Phép nghịch đảo và ứng dụng

TOÁN THIÊNG www.saosangsong.com.vn Chương 10 Phép Nghịch Đảo Một số tập hóc búa di sản toán học Nhật thường chứa nhiều đường tròn tiếp xúc với Một ví dụ bật tập (sẽ khảo sát bên dưới) Hotta Jinsuke đề nghị treo đền Myokendo vào năm 1788 Cách giải truyền thống vô phức tạp gay góc Nhưng toán tương tự giải cách dễ dàng kỹ thuật đơn giản vô mạnh mẽ gọi phép nghịch đảo, nhà toán học phương Tây độc lập phát vào năm từ 1824 đến 1845, mà nhà toánhọc Nhật chưa biết Vài toán liên quan đến đường tròn nhìn thấy khó khăn khắc phục cách biến hình ban đầu qua phép nghịch đảo Ta mối quan hệ đơn giản đường nghịch đảo Sau ta “đảo ngược” tiến trình trở lại toán ban đầu để kết cuối Phép nghịch đảo gọi “hết sẩy”, học sinh cấp lãnh hội không khó khăn, không hiểu không dạy Mỹ trừ giáo trình toán học nâng cao chuyên biệt Vì chương ta giới thiệu kỹ thuật này, gồm số định lý để giải toán sách Với số định lý tay, ta sử dụng chúng để giải toán Hotta Tiếp tuyến Nghịch đảo phép biến đổi định nghĩa ứng với đường tròn Giả sử cho đường tròn () có bán kính k tâm T Phép nghịch đảo ứng với () biến đổi điểm P thành điểm P’ nằm tia OP cho TP.TP’ = k2 T gọi tâm nghịch đảo P’ gọi ảnh nghịch đảo P Ta thấy ngược lại P ảnh nghịch đảo P’ Từ định nghĩa trên, ta th dễ dàng P (thì P’ () ngược lại Ta xác định vị trí tương đối P P’ nhận xét vẽ qua P đường vuông góc với TP cắt ( A AP’ tiếp tuyến đường tròn Không nghịch đảo điểm, ta nghịch đảo toàn hình Muốn nghịch đảo hình F ta nghịch đảo điểm P F điểm P’ Tập hợp tất điểm P’ P di chuyển để Chương 10 Phép nghịch đảo tạo nên F tạo nên hình F’ Hình F’ gọi ảnh nghịch đảo F Thật ta xét ảnh nghịch đảo đường thẳng hay đường tròn Sau m ột số định lý cần thiết cho mục tiêu Định Lý Cơ Bản Phép Nghịch Đảo Xét phép nghịch đảo xác định đường tròn (có tâm T (tâm nghịch đảo) Định lý A  Một đường thẳng l qua tâm nghịch đảo biến thành  Một đường thẳng l không qua tâm nghịch đảo biến thành đường tròn l’ qua tâm nghịch đảo CM: Phần đầu định lí hiển nhiên Phần hai chứng minh sau Gọi P hình chiếu T lên đường thẳng l P’ ảnh nghịch đảo P Gọi Q điểm tùy ý l, có ảnh nghịch đảo Q’ Theo định nghĩa phép nghịch đảo, ta có: TP.TP’ = TQ TQ’ = k2 Suy = => hai tam giác TPQ TQ’P’ đồng dạng Vì tam giác TPQ vuông P, nên tam giác TQ’P’ vuông Q’ Điều chứng tỏ tập hợp điểm Q’ đường tròn đường kính TP’ Như ảnh l đường tròn qua tâm nghịch đảo T Định Lý B Nếu đường tròn C qua tâm nghịch đảo T, C biến thành đường thẳng không qua tâm nghịch đảo (Đây là đảo Định Lý A.) Hơn nữa, cho T có toạ độ (0, 0) mặt phẳng toạ độ, phương trình đư ờng thẳng nghịch đảo y’ = Ở (g, f) toạ độ tâm đường tròn C + TOÁN THIÊNG www.saosangsong.com.vn Ví dụ: C đường tròn tâm (0, 1) bán kính qua tâm nghịch đảo T Theo định lý C ảnh nghịch đảo C đường thẳng C’ có phương trình y’ = k2/2 Nếu k = C’ đường thẳng y’ = ½ hình dư ới CM: Xem chứng minh định lí C Định Lý C Nếu đường tròn C không qua tâm nghịch đảo T, C biến thành đường tròn C’ (Xem hình ) CM: Gọi PQ đường kính C qua tâm nghịch đảo T, có ảnh nghịch đảo P’, Q’ Gọi R điểm của C R’ ảnh nghịch đảo R Trong phần chứng minh định lí A ta bi ết hai tam giác TRP TP’R’ đồng dạng, hai tam giác TRQ TQ’R’ đồng dạng Suy ra: Góc TQR = góc TR’Q’ = Góc TPR = góc TR’P’ = + ∅ Mà góc TPR = + Suy ra: ∅ = = 90o Điều chứng tỏ tập hợp điểm R’ đường tròn đường kính P’Q’, hay ảnh nghịch đảo C đường tròn C’ Ta chứng minh bẳng phương pháp toạ độ , xét tâm nghịch đảo T có toạ độ (0,0), điểm P(x, y) có ảnh P’ (x’, y’) Ta tìm hệ thức x, y, x’, y’ Chương 10 Phép nghịch đảo Vì ⃗′ = | | | | ⃗ = | | || | | ⃗= | ⃗ , suy ra: | = = Đây biểu thức giải tích phép nghịch đảo, cho phép ta tìm toạ độ x’, y’ P’ biết toạ độ x, y P Vì P ảnh P’ qua phép nghịch đảo, ta có công thức tương tự ′ ⎧ = ⎪ ′ + ′ ′ ⎨ ⎪ = ′ + ⎩ Nếu C có phương trình x2 + y2 - 2gx – 2fy + c = , biểu thức x, y vào, ta được: 2  k x'   k y '   k x'   k y'        c 0   2g  f  2     x '  y ' x '  y ' x '  y ' x '  y '         hay  k x'   k y'  k4    2   c   g  f  x '2  y '2  x '2  y '2    x'  y '  Khử mẫu số, ta : c(x’2 + y’2) – 2gk2x’ -2fk2y’ + k4 = (*) (c ≠ C không qua tâm nghịch đảo T(0, 0)) Chia hai vế cho c, ta được: x’2 + y’2 – 2g qua phép nghịch đảo −2 + = : phương trình đư ờng tròn C’, ảnh C Nếu c =0 (tức C qua T) (*) thành – 2gk2x’ -2fk2y’ + k4 = hay y’ = - kết định lý B + Chú ý tâm C C’ thẳng hàng với tâm nghịch đảo T tiếp tuyến chung C C’ qua tâm nghịch đảo T (Bạn đọc tự chứng minh) Định lý D Nếu r bán kính C r’ bán kính C’, r r’ liên hệ hệ thức r’ = |( d khoảng cách T tâm C | r CM: Qua phần chứng minh định lý C, bán kính đường tròn C’ là: TOÁN THIÊNG www.saosangsong.com.vn r'  g 2k f 2k k k g  h2  c    c2 c c |c| g  h  c  r |c| = | ( g  h )  ( g  h  c) |  | d  r | , ta suy định lý Chú ý D Định lý E Nếu L độ dài tiếp tuyến từ T đến đường tròn nghịch đảo C’, rL2 = k2r’ CM: Ta biết C’ có phương trình x’2 + y’2 – 2g −2 + = Vì T có toạ độ (0, 0) nên x’ = y’ = vào vế trái phương trình trên, ta đư ợc giá trị L2 : L2 = k4 (c > 0) c Mà theo định lý D: c= |d2 – r2|= k 2r r' Thế biểu thức này, ta đpcm Các định lý A-E đủ để giải toán Hotta Nếu bạn muốn sâu sau định lý nâng cao, dùng để giải toán hóc búa Định lý F Những điểm đường tròn nghịch đảo (đường tròn ) bất biến qua phép nghịch đảo CM: Điều hiển nhiên từ định nghĩa TP TP’ = k , với TP = k TP ‘ = k Định lý G Ảnh nghịch đảo đường tròn có tâm tâm nghịch đảo T bi ến thành đường tròn đồng tâm CM: Điều hiển nhiên từ định nghĩa TP TP’ = k , với TP = r TP ‘ = k2/r = r’ Định lý H Chương 10 Phép nghịch đảo Tâm đường tròn nghịch đảo ảnh nghịch đảo tâm đường tròn CM: Điều hiển nhiên từ định nghĩa TP TP’ = k2 , TP’ với điểm P Định lý K Phép nghịch đảo giữ nguyên góc (Nghĩa , hai đường cong cắt theo góc [góc hai tiếp tuyến giao điểm] , ảnh nghịch đảo chúng cắt theo góc đó.) CM: Cho đường C cắt tia TP TR điểm P R Đường C biến thành đường C’, đường cắt tia TP TR P’ R’ C tạo với TP góc góc TP tiếp tuyến t C P Tương tự, C’ tạo với TP góc ∅ góc TP tiếp tuyến t’ C’ P’ Ta biết hai tam giác TPR TP’R’ đồng dạng; suy = Khi R tiến đến P, cạnh PR tam giác TPR tiến đến vị trí t , giới hạn = Tương tự, = ∅ Do đó, giới hạn, = ∅, góc mà C C’ tạo với TP Nếu có đường thứ hai, gọi S, cắt TP theo góc Qua phép nghịch đảo S biến thành S’ góc S’ TP Do góc gi ữa hai đường C S C’ S’ − , tức p[hép nghịch đảo giữ nguyên góc hai đường Trường hợp đặc biệt TP tiếp xúc với C P TP (TP không đ ổi qua phép nghịch đảo) tiếp xúc với C’ P’ Do tiếp tuyến với C vẽ từ T ti ếp tuyến C’, tức tiếp tuyến chung hai đường tròn nghịch đảo qua T Định lý L   Nếu hai đường tròn tiếp xúc T, ảnh nghịch đảo chúng hai đường thẳng song song Nếu hai đường tròn tiếp xúc P tâm nghịch đảo, ảnh nghịch đảo chúng hai đường tròn tiếp xúc (hay đường thẳng tiếp xúc với đường tròn) điểm P’, ảnh P TOÁN THIÊNG www.saosangsong.com.vn CM: Đây hệ định lí K Hai đường tròn tiếp xúc T tức góc chúng 0, qua phép nghịch đảo, góc hai ảnh nghịch đảo 0, tức hai đường thẳng song song Nếu hai đường tròn tiếp xúc P ≠ T ảnh chúng hai đường tròn tiếp xúc P’nếu đường tròn qua T Còn có đường tròn qua T ta đường thẳng tiếp xúc với đường tròn P’ Định Lý M Bằng cách chọn tâm nghịch đảo T thích hợp, hai đường tròn không giao biến thành hai đường tròn đồng tâm ∆ ′ CM: Gọi   hai đường tròn không giao nhau, tâm I J Ta biết chúng có trục đẳng phương đường D, vuông góc với IJ O Đó tập hợp điểm vẽ hai tiếp tuyến tới   M điểm thế: MU = MV Lấy M làm tâm vẽ đường tròn C bán kính MU = MV Vì MU IU vuông góc nên hai đư ờng tròn C  vuông góc Cũng C  vuông góc C cắt đường IJ L L’ Ta chứng minh L L’ cố định dù ta thay đổi vị trí M Thật vậy, áp dụng định lí Pythagoras vào tam giác vuông MOL , MUI MOI: ML2 = OL2 + OM2 Mà ML2 = MU2 = MI2 - r2 (r bán kính ) = OM2 + OI2 – r2 Suy ra: OM2 + OI2 – r2 = OL2 + OM2 , hay OL2 = OI2 – r2 : giá trị không phụ thuộc C, chứng tỏ L L’ hai điểm cố định Như vậy, ta vẽ đường tròn thứ hai D C đường tròn vuông góc với   qua hai điểm cố định L L’ Chương 10 Phép nghịch đảo Bây sử dụng phép nghịch đảo tâm L với k = LL’ (thật với giá trị k đư ợc) Trong phép nghịch đảo này,   biến thành đường tròn ’ ’ có tâm đường thẳng IJ Còn đường tròn C D qua L L’ nên biến thành đường thẳng C’, D’ qua L’ Vì C D vuông góc với   nên C’ D’vuông góc với ’ ’ phép nghịch đảo giữ nguyên góc, tức C’ D’ qua tâm ’ ’, ’ ’ đường tròn có tâm L’, tức hai đường tròn đồng tâm ′ ′  ′ ′ ′ ′ ′ ′ Trong hình ảnh nghịch đảo C’, D’ C D hai đường thẳng qua L’ Và ảnh nghịch đảo  đường tròn ’ tâm L’ Đường tròn ’ lớn, thể phần giới hạn tờ giấy Định Lý N (Định lý Iwata) Nếu bốn đường tròn nghịch đảo thành bốn đường tròn có bán kính r’ có tâm bốn đỉnh hình chữ nhật, + = + , r1, r2, r3, r4 bán kính đường tròn ban đầu CM: Kẻ TMN vuông góc với O’1O’2 M vuông góc O’3O’4 N hình điểm O’ tâm đường tròn nghịch đảo đường tròn O Theo Pythagoras: (O’1T)2 + (O’3T)2 =(O’1M)2 + (TM)2 + (O’3N)2 + (NT)2 = (O’4N)2 + (NT)2 + (O’2M)2 + (TM)2 TOÁN THIÊNG www.saosangsong.com.vn = (O’4T)2 + (O’2T)2 (*) Biết độ dài tiếp tuyến L từ điểm T đường tròn bán kính r’ cho L2 = (O’T)2 – r’2, O’ tâm đường tròn Như th ế L12 + L32 = (O’1T)2 + (O’3T)2 – 2r’2, L22 + L42 = (O’2T)2 + (O’4T)2 – 2r’2, Từ (*) , suy L12 + L32 = L22 + L42 Và định lý E cho ta đpcm \ Giải Bài Toán Hotta Một đường tròn lớn bán kính r chứa hai đường tròn , có bán kính r1 = r/2 tiếp xúc tiếp xúc với đường tròn lớn Đường tròn bên tiếp xúc với chuổi đường tròn rn hình Hơn chuổi đường tròn nhỏ bán kính tn khoảng đường tròn rn cho tn tiếp xúc với cũ ng đường tròn rn rn+1 Hãy tính rn tn theo r n t2 r3 Chương 10 Phép nghịch đảo GIẢI Trước dùng phép nghịch đảo, ta cần tính r2 t1 Theo hình đặt h = r – 2r2 , áp dụng Pythagoras (r1 + r2)2 = r12 + (r2+ h)2 Từ hai phương trình nhớ r = 2r1 , ta dễ dàng tìm r2 = r/3 Tương tự, dùng Pythagoras cho tam giác vuông hình bên, ta đư ợc t1 = r/15 Bây ta bắt đầu nghịch đảo hình vẽ với phép nghịch đảo tâm T cho hình dưới, chọn k = Theo định nghĩa phép nghịch đảo O biến thành O’ TO TO’ = Nhưng TO = r, TO’ = 1/r Tương tự với điểm B: TB TB’ = 1, TB = 2r, suy TB’ = 1/2r Chú ý đường tròn qua tâm nghịch đảo T, biến thành đường thẳng nằm ngang ′ (định lí B) Tương tự, đường tròn qua T nên biến thành đường thẳng nằm ngang (Xem hình dưới) 10 TOÁN THIÊNG www.saosangsong.com.vn Tiếp theo, xét đường tròn tức r1 phía Đường tròn không qua T biến thành đường tròn ’ Vì tiếp xúc với B tiếp xúc với O nên ’ tiếp xúc với ’ ′ B’ O’ (định lý L) Bán kình đư ờng tròn r1’ Tương tự, đường tròn r2 tiếp xúc với r1, nên biến thành đường tròn r2’ tiếp xúc với r1’ hai đường thẳng song song (xem hình) Các đường tròn rn khác v ậy Do phép nghịch đảo này, đường tròn chuổi có bán kính nhau: r1’ = r2’ = r3’ = = rn’ (gọi chung r’) Tương tự đường tròn tn chuổi biến thành đường tròn có bán kính: t1’ = t2’ = t3’ = = tn’ (gọi chung t’) Ta tính r’ t’ theo r Xét r1 Khoảng cách từ T đến tâm (tức r1) theo định nghĩa khoảng cách d định lí D Vì d = 3r1, theo định lí D, r1’2 (d2 – r12) = r12 (nhớ k = 1), suy Nhưng r1 = r/2, r’ = Tương tự, t ‘ = 4r r’ = r1’ = 16 r Bây ta dùng r’ để tính rn Từ T kẻ tiếp tuyến Ln đến đường tròn rn’ Khoảng cách xn từ tâm đường tròn rn’ đến trục hình vẽ xn =2(n – 1)r’ Theo Pythagoras: 11 Chương 10 Phép nghịch đảo Ln2 + r’2 = Mn2 (*)   Mn2 =  r '  Mà theo định lí E cho ta biết Ln     xn 2r  r' rn Thế giá trị r’, Ln , Mn , xn vào (*) ta phương trình tí nh rn rn  r  (n  1) Công thức cho ta bán kính đường tròn thứ n chuổi theo r n Với đường tròn chuổi tn, ta tiến hành tương tự có: Ln2 + t’2 = Mn2 (* *) Mn2 1  =   t '   xn r  Trong t’ = r/16 , xn2 = (2n – 1)r’ Ln2 = t’/tn (định lí E) Thế vào (**), ta phương trình tính t n theo r: tn  Bài tập r (2n  1)  14 Thực Tập Thêm với Phép Nghịch Đảo Bài toán gỗ thất lạc Adachi Mitsuaki treo đền Asakusa, Tokyo Bên nửa đường tròn bán kính r chứa chin đường tròn tiếp xúc hình vẽ Chứng tỏ r r r r r r1  ; r2  ; r3  ; r4  ; r5  15 12 10 12 TOÁN THIÊNG www.saosangsong.com.vn Bài tập Bài tuyển tập toán học Nakamura Tokikazu Như hình, chứng tỏ 1 2(2  1)   r1 r3 r2 Bài tập Bài lấy nhật ký Yamaguchi năm 1819 Trong hình bốn chuổi đường tròn bán kính rk (k = 0, 1, 2, 3, , n) tiếp xúc tiếp xúc với đường tròn lớn r ti ếp xúc với hai đường tròn bán kính r/2 Tìm rk theo r Bài tập thứ hai Do Matsuoka Makoto đề nghị, toán thứ hai từ trái qua gỗ Atsuta Một đường tròn nhỏ bán kính r đường tròn lớn bán kính R cho bốn đường tròn bán kính a, b, c., d tiếp xúc với tiếp xúc với đường tròn R Hơn nữa, tám đường tròn khác xếp đường tròn a, b, c, d , R hình vẽ Chứng tỏ hệ thức: 1 1    a b c d 13 Chương 10 Phép nghịch đảo Gợi ý: Dùng phép nghịch đảo tâm T biến hai đường tròn R r thành hai đường tròn đồng tâm R’ r’ (định lí M) Sau áp dụng định lí N 14 ... Phép Nghịch Đảo Xét phép nghịch đảo xác định đường tròn (có tâm T (tâm nghịch đảo) Định lý A  Một đường thẳng l qua tâm nghịch đảo biến thành  Một đường thẳng l không qua tâm nghịch đảo biến... Định lý H Chương 10 Phép nghịch đảo Tâm đường tròn nghịch đảo ảnh nghịch đảo tâm đường tròn CM: Điều hiển nhiên từ định nghĩa TP TP’ = k2 , TP’ với điểm P Định lý K Phép nghịch đảo giữ nguyên góc... tâm nghịch đảo CM: Phần đầu định lí hiển nhiên Phần hai chứng minh sau Gọi P hình chiếu T lên đường thẳng l P’ ảnh nghịch đảo P Gọi Q điểm tùy ý l, có ảnh nghịch đảo Q’ Theo định nghĩa phép nghịch