Bất đẳng thức _ Thật đơn giản

Sáng kiến kinh nghiệm THẮNG Gv: LÊ XUÂN BẤT ĐẲNG THỨC-“THẬT ĐƠN GIẢN” I.Lý chọn đề tài Khi giải toán đặc biệt toán bất đẳng th ức nh ận th em thường: + Các em thường sợ bất đẳng thức bỏ qua khụng cú h ứng thỳ vỡ tụi nhận thấy cỏc em: +Lúng túng thụ động từ đâu,phân tích toán ? +Không nắm vững bất đẳng thức quan trọng h ệ bất đẳng thức côsi, bunhiacopski ,v…v… + Khụng nắm số bất đẳng thức đơn giản thường gặp cú nhi ều ứng dụng +Khi giải toán dừng lại, không tiếp tục tìm tòi khai thác, biến đổi thay đổi giả thuyết giải toán nhiều cách, từ có th ể suy toán tổng quát Để khắc phục hạn chế trên, định hướng em tư lôgíc Tôi mạnh d ạn đưa vài kinh nghiệm nhỏ viết hy vọng em h ọc t ập hi ệu cách tiếp cận vấn đề bất đẳng thức quen thuộc, dễ chứng minh dễ nhớ đặc biệt cú nhiều ứng dụng lớp 10 chương trỡnh phổ thụng 1 1 ≤ ( + ) Bài toàn: Với hai số dương x y ta có: (1) x+ y x y Đẳng thức xảy x =y Bất đẳng thức (1) có nhiều cách chứng minh đưa hai cách chứng minh ph ổ biến Cỏch Với hai số dương x y ta cú: 1 1 ≤ ( + ) ( x + y ) ≥ ⇒ (x + y)2 ≥ xy ⇒ x+ y x y Rừ ràng, đẳng thức xảy x = y Cỏch áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có 1 1 x + y ≥ xy, + ≥2 = x y x y xy 1 1 1 ≤ ( + ) Từ đó: ( x + y ) ( + ) ≥ ⇒ x y x+ y x y Và đẳng thức xảy x =y Tổng quỏt: Cho hai số x, y dương a, b hai số bất kỡ ta cú: 2 ( a + b) ( a + b) a b2 a b2 ≤ ( + ) hay ( + ) ≥ x+ y x y x y x+ y Trường THPT Triệu Sơn - Sáng kiến kinh nghiệm THẮNG Gv: LÊ XUÂN a b = ( chứng minh bất đẳng thức cú x y nhiều cỏch chứng minh xin dành cho bạn đọc) II Biện pháp thực Để làm việc cần có nhiều việc phải làm Thứ nhất: yêu cầu rèn luyện cho học sinh nắm vững lý thuy ết c b ản côsi,bunhiacopski,trêbưsep,v…,v…và cách chứng minh thông thường Thứ hai: Khi cho em làm tập đặc biệt h ướng cho em phân tích toán cách trả lời câu hỏi: -Vai trò số hạng nhân tử có bình đẳng không? -Bất đẳng thức có xảy dấu không? Nếu xảy thì s ố h ạng phải thoả mãn điều kiện Từ cho phép áp dụng bât đẳng thức h ợp với giả thuyết toán Thứ ba : Khuyến khích em biến đổi bất đẳng th ức b ất đ ẳng th ức quen thuộc đặc biệt bất dẳng thức (1) Thứ tư: Sau khuyến khích em giải toán theo nhiều cách, nhi ều công cụ Tổng quát toán.Công việc có lợi cho tư khả tổng hợp kiến thức em III Phạm vi nghiên cứu Sáng kiến thực lớp khối trường THPT Triệu Sơn V Thực Dấu sảy Bài toỏn Cho ba số dương a, b, c, ta có: 1 1 1 + + ≤ ( + + ) (2) a+b b+c c+a a b c Đẳng thức xảy a = b = c Áp dụng (1) ta cú điều phải chứng minh * Phỏt triển: Áp dụng (2) cho số a+b, b+c, c+a ta được: 1 1 1 + + ≤ ( + + ) (3) a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b a + b b + c c + a * Kết hợp (2) (3) ta cú Bài toỏn Với a, b, c số dương: 1 1 1 + + ≤ ( + + ) (4) a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b a b c Đẳng thức xảy a = b = c 1 + + = thỡ toỏn nội dung cõu V, Đề Chỳ ý: Nếu thờm giả thiết a b c thi Đại học Cao đẳng khối A, năm 2005 Trường THPT Triệu Sơn - Sáng kiến kinh nghiệm THẮNG Gv: LÊ XUÂN Bài toỏn Chứng minh với a, b, c dương: 1 1 1 + + ≤ + + (5) a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b a + 3b b + 3c c + 3a Giải: Vận dụng bất đẳng thức (1) ta có: 1 + ≥ = a + 3b b + 2c + a (a + 3b) + (b + 2c + a ) a + 2b + c 1 + ≥ = b + 3c c + 2a + b (b + 3c ) + (c + 2a + b) b + 2c + a 1 + ≥ = c + 3a a + 2b + c (c + 3a ) + (a + 2b + c) c + 2a + b Cộng vế với vế cỏc bất đẳng thức rút gọn ta cú bất đẳng thức (5) a + 3b = b + 2c + a  Đẳng thức xảy khi: b + 3c = c + 2a + b ⇔ a = b = c c + 3a = a + 2b + c  Bài toỏn Hóy xỏc định dạng tam giác ABC góc thỏa đẳng thức sau: A B C tg tg tg 2 + + = B C C A A B A B C + tg tg + tg tg + tg tg 4.tg tg tg 2 2 2 2 A B C Giải: Đặt x = tg , y = tg , z = tg thỡ x, y, z dương xy + yz + zx=1 2 x y z + + = Hệ thức trở thành: + yz + zx + xy xyz Ta cú: x y z + + = + yz + zx + xy x y z = + + ≤ ( xy + yz ) + ( zx + yz ) ( xy + zx) + ( yz + zx) ( xy + yz ) + ( zx + xy ) 1 x x  1 y y  1 z z  ≤  + + + ÷+  ÷+  ÷=  xy + yz zx + yz   xy + zx yz + zx   xy + yz zx + xy  1 x+ z x+ y y + z   1  xy + yz + zx =  + + = ÷=  + + ÷=  xy + yz zx + yz xy + zx   x y z  xyz xyz Đẳng thức xảy khi: x = y = z hay tam giác ABC Trường THPT Triệu Sơn - Sáng kiến kinh nghiệm THẮNG Gv: LÊ XUÂN Bài toỏn Cho x, y, z cỏc số thực thỏa điều kiện x + y + z = 0, x + 1>0, y + > 0, z + > Hóy tỡm giỏ trị lớn x y z Q= + + x +1 y +1 z + Giải: Đặt a = x + > 0, b = y + > 0, c = z + > Ta cú: a + b + c = a −1 b −1 c − 1 4 Q= + + = 3− + + ÷ a b c a b c Theo bất đẳng thức (1) ta có: 1 4 16 ( + )+ ≥ + ≥ = a b c a+b c a+b+c ⇒ Q ≤ 3− = 3 a = b    a = b = x = y = ⇔ 2⇔ Đẳng thức xảy khi: a + b = c a + b + c = c =  z = −1   x = y =   z = −1 Bài toỏn 6: Chứng minh : 2x 2y 2z 1 + + ≤ + + với x, y, z số dương Dấu x6 + y y6 + z z + x x4 y z sảy ? Giải : x + 1) ( 1 x2 4x + = + ≥ ≥ Tương tự ta có x y x y x6 + y x + y 1 4y 1 4z + ≥ ; + ≥ Cộng vế bất dẳng thức ta có y z y6 + z z x4 z6 + x4 Vậy: MaxQ = đạt bất dẳng thức cần chứng minh Dờu sảy x=y=z=1 Bài toỏn : Cho số thực dương a, b c thoả :ab+bc+ca = abc chứng minh : a4 + b4 b4 + c c4 + a4 + + ≥1 ab a3 + b3 bc b3 + c3 ca c3 + a3 ( ) ( ) Trường THPT Triệu Sơn ( ) - Sáng kiến kinh nghiệm THẮNG Gv: LÊ XUÂN Giải: ta có ab+bc+ca = abc ⇔ Khi ta có: a4 + b4 ( ab a3 + b3 = = ) 1 + x y4 1 1   ÷ + xy  x3 y3 ÷ = 1 1 1 + + = Đặt x = ; y = ; z = ⇒ x+y+z=1 a b c a b c x4 + y x3 + y3 = ( x6 x x3 + y ( x2 + y ) ) + ( y6 y x3 + y ≥ ( x3 + y ) ) ( x3 + y3 )( x2 + y2 ) x3 + y3 x4 y4 x2 + y x + y = + ≥ = ≥ x+ y x2 + y x x2 + y y x2 + y ( x + y ) x2 + y ) ( ( ) ( ) b4 + c y+z c4 + a4 z+x Tương tự ta có bc b3 + c3 ≥ ; ca c + a ≥ ( ) ( ) Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta có a + b4 b4 + c4 c4 + a4 + + ≥ x + y + z = ab a3 + b3 bc b3 + c3 ca c3 + a3 ( ) ( ) Suy điều phải chứng minh ( ) Bài toỏn 8: Tỡm giỏ trị nhỏ biểu thức x −t t − y y − z z − x A= + + + t + y y+ z z + x x+t Với x, y, z, t số dương Giải : Ta cú: x −t t−y y−z z−x A=( + 1) + ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) − = t+y y+z z+x x+t x+ y t + z y + x z +t = + + + −4= t + y y + z z + x x+t   1   = ( x + y)  + +  + (t + z )  −4≥ t + y z + x  y+ z x+t 4 ≥ ( x + y) + (t + z ) −4= x+ y + z +t x+ y+ z+t 4( x + y + z + t ) = −4=0 z + y + z +t Vậy MinA=0 x = y = z = t Trường THPT Triệu Sơn - Sáng kiến kinh nghiệm THẮNG Gv: LÊ XUÂN Trên số toán áp dụng bất đẳng thức (1) sau số tập tương tự: Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh bất đẳng thức: 1 1   + + ≤ + + ÷ 2a + 3(b + c) 2b + 3(c + a ) 2c + 3(a + b)  a + b b + c c + a  1 1 1  2/ + + ≤  + + ÷ a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b  a + 2c b + 2a c + 2b  Bài Chứng minh a, b, c số thực dương thỏa điều kiện abc = ab + bc + ca thỡ: 1 17 + + < a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b 96 Bài Cho x > 0, y > thỏa x + y ≤ Tỡm giỏ trị nhỏ của: A= + + xy x + y xy 1/ Bài Cho tam giỏc ABC cú chu vi a + b + c = k (không đổi), BC = a, CA = b, AB = c Tỡm giỏ trị lớn biểu thức: ab bc ca T= + + a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b Bài Cho tam giác ABC có chu vi 2p=a+b+c (a,b, c độ dài c ạnh) Ch ứng minh rằng: 1 1 1 + + ≥ 2 + + ÷ p −a p −b p −c a b c III Mở rộng Cho x, y,z ba số dương chứng minh rằng: 1 1 ≤ ( + + ) ( ) ;Dấu sảy x=y=z x+ y+z x y z Tổng quỏt: Cho ba số a, b, c bất kỡ, x, y, z la ba số thực dương ta cú: a b2 c ( a + b + c ) + + ≥ ( ) (Bất đẳng thức s-vac) Dấu sảy x y z x+ y+z a b c = = x y z Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski ta cú: Trường THPT Triệu Sơn - Sáng kiến kinh nghiệm THẮNG Gv: LÊ XUÂN   a 2  b 2  c 2   a b2 c  ÷ + + ÷  + + ÷( x + y + z ) =   ÷ ÷  ÷   x   y   z  ÷ y z   x   ( ) ( ) ( ) x + y + z  ÷  ≥ ( a + b + c) Từ suy điều phải chứng minh IV Áp dụng a2 b2 c2 + + ≥ a + b + c với a, b, c số Bài toỏn 1: Chứng minh : b c a thực dương Giải :Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có : a2 b2 c2 ( a + b + c ) + + ≥ = a + b + c Suy điều phải chứng minh Dấu sảy b c a a+b+c a b c = = ⇔ a=b=c b c a Bài toỏn : Tìm giá trị nhỏ biểu thức a6 b6 c6 B= 3 + + a, b, c số thực dương thỏa mãn b + c c + a a + b3 a + b + c =1 Giải : Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có : a3 + b3 + c ) ( a6 b6 c6 a + b3 + c B= 3 + + ≥ = Mặt khác theo bất b + c c + a a + b3 ( a + b3 + c ) 2 đẳng thức Bunhiacovski ta có : = ( a + b + c ) ≤ 3 ( a + b + c )  = 3  ( ) aa a + bb b + cc c   3 3 3 3 ≤ 9( a + b + c) ( a + b + c ) = 9( a + b + c ) ⇒ ( a + b + c ) ≥ Vậy B ≥ 18 Bài toỏn : Cho số thực dương x, y, z, t thỏa mãn xyzt=1 ch ứng minh 1 1 + + + ≥ x ( yz + zt + ty ) y ( xz + zt + tx ) z ( yt + xt + xy ) t ( yz + zx + xy ) Giải : Trường THPT Triệu Sơn - ... bình đẳng không? -Bất đẳng thức có xảy dấu không? Nếu xảy thì s ố h ạng phải thoả mãn điều kiện Từ cho phép áp dụng bât đẳng thức h ợp với giả thuyết toán Thứ ba : Khuyến khích em biến đổi bất đẳng. .. + c (c + 3a ) + (a + 2b + c) c + 2a + b Cộng vế với vế cỏc bất đẳng thức rút gọn ta cú bất đẳng thức (5) a + 3b = b + 2c + a  Đẳng thức xảy khi: b + 3c = c + 2a + b ⇔ a = b = c c + 3a = a... ba số a, b, c bất kỡ, x, y, z la ba số thực dương ta cú: a b2 c ( a + b + c ) + + ≥ ( ) (Bất đẳng thức s-vac) Dấu sảy x y z x+ y+z a b c = = x y z Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski