Đa thức và ứng dụng

Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Toán Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 1 Công Hậu, Ngọc Luân, Mai Phương, Cao Tín, Như Ý Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Toán CHUYÊN ĐỀ Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 2 Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Toán Lời nói đầu………………………………………………………………………………………… 3 Phần 1:Sơ lược về đa thức A.ĐA THỨC – NHÂN, CHIA ĐA THỨC – SỰ CHIA HẾT ………………………………………… 5 B. NGIỆM BỘI – PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ…………………………………………………… 6 C. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ NGHIỆM ĐA THỨC …………………………………………………….7 D. BÀI TẬP……………………………………………………………………………………………………….19 Phần 2 : Đa thức bất khả quy A ĐỊNH LÍ EISENSTEIN …………………………………………………………………………………40 B. BÀI TẬP…………………………………………………………………………………………………… 44 Phần 3 : Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của đa thức 2 biến, bậc 2 A.CÁC ĐỊNH LÝ………………………………………………………………………………………….53 B.BÀI TẬP………………………………………………………………………………………………….56 Lời kết…………………………………………………………………………………………… 58 Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 3 Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Toán Một số khái niệm cơ bản và quan trọng trọng đại số, trong toán học nói chung là khái niệm về đa thức. Trong chương trình phổ thông phần đại số hầu hết đều nghiên cứu về đa thúc bậc nhất, bậc hai và một số đa thức dạng đặc biệt bậc cao. Rất nhiều ứng dụng và bài tập đã được học trong chương trình phổ thông. Và hôm nay, với sự hướng dẫn của thầy Đỗ Kim Sơn, thầy Nguyễn Tuấn Ngọc. nhóm chúng em đã hoàn thành chuyên đề nhỏ về một số ứng dụng cơ bản của đa thức trong giải toán Do mặt hạn chế về thời gian nên vẫn còn nhiều thiếu sót,mong thầy và các bạn góp ý,chỉnh sửa thêm. Xin chân thành cảm ơn Phần 1. SƠ LƯỢC VỀ ĐA THỨC : Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 4 Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Toán A.ĐA THỨC – NHÂN, CHIA ĐA THỨC – SỰ CHIA HẾT I. Xét hàm số: f:ℝ→ℝ, ta nói f là một đa thức nếu hoặc f=const hoặc tồn tại , 1n n ∈ ≥ ¥ và tồn tại các số thực 0 1 2 , , , , n a a a a với 0 n a ≠ sao cho 1 1 1 0 ( ) n n n n f x a x a x a x a − − = + + + + với x ∀ ∈ ¡ • 0 1 2 , , , , n a a a a là hệ số của đa thức f, n a là hệ số cao nhất, 0 a là hệ số tự do. • n là bậc của đa thức f và ký hiệu degf=n ( trường hợp f=const ta nói deg f=0) • Tập hợp tất cả các đa thức với hệ số nguyên được ký hiệu là [ ] x¢ • Tập hợp tất cả các đa thức với hệ số hữu tỷ được ký hiệu là [ ] x¤ • Tập hợp tất cả các đa thức với hệ số thực được ký hiệu là [ ] x¡ • Hai đa thức được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi dưới dạng chính tắc, các hệ tử của các lũy thừa tương ứng của ẩn x bằng nhau. Do đó một đa thức bằng đa thức không khi và chỉ khi mọi hệ tử ở dạng chính tắc của nó đều bằng không ( Nguyên lý so sánh các hệ số của đa thức) II. Cho hai đa thức 1 1 1 0 ( ) n n n n f x a x a x a x a − − = + + + + và 1 1 1 0 ( ) m m m m g x b x b x b x b − − = + + + + Tích của chúng là một đa thức: 0 ( ). ( ) m n m n f x g x c x c + + = + + trong đó k i j i j k c a b + = = ∑ Giả sử f(x) và g(x) là hai đa thức cùng thuộc P[x], bao giờ cũng có thể tìm được một cặp đa thức q(x) và r(x) duy nhất cũng thuộc P[x] sao cho f(x)=g(x).q(x)+r(x), trong đó bậc của r(x) bé hơn bậc của g(x). Nếu r(x) bằng đa thức không thì ta nói f(x) chia hết cho g(x), hay g(x) chia hết f(x), hay f(x) là bội của g(x), g(x) là ước của f(x) Một đa thức d(x) chia hết 2 đa thức f(x) và g(x) đã cho gọi là ước chung của f(x) và g(x) Nếu d(x) là ước chung của f(x) và g(x), chia hết cho mọi ước chung khác của 2 đa thức ấy, thì d(x) gọi là ước chung lớn nhất của f(x) và g(x), viết là UCLN và ký hiệu là (f(x), g(x))=d(x). Để tìm ước chung lớn nhất của f(x) và g(x) ta dùng thuật toán Oclide bằng cách thức hiện một số phép chia liên tiếp như sau: 1 1 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k k k k f x g x r x g x r x q x r x r x r x q x r x r x r x q x − − − + = + = + = + = Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 5 Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Toán Đa thức dư cuối cùng trong dãy phép chia liên tiếp đó chính là UCLN phải tìm : ( ) ( ) ( ( ), ( )). k x d x f x g x r = = Để đảm bảo tính duy nhất của UCLN ,ta qui ước rằng hệ tử cao nhất của UCLN của hai đa thức bao giờ cũng lấy bằng 1. Xuất phát từ thuật toán Oclide , ta chứng minh được rằng : nếu ( ) ( ( ), ( ))d x f x g x = thì có thể tìm được hai đa thức ( ) à ( )u x v v x cũng trên { } P x sao cho : ( ). ( ) ( ). ( ) ( )f x u x g x v x d x+ = Hơn nữa , nếu bậc của f(x) và g(x) lớn hơn 0 thì ta còn có thể chọn sao cho bậc của u(x) bé hơn bậc của g(x) và bậc của v(x) bé hơn bậc của f(x). B.NGIỆM BỘI – PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ I. Một đa thức bậc lớn hơn 0 trên P[x] được gọi là bất khả qui trên P[x], nếu nó không thể viết được dưới dạng tích của 2 đa thức bậc r ≠ 0 và bé hơn n , của P[x] Mỗi đa thức bậc m > 0 của P[x] đều có thể phân tích được thành tích của những đa thức bất khả qui trên P [x] và sự phân tích đó là duy nhất , nếu không kể đến thứ tự các nhân tử và không kể đến các nhân tử bậc 0 Trên £ [x] , chỉ có các nhị thức bậc nhất là đa thức bất khả qui . Trên ¡ [x], chỉ có các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai không có nghiệm thực là các đa thức bất khả qui . II. a/ Giả sử f(x) ∈ ¡ [x] và a ∈ ¡ .Ta nói f(x) nhận α làm nghiệm nếu f( α ) = 0, khi đó f(x) chia hết cho x-a hay nhận x-a làm một nhân tử . b/ Giả sử f(x) ∈ ¡ [x] và a ∈ ¡ và k ∈ ¥ [x], k 1 ≥ . Ta nói α là nghiệm bội của đa thức f(x) nếu tồn tại g(x) ∈ ¡ [x], g( α ) ≠ 0 sao cho ( ) . ( ) k x g x α − với x ∀ ∈ ¡ .( tức là f(x) chia hết cho ( ) k x α − nhưng không chia hết cho 1 ( ) k x α + − ) Nếu k=1 thì ta nói α là nghiệm đơn Nếu k≥2 thì ta nói α là nghiệm bội C.CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ NGHIỆM ĐA THỨC Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 6 Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Toán ĐỊNH LÝ 1 • Nếu f,g ∈ℝ[x] deg f=n≥1, deg g=m thì f[g(x)]∈ℝ[x] và có bậc bằng m.n • Giả sử f,g ∈ℝ[x] với deg f=n, deg g=m, ta có:  f(x)+g(x) ∈ℝ[x] và có bậc ≤max(n,m), còn nếu n≠m thì f(x)+g(x) có bậc là max(n,m).  f(x).g(x) ∈ℝ[x] và nếu f(x)≠0, g(x)≠0 thì deg (f(x).g(x))=m+n • Nếu f∈ℝ[x], deg f=n≥1 với a n là hệ số cao nhất thì f(x+1)-f(x) là đa thức có bậc n-1 và hệ số cao nhất là na n ĐỊNH LÝ 2 ( Định lý Bézout) α là nghiệm của đa thức [ ] ( ) ( ) (x)f x f x x trong α ∈ ⇔ − M¡ ¡ . Chứng minh: [ ]&f x α ∀ ∈ ∈¡ ¡ luôn tồn tại duy nhất g∈ℝ[x] sao cho ( ) ( ). ( ) ( ),f x x g x f x α α = − + ∀ ∈ ¡ Do đó α là nghiệm của [ ] ( ) 0 ( ) ( ). ( ) ( ) ( )f x f f x x g x f x x α α α ∈ ⇔ = ⇔ = − ⇔ − M¡ Hệ quả: [ ],deg 1f x f n∀ ∈ = ≥¡ ta luôn có ( ) ( ) ( )f x f x α α − − M Ví dụ 1: Lời giải: Đặt y = x + 1 thì x = y – 1, và đẳng thức trên trở thành: 2 2 ( ) ( 1) 3( 1) 2 5 6f y y y y y= − − − + = − + Vì vậy 2 ( ) 5 6f x x x= − + Ví dụ 2: Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 7 Xác định đa thức f(x) biết rằng với mọi x thì: Xác định đa thức f(x) biết rằng với mọi x thì: Xác định các số thực p,q sao cho đa thức chia hết cho đa thức . Xác định các số thực p,q sao cho đa thức chia hết cho đa thức . Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Toán Lời giải : Rõ ràng thương của phép chia 4 1x + cho đa thức 2 x px q+ + là một đa thức bậc hai có dạng 2 x ax b + + .Vì đây là phép chia hết nên : 4 2 2 4 3 2 1 ( )( ) ( ) ( ) ( ) x x px q x ax b x a p x b ap q x bp aq x bq + = + + + + = + + + + + + + + Vì vậy ta phải có 0 (1) 0 (2) 0 (3) 1 (4) a p b ap q bp aq bq + =   + + =   + =   =  Từ (1) suy ra a= -p , thay vào (3) thì được 0 = bp + aq = bp – pq = ( b - q)p, Tức là hoặc p = 0, hoặc b – q = 0 Nếu p = 0 thì từ (2) suy ra b = -q, và (4) trở thành 2 1b− = ,điều này vô lý. Nên : 0p ≠ do đó p = q.Thay vào (4) thì được b = q = 1 hoặc b = q= -1.Mặt khác , từ (2) suy ra 2 2 0, ê 0b a n n b= ≥ ≥ .Từ đây ta có b = q = 1 và 2 a = 2,hay 2, ra 2a suy p = ± = m . Thử lại, ta thấy rằng 4 2 1 2 1x x x + ± + M ,bởi vì : 4 2 2 2 2 1 ( 1)2 2 ( 1 2 )( 1 2 )x x x x x x x + = + − = + − + + Vậy đa thức 2 x px q+ + cần tìm là 2 2 1x x + + hoặc 2 2 1x x − + . Ví dụ 3 : Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 8 Xác định đa thức f(x) biết rằng với mọi x thì: Xác định đa thức f(x) biết rằng với mọi x thì: Xác định các số thực p,q sao cho đa thức chia hết cho đa thức . Xác định các số thực p,q sao cho đa thức chia hết cho đa thức . Chứng minh rằng đa thức : chia hết cho đa thức Chứng minh rằng đa thức : chia hết cho đa thức Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Toán Lời giải : Đặt: 9 8 7 6 9999 8888 7777 6666 1111 1 1 A x x x x x B x x x x x = + + + + + + = + + + + + + Khi đó : 9999 9 8888 8 7777 7 6666 6 1111 9 10 999 8 10 888 7 10 666 10 111 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) 1] [( ) 1] [( ) 1] [( ) 1] B A x x x x x x x x x x x x x x x x x x − = − + − + − + − + + − = − + − + − + + − Để ý rằng với mọi số tự nhiên k thì: 10 1 10 10( 1) 10( 2) 10 ( ) ( 1)[ 1] k k k x x x x x − − − = − + + + + chia hết cho đa thức 10 1x − mà 10 9 8 7 6 1 ( 1)( 1)x x x x x x x− = − + + + + + + nên đa thức ( ) k 10 x 1 − chia hết cho đa thức 9 8 7 6 1x x x x x+ + + + + + Do đó B – A chia hết cho A, và do đó B chia hết cho A ĐỊNH LÝ 3 ( Khai triển của một đa thức theo các nghiệm) Giả sử [ ]f x∈¡ và các số phân biệt 1 2 , , , m α α α ∈¡ là các nghiệm của đa thức f với các bội tương ứng là 1 2 , , , m k k k khi đó tồn tại g∈ℝ[x] sao cho: 1 2 1 2 1 ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ), j m m k k k k i m i f x x a g x x x x a g x x α α = = − = − − − ∀ ∈ ∏ ¡ 1 deg deg m i i f g k = = + ∑ ĐỊNH LÝ VIÈTE Giả sử đã cho đa thức f(x) bậc n trên P[x] Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 9 Chứng minh rằng đa thức : chia hết cho đa thức Chứng minh rằng đa thức : chia hết cho đa thức Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Toán 1 2 0 1 2 1 0 ( ) . . . n n n n f x a x a x a x a x a − − − = + + + + + Kí hiệu: 1 2 , , , n α α α là nghiệm của f(x) trong P, mỗi nghiệm kể một số lần bằng bội số của nó. Ta có:` 1 1 2 0 2 1 2 1 3 1 2 3 1 0 3 1 2 3 2 1 0 1 1 1 2 0 ( ) ( ) ( 1) ( n n n n n n n n n a a a a a a a a α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α − − − − − = − + + + = + + + + + + = − + + = − 1 2 3 1 2 0 . ) ( 1) n n n n n a a α α α α α α α − + + = − Ví dụ 4 : Hãy tìm những giá trị của tham số a sao cho những nghiệm x 1 ,x 2 ,x 3 của đa thức 3 2 ( ) 2P x x x x a= + + + thỏa mãn điều kiện 2 2 2 1 2 3 x x x + = Lời giải : Chú ý tới công thức Viète và điều kiện đã cho của nghiệm x 1 ,x 2 ,x 3 và a thỏa mãn những đẳng thức sau: 1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 3 2 2 2 1 2 3 2 1 x x x x x x x x x a x x x x x x + + = −   + + =   =   + =  Từ đẳng thức trên ta nhân được: 2 2 2 1 2 3 3 3 4 ( ) 2 2 2x x x x a x a = + + = + ⇒ = − Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 10 [...]... Sơn 4.3 Đa thức P(x) là đa thức đối xứng khi và chỉ khi với x khác 0 :: 4.3 Đa thức P(x) là đa thức đối xứng khi và chỉ khi với x khác 0 4.4 .Đa thức P(x) là đa thức có hệ số đối xứng khi và chỉ khi điều 4.4 .Đa thức P(x) là đa thức có hệ số đối xứng khi và chỉ khi điều kiện su đây thỏa mãn:Một số aalà nghiệm của đa thức P(x) khi và kiện su đây thỏa mãn:Một số là nghiệm của đa thức P(x) khi và chỉ khi... nghiệm nguyên Giả sử là đa Giả sử là đa Ví dụ 7 thức với hệ số thức với hệ số thực khác 0 thực aa0khác 0 0 và thỏa mãn: và thỏa mãn: chứng minh chứng minh rằng: đa thức rằng: đa thức này không có này không có nghiệm thực nghiệm thực Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 14 Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Toán Từ f ( x) f (2 x 2 ) = f (2 x 3 + x), ∀x ∈ ¡ (*), so sánh hệ số của x3n và x0 trong khai triển(*)... xứng Hướng dẫn :áp dụng định lý 4.4 Bài 26* Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 34 Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Toán Hãy giải phương trình: Bài 27* Hãy giải phương trình: Bài 28* Hãy giải phương trình: Bài 29* Hãy viết dưới dạng đại số những nghiệm của phương trình Bài 30* Xét đa thức f(x) tùy ý với hệ số nguyên và thỏa bất đẳng thức : 0≤f(c)≤k, Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 35 Giáo viên... nguyên mà Q(x) là đa thức bậc ba với hệ số nguyên nên hiển nhiên 9aM3 và 3ar 2 + 2br + c M3 điều đó nghĩa là Q(x) ∈H Như vậy tồn tại r∈{0 ;1 ;2} và đa thức Q(x) ∈H sao cho P ( 3 x + r ) = 3Q ( x ) 2) Giả sử P ( x ) ∈ H Theo câu 1), tồn tại số r1 ∈ { 0;1; 2} và đa thức P ( x) ∈ H sao cho : P(3 x + r1 ) = 3P ( x), ∀x 1 Ad câu 1) với đa thức P ( x) ∈ H suy ra tồn tại số r2 ∈ { 0;1; 2} và đa thức P ( x) ∈... nghiệm của đa thức nằm trên đường tròn |�|=r Chứng minh rằng : ( i=0,1,…,n) Hướng dẫn :áp dụng định lý Viète Bài 23 : Hãy tìm những nghiệm hữu tỉ của phương trình: Hướng dẫn : như ví dụ 9 Bài 24 Chứng minh rằng : đa thức với hệ số nguyêncó nghiệm hữu tỉ thì chúng là nghiệm nguyên Hướng dẫn : xem định lý 4 Bài 25 Chứng minh rằng: Tích của hai đa thức với hệ số đối xứng là một đa thức có hệ số đối xứng Hướng... x + ax − 3x − 3a = ( x − 3)( x + a ) (2) Suy ra các nghiệm còn lại Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 26 10 Toán Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn Bài 11 Giả sử P(x) là đa thức bậc 1991 với hệ số nguyên Xét đa thức Q(x) =P2(x)-9 Chứng minh rằng : số nghiệm nguyên của đa thức Q(x) nhỏ hơn 1996 Hướng dẫn Giả sử nghiệm của đa thức Q(x) không nhỏ hơn 1996 Q( x) = 0 ⇔ P 2 ( x) − 9 = 0 ⇔ [ P ( x) − 3][ P... 3 3 ( 4) Do b nguyên nên (4) chỉ xảy ra khi a=b=0 ( và do đó c=0) Điều này mâu thuẫn với giả thiết: a khác 0 Bài 3 Cho là đa thức với hệ số nguyên sao cho , ở đây a,b,c là các số nguyên đôi một khác nhau Chứng minh rằng đa thức không có nghiệm nguyên Hướng dẫn Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 20 10 Toán Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn Giả sử đa thức có nghiệm nguyên Theo định lý Bézout , P(x) co... sao cho những nghiệm x1,x2,x3 của đa thức thỏa mãn điều kiện Hướng dẫn :tương tự ví dụ 4, Bài 17 : Chứng minh rằng : mọi đa thức bậc n có nhiều nhất n nghiệm Hướng dẫn : áp dụng nguyên lý so sánh hệ số Bài 18 : Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 32 Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Toán Hãy tìm những giá trị của tham số a sao cho những nghiệm x1,x2,x3, x4 của đa thức thỏa mãn điều kiện Hướng dẫn... các đa thức với hệ số thực P sao cho với mọi x, ta có: Bài 32* Tìm tất cả đa thức bậc lẻ và thỏa: Bài 33* Tìm tất cả các đa thức với hệ số nguyên , a0 khac 0 sao cho: Bài 34* Dãy các đa thức Pn(x) được xác định bởi: Với mọi số tự nhiên n≥1, tìm tất cả các số thực x thỏa mãn phương trình: Pn(x)=0 Bài 35* Hãy giải phương trình: Bài 36 : Chứng minh rằng số α là m nghiệm bội của đa thức P ( x) khi và chỉ... tức là đa thức không có nghiệm nguyên (điều phải chứng minh ) Nhận xét: Nếu P(x) là đa thức với hệ số nguyên, trong đó P(a) bà P(b) là các số nguyên lẻ với a,b có tính chẵn, lẻ khác nhau Khi đó P(x) là số nguyên lẻ với mọi giá trị nguyên của x Bài 7 Cho đa thức : , trong đó các hệ số ai đều là các số nguyên lẻ, i=0,1, …,2k Chứng minh rằng: đa thức P(x) không có nghiệm hữu tỉ Hướng dẫn Giả sử đa thức . VIÈTE Giả sử đã cho đa thức f(x) bậc n trên P[x] Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 9 Chứng minh rằng đa thức : chia hết cho đa thức Chứng minh rằng đa thức : chia hết cho đa thức Giáo viên. và - 1 2 x x x x x x x x x =  + ⇒ =  − = − =  Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 13 4.3 Đa thức P(x) là đa thức đối xứng khi và chỉ khi với x khác 0 : 4.3 Đa thức P(x) là đa thức đối xứng. sao cho đa thức chia hết cho đa thức . Xác định các số thực p,q sao cho đa thức chia hết cho đa thức . Chứng minh rằng đa thức : chia hết cho đa thức Chứng minh