Phép nghịch đảo và ứng dụng trong hình sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN TRƯỜNG VINH PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP Chun ngành : Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số : 60 46 0113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Đạo Dõng Đà Nẵng - Năm 2014 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn thực hướng dẫn PGS.TS Trần Đạo Dõng Mọi tài liệu luận văn trích dẫn rõ ràng trung thực tên tác giả, tên cơng trình, thời gian địa điểm cơng bố Nếu có chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Tác giả luận văn Nguyễn Trường Vinh MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết đề tài Mục tiêu nghiên cứu đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Bố cục đề tài CHƯƠNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG 1.1 1.2 1.3 1.4 MẶT PHẲNG VÀ KHÔNG GIAN CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1.1 Phương tích điểm đường trịn 1.1.2 Trục, tâm, mặt phẳng đẳng phương 1.1.3 Phép biến đổi hình học 1.1.4 Một số phép biến đổi thường gặp 11 PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG MẶT PHẲNG 12 1.2.1 Định nghĩa 12 1.2.2 Tính chất 14 PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG KHÔNG GIAN 20 1.3.1 Định nghĩa 20 1.3.2 Tính chất 20 PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG HỆ TOẠ ĐỘ DESCARTES 24 1.4.1 Phép nghịch đảo hệ tọa độ Descartes Oxy 24 1.4.2 Phép nghịch đảo hệ tọa độ Descartes Oxyz 25 CHƯƠNG ỨNG DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP 2.1 2.2 2.3 26 ỨNG DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG MẶT PHẲNG 26 2.1.1 Khảo sát phép nghịch đảo 26 2.1.2 Các tốn chứng minh tính chất hình học 30 2.1.3 Các toán xác định đại lượng hình học 37 2.1.4 Các tốn tìm quỹ tích 40 2.1.5 Các tốn dựng hình 47 2.1.6 Các toán liên quan đến hệ tọa độ Descartes Oxy 53 ỨNG DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG KHÔNG GIAN 56 2.2.1 Khảo sát phép nghịch đảo 56 2.2.2 Các toán chứng minh tính chất hình học 59 2.2.3 Các toán tìm quỹ tích 62 2.2.4 Các tốn dựng hình 66 2.2.5 Các toán liên quan đến hệ tọa độ Descartes Oxyz 71 CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP 73 KẾT LUẬN DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO) 79 80 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Trong chương trình bậc phổ thơng trung học (PTTH), phép biến đổi hình học nội dung quan trọng, đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi, lớp chuyên, lớp chọn Đây ln tốn hay khó kỳ thi VMO, IMO Phép nghịch đảo phép biến đổi hình học hay tính trừu tượng cao, có nhiều ứng dụng việc giải tốn hình học sơ cấp Cùng với định hướng PGS TS Trần Đạo Dõng với mong muốn tìm hiểu phép biến đổi hình học này, chọn đề tài “PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP” làm đề tài luận văn thạc sĩ Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu đề tài khai thác phép nghịch đảo mặt phẳng không gian để khảo sát số chủ đề hình học sơ cấp nhằm góp phần nâng cao hiệu quả, chất lượng dạy học mơn Tốn chương trình bậc PTTH Đối tượng phạm vi nghiên cứu Khai thác phép nghịch đảo mặt phẳng khơng gian để giải dạng tốn hình học như: khảo sát phép nghịch đảo, tốn chứng minh tính chất hình học, tốn xác định đại lượng hình học, tốn quỹ tích, tốn dựng hình, tốn hệ tọa độ Descartes Phương pháp nghiên cứu • Tham khảo tài liệu phép nghịch đảo mặt phẳng, không gian hệ thống kiến thức liên quan • Trao đổi, tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn, đồng nghiệp Ý nghĩa thực tiễn khoa học • Góp phần nâng cao hiệu dạy học số chủ đề hình học bậc PTTH • Hệ thống lại cách hoàn chỉnh phương pháp sơ cấp phương pháp toạ độ để giải toán liên quan đến phép nghịch đảo • Phát huy tính tự học, tư sáng tạo học sinh Cấu trúc luận văn Luận văn bao gồm: • Phần mở đầu • Chương Phép nghịch đảo mặt phẳng khơng gian Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa tính chất phép nghịch đảo mặt phẳng, không gian hệ tọa độ Descartes • Chương Ứng dụng phép nghịch đảo hình học sơ cấp Chương tập trung vào ứng dụng phép nghịch đảo để giải toán hay Từ đưa nhận xét, nhận dạng, đề xuất phương pháp giải cho dạng • Phần kết luận • Tài liệu tham khảo CHƯƠNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG MẶT PHẲNG VÀ KHƠNG GIAN Trong chương này, chúng tơi giới thiệu kiến thức phương tích điểm đường tròn, mặt cầu, trục đẳng phương, mặt phẳng đẳng phương, phép biến đổi hình học, phép nghịch đảo mặt phẳng, không gian hệ toạ độ Descartes Các kiến thức trình bày chương tham khảo tài liệu [5], [8], [9] 1.1 CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN Ở mục này, chúng tơi trình bày kiến thức liên quan đến phương tích, phép biến đổi hình học 1.1.1 Phương tích điểm đường trịn Định nghĩa tính chất phép nghịch đảo xây dựng dựa vào tính chất phương tích điểm đường trịn, nên chúng tơi nhắc lại số kiến thức phương tích điểm đường trịn Đầu tiên ta xét định lí sau: Định lý 1.1.1 Cho đường trịn (O) tâm O, bán kính R điểm M cố định, với OM = d Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường trịn hai điểm A, B Khi M A.M B = d2 − R2 Hình 1.1 Chứng minh Gọi C điểm đối xứng A qua O Ta có CB ⊥ AM hay B hình chiếu C AM Ta có: −−→ −−→ M A.M B = M A.M B −−→ −−→ = M A.M C −−→ −→ −−→ −→ = (M O + OA).(M O + OC) −−→ −→ −−→ −→ = (M O + OA).(M O − OA) −−→ −→ = OM − OA2 = OM − OA2 = d2 − R Định nghĩa 1.1.1 (Phương tích điểm đường trịn) Giá trị không đổi M A.M B = d2 − R2 định lí 1 gọi phương tích điểm M đường trịn (O) Ký hiệu PM/(O) = M A.M B = d2 − R2 Từ định lí 1.1.1 ta có nhận xét sau: Nhận xét 1.1.1 i) Nếu PM/(O) > M nằm ngồi đường trịn (O) ii) Nếu PM/(O) = M nằm đường trịn (O) iii) Nếu PM/(O) < M nằm đường trịn (O) Từ định lí 1.1.1 ta có tính chất sau: Tính chất 1.1.1 Cho (O) điểm M nằm (O) Từ M kẻ hai cát tuyến M AB , M CD M A.M B = M C.M D Tính chất 1.1.2 Cho (O) điểm M nằm (O) Kẻ tiếp tuyến M N cát tuyến M AB , ta có M A.M B = M N Tính chất 1.1.3 Cho hai đường thẳng AB , CD cắt M (khác A, B, C, D) Nếu M A.M B = M C.M D điểm A, B, C, D thuộc đường trịn Tính chất 1.1.4 Cho hai đường thẳng AB, M N cắt M Nếu M A.M B = M N đường trịn ngoại tiếp tam giác ABM tiếp xúc với M N N 1.1.2 Trục, tâm, mặt phẳng đẳng phương a Trục đẳng phương hai đường trịn Ta xét định lí sau: Định lý 1.1.2 Cho hai đường trịn khơng đồng tâm (O1 ) (O2 ), có bán kính lần lược R1 R2 Tập hợp điểm M có phương tích hai đường trịn Hình 1.2 đường thẳng Chứng minh Gọi O trung điểm O1 O2 , H hình chiếu vng góc M O1 O2 Ta có: PM/(O1 ) = PM/(O2 ) ⇔ M O12 − R12 = M O22 − R22 ⇔ M O12 − M O22 = R12 − R22 ⇔ (M H + HO12 ) − (M H + HO22 ) = R12 − R22 ⇔ HO12 − HO22 = R12 − R22 ⇔ (HO1 − HO2 )(HO1 + HO2 ) = R12 − R22 ⇔ O2 O1 2HO = R12 − R22 R12 − R22 ⇔ OH = 2.O1 O2 Từ suy H điểm cố định Vậy M thuộc đường thẳng qua H vng góc với O1 O2 Định nghĩa 1.1.2 (Trục đẳng phương) Đường thẳng định lí 1 gọi trục đẳng phương hai đường tròn (O1 ), (O2 ) Từ định lí 1.1.2 ta có hệ sau: Hệ 1.1.1 Cho hai đường trịn khơng đồng tâm (O1 ) (O2 ) i) Trục đẳng phương hai đường trịn vng góc với đường thẳng nối hai tâm ii) Nếu hai đường tròn cắt A B AB trục đẳng phương chúng iii) Nếu điểm M có phương tích (O1 ) (O2 ) đường thẳng qua M vng góc với O1 O2 trục đẳng phương hai đường tròn iv) Nếu hai điểm N, M có phương tích hai đường trịn đường thẳng N M trục đẳng phương hai đường trịn v) Nếu điểm có phương tích hai đường trịn chúng thẳng hàng vi) Nếu hai đường tròn tiếp xúc điểm A đường thẳng qua A vng góc với O1 O2 trục đẳng phương hai đường tròn b Tâm đẳng phương Định lý 1.1.3 Cho đường tròn (O1 ), (O2 ) (O3 ) Khi trục đẳng phương cặp đường tròn trùng song song qua điểm Định nghĩa 1.1.3 (Tâm đẳng phương) Cho đường tròn (O1 ), (O2 ) (O3 ), I giao điểm trục đẳng phương cặp đường trịn điểm I gọi tâm đẳng phương ba đường trịn Từ định lí 1.1.3 ta suy hệ sau: 66 • Phần đảo: Xét điểm A ∈ (P ′ ), B ∈ (S) AB tiếp tuyến (O), nên A nằm ngồi (O) Vì I ảnh A qua N(O,k) , nên I thuộc mặt cầu (W ) đường kính OM ảnh (P ′ ) qua N(O,k) Mà A nằm (O) nên I nằm (O) Do M nằm (O) • Kết luận: Vậy tập hợp điểm A mặt phẳng (P ′ ) ảnh mặt cầu (W ) qua phép nghịch đảo N(O,k) tâm O, tỉ số k = R2 2.2.4 Các tốn dựng hình Khi giải tốn dựng hình có liên quan đến tiếp xúc mặt phẳng với mặt cầu, mặt cầu với nhau, phép nghịch đảo công cụ hữu hiệu để giải toán dạng Bài toán 2.2.12 Cho mặt phẳng (P ) hai mặt cầu (O1 ), (O2 ) tiếp xúc với tiếp xúc với (P ) điểm A, B, (A = B) Hãy dựng mặt cầu (O) tiếp xúc với (P ) tiếp xúc đồng thời với hai mặt cầu cho Chứng minh • Phân tích: Giả sử mặt cầu tâm (O) dựng Phép nghịch đảo N(A,k) tâm A, tỉ số k = AB biến (P ) thành nó, biến (O1 ) thành mặt phẳng (Q)//(P ), biến (O2 ) thành (O) thành (O′ ) Mặt cầu (O′ ) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P ) (Q) song song tiếp xúc với (O2 ) • Dựng hình: - Dựng mặt phẳng (Q)//(P ) tiếp xúc (O2 ), (O2 ) ảnh (P ) qua N(A,k) - Dựng mặt cầu (O3 ) ảnh (O2 ) qua N(A,k) - Dựng mặt cầu (O′ ) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P ) (Q) tiếp xúc 67 với (O2 ) - Dựng mặt cầu (O) ảnh (O′ ) qua N(A,k) mặt cầu cần dựng Hình 2.32 • Chứng minh: Vì (O′ ) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P ) (Q) song song tiếp xúc với (O2 ), nên (O) tiếp xúc với (P ) tiếp xúc đồng thời với hai mặt cầu cho • Biện luận: Bài tồn giải hai mặt cầu (O1 ) (O2 ) nằm phía mặt phẳng (P ) Bài toán 2.2.13 Cho mặt phẳng (P ), mặt cầu (O1 ) tiếp xúc với (P ) A, điểm B thuộc (P ) mặt cầu (O2 ) Hãy dựng mặt cầu (O) tiếp xúc với (P ) B tiếp xúc đồng thời với hai mặt cầu cho Chứng minh 68 • Phân tích: Giả sử mặt cầu tâm (O) dựng Phép nghịch đảo N(A,k) tâm A, tỉ số k = AB biến (P ) thành nó, (O1 ) thành mặt phẳng (Q)//(P ), biến (O2 ) thành (O3 )và (O) thành (O′ ) Mặt cầu (O′ ) tiếp xúc với (P ) B tiếp xúc với (Q) C tiếp xúc với (O3 ) H • Dựng hình: Dựng mặt phẳng (Q)//(P ) ảnh (O1 ) qua N(A,k) - Dựng mặt cầu (O3 ) ảnh (O2 ) qua N(A,k) - Dựng mặt cầu (O′ ) tiếp xúc với (P ), (Q) (O3 ) - Dựng mặt cầu (O) ảnh (O′ ) qua N(A,k) hình cần tìm Hình 2.33 69 • Chứng minh: Vì (O′ ) tiếp xúc với (P ), (Q) (O3 ), nên (O) tiếp xúc với (O1 ), (O2 ) (P ) • Biện luận: Bài toán giải (O1 ) (O2 ) nằm phía với (P ) Bài tốn 2.2.14 Cho ba mặt cầu (O1 ), (O2 ), (O3 ) đôi tiếp xác với Dựng mặt cầu (O) tiếp xúc với ba mặt cầu cho Chứng minh Hình 2.34 • Phân tích: Giả sử ta dựng mặt cầu (O) Gọi M tiếp điểm (O1 ) (O2 ) k = PM/(O3 ) 70 Khi đó, Phép nghịch đảo N(M,k) tâm M , hệ số k biến mặt cầu (O1 ) thành mặt phẳng (P ) tiếp xúc với mặt cầu (O3 ), biến mặt cầu (O2 ) thành mặt phẳng (Q)//(P ) (Q) tiếp xúc với mặt cầu (O3 ), biến mặt cầu (O3 ) thành nó, biến mặt cầu (O) thành mặt cầu (O′ ) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P ), (Q) song song với tiếp xúc với mặt cầu (O3 ) • Dựng hình: - Dựng mặt phẳng (P ) ảnh (O1 ) qua N(M,k) (P ) tiếp xúc (O3 ) - Dựng mặt phẳng (Q) ảnh (O2 ) qua I(M,k) , (Q)//(P ) (Q) tiếp xúc với (O3 ) - Dựng mặt cầu (O′ ) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P ), (Q) song song với tiếp xúc với mặt cầu (O3 ) - Dựng mặt cầu (O) ảnh (O′ ) qua N(M,k) Vậy (O) mặt cầu cần dựng • Chứng minh: - Vì (O1 ) tiếp xúc (O3 ), nên (P ) tiếp xúc với (O3 ) - Vì (O2 ) tiếp xúc (O3 ), nên (Q) tiếp xúc với (O3 ) - Gọi (R) mặt phẳng tiếp xúc với (O1 (O2 ) M , nên (R)//(P ) (R)//(Q), suy (P )//(Q) - Vì (O′ ) tiếp xúc với tiếp xúc với hai mặt phẳng (P ), (Q) song song với tiếp xúc với mặt cầu (O3 ), nên mặt cầu (O) tiếp xúc với ba mặt cầu cho • Biện luận: Bài tốn có hai nghiệm hình (O) tiếp xúc tiếp xúc ba mặt cầu 71 2.2.5 Các toán liên quan đến hệ tọa độ Descartes Oxyz Bài toán 2.2.15 Trong hệ tọa độ Oxyx cho điểm M (1; 2; −3) Tìm ảnh M qua phép nghịch đảo N(O,5) Chứng minh Ta có phương trình tắc đường thẳng OM x y z = = −3 (2.5) Gọi M ′ (x′ ; y ′ ; z ′ ) ảnh M qua phép nghịch đảo N(O,5) Ta có: −−→ −−→ Vì M ′ ∈ OM OM OM ′ = 5, nên ta có hệ phương trình sau:  ′ ′ ′   x =y = z −3 (2.6)   x′ + 2y ′ − 3z ′ = 5 ′ ′ 15 ,y = ,z = 14 14 Bài tốn 2.2.16 Tìm ảnh mặt phẳng (P ) : x + y + z + = qua Giải hệ phương trình (2.6) ta x′ = phép nghịch đảo N(O,−1) Chứng minh Ta có phương trình tắc đường thẳng OM là: y z x = = x0 y0 z0 Với điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) thuộc (P ), ảnh M qua N(O,−1) M (x′ ; y ′ ; z ′ ) −−→ −−→ Khi M ′ ∈ (OM ) OM OM ′ = k , ta hệ phương trình sau:  x′ y′ z′   = = x0 y0 z0 (2.7)   x x′ + y y ′ + z z ′ = −1 0 Bằng cách khử x0 , y0 , z0 từ hệ (2.14) ta x′2 + y ′2 + z ′2 − x′ − y ′ − z ′ = (2.8) Điều chứng tỏ M ′ thuộc mặt cầu có phương trình x2 + y + z − x − y − z = (2.9) 72 Vậy ảnh mặt phẳng (P ) qua phép nghịc đảo N(O,−1) mặt cầu (W ) 1 có phương trình (2.9) Tâm mặt cầu điểm I( ; ; ) bán kính 2 √ R= Bài toán 2.2.17 Trong hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (W ) có phương trình x2 + y + z = R2 phép nghịch đảo N(O,k) (k = 0) Tìm ảnh (W ) qua phép nghịch đảo Chứng minh Với điểm M (x; y; z) ∈ (W ), ảnh M qua phép nghịch đảo M ′ (x′ ; y ′ ; z ′ ) Ta có phương trình tắc OM x y z = ′ = ′ = λ ′ x y z Suy x = λ.x′ , y = λ.y ′ , z = λ.z ′ Thay vào phương trình mặt cầu ta λ2 (x′2 + y ′2 + z ′2 ) = R2 (2.10) −−→ −−→ Mặt khác OM OM ′ = k Suy λ(x′2 + y ′2 + z ′2 ) = k (2.11) Bằng cách khử λ từ hai phương trình (2.10) (2.11), ta được: k2 (x + y + z ) = R ′2 ′2 ′2 (2.12) Điều chứng tỏ M ′ thuộc mặt cầu (x2 + y + z ) = k2 R2 (2.13) Vậy ảnh mặt cầu (W ) qua phép nghịch đảo N(O,k) (k = 0) mặt cầu k (W ′ ) có phương trình (2.13), có tâm O bán kính R′ = R 73 2.3 CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP Trong hai mục 2.1 2.2 trình bày số phương pháp có ứng dụng phép nghịch đảo để giải dạng toán hình học mặt phẳng khơng gian Trong phần 2.3 này, chúng tơi trình bày số tốn tương tự đề thi kì thi quốc gia quốc tế Bài tốn 2.3.1 Tìm ảnh hình sau qua phép nghịch đảo: i) Ảnh chùm eliptic ii) Ảnh chùm parabolic iii) Ảnh chùm hypebolic Chứng minh Sử dụng tính chất 1.2.6 tính chất 1.2.7 Bài tốn 2.3.2 (Hệ thức Euler) Cho điểm A, B, C, D tùy ý nằm đường thẳng m Gọi ảnh A, B, C phép nghịch đảo tâm D, phương tích k A′ , B ′ , C ′ DA.BC + DB.CA + DC.AB = Chứng minh Sử dụng tính chất 1.2.3 Bài tốn 2.3.3 Cho hai đường trịn (O1 ) (O2 ) không đồng tâm Xét tất đường tròn (S) trực giao với hai đường trịn cho Tìm tập hợp tâm đường tròn (S) Chứng minh Do (S) trực giao với (O1 ) (O2 ), nên tâm S thuộc trục đẳng phương hai đường trịn Từ ta thu kết Bài tốn 2.3.4 Cho đường trịn (O) tâm O, đường kính AB tiếp xúc với đường thẳng d A điểm M đường tròn Dựng đường trịn tiếp xúc với đường trịn O M đồng thời tiếp xúc với đường thẳng d cho trước Chứng minh Tương tự toán 2.1.7 74 Bài toán 2.3.5 Trong mặt phẳng (P ) cho đường trịn (S), O điểm nằm ngồi (P ) Gọi H hình chiếu vng góc O (P ) Với điểm M thuộc đường tròn (S) ta kí hiệu M ′ hình chiếu vng góc H xuống OM Tìm tập hợp điểm M ′ M biến thiên (S) Chứng minh Tương tự toán 2.2.9 Bài toán 2.3.6 Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng: Nếu (ABC) ⊥ (ABD) AB CD2 = AB BD2 + AD2 BC Chứng minh Xét phép nghịch đảo I(A,k) Chứng minh tương tự toán 2.1.5 Bài toán 2.3.7 (Định lí Cantor) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn (O) tâm O, bán kính R ngoại tiếp đường trịn (I) tâm I , bán kính r Gọi x, y, z lần lược khoảng cách từ O đến cạnh tam giác Chứng minh x + y + z = R + r Chứng minh Gọi M, N, P lần lược trung điểm BC, CA, AB Giả sử x = OM, y = ON, z = OP, BC = a, AB = c, CA = b Tứ giác OM BP nội tiếp, theo tốn 2.1.5 ta có OB.P M = OP.M B + OM.P B a c b (2.14) ⇔ R = z + x 2 Hình 3.1 75 Tương tự ta có: a b c R = y + x 2 a c b R = y + z 2 (2.15) (2.16) Mặt khác: a b c a b c r.( + + ) = SABC = SOBC + SOAC + SOAB = x + y + z 2 2 2 (2.17) Từ (2.14), (2.15), (2.16), (2.17), ta (R + r).( a+b+c a+b+c ) = (x + y + z).(( ) ⇔ R + r = x + y + z 2 Nhận xét 2.3.1 Từ toán 2.3.6 2.3.7 ta thấy định lí Ptoleme tốn 2.1.5 cơng cụ quan trọng, sử dụng làm cho giải trở nên đơn giản Bài toán 2.3.8 Cho đường trịn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Một tiếp tuyến thay đổi (O) cắt hai tiếp tuyến (O) vẽ từ A B, C Chứng minh đường tròn (ABC) tiếp xúc với đường tròn cố định Chứng minh Gọi M, N, P lần lược tiếp điểm (O) với AB, CA, BC A′ , B ′ , C ′ lần lược trung điểm M N, N P, CA R, R′ lần lược bán kính (O) (A′ B ′ C ′ ) Xét phép nghịch đảo tâm O, phương tích k = R2 , biến (ABC) → (A′ B ′ C ′ ) Hình 3.2 76 Khi (A′ B ′ C ′ ) đường trịn Euler △M N P , suy R′ = A cố định suy A′ cố định R Do (A′ B ′ C ′ ) tiếp xúc với đường tròn đường tròn (A′ ) tâm A′ , bán kính 2R′ cố định Vậy đường trịn (ABC) tiếp xúc với đường tròn cố định ảnh đường trịn (A′ ) tâm A′ , bán kính 2R′ qua I(O,R2 ) Bài toán 2.3.9 (Đề nghị IMO Bulgaria năm 1995) Cho A, B, C, D điểm phân biệt nằm đường thẳng xếp theo thứ tự Các đường trịn đường kính AC, BD cắt điểm X, Y Đường thẳng XY cắt BC Z Cho P điểm XY khác Z Đường thẳng CP cắt đường trịn đường kính AC C M , đường thẳng BP cắt đường tròn đường kính BD D N Chứng minh AM, DN, XY đồng quy Chứng minh Gọi (C1 ) đường trịn đường kính AC , (C2 ) đường trịn đường kính BD P nằm XY trục đẳng hương (C1 ) (C2 ), PP/(C1 ) = PP/(C2 ) , suy P C.P M = P B.P N = k Hình 3.3 Xét phép nghịch đảo tâm P , phương tích k , ta có I(P,k) : M → C, A → A′ , suy AM → (P A′ C) Tương tự DN → (P BD′ ), D′ ảnh O qua I(P,k) Ta có I(P,k) : XY → XY Do để chứng minh AM, DN, XY đồng quy ta chứng minh XY trục đẳng phương hai đường tròn (P A′ C) (P BD′ ) Thật ta có P ZC = P A′ C = 900 , suy Z ∈ (P A′ C) Tương tự Z ∈ (P BD′ ) Do P Z ≡ XY trục đẳng phương (P A′ C) (P BD′ ) 77 Vậy AM, DN, XY đồng quy Bài toán 2.3.10 (Định lí Brokard) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O) Giả sử AC cắt BD M , AB cắt CD N AD cắt BC P Chứng minh O trực tâm MNP Chứng minh Xét cực đối cực đường tròn (O) Ta thấy P M đối cực N , nên ON ⊥ P M P N đối cực M , nên OM ⊥ P N Vậy O trực tâm tam giac P M N Hình 3.4 Bài tốn 2.3.11 (IMO 1985) Cho tam giác ABC Một đường tròn tâm O qua hai điểm A, C cắt đoạn AB, BC theo thứ tự hai điểm phân biệt K, N Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC KBN cắt hai điểm phân biệt B M Chứng minh OM B = 900 Chứng minh Gọi R bán kính đường trịn (O) Gọi P, S lần lược giao điểm KN AC , KC AN Ta có B đối cực P S qua (O) ngược lại P đối cực BS qua (O) Do S đối cực P B qua (O) Gọi M ′ giao điểm OS BP , ta có OM ′ ⊥ BP Mặt khác BS ⊥ OP (do BS đối cực P qua (O)), tương tự P S ⊥ OB Ta suy S trực tâm tam giác BOP Do gọi B ′ giao điểm BS OP , ta có B ′ ảnh 78 P qua I(O,R2 ) Ta lại có I(O,R) : A → A, C → C Do AC → (OAC), P ∈ AC , suy B ′ ∈ (OAC) ta thu P O.P B ′ = P A.P C Mặt khác B, M ′ , B ′ , O thuộc đường trịn, P M ′ P B = P O.P B ′ , dẫn đến P M ′ P B = P A.P C, tức M ∈ (ABC) ′ Hình 3.5 Ta có P A.P C = P K.P N = P M ′ P B, M ′ ∈ (BKN ) Hay M ′ ≡ (BKN ) ∩ (ABC) ≡ M Đồng thời OM ′ ⊥ P B nên OM ⊥ P B Vậy OM B = 900 Nhận xét 2.3.2 Ở toán 2.3.10 2.3.11 ta sử dụng cực đối cực để giải toán Khi sử dụng khái niệm việc chứng trở nên dễ dàng Đây phương pháp hữu hiệu để giải toán có liên quan đến phép nghịch đảo 79 KẾT LUẬN Luận văn "Phép nghịch đảo ứng dụng hình học sơ cấp" trình bày đạt số kết sau : Trình bày rõ ràng, hệ thống lại định nghĩa, tính chất phép nghịch đảo mặt phẳng không gian Ứng dụng kết để khảo sát số chủ đề hình học sơ cấp Đặc biệt tốn chứng minh tính chất hình học, tốn tìm quỹ tích tốn dựng hình trình bày cụ thể Luận văn tuyển tập nhiều toán hay tài liệu tham khảo Nhiều toán trình bày lời giải tường minh có chỉnh lý, bổ sung cho số toán hai tài liệu tham khảo thầy Đỗ Thanh Sơn Do thời gian thực luận văn có hạn trình độ thân cịn hạn chế, mặt dù có nhiều cố gắng chắn không tránh khỏi sai sót Vì vậy, mong nhận góp ý quý thầy cô bạn bè, đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh 80 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Vĩnh Cận (1998), Bài tập quỹ tích dựng hình, NXB Giáo Dục, Hà Nội [2] Văn Như Cương-Phạm Khắc Ban-Lê Huy Hùng-Tạ Mân (2008), Bài tập hình học nâng cao 12, NXB Giáo Dục [3] Lê Đình Hậu (2010), Một số kiến thức hình Olympiad, nguồn : Viện Tốn Học Việt Nam [4] Nguyễn Đức Hồng - Nguyễn Văn Vĩnh (2000), 23 chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp bồi dưỡng học sinh giỏi luyện thi vào lớp 10 (Quyển Hạ), NXB Trẻ, TP.Hồ Chí Minh [5] Nguyễn Mộng Hy (2003), Các phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo Dục, TP Hồ Chí Minh [6] Nguyễn Kiếm - Lê Thị Hương - Hồ Xuân Thắng (2007), Phân loại phương pháp giải dạng tập Toán 11, NXB Đại Học Quốc Gia, Hà Nội [7] Nguyễn Đăng Phất(2005), Các phép biến hình mặt phẳng ứng dụng giải tốn hình học, NXB Giáo Dục Đà Nẵng [8] Đỗ Thanh Sơn (2004), Phép biến hình mặt phẳng, Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THPT, NXB Giáo Dục, Huế [9] Đỗ Thanh Sơn (2004), Phép biến hình không gian, Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THPT, NXB Giáo Dục, Huế [10] Nguyễn Đức Tấn (1998), Chuyên đề quỹ tích (Tập hợp điểm) , NXB Trẻ, TP Hồ Chí Minh ... 26 CHƯƠNG ỨNG DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP Trong chương này, chúng tơi trình bày ứng dụng phép nghịch đảo vào giải tốn: khảo sát phép nghịch đảo, chứng minh tính chất hình học,... CHƯƠNG ỨNG DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP 2.1 2.2 2.3 26 ỨNG DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG MẶT PHẲNG 26 2.1.1 Khảo sát phép nghịch đảo ... này, tơi chọn đề tài “PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP” làm đề tài luận văn thạc sĩ Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu đề tài khai thác phép nghịch đảo mặt phẳng không gian