Đồng dư thức và ứng dụng

S GIO DC V O TO K LK TRNG THPT PHAN èNH PHNG ********* H DUY NGHA NG DNG Lí THUYT NG D TRONG CC BI TON CHIA HT CHUYấN BI DNG HSG k Lk -2012 www.MATHVN.com - Toỏn hc Vit Nam MC LC Mc lc Chng 1.1 1.2 1.3 ng d v ỏp dng ng d thc 1.1.1 Mt s khỏi nim v tớnh cht c bn 1.1.2 ng dng ca lý thuyt ng d tỡm du hiu chia ht Phng trỡnh ng d 10 1.2.1 Phng trỡnh ng d bc nht mt n 10 1.2.2 H phng trỡnh ng d ng d bc nht mt n 11 1.2.3 ng dng 11 Cỏc hm s hc 12 Phi hm le nq 12 1.3.1 1.3.2 1.4 i Hm Măobius ànq 15 1.3.3 Hm tng cỏc c dng nq 15 1.3.4 ng dng 17 Bi t luyn 18 Chng mt s bi toỏn cỏc k thi hc sinh gii 20 2.1 Cỏc bi toỏn cỏc k thi Olympic 20 2.2 Cỏc bi toỏn k thi hc sinh gii Quc gia 22 Ti liu tham kho 28 www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toỏn hc Vit Nam Chng Lí THUYT NG D V P DNG 1.1 1.1.1 ng d thc Mt s khỏi nim v tớnh cht c bn nh ngha 1.1.1 Cho a, b, m l cỏc s nguyờn, m S a c gi l ng d vi b theo mụun m nu m l c ca b aq b mod mq Ngc li, nu a khụng ng d vi b theo mụun m thỡ ta vit a b mod mq Nu a ng d vi b theo mụun m thỡ vit a Vớ d mod 3q vỡ 35 2q Nu a b mod mq thỡ b gi l mt thng d ca a theo mụun m Nu b m thỡ b gi l mt thng d nht ca a theo mụun m Mnh 1.1.2 Cho a, b, c, m l nhng s nguyờn m Khi ú, ta cú (i) a a mod mq, (ii) Nu a b mod mq thỡ b a mod mq, (iii) Nu a b mod mq v b c mod mq thỡ a c mod mq Chng minh Mnh iq, iiq l hin nhiờn, ta chng minh mnh iiiq Tht b mod mq, b c mod mq suy mb aq v mc bq Do ú mb a c bq, hay mc aq Vy a c mod mq vy, ta cú a Tip theo, ký hiu a l tõp hp tt c cỏc s nguyờn ng d vi a theo mụun m, a tn Zn a mod mq Núi cỏch khỏc, a l hp cỏc s nguyờn cú dng ta km T ú, ta cú nh ngha sau nh ngha 1.1.3 Mt gm cỏc phn t dng a ta km, k Z gi l mt lp ng d ca a theo mụun m www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toỏn hc Vit Nam 1.1 ng d thc Vớ d vi m 2, ta cú lp l cỏc s nguyờn chn, lp l cỏc s nguyờn l Mnh 1.1.4 Cho a, b, m l nhng s nguyờn m Khi ú, ta cú (i) a b v ch a b mod mq, (ii) a b v ch a b ỉ, (iii) Cú ỳng m lp ng d phõn bit theo mụun m b, ta xột a a b Do ú, a b mod mq Ngc li, nu a b mod mq thỡ a b Ngoi ra, nu c a mod mq thỡ c b mod mq iu ny chng t rng a b Hn na, t a b mod mq ta suy b a mod mq, hay b a T ú suy a b iiq D thy rng, nu a b ỉ thỡ a b Ngc li, ta cn chng t rng nu a b ỉ thỡ a b Tht vy, gi s a b ỉ gi c a b Khi ú, ta cú c a mod mq v c b mod mq iu ny suy a b mod mq Do ú, theo iq ta suy a b iiiq chng minh phn ny, ta chng minh t0, 1, 2, , m l m lp ng d phõn bit theo mụun m Tht vy, gi s tn ti k l m cho k l Khi ú, theo iq ta cú k l mod mq, hay ml k q iu ny mõu thun vi gi thit l k m Do ú, k l Ngoi ra, vi mi a Z luụn tn ti cp s nguyờn q, r cho a qm r, r m, suy a r mod mq hay a r Chng minh iq Gi s a nh ngha 1.1.5 Tp gm m phn t tA a1, a2, , am gi l mt h thng d y theo mụun m nu tB a1 , a2 , a3 , , am l gm m lp ng d phõn bit theo mụun m T nh ngha ta thy rng, h thng d y theo mụun m l khụng nht Vớ d cỏc t0, 1, 2, 3, t4, 9, 14, 1, t0, 1, 2, l nhng h thng d y theo mụun Mnh 1.1.6 Nu a c mod mq v b d mod mq thỡ a b c d mod mq v ab cd mod mq Chng minh D dng suy t nh ngha H Duy Ngha -THPT Phan ỡnh Phựng-k Lk www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toỏn hc Vit Nam 1.1 ng d thc Mnh 1.1.7 Cho a, b, c, m l cỏc s nguyờn, m 0, ac bc mod mq v d c, mq Khi ú, ta cú a b mod m q d Chng minh Gi s ac bc mod mq Ta cú mbd acq, suy tn ti s nguyờn k cho cb aq km Khi ú, chia hai v cho d ta c b aq k md Ngoi m ra, theo gi thit ta cú d c, mq, suy dc , m d Do ú, ta cú d b aq hay a b mod c d m q d Mnh 1.1.8 Cho a, b, m1 , , mk l cỏc s nguyờn, m1 , , mk a b mod m2 q, , a b mod mk q Khi ú, ta cú 0, a b mod m1q, a b mod rm1 mk sq, ú rm1 m2 mk s l bi chung nh nht ca m1 , m2 , mk Chng minh Suy trc tip t nh ngha Mnh 1.1.9 Nu a b mod nq thỡ an Chng minh T a bn mod n2q b mod nq suy a b nq Do ú, theo cụng thc khai trin nh thc ta cú an bn b nqqn bn n n1 n n2 2 b qn b q n nn qnnn n2 T ú suy an bn1 q n n2 n n n2 b q q n n bn mod n2q iu ngc li khụng ỳng, vớ d nh 34 14 mod 42q nhng mod 4q Mnh 1.1.10 Nu a, b l cỏc s nguyờn v p l s nguyờn t thỡ a bqp ap bp mod pq Chng minh Theo cụng thc khai trin nh thc ta cú a bq a b p p p p p1 p a b a.bp1 p1 H Duy Ngha -THPT Phan ỡnh Phựng-k Lk www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toỏn hc Vit Nam 1.1 ng d thc Do ú, chng minh mnh ta ch cn chng minh p vy, ta cú p k p k , k p 1q Tht k!pp! kq! , suy k 1qp!!p kq! p 1q! p1 p k 1q!p kq! p k T ú, pk kp Ngoi ra, CLNp, k q nờn p kp k 1.1.2 p k ng dng ca lý thuyt ng d tỡm du hiu chia ht Vớ d 1.1.2.1 Tỡm du hiu chia ht cho 2k , 3, 5k , 7, 11, 13, 37 Li gii: Xột s t nhiờn a an an1 a0 Tc l a c vit di dng a an 10n a1 10 a0 , 9q Du hiu chia ht cho 2k Vỡ 10 mod 2q nờn 10k mod 2k q T ú suy a ak1 10k1 a0 mod 2k q Do ú, s a chia ht cho 2k s b ak1 10k1 a0 mod 2k q, tc l b chia ht cho 2k Núi cỏch khỏc, s t nhiờn a chia ht cho 2k s t nhiờn b c lp t k ch s tn cựng ca a chia ht cho 2k Tng t, ta cng cú 10 mod 5q v 10k mod 5k q Do ú, s a chia ht cho 5k s b lp t k ch s cựng ca a chia ht cho 5k Du hiu chia ht cho v Ta cú 10 mod 3q suy 10k mod 3q Do ú 10k mod 3q T ú suy a an 10n a1 10 a0 an a0 mod 3q Vy, s a chia ht cho tng cỏc ch s ca nú chia ht cho Tng t ta cng cú 10 mod 9q v ai.10k mod 9q Vy, s a chia ht cho tng cỏc ch s ca nú chia ht cho H Duy Ngha -THPT Phan ỡnh Phựng-k Lk www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toỏn hc Vit Nam 1.1 ng d thc Du hiu chia ht cho Ta cú a0 mod 7q 10 mod 7q 102 mod 7q 103 mod 7q ủ a0 a0 mod 7q ủ 10a1 3a1 mod 7q ủ 102a2 2a2 mod 7q ủ 103a3 1a3 mod 7q a0 T ú, ta cú bng ng d theo mụun tng ng nh sau a0 10a1 102 a2 103 a3 104 a4 105 a5 106 a6 107 a7 108 a8 109 a9 1010 a10 a0 3a1 2a2 a3 3a4 2a5 a6 3a7 2a8 a9 3a10 1011 a11 106t1 a6t1 2a11 2a6t1 Bng 1.1: Do ú, s a an an1 a1 a0 chia ht cho tng dng a03a12a2qa33a42a5qa6 q a6t33a6t22a6t1q mod 7q Ngoi ra, vi mi s x, y, z ta u cú x 3y 2z 100z 10y x mod 7q zyx mod 7.q T ú suy ra, s a an an1 a1 a0 chia ht cho tng dng a2 a1 a0 a5 a4 a3 a8 a7 a6 a11 a10 a9 , chia ht cho Du hiu chia ht cho 11 Tng t du hiu chia ht cho 7, ta cng cú a0 mod 11q 10 mod 11q 102 mod 7q 103 mod 11q a0 H Duy Ngha -THPT Phan ỡnh Phựng-k Lk ủ a0 a0 mod 11q ủ 10a1 a1 mod 11q ủ 102a2 a2 mod 11q ủ 103a3 1a3 mod 11q www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toỏn hc Vit Nam 1.1 ng d thc a0 10a1 102 a2 103 a3 104 a4 105 a5 106 a6 107 a7 108 a8 109 a9 1010 a10 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 1011 a11 102t1 a2t1 a11 a2t1 Bng 1.2: Do ú, s a an an1 a1 a0 chia ht cho 11 tng dng a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a2t1 mod 11q Núi cỏch khỏc, s a an an1 a1 a0 chia ht cho 11 tng an du a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a2t1 chia ht cho 11 Du hiu chia ht cho 13 Ta cú a0 mod 13q 10 mod 13q 102 mod 13q 103 mod 13q ủ a0 a0 mod 13q ủ 10a1 3a1 mod 13q ủ 102a2 4a2 mod 13q ủ 103a3 1a3 mod 13q a0 Tng t ta cng cú bng cỏc lp ng d theo mụun 13 (Bng 1.3) 102 a2 103 a3 104 a4 105 a5 106 a6 107 a7 108 a8 109 a9 1010 a10 a0 10a1 a0 3a1 4a2 a3 3a4 4a5 a6 3a7 4a8 a9 3a10 1011 a11 106t1 a6t1 4a11 4a6t1 Bng 1.3: T bng 1.3 ta suy rng, s a an.an1 a1a0 chia ht cho 13 tng dng a0 3a1 4a2qa3 3a4 4a5q a6t3 3a6t2 4a6t1q mod 13q Ngoi ra, vi mi s x, y, z ta u cú x 3y 4z 100z 10y x mod 13q zyx mod 13.q T ú suy ra, s a an an1 a1 a0 chia ht cho 13 tng dng a2 a1 a0 a5 a4 a3 a8 a7 a6 a11 a10 a9 chia ht cho 13 H Duy Ngha -THPT Phan ỡnh Phựng-k Lk www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toỏn hc Vit Nam 1.1 ng d thc Du hiu chia ht cho 33 Ta cú a0 mod 33q 10 10 mod 33q 102 mod 33q 103 10 mod 33q ủ a0 a0 mod 33q ủ 10a1 10a1 mod 33q ủ 102a2 a2 mod 33q ủ 103a3 10a3 mod 33q a0 a0 10a1 102 a2 103 a3 104 a4 105 a5 106 a6 107 a7 108 a8 109 a9 1010 a10 a0 10a1 a2 10a3 a4 10a5 10a7 a6 a8 10a9 a10 1011 a11 102t a2t 10a11 a2t Bng 1.4: T bng 1.4 ta suy rng, s a an.an1 a1a0 chia ht cho 33 tng dng a0 a2 a2tq 10a1 a3 a2t1q mod 33q Ngoi ra, vi mi s x, y ta u cú x 10y 10y x mod 33q yx mod 33.q T ú suy ra, s a an an1 a1 a0 chia ht cho 33 tng dng a1 a0 a3 a2 a5 a4 a6 a5 chia ht cho 33 Ngoi ra, ta cú 33 11.3 nờn ta suy c mt du hiu khỏc na ca s chia ht cho 11; l tng dng a1 a0 a3 a2 a5 a4 a6 a5 , chia ht cho 11; Du hiu chia ht cho 37 Ta cú a0 mod 37q 10 10 mod 37q 102 11 mod 37q a0 H Duy Ngha -THPT Phan ỡnh Phựng-k Lk ủ a0 a0 mod 37q ủ 10a1 10a1 mod 37q ủ 102a2 11a2 mod 37q www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toỏn hc Vit Nam 1.1 ng d thc mod 37q 104 10 mod 37q 105 11 mod 37q ủ 103a3 1a3 mod 37q ủ 104a3 10a3 mod 37q ủ 104a3 11a3 mod 37q 103 a0 10a1 102 a2 103 a3 104 a4 105 a5 106 a6 107 a7 108 a8 109 a9 a0 10a1 11a2 a3 11a5 a6 10a7 11a8 a9 10a4 1010 a10 1011 a11 102t a3t 10a10 a11 11a3t Bng 1.5: T bng 1.5 ta suy rng, s a an.an1 a1a0 chia ht cho 37 tng dng a0 a3 a3tq10a1 a4 a3t1q11a2 a5 a3t2q mod 37q Ngoi ra, vi mi s x, y, z ta u cú x 10y 11z 100z 10y x mod 37q zyx mod 37.q T ú suy ra, s a an an1 a1 a0 chia ht cho 37 tng dng a2 a1 a0 a5 a4 a3 a8 a7 a6 , chia ht cho 37 Vớ d 1.1.2.2 Chng minh rng aq 44021 32012 chia ht cho 13, bq 62023 82023 chia ht cho 49, cq 220119 69 11969 69220 220 119 chia ht cho 102, dq 22225555 55552222 chia ht cho Li gii a)Ta cú 44021 32012 4.162010 9.32010 4162010 32010q mod 13q 16 3q162009 1620083 32009q mod 13q mod 13q H Duy Ngha -THPT Phan ỡnh Phựng-k Lk www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toỏn hc Vit Nam 1.3 Cỏc hm s hc 14 Chng minh Ta cú n k mod mqq ủ n k t.mq, t Z Do ú, an akt.mq ak amqqt ak mod mq nh lý 1.3.7 (Fermats little theorem) Nu p l s nguyờn t thỡ vi mi s nguyờn a ta u cú ap a mod pq Chng minh Suy trc tip t nh lý Euler nh lý 1.3.8 (Wilsons theorem) S nguyờn n nu n 1q! mod nq l s nguyờn t nu v ch Chng minh Gi s n l s nguyờn t Nu n 2, thỡ nh lý ỳng Nu n 3, thỡ vi mi s nguyờn a luụn tn ti nht s nguyờn b cho a.b mod nq Ta chng minh b p Tht vy, theo Mnh 1.2.2 v s tn ti nghim ca phng trỡnh ng d ta cú b p Ngoi ra, nu b thỡ a n thỡ a n iu ny mõu thun Do ú, cỏc phn t ca A t2, 3, , n chia thnh n2 cp a, bq nh trờn T ú suy Nu b 2.3 n 2q mod pq hay n 1q! n 1q mod nq mod nq Ngc li, gi s n 1q! mod nq Ta chng minh n l s nguyờn t Tht vy, gi s n l hp s, tc l n a.b ú a b n Khi ú an 1q! Ngoi theo gi thit, ta cú n 1q! mod nq tc l an 1q! 1q T ú suy a1 iu ny mõu thun Vy n l s nguyờn t Mnh 1.3.9 Gi pt l ly tha ca s nguyờn t l, m l s nguyờn t cựng vi c p v p v a, b nguyờn t cựng vi p Khi ú am bm mod ptq nu v ch nu a b mod ptq Chng minh Vỡ a bqam bm q nờn t gi thit l a b mod pt q ta suy am bm mod ptq bm mod ptq v a, b nguyờn t cựng vi p ta chng b mod ptq Tht vy, vỡ m nguyờn t cựng vi p v p nờn Ngc li, gi s am minh a H Duy Ngha -THPT Phan ỡnh Phựng-k Lk www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toỏn hc Vit Nam 1.3 Cỏc hm s hc CLNm, p 1qpt1 q Do ú, tn ti s nguyờn dng k cho mk T ú suy a amk 15 mod ptq amqk bmqk b mod ptq Hm Mă obius ànq 1.3.2 nh ngha 1.3.10 Hm s hc Măobius ànql hm cho bi cụng thc ànq nu n 1, nu n khụng chớnh phng, 1qk nu n l s chớnh phng v k l s cỏc c nguyờn t ca n Mnh 1.3.11 Nu n thỡ dn àdq thỡ n c phõn tớch thnh tớch cỏc tha s nguyờn t n p1 p2 pl Khi ú, àdq àp1 pl q ú i l hoc Do , , Chng minh Nu n l dn ú, dn 1.3.3 l àdq l l l l 1ql l l 1ql Hm tng cỏc c dng nq nh ngha 1.3.12 Hm s hc nq l hm nhn giỏ tr ti n l tng cỏc c dng ca n Ta cú th vit gn nh ngha trờn nh sau nq dn d Hm nq l hm nhõn tớnh Nu p l s nguyờn t thỡ pq p Nu nq 2n thỡ n c gi l s hon ho (perfect), vớ d s 6, 28 l nhng s hon ho nh lý 1.3.13 Nu s t nhiờn n c phõn tớch thnh tớch cỏc tha s nguyờn t n p1 p2 pl l thỡ nq l pi i i1 H Duy Ngha -THPT Phan ỡnh Phựng-k Lk pi1 www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toỏn hc Vit Nam 1.3 Cỏc hm s hc 16 Chng minh Ta cú cỏc c ca pi l 1, p, p2 , , pi , nờn p p 1 pi q p p2 pi T ú suy ra, nq l pi i i pi1 i1 Mnh 1.3.14 Nu m l s hon ho l v m cú phõn tớch c s m 1) Tn ti nht mt ch s i cho 2) Vi mi j i, j chn pi i thỡ l i p i mod 4q pi Suy ra, tn ti nht j mt s i cho i l v mq nờn ng vi i l ta cú pi mod 4q Ngoi ra, vi cỏc ch s j i ta xột pj q pj p2j pj Khi ú t pj q l s l nờn j phi chia ht cho Chng minh Ta cú mq 2m ủ i pji i j j j Mnh 1.3.15 n l s hon ho chn v ch n ú 2m l s nguyờn t Mersene Chng minh Gi s n 2s q, s 1, q 2s1 q 2t 1, ta cú 2sqq 2s1 1qqq Suy q chia ht cho 2s1 Tip theo, ta t q ta cú Suy k2s1 q 2m12m 1q, 2s1 1qk Khi ú, nu k 2s1 k 2s1 1q 2s1 1qk q2s1 1q 2s1 1qkq k2s1 1q k, (mõu thun) Vy k hay 2s1 v q l s nguyờn t Mersene Ngc li, gi s n 2m1 2m 1q ú 2m l s nguyờn t Khi ú, nq 2m1 q 2m 1q 2m1 2m 2n Vy n l s hon ho H Duy Ngha -THPT Phan ỡnh Phựng-k Lk www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toỏn hc Vit Nam 1.3 Cỏc hm s hc 1.3.4 17 ng dng Vớ d 1.3.4.1 Tỡm s d cỏc phộp chia sau aq 123345 chia cho 14, bq 35150 chia cho 425, (Chn HSGQG-Daklak-2011) Li gii: a) Ta cú 123 mod 14q, 345 mod 6q v CLN123, 14q 1, 14q nờn ỏp dng H qu 1.3.6 ta cú 123345 1233 3q3 mod 14q Vy s d phộp chia 123345 chia cho 14 l b) Vỡ CLN35150 , 425q 25 nờn 35150 r mod 425q ụ 5158.7150 x mod 17q Ta cú 17q 16, 148 mod 16q, CLN148, 17q nờn suy 5148 56 53q2 62 mod 17q Tng t, ta cng cú 7150 T ú suy 5158 7150 78 72q4 2q4 mod 17q 15 mod 17q hay 35150 375 mod 425q Vy s d chia 35150 cho 425 l 375 Vớ d 1.3.4.2 Chng minh rng nu CLNa, 5q thỡ a8n 3a4n chia ht cho 100 a8n 3a4n a4n 1qa4n 4q Theo cụng thc Euler ta cú a4 mod 5q suy a4n mod 5q Do ú a4n chia ht cho v a4n Li gii: t A cng chia ht cho 5, hay A chia ht cho 25 iu ny dn n bi toỏn tr thnh chng minh A chia ht cho Tht vy, ta vit tr li a8n 3a4n a4n a4n 3q B v ta xột hai trng hp sau: H Duy Ngha -THPT Phan ỡnh Phựng-k Lk www.MATHVN.com 1.4 Bi t luyn www.MATHVN.com - Toỏn hc Vit Nam 18 a chn, tc l a 2k ta cú a4n 24na4n suy B a l, tc l a 2k ta cú a4n 2k 1q4n 4n k 4n k 2kq4nk 1k T ú suy a8n 3a4n chia ht cho 100 Vớ d 1.3.4.3 Tỡm s t nhiờn n cho hai s n v nn21q l hai s s hon ho Li gii: Vỡ n l s t nhiờn nờn n chia ht cho hoc khụng chia ht cho Trc ht ta xột trng hp n chia ht cho Khi ú: 4k, ta cú n 4k mod4q iu ny mõu thun n mod 4qq b) Vi n 4k ta cú nn21q 2k 1q4k 3q l s hon chnh l v nn1q mod 4q iu ny mõu thun a) Vi n Trng hp tip theo, vi n khụng chia ht cho 2, ta cú: a) n 3k ủ 1, nn21q u l s hon ho chn Do ú n 2p1 2p 1q, nn1q n 2q12q 1q Ngoi ra,n 1, nn21q q nờn q hoc p suy b) n 4k suy nn21q l s hon ho l v n1 l s hon ho chn Do ú, n 2p1 2p 1q ủ nn 1q 22p2 2p2 1q22p1 2p1 1q Suy 22p2 2p2 1q, hoc 22p1 2p1 1ql nhng s chớnh phng iu ny mõu thun Vy ch cú n tha iu kin 1.4 Bi t luyn Bi 1.4.1 Chng minh rng vi mi s t nhiờn n ta cú 4n a) 32 chia ht cho 11, H Duy Ngha -THPT Phan ỡnh Phựng-k Lk www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toỏn hc Vit Nam 1.4 Bi t luyn 10n b) 22 6n c) 22 19 19 chia ht cho 23, 21 chia ht cho 37 Bi 1.4.2 Tỡm s d phộp chia a) 6592 chia cho 11, b) 340 chia cho 83, c) 512002 100 chia cho 41 Bi 1.4.3 Chng minh rng 0, 3.19831983 19171917 q l s nguyờn Bi 1.4.4 Chng minh rng 26 k1 k.103k , k N chia ht cho 13 Bi 1.4.5 Tỡm cỏc s t nhiờn n nn1 n 1qn chia ht cho HD: Xột n 5k r, r t0, 1, 2, 3, Bi 1.4.6 Cho s nguyờn a, chng minh rng a2 khụng cú c nguyờn t dng 4k 3, t ú suy cỏc phng trỡnh sau khụng cú nghim nguyờn dng aq4xy x y bqx2 y z2, Bi 1.4.7 Cho k, t l cỏc s t nhiờn ln hn Vi giỏ tr no ca k thỡ vi mi s t nhiờn n ta luụn cú nk n mod 10tq ủ n2 n mod 10tq Bi 1.4.8 Cho n l s t nhiờn, p l s nguyờn t, n p Chng minh rng n p n p mod pq, ú rxs l phn nguyờn ca x Bi 1.4.9 Gi s p l s nguyờn t cú dng 3n Chng minh rng khụng tn ti s nguyờn x cho x2 chia ht cho p H Duy Ngha -THPT Phan ỡnh Phựng-k Lk www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toỏn hc Vit Nam Chng MT S BI TON TRONG CC K THI HC SINH GII 2.1 Cỏc bi toỏn cỏc k thi Olympic Bi toỏn 2.1.1 (CHINA, 2004) Hóy xỏc nh ba ch s tn cựng ca s n vi n 11 15 2011 (2.1) Li gii: D thy rng n l s l Gi x l ch s tn cựng ca n Khi ú n x mod 1000q Vỡ 15, 35, 55 l s hng tớch (2.1) nờn n chia ht cho 125, v 1000=125.8 ta suy x cng chia ht cho 125 Do ú, x ch cú th l nhng s 125, 375, 625, 875 T ú suy ra, 1000n xq ụ 8n xq ủ n x mod 8q Tip theo ly mụun cỏc s hng ca n ta c n 34.1 3q4.2 3q 4.502 3q 3.7q3.7q 3.7q3 5.5 mod 8q 251 cp 251 cp 1.1 5.3 mod 8q 125 cp Hn na, cỏc s 125, 375, 625, 875 ch cú nht s 375 l ng d vi theo mụun nờn 375 l ch s tn cựng ca n Bi toỏn 2.1.2 (IMO-1964) a) Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng n cho 2n chia ht cho b) Chng minh rng khụng cú s t nhiờn n no 2n chia ht cho Li gii: Vỡ n l s nguyờn dng nờn ta xột cỏc trng hp ca n nh sau: Vi n 3k, k Z ta cú 2n 23 qk 1k mod 7q Do ú, vi n l bi ca tha yờu cu bi toỏn www.MATHVN.com 2.1 Cỏc bi toỏn cỏc kwww.MATHVN.com thi Olympic - Toỏn hc Vit Nam Vi n 3k r, k Zr 1, ta cú 2n 23k 2r 2r mod , q mod 7q, 21 r2 r T ú suy ra, n 3k, k Z ta luụn cú 72n 1q b) Theo trờn ta cú 2n 1, 2, mod 7q vi mi s t nhiờn n Do ú 2n mod 7q vi mi s nguyờn dng n Bi toỏn 2.1.3 (MOSCOW-1982) Tỡm tt c cỏc s t nhiờn n cho n.2n chia ht cho Hng dn: Xột s t nhiờn n dng n 6k r, k Z, r k Bi toỏn 2.1.4 (Olympic10-30/4-2008) Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng m tha iu kin a, b Z, a2 b2 mod mq ủ a mod mq (2.2) hoc m l s nguyờn t thỡ vi mi a, b Z, a2 b2 mod mq ủ a b mod mq Tht vy, Nu m thỡ (2.2 ) ỳng Xột m l s nguyờn t, vi a, b Z tha a2 b2 mod mq Ta cú Li gii: Trc ht, nhn thy rng nu m a bqa bq a2 b2 mod mq, iu ny suy a b m hoc a b m Do ú, a b mod mq Tip theo, ta xột vi m cn tỡm l m v m khụng nguyờn t, ta chng minh s m 2p ú p l s nguyờn t l Tht vy, gi s (2.2) ỳng x.y, x, y 1, t a x y, b x y Khi ú ta cú a2 b2 4xy 4m mod mq suy ra, a b mod mq hay 2y a b mod mq, hoc 2x a b mod mq Do ú 2x m hoc 2y m vi m xy, suy ra, x hoc y hay m 2n, n Hn na, nu n l hp s thỡ n k.t suy m 2kt, k, t theo trờn ta suy t hay m 4k mõu thun vi (2.2), (Chn a 2k, b 0) Vy n p l s nguyờn t Hn na, nu p thỡ m (2.2) khụng tha Vy p l s nguyờn t l Vỡ m l s nguyờn t l nờn ta cú m H Duy Ngha -THPT Phan ỡnh Phựng-k Lk www.MATHVN.com 2.2 Cỏc bi toỏn k thiwww.MATHVN.com hc sinh gii Quc gia - Toỏn hc Vit Nam 22 Ngc li, gi s m 2p vi p l s nguyờn t l Khi ú, theo gi thit ta cú a2 b2 2p suy a bqa bq 2, v a bqa bq p Do ú a b 2p, a b 2p hay a b mod mq Vy vi m 1, m 2p hoc m nguyờn t l nhng giỏ tr cn tỡm 2.2 Cỏc bi toỏn k thi hc sinh gii Quc gia Bi toỏn 2.2.1 (HSGQG-1975) Tỡm tt c cỏc s hng ca cp s cng 1, 18, 37, , cú cỏc ch s u l ch s Li gii: Ta cú s hng u ca cp s cng l a1 hng tng quỏt l an tha v cụng sai d 19 nờn s 19n 20, n Do ú, bi toỏn tr thnh tỡm tt c s n 19n 20 55 10k ,k s iu ny tng ng vi 5.10 mod 19q, hay k k 5.10k 15 mod 19q ụ 10k mod 19q Ngoi ra, ta cú 100 1, 101 10, 102 5, 103 12, 104 6, 105 3, 106 11, , 1018 mod 19q, l 0, ú suy s k cn tỡm cú dng k 18l Ngc li, Nu k 18l ta cú 10k mod 19q Do ú, 5.10k mod 19q tc l 5.10k 19s ụ 5.10k 1q 19s 9, vi mi s nguyờn s T õy, nhn Suy 1018l5 thy rng v trỏi ca biu thc trờn chia ht cho 9, ú v phi ca nú cng chia ht cho 9, tc l s 9r Khi ú ta cú 19r 10k 55 k s T ú suy ra, cỏc s hng cn tỡm ca dóy cú dng 55 vi mi s t nhiờn l 18l5 s Bi toỏn 2.2.2 (HSGQG-1987) Cho hai dóy xn q, yn q xỏc nh bi x0 365, xn1 xnx1986 1q 1622, n 0, n H Duy Ngha -THPT Phan ỡnh Phựng-k Lk www.MATHVN.com 2.2 Cỏc bi toỏn k thiwww.MATHVN.com hc sinh gii Quc gia - Toỏn hc Vit Nam 23 16, yn1 ynyn3 1q 1952, n Chng minh rng xn yk 0, k, n y0 Li gii: D thy rng xn q, yn q l nhng s nguyờn dng Ta cú y1 y0 y04 1952 63584 32.1987 ú, y1 y0 mod 1987q Ngoi ra, ta cú y2 y1 y14 1952 y04 1952 mod 1987q mod 1987q nờn suy y2 y1 mod 1987q Tng t, ta chng minh c yk y0 mod 1987q, k Mt khỏc, i vi dóy xn q ta cng cú x1 x0 x1987 1622 3651987 365q 1987 Nhng theo nh lý Fermat nh ta cú 3651987 x1 Hn na, x2 x1 365 mod 1987q suy x0 mod 1987q x1987 1622 x1987 1622 mod 1987 Do ú, x2 x0 mod 1987q Tng t, ta chng minh c xn x0 mod 1987q 365 mod 1987q, n T ú suy ra, vi mi k, n ta luụn cú yk xn (Vỡ 365 v 16 khụng ng d theo mụun 1987) Bi toỏn 2.2.3 (HSGQG-1999B) Cho hai dóy xn , yn q xỏc nh bi : x1 1, y1 2, xn1 22yn 15xn, yn1 17yn 12xn, n 1 Chng minh rng cỏc s hng ca c hai dóy xn q, yn q u khỏc khụng, v cú vụ hn s hng dng v vụ hn s hng õm Hi s hng th 19991945 ca hai dóy cú chia ht cho khụng? Gii thớch H Duy Ngha -THPT Phan ỡnh Phựng-k Lk www.MATHVN.com 2.2 Cỏc bi toỏn k thiwww.MATHVN.com hc sinh gii Quc gia - Toỏn hc Vit Nam 24 Li gii: 1) Ta cú, xn2 22yn1 15xn1 2217yn 12xnq 15xn 17xn1 15xnq 22.12xn 15xn1 2xn1 9xn, n 2xn1 mod 3q Hn na ta cú, x1 1, x2 29 suy xn khụng chia ht cho 3, hay xn 0, n Tip theo, ta chng minh xn cú vụ hn s hng dng Do ú, xn2 v vụ hn s hng õm Tht vy, t trờn ta cú xn3 hay 2xn2 9xn1 5xn1 18xn xn3 5xn1 18xn 0, n (2.3) Do ú, nu gi s rng dóy xn cú hu hn cỏc s hng dng ( hu hn cỏc s hng õm), ta gi xnj l s hng dng ln nht ca dóy Khi ú, vi mi n nj ta cú xn 0, iu ny mõu thun vi (2.3) Tng t, ta cng chng minh c dóy yn2 bi toỏn 2) T trờn, ta cú xn4 xn 2yn1 9yn, n tha yờu cu 28xn1 45xn, nờn mod 7q ụ xn4 mod 7q ụ x4kn mod Ngoi ra, t 19991945 1q1945 mod 4q mod 4q v x3 49 nờn ta suy x19991945 mod 7q Tng t, ta cng cú yn Nhng y3 mod 7q ụ y4kn mod 7q 26 mod 7q nờn y1999 mod 7q 1945 Bi toỏn 2.2.4 (HSGQG-2005A) Tỡm tt c cỏc b s t nhiờn x, y, nq tha h thc x! y! n! H Duy Ngha -THPT Phan ỡnh Phựng-k Lk 3n www.MATHVN.com 2.2 Cỏc bi toỏn k thiwww.MATHVN.com hc sinh gii Quc gia - Toỏn hc Vit Nam 25 Li gii: T h thc ca , ta vit li x! y! 3n n! (2.4) Gi s x, y, nq l b cỏc s t nhiờn tha (2.4) D dng suy n 1, v khụng mt tớnh tng quỏt ca bi toỏn, ta gi s x y Khi ú xy hai trng hp: 1) Trng hp : x n Phng trỡnh (2.4) tng ng Suy y! x! y! x! y! x! 3n n! x! mod 3q Do ú x y v y (2.5) x ( Vỡ nu y x thỡ mod 3q, mõu thun) Vỡ vy ta ch cn xột hai giỏ tr ca y nh sau: Nu y x thỡ t (2.5) ta suy rng x 1qx 2q 3n n! x! (2.6) D thy, v trỏi ca 2.6 khụng chia ht cho nờn v phi cng vy, tc l n x Nu n=x, thỡ x 1qx 2q 3x hayx2 3x 3x , iu ny suy ra, x mod 3q Do ú, x v x2 3x 3x mod 9q iu ny vụ lý, chng t n x Vi n x 1, t 2.6 ta cú, x 1qx 2q 3n x 1q chng t x l c nguyờn dng ca Do ú, x dn n y 2, n Nu y x thỡ t (2.5) ta cú x 3n n! x! (2.7) Vỡ n 1nờn suy x Trong trng hp ny ta vit x mod x 1qq Khi ú t 2.7 ta suy n x( Nu khụng, v phi ca (2.7) chia ht cho x cũn v trỏi thỡ khụng) Do ú, x 3x D thy rng, nu x thỡ 3x x suy cú nht giỏ tr x tha món, trng hp ny ta chn c b s t nhiờn tha yờu cu ca bi l 0, 2, 1q hoc 1, 2, 1q H Duy Ngha -THPT Phan ỡnh Phựng-k Lk www.MATHVN.com 2.2 Cỏc bi toỏn k thiwww.MATHVN.com hc sinh gii Quc gia - Toỏn hc Vit Nam 26 2) Trng hp : x n Khi ú (2.4) tng ng x! n! n! y! 3n (2.8) Chỳ ý rng, n 1, n khụng th ng thi l ly tha ca nờn t (2.8) ta suy x n Khi ú Vỡ t, y y! 3n x! y! n1q! Khi ú, (2.9) cú th vit li n1 x, y n Ta t M n 1qM 1q 3n Rừ rng, nu y (2.9) (2.10) thỡ M q mod 3q vỡ th, M khụng th l mt ly tha ca Do ú t (2.10) ta cú n 1q1 n 2qn 3qq 3n hay n 2q3 3n iu n 3k 1, k Ta cú ny suy n v n mod3q t 9k 3k 3k 1q 33k1 Suy 3k 3k l ly tha ca 3, (iu ny vụ lý) Chng t y n n 1qn 3q 3n Nu y n thỡ M n 2, ú ta cú, Vỡ n 1, n khụng th ng thi l ly tha ca nờn khụng tn ti s n tha n 1qn 3q 3n Do ú y n Vi y n 1, ta cú A Do ú, t (2.10) ta cú 2n 1q 3n Rừ rng khụng tn ti n tha h thc va nờu Do vy y n Nh vy, nu b s t nhiờn x, y, nq vi x y tha yờu cu bi toỏn thỡ khụng th cú x n Túm li, nu b s t nhiờn x, y, n tha( 2.4) thỡ x, y, nq l 0, 2, 1q; 2, 0, 1q; 1, 2, 1q; 2, 1, 1q Ngc li, kim tra trc tip ta thy ta bn b s trờn tha Vy b s tha yờu cu l 0, 2, 1q; 2, 0, 1q; 1, 2, 1q; 2, 1, 1q Bi toỏn 2.2.5 (HSGQG-2011) Cho dóy s nguyờn an qxỏc nh bi a0 1, a1 1, an 6an1 5an2, n (2.11) Chng minh rng a2012 2010 chia ht cho 2011 H Duy Ngha -THPT Phan ỡnh Phựng-k Lk www.MATHVN.com 2.2 Cỏc bi toỏn k thiwww.MATHVN.com hc sinh gii Quc gia - Toỏn hc Vit Nam 27 Li gii: Xột dóy s nguyờn bn q xỏc nh bi b0 1, b1 1, bn 6bn1 2016bn2, D dng tỡm c s hng tng quỏt ca dóy ny l bn 49.42q9041.48 , n n n Vỡ 2011 l sú nguyờn t nờn theo nh lý Fermat nh ta cú: 42q2010 482010 mod 2011q Do ú, 90b2 012 49.42q2012 41.482012 6b1 2016b0 b2012 2010 mod 2011q Ngoi ra, theo (2.11) ta cú an bn mod 2011q Suy b2012 4942q2 41.482 90b2 mod 2011q b2 mod 2011qCLN90, 2011q T ú suy a2012 1, m b2 nờn 2010 mod 2011q H Duy Ngha -THPT Phan ỡnh Phựng-k Lk www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toỏn hc Vit Nam TI LIU THAM KHO A.Ting Vit H Huy Khoỏi (2004), Chuyờn bi dng hc sinh gii toỏn ph thụng S hc, Nh xut bn Giỏo dc H Huy Khoỏi (2003), S hc v thut toỏn: C s lý thuyt v tớnh toỏn thc hnh, Nh xut bn i hc Quc Gia H Ni Nguyn Tin Quang (2007),Bi s hc, Nh xut bn Giỏo dc B.Ting Anh Cohen, H (2007), Number Theory Volume I:Tools and Diophantine Equations, Springer Science+Business Media, LLC Ireland K ,Rosen M (1990) A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer-Verlag, Berlin Andreeescu, Titu (2006) 104 Number theory Problems From the Training of the USA IMO Team, Birkhauser Chau, Le Hai (2010), Selected Problems of the Vietnamese Mathematical Olympiad (1962-2009), Singapore Du san Djuki c (2009),The IMO Compendium A Collection of Problems Suggested for the International Mathematical Olympiad:1959-2009, Springer C Mt s ti liu khỏc trờn mng Internet www.MATHVN.com