hoàn thành với giúp đỡ bảo thầy cô tổ Hình học, Khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy giáo Nguyễn Năng Tâm, người tận tình hướng dẫn em suốt thời gian qua để em hoàn thành khóa luận Do trình độ thời gian nghiên cứu hạn chế nên vấn đề mà em trình bày khóa luận không tránh khỏi thiếu sót.Em kính mong nhận bảo đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo, bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Dương Thị Trang i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Trang Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp kết trình học tập, nghiên cứu em bảo, dìu dắt thầy cô giáo, đặc biệt hướng dẫn nhiệt tình thầy Nguyễn Năng Tâm Vì vậy, khóa luận tốt nghiệp với đề tài:”PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG” trùng lặp với khóa luận khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2015 Sinh viên Dương Thị Trang ii Mục lục Lời Mở Đầu 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Ơclit E n 1.2 Các khái niệm phép biến hình 1.2.1 Định nghĩa phép biến hình 1.2.2 Định lí 1.2.3 Định nghĩa PHÉP NGHỊCH ĐẢO 2.1 2.2 2.3 Không gian bảo giác 2.1.1 Phép nghịch đảo Các tính chất 2.2.1 Tính chất 2.2.2 Tính chất 2.2.3 Tính chất 2.2.4 Tính chất 2.2.5 Tính chất 10 Các định lí 10 iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Trang 2.3.1 Định lí 10 2.3.2 Định lí 12 2.3.3 Định lí 13 2.3.4 Định lí 13 2.3.5 Định lí 14 2.3.6 Định lí 16 2.3.7 Định lí 17 2.3.8 Định lí 18 2.3.9 Định lí 19 2.3.10 Định lí 10 19 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP NGHỊCH ĐẢO 21 3.1 3.2 3.3 3.4 Phép nghịch đảo toán chứng minh 21 3.1.1 Bài toán chứng minh 21 3.1.2 Phương pháp chung 22 3.1.3 Các ví dụ 22 Phép nghịch đảo toán dựng hình 27 3.2.1 Bài toán dựng hình 27 3.2.2 Phương pháp chung 27 3.2.3 Các ví dụ 28 Phép nghịch đảo toán quỹ tích 36 3.3.1 Bài toán quỹ tích 36 3.3.2 Phương pháp chung 36 3.3.3 Các ví dụ 36 Phép nghịch đảo toán tính toán 42 iv Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Trang 3.4.1 Bài toán tính toán 42 3.4.2 Phương pháp chung 43 3.4.3 Các ví dụ 43 Kết Luận 48 Tài Liệu Tham Khảo 49 v Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Trang LỜI MỞ ĐẦU 1.Lí chọn đề tài Hình học môn học hấp dẫn thu hút nhiều học sinh yêu toán Việc giải tập, tìm nhiều cách giải có nhiều cách giải hay, độc đáo phát huy tính sáng tạo, niềm say mê môn hình học Với tập có nhiều phương pháp giải: phương pháp tổng hợp, phương pháp vectơ, phép biến hình Trong chương trình toán phổ thông học sinh học phép biến hình: đối xứng trục, đối xứng tâm, phép quay, phép vị tự Trong nhiều trường hợp phép biến hình công cụ hữu hiệu để giải hợp lí ngắn gọn toán hình học phẳng toán chứng minh, toán quỹ tích, toán dựng hình, toán tính toán Phép nghịch đảo phép biến hình không dạy chương trình phổ thông mà đề cập cho học sinh lớp chuyên Do phép nghịch đảo có số tính chất đặc biệt khả biến đường tròn thành đường thẳng ngược lại nên có nhiều ứng dụng việc giải số lớp toán hình học Sử dụng phép nghịch đảo giúp tìm lời giải hay, ngắn gọn toán hình học Yêu thích hình học, yêu thích phép biến hình đặc biệt phép nghịch đảo nên em chọn đề tài:”Phép nghịch đảo ứng dụng” để thực khóa luận tốt nghiệp Đại học Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Trang Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu kiến thức phép nghịch đảo ứng dụng việc giải toán quỹ tích - Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa tập tự luyện thể việc sử dụng phương pháp biến hình vào giải toán quỹ tích Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: phép nghịch đảo - Phạm vi nghiên cứu: ứng dụng phép nghịch đảo việc giải toán chứng minh, quỹ tích, dựng hình, toán tính toán Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sách giáo trình, giảng chuyên đề, tài liệu tham khảo có liên quan Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Phép nghịch đảo Chương 3: Một số ứng dụng phép nghịch đảo Trong xuốt trình nghiên cứu em nhận giúp đỡ tận tình thầy giáo Nguyễn Năng Tâm, thầy cô tổ Hình học em hoàn thành khóa luận Một lần em xin bày tỏ lòng biết Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Trang ơn sâu sắc tới thầy, cô Em mong nhận đóng góp ý kiến quý báu thầy cô bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Trang N :(O) ↔ (O ) (O1 ) ↔ d1 với d1 d (O2 ) ↔ (O2 ) với (O2 ) tiếp xúc với d1 d↔d ⇒ (O) tiếp xúc với (O1 ) , (O2 ) Do (O) đường tròn cần dựng Biện luận: - Nếu d qua tiếp tuyến chung đường tròn toán có vô số nghiệm hình - Các trường hợp lại toán có nghiệm hình KẾT LUẬN: Để dựng đường tròn thỏa mãn kiện sử dụng phép nghịch đảo ta chuyển toán ảnh đường tròn cần dựng qua phép nghịch đảo Thường toán dựng đường thẳng hay đường tròn phải đơn giản toán ban đầu Dựng ảnh đường thẳng hay đường tròn qua phép nghịch xét ta đường tròn cần dựng Riêng với dựng ảnh đường tròn qua phép nghịch đảo ta xác định tâm điểm thuộc đường tròn xác định điểm thuộc đường tròn 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.3 3.3.1 Dương Thị Trang Phép nghịch đảo toán quỹ tích Bài toán quỹ tích Chúng ta thường gặp toán quỹ tích tức tìm tập hợp điểm có tính chất α cho trước Quỹ tích tập hợp rỗng, tập hợp hữu hạn điểm, tập hợp vô hạn điểm Để giải toán ta làm theo hai bước: - Bước (phần thuận): Chứng minh điểm có tính chất α phải thuộc hình (H) - Bước (phần đảo): Chứng minh điểm thuộc hình (H) có tính chất α 3.3.2 Phương pháp chung Để tìm quỹ tích điểm M có tính chất α ta chọn phép nghịch đảo thích hợp biến điểm M có tính chất α thành điểm M’ có tính chất α’ quỹ tích điểm M’ phải tìm dễ dàng Từ suy quỹ tích điểm M có tính chất α ảnh quỹ tích M’ qua phép nghịch đảo xét 3.3.3 Các ví dụ Ví dụ 3.3.1 Cho (O), gọi (C) (C ) đường tròn qua tâm O trực giao với tiếp xúc với (O), cắt giao điểm thứ hai I Tìm quỹ tích I (C) (C ) thay đổi Giải 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Trang Hình 18 Nhận xét: Do hình vẽ có nhiều đường tròn nên ta sử dụng phép nghịch đảo để đưa hình vẽ đơn giản Gọi R bán kính (O) Chọn phép nghịch đảo cực O, phương tích k = −R2 Khi (O) có ảnh (C) , (C ) biến thành đường thẳng t1 , t2 Do tính chất bảo tồn góc đường cong phép nghịch đảo ⇒ t1 , t2 tiếp tuyến (O) t1 ⊥t2 Gọi K giao điểm t1 t2 I K hai điểm tương ứng với N O, −R2 √ √ Ta có: OK = R ⇒ Tập hợp K đường tròn O, R R OI.OK = −R2 ⇒ OI = √ R ⇒ Tập hợp I đường tròn O, √ Ví dụ 3.3.2 Cho hai đường tròn (O) (O ) tiếp xúc A, d trục đẳng phương (O) (O ) Chứng minh có hai đường 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Trang tròn (I) (I ) qua điểm M ∈ d tiếp xúc với (O) (O ) Tìm quỹ tích giao điểm thứ hai đường tròn Giải Hình 19 Với điểm M ∈ d , xét phép nghịch đảo N cực điểm M , phương tích k = M A2 Vì d trục đẳng phương (O) (O ) , M ∈d ⇒ PM \(O) = PM \(O ) = M A2 = k ⇒ Qua N , đường tròn (O) (O ) biến thành nó,các đường tròn qua M, tiếp xúc với (O) (O ) biến thành tiếp tuyến chung (O) (O ) c c’ Vậy với điểm M ∈ d, có hai đường tròn qua M , tiếp xúc với (O) (O ) ảnh hai tiếp tuyến chung c c’ hai đường tròn Ta tìm quỹ tích giao điểm thứ hai (I) (I ) Gọi N’ giao điểm hai tiếp tuyến chung c c’ (O) (O ) ,N ảnh N’ qua phép nghịch đảo N chọn, tức ta có: 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Trang M A2 = M N M N ⇒ AN ⊥M N hay AN N = 90◦ (1) ⇒ Giao điểm thứ hai (I) (I ) ảnh N’ qua phép nghịch đảo N M, M A2 Theo (1) :AN N = 90◦ ⇒ Tập hợp điểm N đường tròn đường kính AN’ Ví dụ 3.3.3 Cho mặt cầu tâm O , bán kính R điểm M cố định nằm hình cầu không trùng với tâm O hình cầu Với mặt phẳng (P) qua M cắt (O, R) theo đường tròn (S) tâm I Trên tia OI ta lấy điểm A cho với điểm B thuộc đường tròn (S) , đường thẳng AB tiếp tuyến (O, R) Tìm tập hợp điểm A (P) quay quanh M Giải Hình 20 (P) qua M cắt (O, R) theo giao tuyến đường tròn (S) tâm I ⇒ OI⊥ (P ) A ∈ OI, B ∈ (S) cho AB tiếp tuyến (O, R) ⇒ AB⊥OB 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như vậy, Dương Thị Trang ABO: tam giác vuông B BI⊥AO ⇒ OI.OA = OB = R2 Xét phép nghịch đảo N cực O phương tích R2 A = N (I) Mặt khác: OI⊥ (P ) ⇒ OI⊥IM M, O cố định ⇒ Tập hợp điểm I mặt cầu đường kính OM ⇒ Tập hợp điểm A ảnh mặt cầu đường kính OM qua phép nghịch đảo N Vì (O, R) mặt cầu nghịch đảo phép nghịch đảo N , mặt cầu đường kính OM (O, R) Ví dụ 3.3.4 Trong không gian cho mặt cầu (W) có tâm O , bán kính R = 1, M điểm di động (W) Với điểm M ta xác định điểm M’ nằm đường thẳng OM thỏa mãn điều kiện OM OM = Tìm tập hợp điểm M’ M biến thiên (W) Ta giải toán hai cách sau: Cách 1: Dùng tọa độ Hình 21 Chọn hệ trục tọa độ cho gốc tọa độ trùng với tâm O mặt 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Trang cầu (W) Khi (W) có phương trình: x2 + y + z = Xét phép nghịch đảo N cực O phương tích k = M = (x, y, z) ∈ (W) M ∈ OM OM OM = ⇒ M = N (M ) Giả sử M = (x , y , z ) ta có: x y z   = = = (λ ∈ R)    y z λ x xx + yy + zz =       x2 + y + z =   2   λ x + y + z = λ = ⇔ ⇒    λ2 x + y + z = x2 + y + z = ⇒ M nằm mặt cầu có phương trình x2 + y + z = M thay đổi mặt cầu (W) ⇒ tập hợp điểm M’ mặt cầu có phương trình x2 + y + z = Đây mặt cầu có tâm trùng với tâm (W) , bán kính r = Cách 2: Theo giả thiết M ∈ (W) ⇒ OM = OM OM = M ∈ OM ⇒ OM = Do O cố định ⇒ M nằm mặt cầu tâm O , bán kính Tập hợp điểm M mặt cầu (W) ⇒ Tập hợp điểm M’ mặt cầu tâm O, bán kính KẾT LUẬN: Qua ví dụ ta có nhận xét sau: 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Trang Để giải toán quỹ tích ta phải chứng minh phần thuận phần đảo, phần có phần thuận dễ phần đảo thường khó khăn hơn, giải toán quỹ tích nhờ phép nghịch đảo phần thuận phần đảo toán quỹ tích giải lúc Đây ưu điểm đáng kể việc sử dụng phép nghịch đảo vào giải toán quỹ tích Điều quan trọng giải toán quỹ tích nhờ phép nghịch đảo từ giả thiết toán, tính chất suy từ giả thiết lựa chọn phép nghịch đảo thích hợp đưa toán cho trở toán đơn giản Do phép nghịch đảo có khả biến đường tròn thành đường thẳng nên toán quỹ tích liên quan đến nhiều đường tròn chuyển toán có đường tròn giải dễ dàng 3.4 3.4.1 Phép nghịch đảo toán tính toán Bài toán tính toán Bài toán tính toán toán quen thuộc không với đại số giải tích mà với hình học Bài toán tính toán thường yêu cầu tính một, số đại lượng độ lớn góc, độ dài cung, đoạn thẳng, tính diện tích, thể tích 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.4.2 Dương Thị Trang Phương pháp chung Sử dụng phép nghịch đảo toán tính toán thông thường áp dụng tính chất mối liên hệ khoảng cách hai điểm ảnh với yếu tố ban đầu: Nếu A’, B’ ảnh A, B qua phép nghịch đảo NOk |k| AB AB = OA.OB 3.4.3 Các ví dụ Ví dụ 3.4.1 Cho đường tròn (C) tâm O bán kính r điểm A ∈ (C), điểm B nằm OA AB = d Cát tuyến qua B cắt (C) M, M’ Đường vuông góc với AB B cắt AM, AM’ P, Q Tính BP BQ theo d, r Giải Hình 22 Ta có: PB\(O) = BO2 − r2 = (d − r)2 − r2 = d2 − 2rd Xét phép nghịch đảo N B, PB\(O) Gọi A = N (A) N (M ) = M, N (AM ) = (A M B) Tứ giác A BP M nội tiếp ⇒ P ∈ (A M B) ⇒ N (P ) ∈ AM 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Trang Gọi Q = N (P ) BP BQ = d2 − 2rd Vậy BP BQ = d2 − 2rd Ví dụ 3.4.2 (Hệ thức Ơle) Cho tam giác ABC với đường tròn ngoại tiếp (O, R), đường tròn nội tiếp (I, r) Gọi d khoảng cách tâm đường tròn nội tiếp tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Tính d theo R r Giải Hình 23 Giả sử I tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Gọi tiếp điểm đường tròn nội tiếp (I) với cạnh BC, CA, AB M,N,P Gọi D = AI ∩ N P, E = BI ∩ P M, F = CI ∩ M N Dễ thấy D,E,F trung điểm cạnh Mặt khác, IB.IE = IA.ID = IC.IF = r2 Xét phép nghịch đảo N1 = N I, r2 N1 (A) = D, N1 (B) = E, N1 (C) = F ⇒ N1 [(ABC)] = (DEF) 44 MNP Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Trang Giả sử HK đường kính qua I đường tròn (ABC) có ảnh đường kính đường tròn (DEF) r2 2R Ta có: 2r = (với r’ bán kính đường tròn (DEF) ) IH.IK r Do DEF tam giác trung bình tam giác M N P nên r = r2 2R ⇒ PI\(ABC) = 2Rr Ta có: r = PI\(ABC) Mà I nằm đường tròn (ABC) nên: PI\(ABC) = d2 − R2 = R2 − d2 ⇒ R2 − d2 = 2Rr √ Vậy d2 = R2 − 2Rr ⇒ d = R2 − 2rR Ví dụ 3.4.3 Cho ABC, cạnh BC di động đường thẳng cố định d BAC = α < 90◦ không đổi, trực tâm H cố định Gọi khoảng cách từ H tới d 2k CMR (HBC) tiếp xúc với đường tròn cố định Tính bán kính đường tròn theo k α Giải Hình 24 Xét phép nghịch đảo N = N H, 4k Gọi A’ chân đường cao hạ từ A xuống BC , I trung điểm HA’ 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Trang Ta có: N (A ) = A ⇒ N (BC) = (HA ) = (I, k) Gọi B’, C’ giao HB, HC với (HA’) ⇒ N (B) = B , N (C) = C Lại có: BAC = α ⇒ BHC = 2α ⇔ B HC = 2α BC ⇒ = 2k ⇒ B C = 2k sin 2α sin 2α BC 2 ⇒ d (I, B C ) = k − = k − k sin2 2α = k cos2 2α ⇒ d (I, B C ) = k cos 2α Vậy B’C’ tiếp xúc với đường tròn cố định (C) = (I, k cos 2α) mà N [(HBC)] = B C ⇒ (HBC) tiếp xúc với đường tròn cố định (C ) = N [(C)] Gọi R bán kính (C’) ta có: 4k cos2α 4k cos 2α 4k k cos 2α = R= = HI k cos2 2α k sin2 2α sin2 2α Ví dụ 3.4.4 Cho ABC vuông cân A có đáy BC = 2a CMR có đường tròn (C) tiếp xúc với AB, AC (AB), (AC) Tính bán kính (C) Giải Hình 25 Gọi I,J,H trung điểm AB, AC, BC √ a ⇒ AB = AC = a 2, AI = AJ = √ , BH = HC = a Xét phép nghịch đảo N = N A, a2 ta có: 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Trang N (B) = I, N (C) = J, N (AB) = AB, N (AC) = AC, N [(AC)] = JH, N [(AB)] = IH Dễ thấy AIHJ hình vuông ⇒ Có đường tròn (C1 ) tiếp xúc với cạnh ⇒ (C) = N [(C1 )] tiếp xúc với AB, AC, (AB) , (AC) Gọi r, r1 √ bán kính2của (C) , (C1 )2 √ a a r1 a Ta có: r1 = , PA\(C1 ) = ⇒r= = 2a √ PA\(C1 ) Vậy bán kính (C) 2a KẾT LUẬN: Khi giải toán tính toán hình học phẳng điều quan trọng phát mối liên hệ yếu tố cho yếu tố cần tìm Để làm điều ta thường gặp phải khó khăn định nhiều khó khăn giải ta vận dụng phép biến hình thích hợp.Khi việc tính toán tập ban đầu chuyển qua phép nghịch đảo có tập tính toán tương ứng (bài tập tính toán lúc sau phải đơn giản hơn) Sau sử dụng công thức khoảng cách điểm ảnh điểm qua phép nghịch đảo để tính đại lượng toán ban đầu 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Trang KẾT LUẬN CHUNG Khi nghiên cứu toán học nói chung hình học nói riêng, sâu ta thấy hút, hấp dẫn Việc lựa chọn vận dụng công cụ thích hợp cho loại toán học khác việc làm cần thiết, giúp tiết kiệm thời gian công sức để giải toán cách có hiệu Qua số lớp tập hình học cho thấy tính ưu việt phép nghịch đảo ứng dụng vào lời giải toán hình học góp phần làm phong phú, đa dạng cách giải khác số lớp toán Hình học, giúp cho lời giải ngắn gọn, lập luận chặt chẽ, logic, khoa học Ngoài ra, nghiên cứu ứng dụng phép nghịch đảo vào giải tập Hình học mở hướng nghiên cứu, phát triển thêm toán từ toán sở ban đầu Do bước đầu làm quen với việc nghiên cứu nên khóa luận khó tránh khỏi thiếu xót Em mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Cuối em xin bày tỏ lòng biết ơn thầy cô giáo, đặc biệt thầy giáo Nguyễn Năng Tâm tận tình hướng dẫn để em hoàn thành khóa luận 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Trang Tài liệu tham khảo: [1] Nguyễn Mộng Hy(2000),"phép biến hình mặt phẳng”, NXBGD [2] Đỗ Thanh Sơn,“Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THPT Phép biến hình mặt phẳng”,NXBGD [3] Bùi Văn Bình- Nguyễn Văn Vạn(1993), “Giáo trình Hình học sơ cấp,tập 2”, ĐHSPHN2 [4] Bùi Văn Bình(1993), “Bài tập Hình học sơ cấp, tập 1”, ĐHSPHN2 [5] Văn Như Cương- Tạ Mân, "Hình học afin hình học Ơclit",NXBĐHQGHN 49 ... lí 10 Tích phép vị tự phép nghịch đảo có cực nghịch đảo tâm vị tự khác phân tích thành tích phép tịnh tiến phép nghịch đảo Chứng minh: Áp dụng kết : Tích hai phép vị tự VOk VOk - Là phép tịnh... hợp phép nghịch đảo nên phép nghịch đảo biến mặt cầu qua cực nghịch đảo thành mặt phẳng không qua 17 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Trang cực nghịch đảo 2.3.8 Định lí Phép nghịch đảo. .. 2.3.7 Định lí Phép nghịch đảo biến siêu phẳng không qua cực nghịch đảo thành siêu cầu qua cực nghịch đảo, biến siêu cầu qua cực nghịch đảo thành siêu phẳng không qua cực nghịch đảo Chứng minh: Hình