Phép nghịch đảo và ứng dụng

Ta có thể xác định vị trí tương đối của P và P’ bằng nhận xét nếu vẽ qua P đường vuông góc với TP và cắt  tại A thì AP’ là tiếp tuyến của đường tròn.. Định Lý B Nếu đường tròn C qua tâ

Chương 10 Phép Nghịch Đảo

Một số bài tập hóc búa trong di sản toán học Nhật thường chứa nhiều đường tròn tiếp xúc với nhau Một ví dụ nổi bật là bài tập (sẽ khảo sát bên dưới) do Hotta Jinsuke đề nghị và treo tại đền Myokendo vào năm 1788 Cách giải truyền thống vô cùng phức tạp và gay góc Nhưng bài toán này và những bài tương tự có thể giải một cách dễ dàng hơn bằng một kỹ thuật đơn giản và vô

cùng mạnh mẽ gọi là phép nghịch đảo, do các nhà toán học phương Tây độc lập phát hiện vào

những năm từ 1824 đến 1845, mà các nhà toánhọc Nhật bản chưa biết được Vài bài toán liên quan đến đường tròn thoạt nhìn thấy khó khăn sẽ được khắc phục trong bằng cách biến hình ban đầu qua phép nghịch đảo Ta sẽ được mối quan hệ mới và đơn giản hơn giữa các đường đã được nghịch đảo Sau đó ta sẽ “đảo ngược” tiến trình trở lại bài toán ban đầu để được kết quả cuối cùng

Phép nghịch đảo có thể được gọi là “hết sẩy”, và mặc dù các học sinh cấp 3 có thể lãnh hội không mấy khó khăn, nhưng không hiểu tại sao không được dạy tại Mỹ trừ ra trong những giáo trình toán học nâng cao chuyên biệt Vì vậy trong chương này ta sẽ giới thiệu kỹ thuật này, gồm một số định lý để giải những bài toán trong sách này Với số định lý này trong tay, ta sẽ sử dụng chúng để giải bài toán Hotta

Nghịch đảo là một phép biến đổi định nghĩa ứng với một đường tròn Giả sử cho một đường

tròn () có bán kính k và tâm T Phép nghịch đảo ứng với () biến đổi điểm P thành điểm P’ nằm trên tia OP sao cho

TP.TP’ = k2

T gọi là tâm nghịch đảo P’ gọi là ảnh nghịch đảo của P Ta thấy ngược lại P cũng là ảnh nghịch

đảo của P’ Từ định nghĩa trên, ta thấy dễ dàng nếu P ở trong (thì P’ ở ngoài () và ngược lại

Ta có thể xác định vị trí tương đối của P và P’ bằng nhận xét nếu vẽ qua P đường vuông góc với

TP và cắt ( tại A thì AP’ là tiếp tuyến của đường tròn

Không chỉ nghịch đảo từng điểm, ta có thể nghịch đảo toàn hình Muốn nghịch đảo một

Tiếp tuyến của

tạo nên F sẽ tạo nên hình F’ Hình F’ như thế được gọi là ảnh nghịch đảo của F Thật ra ta chỉ xét ảnh nghịch đảo của một đường thẳng hay của một đường tròn Sau đây là một số định lý cần thiết cho mục tiêu của mình

Định Lý Cơ Bản của Phép Nghịch Đảo

Xét phép nghịch đảo xác định bởi đường tròn (có tâm T (tâm nghịch đảo).

Định lý A

 Một đường thẳng l qua tâm nghịch đảo biến thành chính nó

 Một đường thẳng l không qua tâm nghịch đảo biến thành một đường tròn l’ đi

qua tâm nghịch đảo

CM: Phần đầu của định lí là hiển nhiên Phần hai được chứng minh như sau Gọi P là hình

chiếu của T lên đường thẳng l và P’ là ảnh nghịch đảo của P Gọi Q là một điểm tùy ý của l, có ảnh nghịch đảo là Q’ Theo định nghĩa của phép nghịch đảo, ta có:

TP.TP’ = TQ TQ’ = k2 Suy ra = => hai tam giác TPQ và TQ’P’ đồng dạng Vì tam giác TPQ vuông tại P, nên tam giác TQ’P’ vuông tại Q’ Điều này chứng tỏ tập hợp những điểm Q’ là đường tròn đường kính TP’ Như vậy ảnh của l là đường tròn qua tâm nghịch đảo T

Định Lý B

Nếu đường tròn C qua tâm nghịch đảo T, thì C biến thành một đường thẳng không đi qua tâm nghịch đảo (Đây là là đảo của Định Lý A.)

Hơn nữa, nếu cho T có toạ độ (0, 0) trong mặt phẳng toạ độ, thế thì phương trình đư ờng thẳng nghịch đảo là

Ở đây (g, f) là toạ độ tâm đường tròn C

Ví dụ: C là đường tròn tâm (0, 1) bán kính 1 qua tâm nghịch đảo T Theo định lý C ảnh nghịch đảo của C là đường thẳng C’ có phương trình y’ = k2/2 Nếu k = 1 thì C’ là đường thẳng y’ = ½ như hình dư ới

CM: Xem chứng minh của định lí C

Định Lý C

Nếu đường tròn C không qua tâm nghịch đảo T, thì C biến thành đường tròn C’ (Xem

hình dưới )

CM: Gọi PQ là đường kính của C

và đi qua tâm nghịch đảo T, có

ảnh nghịch đảo là P’, Q’

Gọi R là điểm bất kỳ của bất kỳ

của C và R’ là ảnh nghịch đảo của

R Trong phần chứng minh định

lí A ta đã biết hai tam giác TRP

và TP’R’ đồng dạng, cũng như

hai tam giác TRQ và TQ’R’ đồng

dạng Suy ra:

Góc TQR = góc TR’Q’ =

Góc TPR = góc TR’P’ = + ∅

Mà góc TPR = +

Suy ra: ∅ = = 90o

Điều này chứng tỏ tập hợp những điểm R’ là đường tròn đường kính P’Q’, hay ảnh nghịch đảo của C là đường tròn C’

Ta có thể chứng minh bẳng phương pháp toạ độ , xét tâm nghịch đảo T có toạ độ (0,0), điểm P(x, y) có ảnh là P’ (x’, y’) Ta tìm hệ thức giữa x, y, x’, y’

Vì ′⃗ = || || ⃗ = | || || | ⃗ =| | ⃗ , suy ra: =

=

Đây là biểu thức giải tích của phép nghịch đảo, cho phép ta tìm được toạ độ x’, y’ của P’ biết toạ độ x, y của P Vì P cũng là ảnh của P’ qua cùng phép nghịch đảo, do đó ta có công thức tương tự

⎩

⎪

⎨

⎪

⎧ = ′ + ′′

= ′ + ′ Nếu C có phương trình x2+ y2- 2gx – 2fy + c = 0 , thế biểu thức của x, y ở trên vào, ta được:

0 '

'

' 2

' '

' 2

' '

' '

'

'

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2

































































y x

y k f y

x

x k g y

x

y

k y

x

x

k

' '

' 2

' '

' 2

'

2 2

2

2 2

2

4





































y x

y k f y

x

x k g y

x

k

Khử mẫu số, ta được : c(x’2 + y’2) – 2gk2x’ -2fk2y’ + k4= 0 (*) (c ≠ 0 vì C không qua tâm nghịch đảo T(0, 0)) Chia hai vế cho c, ta được:

x’2+ y’2– 2g − 2 + = 0 : đây là phương trình đường tròn C’, ảnh của C qua phép nghịch đảo

Nếu c =0 (tức C qua T) thì (*) thành – 2gk2x’ -2fk2y’ + k4= 0 hay y’ = - +

là kết quả của định lý B

Chú ý là tâm của C và C’ thẳng hàng với tâm nghịch đảo T và tiếp tuyến chung của C

và C’ đi qua tâm nghịch đảo T (Bạn đọc tự chứng minh)

Định lý D

Nếu r là bán kính của C và r’ là bán kính của C’, thế thì r và r’ liên hệ bằng hệ thức

r’ =|( |r trong đó d là khoảng cách giữa T và tâm của C

CM: Qua phần chứng minh định lý C, bán kính đường tròn C’ là:

|

c

c h g

k c

k c

k

f c

k g

Chú ý g2  h2 c  r và |c| =| ( g2  h2)  ( g2 h2 c ) |  | d2  r2|, ta suy ra định lý

D

Định lý E

Nếu L là độ dài của tiếp tuyến từ T đến đường tròn nghịch đảo C’, thế thì

rL2= k2r’

CM: Ta biết rằng C’ có phương trình x’2+ y’2– 2g − 2 + = 0 Vì T có toạ độ (0, 0) nên thế x’ = y’ = 0 vào vế trái của phương trình trên, ta được giá trị L2:

L2=

c

k4 (c > 0)

Mà theo định lý D:

c = |d2– r2|=

'

2

r

r k

Thế biểu thức này, ta được đpcm

Các định lý A-E là đủ để giải bài toán của Hotta Nếu bạn muốn đi sâu hơn thì sau đây là các định lý nâng cao, có thể dùng để giải những bài toán hóc búa hơn

Định lý F

Những điểm trên đường tròn nghịch đảo (đường tròn ) thì bất biến qua phép nghịch đảo

CM: Điều này là hiển nhiên từ định nghĩa TP TP’ = k2, với TP = k thì TP ‘ = k

Định lý G

Ảnh nghịch đảo của đường tròn có tâm là tâm nghịch đảo T cũng biến thành những đường tròn đồng tâm

CM: Điều này là hiển nhiên từ định nghĩa TP TP’ = k2, với TP = r thì TP ‘ = k2/r = r’

Định lý H

Tâm của đường tròn nghịch đảo không thể là ảnh nghịch đảo của tâm bất kỳ đường tròn nào

CM: Điều này là hiển nhiên từ định nghĩa TP TP’ = k2, do đó TP’ không thể bằng 0 với mọi điểm P

Định lý K

Phép nghịch đảo giữ nguyên góc (Nghĩa là, nếu hai đường cong cắt nhau theo một góc nào đó [góc của hai tiếp tuyến tại giao điểm] , ảnh nghịch đảo của chúng cũng cắt nhau theo góc đó.)

CM: Cho đường C cắt tia TP và TR tại

điểm P và R Đường C biến thành

đường C’, đường này cắt tia TP và TR

tại P’ và R’ C tạo với TP một góc là

góc của TP và tiếp tuyến t của C tại P

Tương tự, C’ tạo với TP một góc ∅ là

góc của TP và tiếp tuyến t’ của C’ tại

P’ Ta biết hai tam giác TPR và TP’R’

đồng dạng; suy ra = Khi R tiến

đến P, cạnh PR của tam giác TPR tiến

đến vị trí t , và vì thế trong giới hạn

này = Tương tự, = ∅ Do đó,

tại giới hạn, = ∅, như thế góc mà C

và C’ tạo với TP là bằng nhau Nếu có

một đường thứ hai, gọi là S, cắt TP tại

theo một góc Qua phép nghịch đảo

S biến thành S’ và góc của S’ và TP

cũng là Do đó góc gi ữa hai đường C

và S và giữa C’ và S’ đều là − , tức

p[hép nghịch đảo giữ nguyên góc của

hai đường

Trường hợp đặc biệt nếu TP tiếp xúc với C tại P thì TP (TP không đổi qua phép nghịch đảo) cũng tiếp xúc với C’ tại P’ Do đó tiếp tuyến với C vẽ từ T cũng là tiếp tuyến của C’, tức tiếp tuyến chung của hai đường tròn nghịch đảo thì đi qua T

Định lý L

 Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau tại T, ảnh nghịch đảo của chúng là hai đường thẳng song song

 Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau tại P không phải là tâm nghịch đảo, ảnh nghịch đảo của chúng là hai đường tròn tiếp xúc nhau (hay một đường thẳng tiếp xúc với một đường tròn) tại điểm P’, ảnh của P

CM: Đây là hệ quả của định lí K Hai đường tròn tiếp xúc nhau tại T tức góc của chúng là 0,

do đó qua phép nghịch đảo, góc của hai ảnh nghịch đảo cũng bằng 0, tức là hai đường thẳng song song Nếu hai đường tròn tiếp xúc tại P ≠ T thì ảnh của chúng là hai đường tròn tiếp xúc nhau tại P’nếu không có đường tròn nào qua T Còn nếu có một đường tròn qua T thì ta được một đường thẳng tiếp xúc với một đường tròn tại P’

Định Lý M

Bằng cách chọn tâm nghịch đảo T thích hợp, hai đường tròn không giao nhau có thể biến thành hai đường tròn đồng tâm

CM: Gọi  và  là hai đường tròn không giao nhau, tâm I và J Ta biết chúng có trục đẳng phương là đường D, vuông góc với IJ tại O Đó là tập hợp những điểm trên đó có thể vẽ được hai tiếp tuyến bằng nhau tới  và  M là một điểm như thế: MU = MV Lấy M làm tâm vẽ đường tròn C bán kính MU = MV Vì MU và IU vuông góc nhau nên hai đường tròn C và  vuông góc nhau Cũng thế C và  vuông góc nhau C cắt đường IJ tại L và L’ Ta chứng minh L

và L’ cố định dù ta thay đổi vị trí của M Thật vậy, áp dụng định lí Pythagoras vào các tam giác vuông MOL , MUI và MOI:

ML2= OL2+ OM2

Mà ML2= MU2 = MI2- r2 (r là bán kính của )

= OM2+ OI2– r2 Suy ra: OM2+ OI2– r2= OL2+ OM2, hay OL2= OI2– r2: giá trị này không phụ thuộc C, chứng

tỏ L và L’ là hai điểm cố định Như vậy, nếu ta vẽ một đường tròn thứ hai D như C thì đường tròn này cũng vuông góc với  và  và cũng qua hai điểm cố định L và L’

′

∆

Bây giờ sử dụng phép nghịch đảo tâm L với k = LL’ (thật ra với giá trị k nào cũng được) Trong phép nghịch đảo này,  và  biến thành các đường tròn ’ và ’ có tâm trên đường thẳng IJ Còn các đường tròn C và D vì qua L và L’ nên biến thành các đường thẳng C’, D’ đều qua L’ Vì C và D vuông góc với  và  nên C’ và D’vuông góc với ’ và ’ do phép nghịch đảo giữ nguyên góc, tức C’ và D’ qua tâm của ’ và ’, như thế ’ và ’ là những đường tròn có tâm đều là L’, tức là hai đường tròn đồng tâm

Trong hình là ảnh nghịch đảo C’, D’ của C và D là hai đường thẳng qua L’ Và ảnh nghịch đảo của  là đường tròn ’ tâm là L’ Đường tròn ’ rất lớn, chỉ được thể hiện một phần trong giới hạn tờ giấy

Định Lý N (Định lý Iwata)

Nếu bốn đường tròn có thể nghịch đảo thành bốn đường tròn có bán kính bằng nhau r’ và có tâm là bốn đỉnh của một hình chữ nhật, thì

trong đó r1, r2, r3, r4là bán kính của các đường tròn ban đầu

CM: Kẻ TMN vuông góc với O’1O’2tại M và vuông góc O’3O’4tại N như trong hình trong đó các điểm O’ là tâm các đường tròn nghịch đảo của đường tròn O Theo Pythagoras:

(O’1T)2+ (O’3T)2=(O’1M)2+ (TM)2+ (O’3N)2+ (NT)2

= (O’4N)2+ (NT)2+ (O’2M)2+ (TM)2

′

′

′

′

′

′

′



′

= (O’4T)2+ (O’2T)2 (*)

Biết rằng độ dài tiếp tuyến L từ điểm T ngoài một đường tròn bán kính r’ cho bởi L2= (O’T)2– r’2, trong

đó O’ là tâm đường tròn Như thế

L12+ L32= (O’1T)2+ (O’3T)2– 2r’2,

L22+ L42= (O’2T)2+ (O’4T)2– 2r’2,

Từ (*) , suy ra L12+ L32= L22+ L42

Và định lý E cho ta đpcm

\

Giải Bài Toán Hotta

Một đường tròn lớn bán kính r chứa hai đường tròn , đều có bán kính r1

= r/2 tiếp xúc nhau và tiếp xúc trong với đường tròn lớn Đường tròn bên dưới cũng tiếp xúc với một chuổi đường tròn rnnhư trong hình Hơn nữa một chuổi đường tròn nhỏ hơn bán kính tnở khoảng giữa các đường tròn rn

và sao cho mỗi tnđều tiếp xúc với cũng như các đường tròn rnvà rn+1 Hãy tính rnvà tntheo r và n

r3

t2

GIẢI Trước khi dùng phép nghịch đảo, ta cần tính r2và t1 Theo hình dưới đặt h = r – 2r2, áp

dụng Pythagoras

(r1+ r2)2= r12+ (r2+ h)2

Từ hai phương trình này và nhớ rằng r = 2r1, ta dễ dàng tìm ra r2

= r/3

Tương tự, dùng Pythagoras cho tam giác vuông trong

hình bên, ta được t1= r/15

Bây giờ ta bắt đầu nghịch đảo hình vẽ với phép nghịch

đảo tâm T cho bởi hình dưới, và chọn k = 1 Theo định

nghĩa phép nghịch đảo O biến thành O’ và TO TO’ = 1

Nhưng TO = r, do đó TO’ = 1/r

Tương tự với điểm B: TB TB’ = 1, TB = 2r, suy ra TB’ = 1/2r

Chú ý rằng đường tròn qua tâm nghịch đảo T, do đó biến thành đường thẳng nằm ngang ′

(định lí B) Tương tự, đường tròn cũng qua T nên biến thành đường thẳng nằm ngang (Xem hình dưới)

Tiếp theo, xét đường tròn tức r1ở phía trên Đường tròn này không qua T do đó

biến thành đường tròn ’ Vì tiếp xúc với tại B và tiếp xúc với tại O nên ’ tiếp xúc với

’ và ′ tại B’ và O’ (định lý L) Bán kình đường tròn này là r1’.

Tương tự, đường tròn r2 tiếp xúc với r1, và nên biến thành đường tròn r2’ tiếp xúc với r1’ và hai đường thẳng song song (xem hình) Các đường tròn rn khác cũng vậy

Do đó bằng phép nghịch đảo này, mọi đường tròn ở chuổi ngoài đều có bán kính bằng nhau: r1’ = r2’ = r3’ = = rn’ (gọi chung là r’)

Tương tự một đường tròn tnở chuổi trong đều biến thành các đường tròn bằng nhau có bán kính: t1’ = t2’ = t3’ = = tn’ (gọi chung là t’)

Ta sẽ tính r’ và t’ theo r Xét r1 Khoảng cách từ T đến tâm của (tức r1) theo định nghĩa là khoảng cách d trong định lí D Vì d = 3r1, theo định lí D, r1’2(d2– r12) = r12(nhớ ở đây k = 1), suy ra

r’ = r1’ =

Nhưng r1= r/2, do đó r’ =

r

4 1

Tương tự, t ‘ =

r

16

1

Bây giờ ta sẽ dùng r’ để tính rn Từ T kẻ

tiếp tuyến Lnđến đường tròn rn’ Khoảng

cách xn từ tâm đường tròn rn’ đến trục

hình vẽ là

xn=2(n – 1)r’

Ln2+ r’2= Mn2 (*)

2 2

1

r









 

Mà theo định lí E cho ta biết

n

r

L 2  ' Thế các giá trị của r’, Ln, Mn, xn vào (*) ta được phương trình tính rn

2

) 1 (

2  



n

r

rn

Công thức này cho ta bán kính đường tròn thứ n trong chuổi ngoài theo r và n

Với các đường tròn ở chuổi trong tn, ta

tiến hành tương tự và có:

Ln2+ t’2= Mn2 (* *)

2 2 '

1

n

x t

r  







Trong đó t’ = r/16 , xn2= (2n – 1)r’ và

Ln2 = t’/tn (định lí E) Thế vào (**), ta

được phương trình tính tntheo r:

14 ) 1 2



n

r

tn

Thực Tập Thêm với Phép Nghịch Đảo

Bài tập 1

Bài toán này trên bản gỗ đã thất lạc do Adachi Mitsuaki treo tại đền Asakusa, Tokyo Bên trong nửa đường tròn bán kính r chứa chin đường tròn tiếp xúc như hình vẽ Chứng tỏ rằng

10

; 12

; 15

; 4

;

Bài tập 2

Bài này trong tuyển tập toán học của Nakamura Tokikazu

Như trong hình, chứng tỏ rằng

2 3

1

) 1 2 2 ( 2 1

1

r r

r







Bài tập 3

Bài này lấy trong nhật ký của Yamaguchi năm 1819

Trong hình là bốn chuổi đường tròn bán kính rk(k = 0, 1, 2, 3, , n) tiếp xúc nhau và tiếp xúc

trong với đường tròn lớn r cũng như ti ếp xúc ngoài

với hai đường tròn bán kính r/2 Tìm rktheo r

Bài tập 4

Do Matsuoka Makoto đề nghị, đây là bài toán thứ hai từ trái qua trên bản gỗ Atsuta thứ hai

Một đường tròn nhỏ bán kính r ở trong đường tròn lớn bán kính R sao cho bốn đường tròn bán kính a, b, c., và

d tiếp xúc ngoài với nó và tiếp xúc trong với đường tròn

R Hơn nữa, tám đường tròn khác sắp xếp ở giữa các đường tròn a, b, c, d , và R như hình vẽ Chứng tỏ hệ thức:

d c b a

1 1 1