Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 Đồngdư phương trình đồngdư sử dụng nhiều chương trình phổ thông, đặc biệt thi HSG cấp Nhưng không học sinh mơ hồ khái niệm Sau đây, xin có vài lời giới thiệu đồngdư thức phương trình đồngdư để bạn tham khảo I-Giới thiệu đồngdưĐồngdư khái niệm đầy sức mạnh lý thuyết số Khái niệm nhà toán học Đức Gauss (1777-1855), mạnh danh ông vua toán học, t rong nhà toán học lỗi lạc nhân loại đưa Nó đuợc trình bày tác phẩm "Disquistiones Arthmeticcate" ông xuất bàn năm 1801 ông 24 tuổi 1/ Định nghĩa: Cho số nguyên dương n Hai số nguyên a, b gọi đồngdư theo mol n ta kí hiệu a b (mod n) chia cho n chúng cho số dư Từ ta có: a b n hay a b kn k 2/ Tính chất: Ký hiệu nhằm nhấn mạnh đồngdư có nhiều tính chất giồng với đẳng thức a) Nếu a b (mod n) , c d (mod n) a c b d (mod n) , ac bd (mod n) b) Với k * , a b (mod n) ak bk (mod n) c) Nếu ac bc (mod n), c, n a b 3/ Hệthặngdư a) Hệthặngdư đầy đủ Cho tập hợp A a1 , a2, , an Giả sử ri với ri n số dư chia cho ri Nếu tập số dư trùng với tập 0,1, 2, , n 1 ta A hệthặngdư đầy đủ (gọi tắt HĐĐ) theo mod n Dễ thấy: Tập A lập thành HĐĐ (mod n) i j ai a j (mod n) Từ định nghĩa ta suy số tính chất sau: Với m , !ai A cho m (mod n) Với a tập A+a = a1 a, a2 a, , an a lập thành HĐĐ theo mod n Nếu c ,(c, n) tập cA = ca1 , ca2 ,, can lập thành HĐĐ b) Hệthặngdư thu gọn Cho B b1 , b2 ,, bk tập gồm k số nguyên (bi , n) với i 1, k Giả sử bi qi n ri ,1 ri n Khi dễ thấy (ri , n) Nếu tập r1 , r2 ,, rk tập K gồm tất số nguyên dương bé n nguyên tố với n B gọi hệthặngdư thu gọn mod n, gọi tắt hệt thu mod n Dễ thấy tập hợp B b1 , b2 ,, bm gồm m số nguyên lập thành hệ thu gọn khi: bi , n bi b j (mod n) Số phần tử B n n hàm Euler c) Hàm Euler Đây hàm đếm số số nguyên tố với số n cho trước, kí hiệu n Dễ dàng chứng minh hàm Euler có tính nhân tính, tức mn m n Ta tìm công thức tính hàm Euler sau: k Giả sử ta phân tích n thừa số nguyên tố n pis p1s p2s pks i k i 1 Ta ý p số nguyên tố số i bất cho p, i i không chia hết cho p Số 1 số chia hết cho p mà không vượt p s p s 1 Khi ta có p s p s p s 1 p s 1 Lúc p n p1s p2s pks p1s p2s . pks p1s 1 k k s2 p2 p1 sk 1 pk p k 1 1 n. 1 p p i 1 k i 4/ Một số định lý đồngdư Định lý Euler Cho n số nguyên a cho a, n Khi đó, ta có a n (mod n) , tổng quát với nọi số nguyên a , ta có a n an n (mod n) Định lý Fecma nhỏ Nếu p số nguyên tố a cho a, p Khi a p 1 (mod p) Thực chất hệ định lý Euler p p Định lý Wilson Cho n>1 số nguyên dương Khi n số nguyên tố n 1! 1 (mod n) Định lý thặngdư Trung Hoa Cho k số nguyên dương n1 , n2 ,, nk đôi nguyên tố k số nguyên a1 , a2 ,, ak Khi tồn nguyên a thoả mãn a (mod n) i 1, 2, , k (1) -1- Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 Số nguyên b thoả mãn (1) b a (mod n) n n1.n2 nk 5/ Số phương (mod n) Cho số nguyên dương n Số nguyên a gọi số phương mod n tồn x cho x2 a (mod n) Rõ ràng số phương số phương mod n với n tồn x a thoả đề Ví dụ : số phương mod 32 (mod 7) Trường hợp n = p số nguyên tố Hiển nhiên p | a a (mod p) a số phương mod p, ta xét a, p Một số định lý: Nếu p=2 số a lẻ số phương (mod 2) Nếu p > 2, a số phương (mod p) a( p 1) / (mod p) , a không phương (mod p) a( p 1) / 1 (mod p) Nếu p số nguyên tố lẻ : - Tích hai số phương (mod p) số phương (mod p) - Tích hai số không phương (mod p) số phương (mod p) - Tích số không phương (mod p) với số phương (mod p) số không phương (mod p) - 1 số phương (mod p) p = 4k+1 - Trong tập S 1, 2, , p 1 có p 1 / số phương (mod p) p 1 / số không phương (mod p) - Gọi n số số chẵn nằm khoảng p/2; p , 2( p 1) / (1)n (mod p) Cho p 4k số nguyên tố lẻ Khi 2( p 1) / (1)k (mod p) , từ suy số phương mod p p 8k Cho p số nguyên tố lẻ ( p,3) Gọi n số số bội khoảng p / 2; p Khi 3( p 1) / (1)n (mod p) Từ ta có hệ quả: Nếu p 6k số nguyên tố Khi 3( p 1) / (1)k (mod p) , suy số phương (mod p) p 12t (Luật tương hỗ Gauss) Cho p, q hai số nguyên tố lẻ phân biệt Khi đó: Nếu có số có dạng 4k+1 p số phương (mod q) q số phương (mod p) Nếu hai số có dạng 4k+3 p số phương (mod q) q số không phương (mod p) a Kí hiệu Legendre Giả sử p số nguyên tố lẻ, a số nguyên không âm Kí hiệu Legendre định p a 1 neu a la so chinh phuong mod p nghĩa sau : p 1 neu a la so khong chinh phuong mod p Với kí hiệu ta viết định lý cách ngắn gọn là: a a ( p 1) / (mod p) p a b Nếu a b (mod p) p p a b ab p p p a2 p 1 (1)( p 1) / p 2 (1)( p p p) / q p (Luật tương hỗ) Nếu a=q số nguyên tố lẻ (1)( p 1)( q 1) / p q k Trường hợp n hợp số Phân tích n thừa số nguyên tố ta n pis i i 1 -2- Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 Bổ đề: Số nguyên a với (a, n) = số phương (mod p) với pi , a số phương (mod p) Chứng minh: Giả sử a số phương (mod n) Khi tồn x cho x2 a (mod n) x2 a (mod pis ) i Vậy a số phương (mod pis ) Đảo lại giả sử với số i=1,2, ,k a số phương (mod pis ) Khi i i tồn x soa cho x a (mod p ) Theo định lý thặngdư Trung Hoa tồn x cho x xi (mod pis ) với si i i i i = 1,2, ,k Thành thử x2 xi2 a (mod pis ) Suy x2 a (mod n) Vậy a số phương mod n Định lý 1: Giả sử n 2s , s>1 a số nguyên lẻ Khi a số phương (mod n) khi: i) a (mod 4) s = ii) a (mod8) s Định lý 2: Giả sử n p s với p số nguyên tố lẻ Khi a số phương mod n a số phương mod p Kí hiệu Jacobi: ký hiệu mở rộng ký hiệu Lagendre Cho n số nguyên dương lẻ với phân tích tiêu i k k a a chuẩn n pis ( pi số nguyên tố khác nhau) Với (a, n)=1 ta định nghĩa Jacobi sau: i n i 1 i 1 pi a a 1, i ngược lại không n pi Dễ thấy a số phương mod n 6/ Phương trình đồngdư Cho f ( x) đa thức với hệ số nguyên m số nguyên dương Số nguyên a gọi nghiệm phương trình đồngdư f ( x) (mod m) f (a) (mod m) Định lý 1: Cho đa thức f ( x) an xn an 1 xn1 a1 x a0 có hệ số nguyên Xét phương trình đồngdư f ( x) (mod p) (*) , m=p số nguyên tố Nếu pt (*) có n+1 nghiệm phân biệt (mod p) hệ số , i 1, n chia hết cho p Nói riêng f (a) (mod p), a Định lý 2: Giả sử m m1m2 mk số mi đôi nguyên tố nhau, đó: i) a nghiệm pt (*) với i = 1,2, ,k nghiệm pt f ( x) (mod mi ) (**) ii) Kí hiệu N (m), N (mi ) tương ứng số nghiệm phân biệt (mod m) nghiệm phân biệt (mod mi) (**) ta có N (m) N (m1 ).N (m2 ) N (mk ) II- Một số toán ứng dụng Bài 1: (Vietnam MO 2004, Bảng A) Kí hiệu S n tổng tất chữ số n sở 10 Xét tất số nguyên dương m thoả mãn m bội 2003, tìm giá trị bé có S m Giải: Đặt p = 2003, p số nguyên tố Rõ ràng S n 10k không chia hết cho p Giả sử tồn n bội p S n Suy tồn k để 10k 1 (mod p) Chú ý 210 1024 107 (mod p) nên 2 5k 210k 107 k 10k 1 (mod p) Vậy -1 số phương mod p Mâu thuẩn p dạng 4k+1 Tiếp theo ta chứng minh tồn n bội mà S n Ta có 107 210 2.10700 21001 2( p 1) / 1 (mod p) p 8t Vậy n 2.10700 bội p S n Vậy giá trị nhỏ S n Bài 2: Xét số Fecma F Fn 22 1, n Chứng minh F số nguyên tố 3( F 1) / 1 F Giải: Dễ thấy F dạng 12k Do F số nguyên tố số không phương (mod F) Vậy 3( F 1) / 1 (mod F ) tức 3( F 1) / 1 F n Đảo lại giả sử 3( F 1) / 1 (mod F ) Gọi h cấp (mod F) Khi h | ( F 1) 2 Vậy h 2t , t 2n Nếu t 2n h | F 1 / 3( F 1) / (mod F ) , mau thuẩn với điều dã giả sử Vậy t 2n h F Vì n h | F nên F 1 | F F F Vậy F số nguyên tố Bài 3: Giải phương trình f ( x) x4 x3 8x (mod35) Giải: Phương trình f ( x) (mod 5) có tập nghiệm C1 1; 4 Phương trình f ( x) (mod 7) có tập nghiệm a a1 (mod 5) C2 3;5;6 Ta phải giải hệ Từ định lý thặngdư Trung Hoa ta tìm a = 21a1 + 15a2 Từ a a2 (mod 5) cho a1 C1 , a2 C2 ta tìm A 6;19;24;26;31;34 -3- Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 Name : Mai Xuân Việt Address : Đội II – thôn Dương Quang – Xã Đức Thắng – Huyện Mộ Đức – Tỉnh Quảng Ngãi Email : xuanviet15@gmail.com Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 -4- ... giả sử với số i= 1,2 , ,k a số phương (mod pis ) Khi i i tồn x soa cho x a (mod p ) Theo định lý thặng dư Trung Hoa tồn x cho x xi (mod pis ) với si i i i i = 1,2 , ,k Thành thử x2... a0 có hệ số nguyên Xét phương trình đồng dư f ( x) (mod p) (*) , m=p số nguyên tố Nếu pt (*) có n+1 nghiệm phân biệt (mod p) hệ số , i 1, n chia hết cho p Nói riêng f (a) (mod p ), a ... Dễ thấy a số phương mod n 6/ Phương trình đồng dư Cho f ( x) đa thức với hệ số nguyên m số nguyên dư ng Số nguyên a gọi nghiệm phương trình đồng dư f ( x) (mod m) f (a) (mod m) Định